05 第3章-命题逻辑(下).pptx

第1页：命题逻辑（下） 课件封面

命题逻辑（下）课件封面

离散数学 Discrete Mathematics，本章为命题逻辑（下）。

第2页：第3章命题逻辑（下）

第3章命题逻辑（下）

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第3页：联结词的完备集

命题逻辑（下）本章学习内容

• 联结词的完备集
• 对偶与范式
• 命题逻辑的推理

第4页：联结词的完备集

联结词的完备集

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第5页：联结词的完备集

命题联结词的枚举联结词的完备集命题联结词的应用

第6页：一元真值函数因此

，一共有4种不同的一元命题公式，可以建立4种不同的一元真值函数。单个命题变元P有两种可能的取值，对于P的每种取值，由P构成的一元命题公式又有两种可能的取值。一元联结词用于联结一个命题变元P。

第7页：一元联结词枚举公式四公式

三公式二公式一PFFTTTFTFTF公式一=永真公式公式二=P公式三=¬P公式四=永假公式

第8页：二元联结词

二元真值函数因此，一共有24=16种不同的二元命题公式，可以建立16种不同的二元真值函数。两个命题变元有四种可能的取值组合，对于P的每种取值组合，二元命题公式又有两种可能的取值。二元联结词用于联结二个命题变元P和Q。

第9页：二元联结词

枚举f16f15f14f13f12f11f10f9f8f7f6f5f4f3f2f1QP111111110000000000111100001111000010110011001100110001101010101010101011假设f1-f16表示16种不同的二元命题公式，即16种不同的二元真值函项，则有如下真值表：

第10页：二元联结词

枚举f1=P∧¬Pf2=P∧Qf3=¬(P→Q)f4=Pf5=¬(Q→P)f6=Qf7=¬(P↔Q)f8=P∨Qf9=¬ (P∨Q)f10=P↔Qf11=¬Qf12= Q→P16种二元真值函项与5个常用联结词之间的关系如下：f13=¬Pf14=P→Qf15=¬(P∧Q)f16=P∨¬P

第11页：二元联结词

分类在16种二元真值函项中：f1和f16分别是永真式和永假式；f4和f6分别代表命题变元P和Q；f5,f7,f9和f15需要用两个常用联结词表示；其余8个二元真值函项可用一个常用联结词表示。

第12页：二元联结词其余4个联结词

二元联结词其余4个联结词

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第13页：二元联结词其余4个联结词的真值表

二元联结词其余4个联结词的真值表

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第14页：二元联结词命题逻辑中所有的9个联结词

二元联结词命题逻辑中所有的9个联结词

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第15页：二元联结词

二元联结词

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第16页：二元联结词

二元联结词

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第17页：二元联结词

二元联结词

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第18页：二元联结词

二元联结词

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第19页：二元联结词

二元联结词

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第20页：联结词的完备集

命题联结词的枚举联结词的完备集命题联结词的应用

第21页：完备联结词

定义

设S是联结词集合，（1）如果对于任一命题公式，都可由S中联结词所表达的公式与之等值，则称S是完备联结词集合；（2）对于一个完备的联结词集合S，从S中任意删去一种联结词后，得到联结词集合S1不能表达任一命题公式，则称S为极小完备联结词集合。

第22页：完备联结词

完备联结词

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第23页：完备联结词

完备联结词

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第24页：完备联结词

完备联结词

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第25页：完备联结词

完备联结词

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第26页：完备联结词

完备联结词

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第27页：完备联结词常用的完备联结词

完备联结词常用的完备联结词

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第28页：联结词的完备集

命题联结词的枚举联结词的完备集命题联结词的应用

第29页：应用举例

应用举例

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第30页：应用举例

应用举例

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第31页：应用举例

应用举例

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第32页：应用举例

应用举例

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第33页：应用举例

分析：四个开关分别为K1,K2,K3,K4，“0”表示断开，“1”表示接通，S表示会议室照明状态，“0”表示灯灭，“1”表示灯亮。初始状态：四开关处于“0”状态，灯处于“0”状态。易知：处“0”状态开关的个数为偶数时，S=0；处“0”状态开关的个数为奇数时，S=1。

第34页：应用举例

二进制加法器构造电路来计算x+y，其中x和y是两个二进制数字。因为x和y的值为0或1，此电路的输入就是x和y输出由两个二进制数字s和c构成，其中s和c分别是和位与进位。

第35页：应用举例半加法器由右表可以看出c=xy

应用举例半加法器由右表可以看出c=xy

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第36页：应用举例半加法器的电路

应用举例半加法器的电路

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第37页：应用举例

全加法器当两个二进制数字与一个进位相加时，用全加法器来计算和位与进位。输入是两个二进制数字x和y及进位ci，输出是和位s与新的进位ci+1.如右表所示。

第38页：应用举例使用半加法器构造全加法器

应用举例使用半加法器构造全加法器

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第39页：应用举例

加法器的实际使用：计算两个3位二进制整数的和

第40页：命题逻辑（下） 本章小结

命题逻辑（下）小结

本节内容到此结束，谢谢大家！

第41页：联结词的完备集

命题逻辑（下）本章学习内容

• 联结词的完备集
• 对偶与范式
• 命题逻辑的推理

第42页：对偶与范式

对偶与范式

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第43页：主合取范式

对偶与范式基本概念命题的主析取范式命题的主合取范式主范式之间的联系

第44页：对偶式的定义

对偶式的定义

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第45页：对偶式的性质

由德-摩根定律P∧Q(P∨Q),P∨Q(P∧Q)故A(P1, P2,…,Pn)A*(P1,P2,…,Pn)同理A(P1,P2,…,Pn)A*(P1,P2,…,Pn)

第46页：对偶原理证明

对偶原理证明

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第47页：对偶原理的应用

对偶原理的应用

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第48页：范式的概念

范式的概念

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第49页：范式的概念

范式的概念

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第50页：范式的概念

范式的概念

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第51页：范式的概念

范式的概念

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第52页：范式的概念

范式的概念

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第53页：范式的概念总结

范式的概念总结

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第54页：范式的存在性

定理：对于任意命题公式，都存在与其等值的析取范式和合取范式。

证明：由于联结词之间可以通过命题公式的基本等值式进行相互转化，可由此求出与命题公式相应的析取范式和合取范式。具体转化步骤如下：

第55页：范式的存在性

范式的存在性

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第56页：范式的求解

范式的求解

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第57页：范式的求解

范式的求解

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第58页：范式的求解

范式的求解

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第59页：范式的求解

范式的求解

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第60页：范式的求解

范式的求解

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第61页：范式的求解

范式的求解

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第62页：主合取范式

对偶与范式基本概念命题的主析取范式命题的主合取范式主范式之间的联系

第63页：主析取范式

主析取范式

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第64页：主析取范式

主析取范式

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第65页：主析取范式

主析取范式

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第66页：主析取范式

小项成真赋值名称¬p∧¬q00m0¬p∧q01m1p∧¬q10m2p∧q11m3

第67页：主析取范式

主析取范式

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第68页：主析取范式

小项成真赋值名称¬p∧¬q∧¬r000m0¬p∧¬q∧r001m1¬p∧q∧¬r010m2¬p∧q∧r011m3p∧¬q∧¬r100m4p∧¬q∧r101m5p∧q∧¬r110m6p∧q∧r111m7

第69页：主析取范式

主析取范式

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第70页：主析取范式

主析取范式

析取范式A1∨A2∨...∨An, ,其中每个Ai(i=1,2..n)都是小项，称之为主析取范式。

定义

如果一个主析取范式不包含任何小项，则称该范式为“空”，对应于永假式。思考题:永真式的主析取范式是怎样的？

第71页：主析取范式

主析取范式

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第72页：主析取范式

主析取范式

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第73页：主析取范式

定理：任何一个命题公式都有与之等价的主析取范式。

证明：（1）求出该公式所对应的析取范式,并去重；（2）去掉析取范式中的所有永假式(P∧┐P)（3）若析取范式的某一个短语H中缺少该命题公式中的命题变元P，则用公式：(Ｐ∨┐Ｐ)∧H = H将命题变元P补进去，并用分配律展开;（4）合并相同的小项，并用交换律进行顺序调整。

第74页：主析取范式写法

主析取范式写法

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第75页：主析取范式写法

主析取范式写法

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第76页：主析取范式写法

主析取范式写法

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第77页：主析取范式写法

主析取范式写法

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第78页：主析取范式写法

求PQ和PQ的主析取范式。PQm0∨m1∨m3(P∧Q)∨(P∧Q)∨(P∧Q)PQm0∨m3(P∧Q)∨(P∧Q)

第79页：主析取范式写法

主析取范式写法

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第80页：主析取范式写法

主析取范式写法

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第81页：主析取范式写法

主析取范式写法

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第82页：主析取范式写法

主析取范式写法

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第83页：主析取范式写法

主析取范式写法

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第84页：主析取范式写法

主析取范式写法

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第85页：主析取范式写法

主析取范式写法

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第86页：主析取范式

主析取范式

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第87页：主合取范式

对偶与范式基本概念命题的主析取范式命题的主合取范式主范式之间的联系

第88页：主合取范式

主合取范式

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第89页：主合取范式

主合取范式

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第90页：主合取范式

主合取范式

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第91页：主合取范式

大项成假赋值名称p∨q00M0p∨¬q01M1¬p∨q10M2¬p∨¬q11M3

第92页：主合取范式

大项成假赋值名称p∨q∨r000M0p∨q∨¬r001M1p∨¬q∨r010M2p∨¬q∨¬r011M3¬p∨q∨r100M4p∨q∨¬r101M5¬p∨¬q∨r110M6¬p∨¬q∨¬r111M7

第93页：主合取范式

主合取范式

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第94页：主合取范式

主合取范式

合取范式A1∧A2∧...∨∧n, ,其中每个Ai(i=1,2..n)都是大项，称之为主合取范式。

定义

如果一个主合取范式不包含任何大项，则称该范式为“空”，对应于永真式。思考题:永假式的主合取范式是怎样的？

第95页：主合取范式

主合取范式

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第96页：主合取范式

主合取范式

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第97页：主合取范式

定理：任何一个命题公式都有与之等价的主合取范式。

证明：（1）求出该公式所对应的合取范式,并去重；（2）去掉合取范式中的所有永真式(P∨┐P)（3）若合取范式的某一个短语H中缺少该命题公式中的命题变元P，则用公式：(Ｐ∧┐Ｐ)∨H = H将命题变元P补进去，并用分配律展开;（4）合并相同的大项，并用交换律进行顺序调整。

第98页：主合取范式写法

主合取范式写法

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第99页：主合取范式写法

主合取范式写法

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第100页：主合取范式写法求PQ和PQ的主合取范式

主合取范式写法求PQ和PQ的主合取范式

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第101页：主合取范式写法

主合取范式写法

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第102页：主合取范式写法

主合取范式写法

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第103页：主合取范式写法

主合取范式写法

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第104页：主合取范式写法

求公式(P→Q)→(Q∧R)的主合取范式

第105页：主合取范式

对偶与范式基本概念命题的主析取范式命题的主合取范式主范式之间的联系

第106页：主范式间关系

主范式间关系

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第107页：主范式间关系

主范式间关系

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第108页：对偶与范式

对偶与范式

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第109页：对偶与范式

对偶与范式

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第110页：对偶与范式

对偶与范式

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第111页：主范式的性质

主范式的性质

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第112页：主范式的性质

• 命题公式是永真公式当且仅当它的主析取范式包含所有的极小项，此时无主合取范式或者说主合取范式为“空”。
• 命题公式是永假公式当且仅当它的主合取范式包含所有的极大项，此时无主析取范式或者说主析取范式为“空”。
• 两个命题公式是相等的当且仅当它们对应的主析取范式相等，或者它们对应的主合取范式相等。

第113页：命题逻辑（下） 本章小结

命题逻辑（下）小结

本节内容到此结束，谢谢大家！

第114页：联结词的完备集

命题逻辑（下）本章学习内容

• 联结词的完备集
• 对偶与范式
• 命题逻辑的推理

第115页：命题逻辑的推理

命题逻辑的推理

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第116页：命题逻辑的推理

推理的基本概念逻辑蕴含式命题推演系统形式证明及其应用

第117页：推理的概念

推理也称为论证，它是由已知命题得到新命题的思维过程。其中已知命题称为推理的前提或假设，推得的新命题称为推理的结论。

第118页：推理的实例

推理的实例

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第119页：命题逻辑的推理

推理的基本概念逻辑蕴含式命题推演系统形式证明及其应用

第120页：逻辑蕴含式

前提和结论的数学表示推理的过程就是证明逻辑蕴含式的过程

第121页：逻辑蕴含式

逻辑蕴含式

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第122页：与→的差别

与→的差别

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第123页：蕴含式的证法

方法１列真值表。方法２证明蕴含逻辑算式的永真性。方法3假设前件为真，推出后件也为真。方法4假设后件为假，推出前件也为假。

第124页：蕴含式的证法

蕴含式的证法

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第125页：蕴含式的证法

蕴含式的证法

本页源文件仅提取到标题文字，正文以图示呈现，建议对照原课件图片补充本页要点说明。

第126页：蕴含式的证法

蕴含式的证法

本页源文件仅提取到标题文字，正文以图示呈现，建议对照原课件图片补充本页要点说明。

第127页：蕴含式的证法

蕴含式的证法

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第128页：蕴含式的证法

蕴含式的证法

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第129页：蕴含式的证法

蕴含式的证法

本页源文件仅提取到标题文字，正文以图示呈现，建议对照原课件图片补充本页要点说明。

第130页：蕴含式的证法

蕴含式的证法

本页源文件仅提取到标题文字，正文以图示呈现，建议对照原课件图片补充本页要点说明。

第131页：重要的蕴含式

重要的蕴含式

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第132页：重要的蕴含式

重要的蕴含式

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第133页：蕴含式的性质

蕴含式的性质

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第134页：蕴含式的性质

蕴含式的性质

本页源文件仅提取到标题文字，正文以图示呈现，建议对照原课件图片补充本页要点说明。

第135页：蕴含式的性质

蕴含式的性质

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第136页：蕴含式的性质

蕴含式的性质

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第137页：命题逻辑的推理

推理的基本概念逻辑蕴含式命题推演系统形式证明及其应用

第138页：命题逻辑的推理的定义

有效推理

定义

设G1, G2, …,Gn,Ｈ是命题公式，称H是G1,G2, …,Gn的逻辑结果，当且仅当H是G1∧G2∧…∧Gn的逻辑结果。记为G1, G2, …,GnＨ。此时，称G1,G2, …,GnＨ为有效推理或有效论证。注：1、推理的有效性和结论的真实性是不同的；2、推理的有效性在于推理的形式不在于推理内容；3、推理过程的正确性与前提和结论是否真实无关。

第139页：有效推理的判定

有效推理的判定

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第140页：有效推理的判定

有效推理的判定

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第141页：推理的基本思路

推理的基本思路

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第142页：推理的基本方法推理步骤

：自然语言描述符号化前提结论结论有效？结论成立结论不成立有效无效推理方法：真值表法：依据AB的概念和定理直接证法：利用P、T规则间接证法：CP规则、反证法

第143页：真值表推理法

真值表推理法

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第144页：真值表推理法

例：分析事实：“如果我有时间，那么我就去上街；如果我上街，那么我就去书店买书；但我没有去书店买书，所以我没有时间。”试指出这个推理前提和结论，并证明结论是前提的有效结论。

解：令p：我有时间。q：我去上街。r：我去书店买书。根据题意，前提为：p→q，q→r，¬r；结论为：¬p以下证明¬p是一组前提p→q，q→r，¬r的有效结论。即证明：(p→q)∧(q→r)∧¬r¬p

第145页：真值表推理法

作公式p→q，q→r，¬r，¬p的真值表：pqrp→qq→r¬r¬p00011110011101010101101111011000110101010011010101111100从表中可以看出：p→q，q→r，¬r都为1的行(赋值000的行)，¬p也为1

第146页：真值表推理法

例：“甲乙两队进行乒乓球比赛，小张上场则小李上场，小李上场则甲队取胜，小张或小李上场了，所以甲队取胜。”试指出这个推理前提和结论，并证明结论是前提的有效结论。

解：(1)命题符号化令P:小张上场；Q:小李上场；R:甲队取胜本例符号化为:(P→Q)∧(Q→R)∧(P∨Q)R(2)列真值表（见后页）

第147页：真值表推理法

（3）分析结论有效性由第四行、第八行可知，当前件为真时，结论为真，所以蕴含式成立，结论有效。

第148页：直接证明法直接证明

法就是由一组前提，利用一些公认的推理规则和推理定律，推演得到有效的结论。YN触发规则新事实事实=结论？事实库规则匹配公理库将事实加入到事实库中结束

第149页：推理定律（等值式）¬(P↔Q

)P↔¬QE22P∧PPE11P↔Q(P∧Q )∨(¬P∧¬Q)E21P∨PPE10P↔Q(P→Q )∧(Q→P )E20¬(P∨Q)¬P∧¬QE9P→(Q→R)(P∧Q)→RE19¬(P∧Q )¬P∨¬QE8P→Q¬Q→¬PE18P∨(Q∧R)(P∨Q)∧(P∨R)E7¬(P→Q)P∧¬QE17P∧(Q∨R)(P∧Q)∨(P∧R)E6P → Q¬P∨QE16(P∨Q )∨ RP∨(Q∨ R)E5R∧(P∧¬P)FE15(P∧Q )∧RP∧(Q∧R)E4R∨(P∨¬P)TE14P∨QQ∨PE3R∧(P∨¬P)RE13P∧QQ∧PE2R∨(P∧¬P)RE12¬¬PPE1

第150页：推理定律（蕴含式）P,

QP∧QI9P∧QPI1¬P, P∨QQI10P∧QQI2P, P → QQI11PP∨QI3¬Q, P → Q¬PI12QP∨QI4A→B(A∧C)→(B∧C)I16¬(P → Q )¬QI8A→B(A∨C)→(B∨C)I15¬(P → Q )PI7P∨Q,P→R,Q→RRI14QP → QI6P→Q, Q→RP→RI13¬PP → QI5

第151页：推理定律的应用

推理定律的应用

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第152页：推理规则①P规则（称为前提引用规则）

：在推导的过程中，可随时引入前提集合中的任意一个前提；②规则Ｔ（逻辑结果引用规则）：在推导的过程中，可以随时引入公式S，该公式S是由其前的一个或多个公式推导出来的逻辑结果；③规则ＣＰ（附加前提规则）：如果能从给定的前提集合Г与公式P推导出S，则能从此前提集合Г推导出P→S。

第153页：命题推演系统三个推理规则

，再加上由全部的基本等值式和基本蕴含式构成的推理定律，构成了命题推理的全部基础。据此，就可以构造一个完整的命题演算推理系统，即：所有命题逻辑的定理都可以通过推理规则从推理定律中推演或证明出来。

第154页：命题逻辑的推理

推理的基本概念逻辑蕴含式命题推演系统形式证明及其应用

第155页：形式证明

形式证明

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第156页：直接证法示例

直接证法示例

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第157页：直接证法示例

直接证法示例

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第158页：直接证法示例

直接证法示例

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第159页：直接证法示例

直接证法示例

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第160页：直接证法示例

直接证法示例

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第161页：直接证法示例

直接证法示例

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第162页：直接证法示例

直接证法示例

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第163页：不相容的或矛盾的定义

间接证法

不相容的或矛盾

假设G1,G2,…,Gn是一组命题公式，P1,P2,…,Pn是出现在G1,G2,…,Gn中的一切命题变元，若有解释I使G1∧G2∧…∧Gn取值为“真”，则称公式G1,G2,…,Gn是一致的或相容的，否则称之为不相容的或矛盾的。

第164页：间接证法反正法

：将结论的否定加入到前提集合中构成一组新的前提，然后证明这组新的前提集合是不相容的，即蕴涵一个矛盾式：G1,G2,…,Gn,┐HR∧┐R

第165页：命题逻辑的推理的定理与性质

间接证法

定理：如果命题公式集合{G1,G2,…,Gn}是相容的，那么从前提集合{G1,G2,…,Gn}出发可以逻辑推出公式H的充要条件是从前提集合{G1,G2,…,Gn，┐H}出发，可以逻辑地推出一个矛盾（永假）式来。

第166页：间接证法示例

间接证法示例

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第167页：间接证法示例

间接证法示例

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第168页：间接证法示例

间接证法示例

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第169页：间接证法示例

间接证法示例

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第170页：几种证法的关系

几种证法的关系

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第171页：命题推理的应用

命题推理的应用

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第172页：命题推理的应用

命题推理的应用

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第173页：命题推理的应用

命题推理的应用

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第174页：命题推理的应用

命题推理的应用

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第175页：命题推理的应用

命题推理的应用

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第176页：命题推理的应用

命题推理的应用

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第177页：命题推理的应用

命题推理的应用

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第178页：命题逻辑（下） 本章小结

命题逻辑（下）小结

本节内容到此结束，谢谢大家！