03 第3章 稳态导热的计算与分析.pptx

第1页：第3章稳态导热的计算与分析

第3章稳态导热的计算与分析

第2页：第3章稳态导热的计算与分析

作业

3-3，3-8，3-11，3-14，3-18，3-22

第3页：导热的理论基础

• 导热的理论基础
• 导热的基本定律
• 导热微分方程
• 工程中的许多问题，直接利用三维、非稳态的导热微分方程进行求解是没有必要的
• 可根据具体问题的特点进行简化

第4页：分析工程问题时

稳态的特征

物体内各位置处的温度不随时间变化，可以去掉方程中的非稳态项

• 分析工程问题时，需要作出适当的简化和假设
• 稳态导热是其中最重要也是最常用的简化之一
• 处于正常运行工况时的物体，可以看作处于稳定状态

第5页：通过平壁的一维稳态导热

3.1 通过平壁的一维稳态导热

分析目的

得到物体内的温度分布及热流量的计算公式

分析方法

理论分析方法3.1通过平壁的一维稳态导热

• 根据导热物体的几何特点和物理过程从空间上做进一步简化
• 由于数学上的困难，本节主要阐述工程上常见的典型几何形状物体——一维物体内的稳态导热

第6页：平壁一维稳态导热的数学模型

3.1.1 平壁一维稳态导热的数学模型

建筑物房间的采暖设计

墙壁、玻璃

• 工程背景
• 冷库的保冷设计：墙壁
• 油罐的保温设计：罐壁

第7页：平壁一维稳态导热物理模型

• 物理模型
• 墙壁、玻璃、罐壁等物体具有相似的几何特征
• 某一方向的尺寸远远小于其他两个方向的尺寸将高度和宽度远远大于厚度(8～10倍)的物体称为大平壁，简称平壁。基本尺寸有平壁厚度δ和面积A

第8页：平壁一维稳态导热简化的基础

• 平壁一维稳态导热简化的基础
• 平壁的几何特征
• 平壁的传热特点
• 平壁两侧换热均匀（沿高度、宽度方向），忽略边缘效应
• 温度变化发生在平壁的厚度方向上

第9页：平壁一维稳态导热数学模型

• 数学模型
• 平壁一维稳态导热的控制方程可由导热微分方程简化而来，即这是平壁一维稳态导热最一般的方程，可以根据具体问题的物理条件做进一步的简化

第10页：二阶常微分方程

研究平壁导热的目的有两个

（1）确定平壁内的温度分布；（2）计算通过平壁的热流量

• 二阶常微分方程，有两个积分常数，需要两个边界条件
• 边界条件分别在平壁的两侧给出，两侧的边界条件可以分别是第一类、第二类或第三类边界条件中的任一个

第11页：第一类边界条件下的常物性

3.1.2 第一类边界条件下的常物性

• 厚度为δ、侧面积为A的单层平壁
• 没有内热源，导热系数λ为常数
• 两侧表面分别维持均匀稳定的温度tw1、tw2，且tw1>tw23.1.2第一类边界条件下的常物性、无内热源的平壁

第12页：导热问题的数学描述为边界条件

导热问题的数学描述为边界条件为

积分两次，得到通解为

第13页：得到平壁内的温度分布

得到平壁内的温度分布为

根据傅立叶定律，可求得通过平壁的热流量和热流密度

第14页：常物性、无内热源平壁稳态导热的计算公式

• 常物性、无内热源平壁稳态导热的计算公式：稳态法测定物质导热系数的基本依据常物性、无内热源的条件下，平壁一维稳态导热的热流量或热流密度为常数由此可以采用另一种方法得到平壁内的温度分布

第15页：对傅里叶定律分离变量积分

对傅里叶定律分离变量积分

从0~δ积分，可以得到热流密度表达式从0~x积分，可以得到温度分布的表达式

第16页：单层平壁稳态导热的等效热阻网络图

• 单层平壁稳态导热的等效热阻网络图
• 常物性、无内热源的单层平壁一维稳态导热过程类似于渗流力学中单相流体的平面平行流的渗流过程

第17页：第一类边界条件下的变物性

3.1.3 第一类边界条件下的变物性

• 、无内热源的平壁

第18页：分离变量积分并利用边界条件

• 分离变量积分并利用边界条件，得到平壁内的温度分布：式中：为平壁平均温度下的导热系数

第19页：第一类边界条件下的变物性

• 这表明，当材料的导热系数随温度呈线性规律变化时，平壁内的温度分布是二次曲线方程，该二次曲线的凹凸性主要由温度系数b的正负决定。

第20页：利用傅里叶定律分析表明

利用傅里叶定律分析表明

——b>0时，温度分布曲线的开口向下；——b<0时曲线开口向上

第21页：无源时

• 根据傅立叶定律，通过平壁的热流密度为
• 无源时，即使导热系数随温度变化，通过平壁的热流密度仍然为常数
• 和常物性时的情形相比，热流密度公式形式不变，但需要用平壁算术平均温度下的导热系数λm代替

第22页：由于热流密度为常数

• 由于热流密度为常数，仍可采用对傅立叶定律分离变量积分的分析方法得到平壁内的温度分布

第23页：第三类边界条件下的常物性

3.1.4 第三类边界条件下的常物性

• 、无内热源的平壁
• 当平壁左、右两侧面分别与温度为tf1和tf2（tf1>tf2）的流体进行对流传热时，平壁两侧均处于第三类边界条件
• 设两侧的表面传热系数分别维持为h1和h2，且沿各自壁面保持不变

第24页：

第25页：第三类边界条件下平壁稳态导热的数学模型

• 第三类边界条件下平壁稳态导热的数学模型为：边界条件分别为：对微分方程积分两次，并利用边界条件确定积分常数，可以得到此时平壁内的温度分布为

第26页：尽管温度分布表达式较为繁琐

• 尽管温度分布表达式较为繁琐，但平壁内的温度分布仍为线性的利用傅立叶定律得到通过平壁的热流密度为

第27页：包括三个热量传递环节

包括三个热量传递环节

两侧的对流传热过程和平壁的导热过程

• 实际上，当无内热源的平壁两侧均为第三类边界条件时，整体而言是典型的传热过程
• 通过各环节的热流量或热流密度完全相等，三个过程的热阻显然是串联关系，利用热阻串联原理可以直接写出热流密度的表达式

第28页：

第29页：由热流密度相等可求出两侧壁温tw

• 由热流密度相等可求出两侧壁温tw1和tw2

第30页：常物性、无内热源的多层平壁

3.1.5 常物性、无内热源的多层平壁

• 工程中经常会遇到由不同材料构成的多层平壁
• 采用耐火砖、保温层和普通砖层叠而成的锅炉炉墙
• 为方便起见，以由三层平壁为例进行分析3.1.5常物性、无内热源的多层平壁

第31页：对多层平壁

• 对多层平壁，更关心的是通过平壁的热流密度
• 三层平壁的稳态导热
• 热量由高温侧向低温侧依次以导热方式通过各平壁，共有三个导热环节，且各环节之间属于串联关系

第32页：根据等效热阻网络图

• 根据等效热阻网络图，利用串联热阻叠加原则直接写出此时的热流密度

第33页：由热流密度相等的原

• 由热流密度相等的原则可依次求出各层间分界面上的温度，即

第34页：对由n层平壁组成的多层平壁

• 对由n层平壁组成的多层平壁，热流密度的计算公式为

第35页：对两侧处于第三类边界条件下的多层平壁

• 对两侧处于第三类边界条件下的多层平壁，利用热阻分析法可以得到热流密度的计算公式为

第36页：常物性、无内热源的多层平壁的稳态导热

• 常物性、无内热源的多层平壁的稳态导热
• 温度分布曲线为折线
• 各层内直线斜率取决于材料的导热系数值
• 每层温降与该层的热阻有关，热阻越大，温降也就越大

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第47页：例题3-4

例题3-4

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第55页：圆筒壁一维稳态导热的数学模型

3.2.1 圆筒壁一维稳态导热的数学模型

• 工程背景
• 由于制造和加工上的便利，圆形通道在工程中的应用更为广泛，如发电厂中的蒸汽管道、化工厂的各种液、气输送管道、供暖热水管道
• 石油工程中的输油管道、注水管道、输气管线、油管、套管等
• 当圆形通道内、外存在温差时，热量以导热的方式通过管壁3.2通过圆筒壁和球壁的导热

第56页：圆筒壁一维稳态导热的物理模型

实际上

管壁内的导热是三维的，温度将沿径向、轴向和周向变化

物理上

热量传递一般是在管内、外流体之间管内进行的，热量传递沿半径方向

• 物理模型

第57页：圆筒壁一维稳态导热的物理模型

这样的圆形通道

长圆筒壁，简称圆筒壁

• 物理模型
• 可将发生在圆形通道管壁内的导热简化成一维，温度变化仅发生在半径方向上
• 只要管长超过圆筒壁外径的5倍，就可认为是长圆筒壁

第58页：圆筒壁一维稳态导热的数学模型

• 数学模型
• 采用柱坐标系分析圆筒壁内的导热问题更方便。对内、外半径为r1、r2、长为l的长圆筒壁

第59页：内表面

内表面

三类边界条件之一

外表面

三类边界条件之一

• 需要在圆筒壁的内、外两个壁面处给出边界条件，可以分别是第一类、第二类或第三类边界条件

第60页：可根据具体问题的特点进一步简化

• 可根据具体问题的特点进一步简化
• 分析圆筒壁的目的是计算通过它的导热量
• 在圆筒壁中遇到的问题类型、分析方法与过程与平壁完全相似
• 这里仅给出几种简单情况下的结果

第61页：第一类边界条件下常物性

3.2.2 第一类边界条件下常物性

• 、无内热源的圆筒壁常物性、无内热源圆筒壁的导热微分方程可简化为：若圆筒壁内、外壁面分别维持均匀的温度tw1和tw2，且tw1>tw2，则其边界条件为

第62页：对方程积分两次，可得通解

对方程积分两次，可得通解为

积分常数c1和c2由边界条件确定，圆筒壁的温度分布为

第63页：与平壁内的线性温度分布不同

• 与平壁内的线性温度分布不同，圆筒壁内的温度沿径向按对数规律变化利用傅立叶定律可以求得通过圆筒壁的热流量

第64页：圆筒壁导热的温差—热阻形式

• 写成温差—热阻的形式为为长为l的圆筒壁的导热热阻必须记住！！

第65页：通过圆筒壁内任意位置处的热流密度

• 通过圆筒壁内任意位置处的热流密度为通过圆筒壁的热流量：可以发现：在稳态无源的条件下，通过圆筒壁的热流量是常数，但因圆筒壁内任意位置的导热面积A为不同，热流密度却不再是常数，而是随着半径的增加而减小

第66页：工程上为了计算方便

• 工程上为了计算方便，通常按单位管长来计算通过圆筒壁的热流量，记作ql，单位是W/m为单位管长圆筒壁的导热热阻

第67页：和分析平壁稳态导热一样

• 和分析平壁稳态导热一样，在无内热源的条件下，通过对傅立叶定律分离变量积分，也能够得到和前面完全相同的结果
• 通过圆筒壁一维稳态的导热过程类似于渗流力学中单相流体平面径向稳定渗流过程

第68页：第一类边界条件下变物性

3.2.3 第一类边界条件下变物性

• 、无内热源的圆筒壁通过圆筒壁的热流量为：λm为圆筒壁内、外壁面平均温度下的导热系数

第69页：通过多层圆筒壁的导热

3.2.5 通过多层圆筒壁的导热

这时的圆筒壁

多层圆筒壁

• 工程中的许多管道需要敷设保温层或隔热层以降低管线的热损失
• 锅炉管、注水管线运行一段时间后，会沿管壁在管内形成水垢层
• 采油或输油管线会沿管壁形成蜡沉积层等

第70页：以三层圆筒壁为例

• 以三层圆筒壁为例
• 从内向外各层的半径分别为r1、r2、r3和r4
• 导热系数λ1、λ2和λ3为常数
• 最内层和最外层表面维持均匀温度tw1和tw4（tw1>tw4），各交界面温度分别为tw2和tw3（通常未知）

第71页：根据热阻串联的原理很容易

• 根据热阻串联的原理很容易得到

第72页：推广到n层圆筒壁

• 推广到n层圆筒壁，有根据单位长度的热流量相等的原则可以很容易地求出各交界面温度

第73页：

第74页：

第75页：

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第78页：

第79页：通过肋片的稳态导热

3.3 通过肋片的稳态导热

增大h

强化传热的主要方法

增加A

强化传热的常用方法3.3通过肋片的稳态导热对流传热是工程中最常见的换热情形

• 强化对流传热的途径
• 增大
• t：但受工艺和经济的限制

第80页：延伸体与肋片的定义

• 在表面上敷设延伸体的方式
• 从某个基体表面延伸出来的固体壁面称为延伸体

第81页：通过肋片的稳态导热

目的

强化传热，提高传热量

方法

提高换热面积，达到强化换热的目的

延伸体，又

肋片、扩展表面、延伸表面、肋、翅片

• 如何实现？采用在换热面上敷设延伸体（肋片）的方法
• 什么是肋片？从某个基体表面延伸出来的固体表面

第82页：生活和工程中采用肋片的例子

• 生活和工程中采用肋片的例子:
• 暖气片
• 汽车的散热水箱
• 摩托车发动机顶盖的散热片
• 电机的外壳
• 计算机CPU上的散热结构
• 用带套管的温度计测量流体温度的套管等
• 肋片的形式有多种多样的

第83页：

第84页：

第85页：

第86页：微细板翅结构

微细板翅结构

第87页：

第88页：选用何种形式的肋片取决于使用空间

• 选用何种形式的肋片取决于使用空间、重量、制造和费用等多种因素
• 肋片可由管子整体轧制或缠绕、嵌套金属薄片通过焊接、浸镀或胀管等加工方法制成
• 研究肋片的目的有两个
• 确定肋片内的温度分布
• 通过肋片的散热量，为肋片的设计、分析提供理论依据

第89页：3.3.1 物理模型

3.3.1 物理模型

几何参数

肋高L、肋宽b和肋厚δ

物理参数

导热系数为λ

• 等截面直肋

第90页：与环境间作用的参数

肋片与基体表面相交处（

肋基或肋根）的温度为t0

• 与环境间作用的参数
• 环境流体温度为t∞
• 肋片表面与周围流体间的表面传热系数为h

第91页：与环境间作用的参数物理模型

• 简化假设
• 肋片处于稳态，肋片内无内热源
• 肋片的几何参数、热物性参数、肋基温度和流体温度以及肋片表面与流体间的表面传热系数均为常数

第92页：忽略沿肋厚的温度变化

• 忽略沿肋厚的温度变化
• 肋厚度和肋高、肋宽相比很小，肋片通常是由金属材料制成，导热系数较大

第93页：忽略温度沿宽度方向的变化

• 忽略温度沿宽度方向的变化
• 肋基的温度均匀，肋表面沿宽度方向的换热条件相同而且均匀

第94页：忽略肋端散热

• 忽略肋端散热
• 肋端面积很小

第95页：忽略肋端散热物理模型

物理模型

一维肋片的稳态导热

• 通过上述假设，将肋片内的三维导热简化为沿高度方向的一维稳态导热——肋片温度变化沿着肋的高度方向

第96页：3.3.2 数学模型

3.3.2 数学模型

• 以肋基为坐标原点，沿肋高坐标轴正方向
• 在距肋基x处取长为dx的微元肋片段

第97页：根据能量守恒

• 根据能量守恒，有Φx为x处以导热方式进入微元体的热量；Φx＋dx为x＋dx处以导热方式离开微元体的热量；Φc为由微元体侧面以对流传热方式离开微元体的热量

第98页：根据能量守恒数学模型

• 式中，A为肋片的导热截面面积；P为导热截面的周长

第99页：将三项能量代入到能量守恒关系式中

• 将三项能量代入到能量守恒关系式中，整理得到：定解条件在肋基x=0处：在肋端x=L处

第100页：3.3.3 求解与分析

3.3.3 求解与分析

• 关于温度的二阶非齐次常微分方程引入过余温度θ=t-t∞：为了将方程齐次化

第101页：过余温度θ=t-t∞

过余温度θ=t-t∞

第102页：齐次化后的数学模型

齐次化后的数学模型

二阶线性齐次常微分方程通解：代入边界条件

第103页：肋片内的温度分布

肋片内的温度分布为

对散热肋片而言，从肋基到肋端的温度是按双曲余弦函数的规律下降的，而且肋片内的温度梯度也是随肋高的增加而减小

第104页：肋片内的温度分布

肋片内的温度分布为

肋基附近温度变化剧烈，肋端附近温度变化平缓，这就是人的耳朵、手容易冻伤的原因原因：肋片表面的对流传热损失使肋片内的导热热流沿肋高而减小的结果

第105页：

第106页：令x=L就可以得到肋端的温度

令x=L就可以得到肋端的温度

第107页：肋片的散热量

肋片的散热量

（1）直接计算肋片表面的对流散热量。由于肋片温度沿肋高方向不断变化，沿肋高方向积分才能计算出总散热量

第108页：肋片散热量的计算

• 根据能量守恒关系和傅里叶定律计算散热量稳态时通过肋片表面散失的热量全部来自肋基，由傅里叶定律，有

第109页：关于肋片导热的进一步说明

3.3.4 关于肋片导热的进一步说明

• 忽略肋端散热只是一种理想的情况
• 严格地讲，肋端表面与流体之间同样存在着对流传热
• 以第三类边界条件代替前面的肋端绝热的边界条件

第110页：考虑肋端散热的数学模型

考虑肋端散热的数学模型

定解条件：在肋基x=0处在肋端x=L处采用相同的求解方法求解之

第111页：肋片内的温度分布和散热量

肋片内的温度分布和散热量

第112页：考虑肋端散热的情形更接近于实际

计算表明

将肋端简化为绝热的情形在大多数应用中都能得到足够精度的结果

• 考虑肋端散热的情形更接近于实际，但温度分布和散热量的表达式过于繁琐，实际应用并不多
• 对于需要考虑肋端绝热的情形，可以采用一种巧妙的简化处理方法代替上述复杂的结果

第113页：关于肋片导热的进一步说明

目的

既考虑肋端散热、又想采用绝热时的计算公式

基本思想

将肋片端部的散热折算到肋片的侧面做法：用假想的肋片高度Lc代替实际的肋片高度L:Lc=L+ΔL其中，ΔL是将肋端散热折算到侧面后增加的长度这样得到的结果和精确解几乎相同

第114页：对厚为δ的等截面直肋

• 对厚为δ的等截面直肋，假想肋片高度为：肋片散热量

第115页：关于肋片导热的进一步说明

近似分析

忽略了肋片温度沿厚度方向的变化

• 实际中的肋片总是具有一定的厚度，在厚度方向上总是存在着一定的温降
• 分析表明，对大多数实际应用的肋片，只要满足
• 这种近似引起的误差不会超过1％，都可以看作是满足一维条件

第116页：对短而厚的肋片

• 需要采用数值方法计算的情形
• 对短而厚的肋片，必须考虑温度沿肋片厚度方向的变化，肋片内的温度场是二维的，前面计算公式不再适用
• 表面传热系数h在整个肋片表面是变化的，很难保证沿肋高方向上h为常数

第117页：3.3.5 肋片效率

3.3.5 肋片效率

• 采用肋片的目的主要是为了通过增加换热面积而增加散热量，工程设计和计算最关心的是肋的散热量
• 对像等截面直肋等的简单肋片，可以采用数学分析的方法得到肋片内温度分布及散热量的解析表达式
• 对于工程中常用的形状复杂的肋片，采用数学分析的方法是困难的
• 引入肋效率（fin efficiency）

第118页：肋效率定义

肋效率定义为

式中：肋片的理想散热量指肋的导热热阻趋于零时的理想散热量对于等截面直肋，肋片效率可表示为

第119页：肋效率表征了肋片散热的有效程度

• 肋效率表征了肋片散热的有效程度
• 根据肋效率，可以很容易地求出肋的实际散热量
• 对于工程中常用的各种形状肋片，如等厚环肋、三角形直肋等，都已经得到了肋片效率曲线
• 应用时，通常是根据肋片型式，查相关手册得到肋片效率，再计算出肋片的实际散热量

第120页：

第121页：

第122页：套管内的热量传递

• 套管内的热量传递
• 受散热影响，容器器壁或管壁(也就是套管根部、肋基)温度t0低于流体温度tf
• 忽略套管内表面与流体间传热的影响，受高温流体的加热作用，套管顶端的温度tL必定大于套管根部的温度t0
• 套管内部存在着由端部到根部的导热

第123页：高温流体以对流传热的方式将热量传给套管

• 高温流体以对流传热的方式将热量传给套管，然后再由导热导向套管的根部
• 套管的热量传递由两个环节组成
• 高温流体与套管表面的对流传热
• 套管内部的导热过程

第124页：肋片效率

• 简化分析
• 套管管壁很薄，忽略套管内温度沿壁厚方向(即径向)的变化
• 高温流体与套管表面均匀接触并换热，忽略温度沿周向的变化
• 这样，套管内的温度只沿套管轴线变化

第125页：肋片效率

• 简化分析
• 当温度计读数不再发生变化时，可认为过程达到稳态
• 将套管内的导热过程简化为沿套管长度方向的一维稳态导热问题

第126页：套管温度计的相关参数

• 套管温度计的相关参数
• 由容器器壁或管壁插入流体中的套管长为L
• 套管外径为d，壁厚为δ
• 被测高温流体温度为tf，流体与套管表面的表面传热系数为h

第127页：

第128页：

第129页：

第130页：

第131页：

第132页：

第133页：

第134页：肋片效率

作业

3-3，3-8，3-11，3-14，3-18，3-22