04 第4章 非稳态导热的计算与分析.pptx

第1页：第4章非稳态导热的计算与分析

第4章非稳态导热的计算

• 与分析

第2页：稳态导热是一种理想化的情况

• 稳态导热是一种理想化的情况
• 受环境温度变化的影响，生活和工程中真正意义上的稳态导热是不存在的
• 只是对工程中的某些问题，忽略温度随时间变化所造成的影响、误差不大，而将其简化为稳态导热

第3页：生活和工程中还存在着大量

• 生活和工程中还存在着大量的不能简化为稳态导热的现象和问题，其中物体内的温度明显随时间而变化
• 冷冻食品的解冻过程
• 烘烤食品（花生米、蛋糕等点心）
• 热处理工艺中金属在高温火炉内的加热以及加热后在水或空气中的冷却过程等
• 焖井过程热量在地层内的扩散过程

第4页：本章着重讨论非稳态导热问题

• 本章着重讨论非稳态导热问题
• 非稳态导热的基本概念
• 对称加热的无限大平壁的非稳态导热过程
• 最简单的非稳态导热问题－集总热容系统
• 井筒周围地层的非稳态导热

第5页：4.1 概述

4.1 概述

• 非稳态导热的分类
• 周期性的非稳态导热（periodic unsteady heatconduction）：由于边界条件（或内热源）随时间呈周期性变化，使物体内的温度场也随时间按周期性规律变化，这种状况通常称为准稳态4.1概述

第6页：非周期性非稳态导热

• 非周期性非稳态导热，也称瞬态导热（transientheat conduction）：物体内任意位置的温度随时间持续升高（加热过程）或连续下降（冷却过程）
• 边界条件或内热源不变时，过程将最终逐渐趋于某个新的稳定温度场

第7页：研究目

确定非稳态过程中的温度场

在此基础上确定物体中某个部位到达某个预定温度所需经历的时间，或者在预定时间内可以达到的温度，或者物体的温度对时间的变化速率

确定非稳态过程的热流量或热量

确定物体在某一瞬间每一位置处的热流密度、从某一时刻起经过一段时间后的总传热量

• 研究目的

第8页：研究目概述

关键

确定温度场t=f（x,y,z,t）

• 非稳态导热问题的温度场不仅与空间坐标有关，而且还随时间τ变化，使物体内任位置处的热流量和热流密度也随时间变化
• 非稳态导热问题的分析和研究过程更复杂

第9页：研究方法与过程

研究方法与过程

与稳态导热的完全相同

• 简化假设给出物理模型
• 给出数学模型（方程＋定解条件）
• 采用适当的数学方法求解
• 分析讨论

第10页：对流边界条件下的一维非稳态导热

4.2 对流边界条件下的一维非稳态导热

控制方程

偏微分方程，数学求解难度很大

• t=f（x,y,z,t）

第11页：对几何形状简单、边界条件不太复杂的情形

• 对几何形状简单、边界条件不太复杂的情形，仍然可以通过数学分析的方法获得分析解
• 这里以（无限大）平壁被流体对称加热的非稳态导热过程为例，说明非稳态导热的基本特征、分析方法和过程
• 定性地、定量两个方面

第12页：问题描述

• 问题描述
• 厚为2δ、无内热源的常物性平壁
• 初始时刻温度分布均匀，为t0
• 某时刻突然投入到温度为t∞的高温流体中对称加热，表面传热系数均为h，且沿壁面均匀、恒定
• 试分析平壁内的温度变化过程物理模型

第13页：对流边界条件下的一维非稳

一维非稳态导热问题

平壁内的温度只沿厚度方向变化

• 简化分析
• 平壁的长度和宽度远远大于其厚度
• 平壁两个侧面上的换热条件分别均匀一致，可忽略边缘散热效应

第14页：平壁内非稳态过程的基本特征

4.2.1 平壁内非稳态过程的基本特征

原因是

由非稳态过程的特点造成的4.2.1平壁内非稳态过程的基本特征

• 从平壁投入高温流体中的那一刻（即τ=0）开始，平壁内不同位置温度变化曲线在不同时刻是不同的

第15页：非稳态过程的特点

吸收的结果

不但使进、出平壁的热量不等，而且导致自身温度升高

传导的结果

热量能够影响到的区域，平壁温度都将发生变化

• 非稳态过程的特点（以厚为dx的微元平壁为例）
• 进入微元平壁的热量一边被吸收（蓄热），一边被传导

第16页：平壁内非稳态过程的基本特

• 首先，受流体加热的影响，壁面两侧的温度立即发生变化，由初始温度t0跃升至tw
• 进入平壁的热量一边被吸收使平壁温度升高，一边被传导使热量的影响范围扩大
• 热量没有影响到的地方温度维持初始值不变，壁的中心区域此时尚未“感受”到两侧壁面突然受热所带来的影响
• 随着时间的延续，壁面加热的波及区域将继续向平壁中心推进

第17页：

第18页：平壁两侧扰动的传递

• 当温度扰动刚刚传到平壁对称面的那个时刻，称为穿透时间，记作τc
• 此时整个平壁都“感受”到了平壁两侧突然受到流体加热所带来的影响

第19页：τc时刻后

• τc时刻后，平壁内的温度随非稳态过程的延续继续升高，但温度升高幅度越来越小
• 经过无限长时间后，平壁内的温度又趋于均匀一致，并等于加热流体温度

第20页：整个瞬态导热过程可以分为两个阶段

• 整个瞬态导热过程可以分为两个阶段
• 初始阶段（initial regime）：也称为非正规状况阶段，指在穿透时刻之前阶段，此时平壁内的温度分布主要受初始温度分布t0的影响

第21页：整个瞬态导热过程可以分为两个阶段

• 整个瞬态导热过程可以分为两个阶段
• 正规状况阶段（regular regime）：穿透时刻之后，非稳态过程进行到一定的程度，平壁初始温度分布的影响逐渐消失，此后不同时刻的温度分布主要受热边界条件的影响。这个阶段的非稳态导热称为正规状况阶段
• 相对于初始阶段，正规状况阶段温度分布的计算要简单得多

第22页：通过两侧面进入平壁的热流量

通过两侧面进入平壁的热流量

——当平壁刚投入流体中时，由于流体和壁面间的传热温差最大，热流量Φ立即达到最大值

第23页：随着壁面温度的升高而减小

• 随着壁面温度的升高而减小，最终趋于零
• 从初始时刻到任意时刻，热流量曲线下的面积就是这段时间内流体传给平壁的总热量Q。这些热量全部被平壁吸收，用于增加平壁的热力学能

第24页：平壁内温度分布的分析解

4.2.2 平壁内温度分布的分析解

• 为了定量计算平壁内的温度场，需要建立描述平壁内温度分布的数学模型
• 由于平壁两侧受流体对称加热，中心面为对称面4.2.2平壁内温度分布的分析解/数学模型

第25页：将坐标原点置于平壁中心面

• 由于温度场对称，只需研究厚为δ的半块平壁即可
• 将坐标原点置于平壁中心面，建立如图所示的坐标系

第26页：按照物理模型

按照物理模型的假设

常物性、无内热源、一维平壁

第27页：定解条件

几何条件

平壁、一维

物理条件

常物性、无内热源

• 定解条件
• 初始条件：必须的
• 边界条件

第28页：完整的数学模型

完整的数学模型

初始条件：边界条件：为使边界条件齐次化，引入过余温度θ=t-t∞控制方程

第29页：引入过余温度θ=t-t∞后的数学模型

• 引入过余温度θ=t-t∞后的数学模型：求解是数学问题，方法很多。典型的分离变量法、Laplace变换方法等

第30页：分析解

分析解为

分析解式中μn称为特征值，是以下超越方程的根：无穷级数之和

第31页：表面上看

分析发现

平壁内的过余温度比只与三个量纲一的参数（习惯上称为无量纲量或无量纲数）有关

• 表面上看，解的形式复杂

第32页：令式中

令式中，Fo

傅里叶数，Bi称为比渥数平壁内的温度分布和超越方程又可写为

第33页：计算表明

• 由于式中含有无穷级数，计算工作量很大
• 计算表明，式中的指数项衰减很快
• 当Fo>0.2时，取无穷级数的首项而舍弃其他项，所得结果的误差小于1％

第34页：计算正规状况阶段的温度

• 计算正规状况阶段的温度需要根据Bi数确定相应的特征值，使用时不甚方便
• 工程上常采用两种简化的计算方法，由海斯勒(Heisler)提出的诺模图(nomogram)方法和由Campo提出的近似拟合公式
• 关于海斯勒图的使用方法以及拟合公式的具体表达式可参阅文献

第35页：对双面对称加热的平壁而言

• 根据温度分布，可以计算出一段时间内平壁在非稳态过程中所传递的热量
• 对双面对称加热的平壁而言，平壁从流体中吸收的热量完全被平壁用来升高其自身温度
• 显然，从平壁放入流体的时刻起到平壁与流体处于热平衡状态，平壁所吸收热量为吸热量

第36页：这是该非稳态导热过程所吸收的总热量

• 这是该非稳态导热过程所吸收的总热量从初始时刻起到某一时刻τ的这段时间内，平壁所吸收的热量为

第37页：Fo数和Bi数的意义及对非稳态过程的影响

4.2.3 Fo数和Bi数的意义及对非稳态过程的影响

• 平壁内温度分布表达式中含有Fo数和Bi数，这说明非稳态导热的物理过程和特征要受到这两个量纲一量的影响
• 传热学中，通常将表示某一物理现象或物理过程特征的量纲一的量，称为特征数或准则数4.2.3 Fo数和Bi数的意义及对非稳态过程的影响

第38页：出现在特征数中的几何尺度称为特征长度

出现在特征数中的几何尺度

特征长度，用符号l表示，characteristic length

• 对两边对称加热的厚为2δ的平壁非稳态导热问题，用平壁的半厚度δ作为其特征长度
• 掌握特征数的定义及其物理意义是传热学学习的重要内容

第39页：将Fo数的定义式改写

将Fo数的定义式改写为

式中，τ和δ2/a都具有时间的量纲——分子τ表示：边界上发生热扰动时刻算起到计算时刻为止的时间——分母δ2/a表示：热扰动经过一定厚度的固体层传播到面积δ2上所需要的时间

第40页：Fo数

• Fo数可以看成是反映非稳态进程的无量纲时间。Fo数越大，边界上的热扰动就能更深入地传播到物体内部，非稳态过程进行得越充分

第41页：由Bi数的定义式

由Bi数的定义式

Bi数的物理意义：物体内部的导热热阻与表面的对流热阻之比，综合反映了物体内部的导热热阻和表面的对流热阻对物体内部的温度分布的影响分子表示热量通过半个平壁时单位面积的导热热阻分母则是平壁表面与流体间单位面积的对流热阻

第42页：从平壁放入流体中的那一刻起

• 当Bi→∞时，物体内部的导热热阻δ/λ远大于表面的对流热阻1/h，可以忽略表面的对流热阻
• 从平壁放入流体中的那一刻起，壁面就具有和流体相同的温度

第43页：随时间的推移

• 随时间的推移，平壁内各点的温度逐渐升高而最终趋于t∞
• 这时第三类边界条件可转化为第一类边界条件

第44页：物体内部各点在同一时刻的温度趋于一致

• 当Bi→0时，即物体内部的导热热阻δ/λ远小于表面的对流热阻1/h，可以忽略物体内部的导热热阻
• 物体内部各点在同一时刻的温度趋于一致，温度场与空间位置无关，只是时间的单值函数

第45页：其温度分布如图所示

这样的物体

集总热容系统

• 其温度分布如图所示

第46页：集总参数分析法

4.3 集总参数分析法

• 当Bi→0时，物体内部的导热热阻远小于壁面与流体间对流传热热阻
• 此时任意时刻物体内部的温度趋于一致，可以忽略温度沿空间的变化，认为物体内任意位置的温度在同一时刻均处于同一温度下，好像该物体原来连续的质量与热容量都汇总到一点上，只有一个温度值那样4.3集总参数分析法

第47页：集总参数分析法的简化思想

可以忽略温度沿空间变化的物体就

集总热容系统

特征

忽略物体温度沿空间的变化

• 忽略物体内部导热热阻的简化分析方法称为集总参数法（lumped parameter method）
• 工程背景
• 金属工件热处理工艺中的加热或冷却过程
• 热电偶测温时接点的加热和冷却过程

第48页：物理和数学模型

4.3.1 物理和数学模型

• 设有任意形状固体
• 体积为V，表面积为A
• 物体的密度ρ、导热系数λ和比热容c均为常数
• 初始时刻具有均匀的温度t0
• 在τ＝0时突然将其置于温度为t∞的流体中（不妨设t0>t∞），流体与物体表面间的表面传热系数为h，且保持不变
• 试分析物体的温度随时间的变化规律4.3.1物理和数学模型

第49页：只要Bi较小的条件

• 当固体的导热系数非常大，或者物体的几何尺寸非常小，或者流体与固体的表面传热系数非常小，就可以忽略固体内部的导热热阻
• 只要Bi较小的条件，就可将物体看成是集总热容系统
• 集总热容系统便是这类问题的物理模型

第50页：基于导热微分方程的方法

• 可以采用两种方法得到集总热容系统的控制方程
• 基于导热微分方程的方法。忽略了温度沿空间的变化后，可以舍去导热微分方程中的扩散项，将物体与环境间的换热量视为虚拟热源后，由导热微分方程就可以得到集总热容系统的控制方程
• 基于能量守恒的方法。物理概念清楚、容易理解

第51页：无内热源时

• 由于物体整体只有一个温度，可将整个物体作为控制容积
• 无内热源时，物体在冷却过程中所应满足的能量守恒关系为
• 物体表面以对流传热方式散失的热量全部来自于其内能的减少

第52页：集总参数系统的换热条件

• 置于流体中的系统只能以对流传热的方式向外界损失热量，故物体内能的增加速率为

第53页：或初始条件

或初始条件为

非齐次方程集总热容系统的数学模型

第54页：4.3.2 求解与分析

4.3.2 求解与分析

• 分离变量，积分，有

第55页：完成积分

• 完成积分，得到这就是物体内的温度随时间的变化规律特点：在过程的开始阶段，温度变化很快；随时间的延续，温度变化幅度逐渐减小，直到最后的稳定状态表明：物体中的过余温度随时间按负指数函数规律变化

第56页：集总热容系统中物体温度的变化规律

集总热容系统中物体温度的变化规律

第57页：具有时间的量纲特别地

具有时间的量纲特别地，当时将时间

时间常数(time constant)，记为τc

第58页：它表明

• 它表明，当τ=τc时，物体的过余温度已经下降到初始过余温度的36.8℅

第59页：此时该非稳态导热过程已经进行到全程

• 此时该非稳态导热过程已经进行到全程（即最大可能的温度变化幅度）的63.2％，离最终的平衡状态还差36.8％的进程

第60页：通过时间常数

• 通过时间常数可以反映出物体对环境温度的瞬间变化做出反应的快慢程度τc越小，表明系统对温度变化的反应越快，因此通常也将其称为温度响应（temperature response）

第61页：通过时间常数求解与分析

注意

热电偶的时间常数不仅与自身的几何参数(V/A)和物性参数(ρc)有关，还取决于热电偶与外界的换热条件h时间常数对测量温度的热电偶来说非常重要，反应了热电偶对流体温度变化响应快慢的指标时间常数越小，热电偶的反应越灵敏，越能迅速反映出流体温度的变化

第62页：对式中的指数项作如下变化式中

• 对式中的指数项作如下变化式中，lc为特征长度，lc=V/A；Bi和Fo分别为毕渥数和傅里叶数，其物理意义前已述及。

第63页：集总热容系统温度的无量纲表达

• 集总热容系统的温度随时间变化的无量纲化表示方法

第64页：由温度分布

• 由温度分布，可以求出任意时刻物体与流体间的（瞬时）热流量：从初始时刻到某一时刻τ的总换热量为上述结果是针对物体被冷却的过程得到的，但同样适用于物体被加热的情形

第65页：集总参数分析法的适用条件

4.3.3 集总参数分析法的适用条件

• 集总参数分析法忽略了物体内部的导热热阻，是对实际非稳态导热过程的一种简化和近似
• 那么什么时候作此简化能满足要求呢？
• 通过对非稳态问题精确解的分析表明，只要满足4.3.3集总参数分析法的适用条件采用集总参数分析法得到的瞬态温度场的误差不会超过5%，这样的误差对一般的工程问题都可以接受

第66页：lc为物体的特征尺寸

• lc为物体的特征尺寸
• M是与物体几何形状有关的量纲一的量
• 对称加热或冷却的无限大平壁，M=1
• 无限长圆柱体或正方形长柱体，M=1/2
• 球体或正方体，M=1/3
• 其他各种不规则形状的物体，可以近似按与之相当的圆柱体或球体来考虑

第67页：考虑到对流传热表面传热系数计算中约

• 考虑到对流传热表面传热系数计算中约20％～25％的误差，以及许多形状复杂的问题无法得到分析解，在某些情况下也可以将集总参数法的适用条件放宽到

第68页：【例4-1】钢球冷却算例

• 【例4-1】一直径为50mm的钢球，初始温度为750℃，突然被置于温度为30℃的空气中冷却。设钢球表面与周围环境间的表面传热系数为15W/(m2·K)，试计算钢球冷却到200℃所需的时间。已知钢球的c=0.48kJ/(kg·K)，ρ=7790kg/m3，λ=43W/(m·K)。

第69页：解：对导热系数较大

• 解：对导热系数较大、尺寸较小（即内部导热热阻较小）的金属钢球进行冷却，应考虑采用集总参数法进行求解。为此必须首先计算Bi数以判断是否满足集总参数分析法的使用条件。

第70页：因此可以采用集总参数分析法计算

• 因此可以采用集总参数分析法计算。

第71页：将钢球温度t=200℃

• 将钢球温度t=200℃，初始温度t0=750℃，流体温度t∞=30℃代入到式（4-24）中，得到：τ=2998.4 s =49.97 min解得

第72页：【例4-2】水银温度计测温算例

• 【例4-2】用水银温度计测量管道中原油的温度。温度计的水银泡呈圆柱形，长20mm，直径为6mm，初始温度为t0，设水银泡同原油间对流传热的表面传热系数为42 W/(m2·K)，试计算此条件下温度计的时间常数，并确定插入2分钟后温度计读数的过余温度为初始过余温度的百分之几？水银的物性参数如下：c=0.138kJ/(kg·K)，ρ=13110 kg/m3，λ=10.4 W/(m·K)。

第73页：井筒周围地层内的非稳态导热

4.5 井筒周围地层内的非稳态导热

• 工程背景
• 井筒是打开油气藏、采出油气资源的必由通道，无论是在钻井、注入或采出过程中，井筒内流体的温度变化规律始终是石油工程所关注的问题
• 井筒内流体的温度变化源自地层加热或冷却作用4.5井筒周围地层内的非稳态导热

第74页：钻井工程中

钻井工程中

地层加热作用使钻井液、水泥浆的温度在钻进过程中逐渐升高，特别是对深井、超深井，进而影响到它们的性能，对钻井过程、固井质量产生影响

• 注蒸汽开发稠油油藏时，高温高压的湿蒸汽与地层间存在的热损失使蒸汽沿井筒流动时干度逐渐降低而影响到注汽加热的效果

第75页：采油过程中高温产液在举升因散热使产液温度

• 采油过程中高温产液在举升因散热使产液温度降低，粘度增加，使稠油机采井的生产状况恶化，能耗增加
• 采用加热措施（如电加热、电伴热、井筒热流体循环等）开发稠油、高凝油时，都存在因地层与流体间的热量传递使流体温度发生变化而影响生产过程的问题

第76页：上述各问题中

计算目的

确定井筒内流体温度沿井深的变化

计算关键

井筒内流体与地层之间的传热量

计算困难

具体的工艺不同，井筒结构不同，井筒内流体与地层之间的热量传递过程中涉及到的热量传递方式和环节也不尽相同

• 上述各问题中
• 直接研究井筒内流体与地层间的热量传递过程有困难

第77页：工程上为了便于

• 工程上为了便于分析，通常将整个热量传递过程分为
• 地层内的热量传递过程（简称“地层内”），热量传递为导热
• 井筒内的热量传递过程（简称“井筒内”），热量传递方式和环节取决于具体工艺过程

第78页：工艺不同

• 工艺不同，二者的分界面不同
• 钻井、固井等工艺中，分界面是裸露的井壁
• 采油、注气、压裂等工艺中，分界面是水泥环外缘
• 不同工艺中热量传递过程的差别体现在井筒内，而地层内的热量传递过程是相同的

第79页：地层内的热量传递过程

• 本节主要分析地层内的热量传递过程－导热过程
• 分析井筒周围地层内非稳态导热问题的方法很多，如理论分析法、数值分析方法等，应用最多的是半解析法

第80页：自地表至油层的井筒

• 自地表至油层的井筒（这里只考虑直井）是联系地面与油层的通道
• 当与地层温度不同的流体突然通过井筒时，地层内将会产生热量传递过程
• 地层通常是由致密的岩石组成，因此热量在地层内传递方式为导热物理模型

第81页：井筒周围地层内的导热过程是复杂的，体现

• 井筒周围地层内的导热过程是复杂的，体现在
• 自井筒向外的地层无限大，过程永远也达不到稳定状态
• 受地质成因与构造的影响，自地面到油层，地层的非均质性较强，相关物性是变化的
• 受地核的加热作用，地层温度向地心方向不断增加
• 井筒结构不同，地层和井筒的交界面不同，交界面处的边界条件难以给出

第82页：实际计算时通常将井筒和地层分成若干小段

• 在数千米深的地层内全面考虑上述因素直接求解其导热问题是复杂和困难的，结果也不利于工程计算
• 实际计算时通常将井筒和地层分成若干小段，在每小段内可做如下假设
• 地层是均质的，各物性均为常数
• 地层的初始温度均匀，以该段中间位置处的原始地层温度作为其初始温度

第83页：忽略周向的导热

• 为了便于和井筒内的计算相耦合，设地层和井筒的交界面处于第二类边界条件下
• 忽略周向的导热
• 小段内忽略轴向导热
• 地层内不存在内热源

第84页：

第85页：

第86页：

第87页：以地表为坐标原点

• 由于井筒是圆柱形的，因此在柱坐标系下建立数学模型更为方便
• 以地表为坐标原点
• 井筒中心线为z轴，沿井筒向下为正方向
• 从井筒向外为径向正方向数学模型与求解

第88页：由物理模型

• 由物理模型，柱坐标系下的导热微分方程为可以简化：式中，a为地层热热扩散系数，m2/s

第89页：初始条件

初始条件

t0z为该段中间位置处的原始地层温度，按下式计算：式中，ts为地表处不受环境影响的温度，℃；m为地温梯度，℃/m；z为该段中间位置处的坐标。

第90页：初始条件边界条件

边界条件

在地层和井筒的交界面r=R处：在径向无限远处：式中，λ为地层的导热系数，W/(m·K)；R为交界面处的半径；qlz为该段内由单位长度井筒通过交界面传给地层的热量，W/m；t0z为该段中间位置处的原始地层温度

第91页：井筒周围地层内非稳态导热的完整数学模型

• 井筒周围地层内非稳态导热的完整数学模型：初始条件：边界条件：采用Laplace变换可以解得模型的分析解