03 第三章 次数分布和平均数、变异数.ppt

第1页：第三章次数分布和平均数、变异数封面

第三章次数分布和平均数、变异数

• 第一节总体及其样本
• 第二节次数分布
• 第三节平均数
• 第四节变异数
• 第五节理论总体(群体)的平均数和标准差

第2页：第一节总体及其样本

第一节总体及其样本

总体

具有共同性质的个体所组成的集团.有限总体

具有共同性质的个体所组成的集团.有限总体

总体所包含的个体数目有无穷多个.无限总体

总体所包含的个体数目有无穷多个.无限总体

由有限个个体构成的总体.

观察值( observation )----每一个体的某一性状、特性的测定数值.

变数( variable )----观察值集合起来，称为总体的变数。变数又称为随机变数(random variable)

第3页：第一节总体及其样本（续）

第一节总体及其样本（续）

样本( sample )----从总体中抽取若干个个体的集合称为样本(sample)

统计数( statistic )----测定样本中的各个体而得的样本特征数，如平均数等，称为统计数(statistic)

随机样本( random sample )----从总体中随机抽取的样本称为随机样本(random sample)

样本容量( sample size )----样本中包含的个体数称为样本容量或样本含量(sample size)

第4页：第二节次数分布

第二节次数分布

• 试验资料的性质与分类
• 次数分布表
• 次数分布图

第5页：试验资料的性质与分类

一、试验资料的性质与分类

(一) 数量性状资料(二) 质量性状资料

第6页：数量性状资料

（一）数量性状资料

数量性状(quantitative trait)的度量有计数和量测两种方式，其所得变数不同

1. 不连续性或间断性变数( discontinuous or discrete variable )指用计数方法获得的数据
2. 连续性变数( continuous variable )指称量、度量或测量方法所得到的数据，其各个观察值并不限于整数，在两个数值之间可以有微量数值差异的第三个数值存在

第7页：质量性状资料

（二）质量性状资料

质量性状( qualitative trait )指能观察而不能量测的状即属性性状，如花药、子粒、颖壳等器官的颜色、芒的有无、绒毛的有无等。要从这类性状获得数量资料，可采用下列两种方法

1. 统计次数法于一定总体或样本内，统计其具有某个性状的个体数目及具有不同性状的个体数目，按类别计其次数或相对次数
2. 给分法给予每类性状以相对数量的方法

第8页：次数分布表

二、次数分布表

(一) 间断性变数资料的整理(二) 连续性变数资料的整理(三) 属性变数资料的整理

第9页：间断性变数资料的整理

（一）间断性变数资料的整理

现以某小麦品种的每穗小穗数为例，随机采取100个麦穗，计数每穗小穗数，未加整理的资料列成表3.1

第10页：表3.1 100个麦穗的每穗小穗数

表3.1 100个麦穗的每穗小穗数

本页含数据表，源文本中数字粘连、无法安全切分，表格未作自动还原，需对照课件原图人工补录。

第11页：表3.2 100个麦穗每穗小穗数的次数分布表

表3.2 100个麦穗每穗小穗数的次数分布表

本页含数据表，源文本中数字粘连、无法安全切分，表格未作自动还原，需对照课件原图人工补录。

从表3.2中看到，一堆杂乱的原始资料表3.1，经初步整理后，就可了解资料的大致情况，另外，经过整理的资料也便于进一步的分析

上述资料为间断性变数资料，每穗小穗数在15—20的范围内变动，把所有观察值按每穗小穗数多少加以归类，共分为6组，组与组间相差为1小穗，称为组距

这样可得表3.2形式的次数分布表

第12页：连续性变数资料的整理

（二）连续性变数资料的整理

本页含数据表，源文本中数字粘连、无法安全切分，表格未作自动还原，需对照课件原图人工补录。

兹以表3.4的100行水稻试验的产量为例，说明整理方法。 表3.4 140行水稻产量(单位：克)

第13页：具体步骤

具体步骤

1. 数据排序(sort)首先对数据按从小到大排列(升序)或从大到小排列(降序)
2. 求极差(range)所有数据中的最大观察值和最小观察值的差数，称为极差，亦即整个样本的变异幅度。从表3.4中查到最大观察值为254g，最小观察值为75g，极差为254－75=179g

第14页：具体步骤（续）

具体步骤（续）

1. 确定组数和组距( class interval )根据极差分为若干组，每组的距离相等，称为组距。在确定组数和组距时应考虑
2. 观察值个数的多少
3. 极差的大小
4. 便于计算
5. 能反映出资料的真实面貌等方面。样本大小(即样本内包含观察值的个数的多少)与组数多少的关系可参照表3.5来确定

第15页：表3.5 样本容量与组数多少的关系

表3.5 样本容量与组数多少的关系

本页含数据表，源文本中数字粘连、无法安全切分，表格未作自动还原，需对照课件原图人工补录。

样本内观察值的个数分组时的组数 组数确定后，还须确定组距

以表3.4中140行水稻产量为例，样本内观察值的个数为140，查表3.5可分为8—16组，假定分为12组，则组距为179/12=14.9g，为分组方便起见，可以15g作为组距

第16页：具体步骤（续）

具体步骤（续）

本页含数据表，源文本中数字粘连、无法安全切分，表格未作自动还原，需对照课件原图人工补录。

4. 选定组限( class limit )和组中点值( 组值，class value )

以表3.4中140行水稻产量为例，选定第一组的中点值为75g，与最小观察值75g相等；则第二组的中点值为75+15=90g，余类推

各组的中点值选定后，就可以求得各组组限。每组有两个组限，数值小的称为下限( lower limit )，数值大的称为上限( upper limit )。上述资料中，第一组的下限为该组中点值减去1/2组距，即75－(15/2)=67.5g，上限为中点值加1/2组距，即75+(15/2)=82.5g。故第一组的组限为 。按照此法计算其余各组的组限，就可写出分组数列

第17页：具体步骤（续）

具体步骤（续）

本页含数据表，源文本中数字粘连、无法安全切分，表格未作自动还原，需对照课件原图人工补录。

5. 把原始资料的各个观察值按分组数列的各组组限归组

可按原始资料中各观察值的次序，逐个把数值归于各组

待全部观察值归组后，即可求得各组的次数，制成一个次数分布表

例如表3.4中第一个观察值177应归于表3.6中第8组，组限为 ；第二个观察值149应归于第6组，组限为 ；……。依次把140个观察值都进行归组，即可制成140行水稻产量的次数分布表(表3.6)

第18页：表3.6 140行水稻的次数分布组限中点值

表3.6 140行水稻的次数分布组限中点值

本页含数据表，源文本中数字粘连、无法安全切分，表格未作自动还原，需对照课件原图人工补录。

这样也使最后一组的中点值接近于最大值，又增加了1/2组，故实际的组数比原来确定的要多一个组，为13组

第19页：属性变数资料的整理

（三）属性变数资料的整理

属性变数的资料，也可以用类似次数分布的方法来整理

在整理前，把资料按各种质量性状进行分类，分类数等于组数

然后根据各个体在质量属性上的具体表现，分别归入相应的组中，即可得到属性分布的规律性认识。例如，某水稻杂种第二代植株米粒性状的分离情况，归于表3.7。表3.7 水稻杂种二代植株米粒性状的分离情况属性分组(y)次数(f )红米非糯96红米糯稻37白米非糯31白米糯稻15合计(n)179

第20页：次数分布图

三、次数分布图

(一) 方柱形图(二) 多边形图(三) 条形图(四) 饼图

第21页：方柱形图

（一）方柱形图

方柱形图( histogram )适用于表示连续性变数的次数分布。现以表3.6的140行水稻产量的次数分布表为例加以说明。即成方柱形次数分布图3.1。图3.1 140行水稻产量次数分布方柱形图

第22页：多边形图

（二）多边形图

多边形图( polygon )也是表示连续性变数资料的一种普通的方法，且在同一图上可比较两组以上的资料。仍以140行水稻产量次数分布为例，所成图形即为次数多边形图(图3.2)。图3.2 140行水稻产量次数分布多边形图

第23页：条形图

（三）条形图

条形图(bar)适用于间断性变数和属性变数资料，用以表示这些变数的次数分布状况。一般其横轴标出间断的中点值或分类性状，纵轴标出次数。现以表3.7水稻杂种第二代米粒性状的分离情况为例，可画成水稻杂种第二代植株4种米粒性状分离情况条形图(3.3)。图3.3 水稻F2代米粒性状分离条形图

第24页：饼图

（四）饼图

饼图( pie )适用于间断性变数和属性变数资料，用以表示这些变数中各种属性或各种间断性数据观察值在总观察个数中的百分比。如图3.4中白米糯稻在F2群体中占8%，白米非糯、红米糯稻和红米非糯分别占17%、21%和54%。图3.4 水稻F2代米粒性状分离的饼图

第25页：第三节平均数

第三节平均数

• 平均数的意义和种类
• 算术平均数的计算方法
• 算术平均数的重要特性
• 总体平均数

第26页：平均数的意义和种类

一、平均数的意义和种类

平均数的意义:平均数( average )是数据的代表值，表示资料中观察值的中心位置，并且可作为资料的代表而与另一组资料相比较，借以明确二者之间相差的情况

第27页：平均数的种类

平均数的种类

平均数的种类:

1. 算术平均数一个数量资料中各个观察值的总和除以观察值个数所得的商数，称为算术平均数( arithmetic mean )，记作。因其应用广泛，常简称平均数或均数(mean)。均数的大小决定于样本的各观察值
2. 中数将资料内所有观察值从大到小排序，居中间位置的观察值称为中数( median )，计作Md。如观察值个数为偶数，则以中间二个观察值的算术平均数为中数

第28页：平均数的意义和种类（续）

平均数的意义和种类（续）

1. 众数资料中最常见的一数，或次数最多一组的中点值，称为众数( mode )，计作MO。如棉花纤维检验时所用的主体长度即为众数
2. 几何平均数如有n个观察值，其相乘积开n次方，即为几何平均数( geometric mean )，用G代表。(3·1) 平均数的种类:

第29页：算术平均数的计算方法若样本较小

二、算术平均数的计算方法若样本较小

即资料包含的观察值个数不多，可直接计算平均数。设一个含有n个观察值的样本，其各个观察值为y1、y2、y3、…、yn，则算术平均数由下式算得：(3·2)若样本较大，且已进行了分组(如表3.6)，可采用加权法计算算术平均数，即用组中点值代表该组出现的观测值以计算平均数，其公式为(3·3) 其中yi 为第i组中点值，fi 为第i 组变数出现次数

第30页：例3.1 在水稻品种比较

例3.1 在水稻品种比较

试验中，湘矮早四号的5个小区产量分别为20.0、19.0、21.0、17.5、18.5kg，求该品种的小区平均产量。[例3.2] 利用表3.6资料计算平均每行水稻产量。若采用直接法，=157.47。因此，两者的结果十分相近。由(3·2)有

第31页：算术平均数的重要特性

三、算术平均数的重要特性

1. 样本各观察值与其平均数的差数(简称离均差，deviation from mean)的总和等于0。即
2. 样本各观察值与其平均数的差数平方的总和，较各个观察值与任意其他数值的差数平方的总和为小，亦即离均差平方的总和最小。这个问题可作这样的说明，设Q为各个观察值与任意数值a的差数平方的总和，即：对此Q求最小值，可得使Q最小的a 值为平均数

第32页：总体平均数

四、总体平均数

总体平均数用来代表，它同样具有算术平均数所具有的特性。(3·4)上式yi 代表各个观察值，N代表有限总体所包含的个体数，表示总体内各个观察值的总和

第33页：第四节变异数

第四节变异数

• 极差
• 方差
• 标准差
• 变异系数

第34页：极差

一、极差

本页含数据表，源文本中数字粘连、无法安全切分，表格未作自动还原，需对照课件原图人工补录。

极差( range )，又称全距，记作R，是资料中最大观察值与最小观察值的差数。例如调查两个小麦品种的每穗小穗数，每品种计数10个麦穗，经整理后的数字列于表3.8。表3.8两个小麦品种的每穗小穗数品种名称每穗小穗数总和平均甲13 14 15 17 18 18 19 21 22 乙16 16 17 18 18 18 18 19 20

第35页：表3.8 资料中，甲品种每穗小穗数最少

表3.8 资料中，甲品种每穗小穗数最少

本页含数据表，源文本中数字粘连、无法安全切分，表格未作自动还原，需对照课件原图人工补录。

为13个，最多为23个，R=23－13=10个小穗

乙品种每穗小穗数最少为16个，最多为20个，R=20－16=4个小穗

可以看出，两品种的平均每穗小穗数虽同为18个，但甲品种的极差较大，其变异范围较大，平均数的代表性较差

乙品种的极差较小，其变异幅度较小，其平均数代表性较好

第36页：方差离均差平方

二、方差离均差平方和

SS

将各个离均差平方后相加样本SS=(3·5) 总体SS=

均方或方差

用观察值数目来除平方和样本均方(mean square)用s2表示，定义为：总体方差用表示，定义为：样本均方是总体方差的无偏估计值

第37页：标准差

三、标准差

(一) 标准差的定义标准差为方差的正平方根值，用以表示资料的变异度,其单位与观察值的度量单位相同。从样本资料计算标准差的公式为：(3·9)总体标准差用表示：(3·10)样本标准差是总体标准差的估计值

第38页：自由度的意义

（二）自由度的意义

自由度记作DF，其具体数值则常用表示。统计意义：是指样本内独立而能自由变动的离均差个数。例如一个有5个观察值的样本，因为受统计数的约束，在5个离均差中，只有4个数值可以在一定范围之内自由变动取值，而第五个离均差必须满足。如一样本为(3，4，5，6，7），平均数为5，前４个离差为－2,－1，0和1，则第5个离均差为前4个离均差之和的变号数，即－(－2)=2。一般地，样本自由度等于观察值的个数(n)减去约束条件的个数(k)，即

第39页：注：比较(3·9)和(3·10

注：比较(3·9)和(3·10

注：比较(3·9)和(3·10)，样本标准差不以样本容量n，而以自由度n－1作为除数，这是因为通常所掌握的是样本资料，不知的数值，不得不用样本平均数代替。与有差异，由算术平均数的性质(2)可知，比小。因此，由算出的标准差将偏小。如分母用n－1代替，则可免除偏小的弊病。数理统计上可以证明用自由度作除数计算标准差的无偏性

第40页：标准差的计算方法

（三）标准差的计算方法

1. 直接法可按计算，分四个步骤
2. 先求出
3. 再求出各个和各个
4. 求和得
5. 代入算得标准差

第41页：例3.3 设某一水稻单株粒重的样本有5个观察

例3.3 设某一水稻单株粒重的样本有5个观察值

以克为单位，其数为2、8、7、5、4(用y代表)，按照上述步骤，由表3.9可算得平方和为22.80，把它代入即可得到：这就是该水稻单株粒重的标准差为2.39g

第42页：表3.9 水稻粒重的平方和的计算

表3.9 水稻粒重的平方和的计算

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第43页：2．矫正数法经过转换可得

2．矫正数法经过转换可得

2．矫正数法经过转换可得(3·11)其中项称为矫正数，记作C。在例3.3中，于表3.9第5列写出各观察值的平方值，将有关数字代入(3·11)即有：其结果和直接法算得相同

第44页：3．加权法若样本较大

3．加权法若样本较大

3．加权法若样本较大，并已获得如表3.6的次数分布表，可采用加权法计算标准差，其公式为：(3·12)

第45页：表3.6 140行水稻的次数分布

表3.6 140行水稻的次数分布

本页含数据表，源文本中数字粘连、无法安全切分，表格未作自动还原，需对照课件原图人工补录。

第46页：例3.4 利用

例3.4 利用

表3.6的次数分布资料计算每行水稻产量的标准差。由(3·12)，可得若采用直接法，其标准差s=36.23(g)。由此可见，直接法和加权法的结果是很相近的

第47页：变异系数

四、变异系数

变异系数( coefficient of variation )----样本的标准差对均数的百分数：(3·15) 变异系数是一个不带单位的纯数，可用以比较二个事物的变异度大小

第48页：变异系数（续）

变异系数（续）

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例如表3.10为两个小麦品种主茎高度的平均数、标准差和变异系数。如只从标准差看，品种甲比乙的变异大些；但因两者的均数不同，标准差间不宜直接比较。如果算出变异系数，就可以相互比较，这里乙品种的变异系数为11.3%，甲品种为9.5%，可见乙品种的相对变异程度较大。品种(cm)s(cm)变异系数CV(%)甲 乙 表3.10 两个小麦品种主茎高度的测量结果

第49页：第五节理论总体(群体)的平均数和标准差

第五节理论总体(群体)的平均数和标准差

设总体的第i 个构成成分的概率为pi，其平均数为，那么总体的平均数为：(3·16)总体的方差为：(3·17)

第50页：例3.5 由单个位点控制的数量性状

例3.5 由单个位点控制的数量性状

F2代有三种基因型，这三种基因型值分别为m+d，m－d和m+h，而这三种基因型的理论频率分别为0.25，0.25和0.5，因而可以计得其平均数为：其方差为:将总体平均数代入上式，化简的方差为

第51页：表3.11 F2群体的遗传构成

表3.11 F2群体的遗传构成

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