14 3.3 一维非稳态导热.pptx

第1页：一维非稳态导热

3-3 一维非稳态导热：本页为《传热学》课程课件封面，标示课程名称与本讲主题。

第2页：3.3典型一维物体非稳态导热的分析解当非

3.3典型一维物体非稳态导热的分析解当非稳态导热问题不满足集中参数法条件，或者研究目的本身是需要确定物体内部温度的差异时，就不能将按集中参数法来处理。

3.3.1三种几何形状物体瞬态温度场的分析解1.大平板1)物理问题描述厚为2δ的大平板，λ、a为已知常数，τ=0时温度为t0，突然将其置于介质温度为t并保持不变的流体中，两侧表面与介质之间的表面传热系数为h。

要求确定平板中的瞬态温度场。

第3页：大平板的含义－温度只是板的厚度位置的函数

大平板的含义－温度只是板的厚度位置的函数---一维问题；

造成这样工况的条件有：(1)平板长度和宽度远大于其厚度，且两侧均匀地受热或冷却；

• (2)平板厚度侧四周绝热，且两侧面均匀地受热或冷却。
• 2)数学描述由于对称，取平板的一半进行研究即可，以平板的中心为坐标原点。

2δh,t∞h,t∞

第4页：数学求解概要则数学描写化为：均为齐次条件

• 3)数学求解概要则数学描写化为：均为齐次条件！

可以采用分离变量法求解非齐次边界条件引入过余温度（1）

第5页：所谓“齐次边界条件”

所谓“齐次边界条件”(homogeneous)是指在边界条件表示式中只含有被求变量本身或其各界导数的条件。

• （2）分离变量法求解取只为τ的函数只为x的函数左右端只能为常数：则原方程化为

第6页：由上式左端获得过余温度与时间的关系

由上式左端获得过余温度与时间的关系，从右端获得与空间位置的关系，两者相乘做为解的一个分量；

按照Fourier展开的思想，由无穷多个分量的叠加构成所需要无量纲过余温度的分析解，它能满足给定的初始分布与边界条件。

• （3）分析解无量纲过余温度时间自变量影响空间自变量的影响叫特征值是的函数

第7页：类似的分析可以对温度仅为半径函数的圆柱体

类似的分析可以对温度仅为半径函数的圆柱体非稳态导热进行，得圆柱体中无量纲温度的分析解：2.长圆柱是第一类贝塞尔函数，特征值是的函数:3.球体第3类边界条件下的球体同样可得：其中：所以：

第8页：无穷级数中第一项的影响最大；当

无穷级数中第一项的影响最大；

当Fo>0.2后，只取级数的第一项计算和完整级数计算的偏差小于<1%，可以只用第一项来计算。

3.3.2非稳态导热的正规状况阶段1.分析解的特点分析解无穷级数的每项均随时间呈指数形式衰减；

当无量纲时间Fo趋于无穷时，趋于0，物体与周围流体趋于平衡状态；

特征值是Bi的函数，其值随下标n的增加而迅速增加。

Bi＝1时：

第9页：正规状况阶段的物理与数学意义所谓正规状况

• 2.正规状况阶段的物理与数学意义所谓正规状况阶段从数学上说就是分析解无穷级数用第一项来替代造成的偏差小于1％的阶段；

从物理意义上说就是温度初始分布的影响已经消失；

初始分布是通过采用无穷级数来满足的，用第一项来替代造成的偏差小于1％就表明初始分布的影响业已消失。

第10页：正规状况阶段温度场分析解形式的简化平板

• 3.正规状况阶段温度场分析解形式的简化平板：柱体：球体：共同的表示形式基本特点：物体中任意两点的过余温度之比只与几何位置及边界条件有关，而与时间无关。

第11页：一段时间内所传递热量的计算式从初始时刻到

• 4.一段时间内所传递热量的计算式从初始时刻到平板与周围介质处于热平衡这一过程中所传递的总热量为：从初始时刻到某一时刻τ这一阶段中所传递的热量与之比为:

第12页：平板：柱体：球体

平板：柱体：球体：当时将正规状况阶段的无量纲温度场表达式代入积分后得到过程指定时刻所传递热量与总换热量之比为：

第13页：三种几何形状的正规状况阶段导热量与温度场

三种几何形状的正规状况阶段导热量与温度场与的计算式可统一表示为：同一时刻物体中任意两点的过于温度之比仅取决于两点的几何位置及Bi数（即边界条件），而与时间无关。

第14页：三种形状的A, B

三种形状的A, B, f的表达式如下BA几何形状平板柱体球体

第15页：3.3.3正规状况阶段的实用计算方法

3.3.3正规状况阶段的实用计算方法1.采用Heisler-Grober计算图线（1947）以大平板为例按如下方式计算温度场与导热量。

• 1）计算温度场平板中任一点与中心点过余温度之比（与时间无关）平板中心点过余温度与初始过余温度之比取决于Fo, Bi；

取决于Bi，。

第16页：大平板的1）纵坐标为对数坐标

大平板的1）纵坐标为对数坐标、横坐标为变尺度线性坐标；

• 2）Bi数以倒数形式作为参变数出现。

（主图）注意：

第17页：大平板的1）纵坐标为算术坐标

大平板的1）纵坐标为算术坐标，横坐标为1/Bi的对数坐标；

• 2）几何位置以参数形式出现。

（辅图）注意：

第18页：纵坐标为算术坐标，横坐标为

• 1）纵坐标为算术坐标，横坐标为FoBi2的对数坐标；
• 2）Bi数以参变数形式出现。

大平板的图线法：优点：简易，快捷；

缺点：精度受限，不利于计算机化。

注意：

第19页：如何利用线算图

如何利用线算图？

• （1）已知时间求温度：计算Bi数、Fo数和，从主图中查找和从辅图中查找；

计算求出温度t

第20页：已知温度求时间：计算

• （2）已知温度求时间：计算Bi数、和,从辅图中查找;计算据从主图中查找Fo,求出时间τ.

第21页：计算平板吸收（或放出）的热量：在计算和

• （3）计算平板吸收（或放出）的热量：在计算和Bi数、Fo数之后，从热量图中找出之值，计算出Q。

第22页：采用Campo的近似拟合公式法

• 2.采用Campo的近似拟合公式法（1997）对上述公式中的三种几何体的系数A,B,特征值以及函数f中的贝塞尔函数建立了简易的拟合公式：就可据给定的边界条件及几何位置通过简易计算获得温度与导热量之值。

第23页：系数A, B及特征值拟合公式中的常数第一

系数A, B及特征值拟合公式中的常数第一阶贝塞尔函数拟合公式中的常数

第24页：适用范围（4）级数解取第一项即正规状况阶

• 1.适用范围（4）级数解取第一项即正规状况阶段需Fo>0.2。
• （3）加热或冷却均可；
• （2）边界条件一侧为第三类，另一侧绝热;（1）平板两侧边界条件均为第三类或者均为第一类(Bi∞);3.3.4分析解适用范围及的影响2.Fo, Bi的影响Fo反映了瞬态过程进行的深度；

Bi反映了边界条件影响：Bi0,表面热阻极大,按集中参数法；

Bi，按第一类边界条件。

第25页：一块厚100

一块厚100 mm的钢板放入温度为1000℃的炉中加热，钢板一面受热，另一面可近似地认为是绝热的。

钢板初始温度20℃。

求钢板受热表面的温度达到500℃时所需的时间，并计算此时剖面上的最大温差。

• (1)一维问题；
• （2）热物性为常数；
• （3）加热过程表面传热系数为常数。

这一问题相当于厚为200 mm平板对称受热的情形，故可以应用一维平板的分析解。

分析：例题3-4假设：

第26页：计算：从平板辅图查得据及

计算：从平板辅图查得据及Bi数之值，从平板主图查得

第27页：得剖面上的最大温差为利用

得剖面上的最大温差为利用Campo的近似拟合公式求解讨论:最后可得与从海斯勒图得到的1.2十分接近。

由此例可见，当在海勒斯图上有所需要的Bi数的曲线时，由查图得出的结果与分析解是相当一致的。

第28页：求解非稳态导热问题的一般步骤

求解非稳态导热问题的一般步骤（1）先校核Bi数是否满足集中参数法条件，若满足，则优先考虑集中参数法（2）如不能用集中参数法，则尝试用Campo拟合公式或Heisler图（3）若上述方法都不行则采用数值解（第4章介绍）以上（1），（2）为分析解，而（3）则为数值解。