60 习题作业 第四章 热传导问题的数值解法.pdf

第1页：第四章一般性数值计算

第四章一般性数值计算4-3、试对附图所示的常物性、无内热源的二维稳态导热问题用Gauss-Seidel迭代法计算t1,t2,t3,t4之值。

解：654321初场计算公式27.2927.3027.3027.3227.4128.7535T=30+40+T2+T31422.7122.7122.7122.7222.7722.9425T=T1+30+20+T42416.4616.4616.4716.4716.5216.6920T=15+T1+T4+103413.5413.5413.5413.5513.5713.6613T=10+5+T2+T344T1=27.29K，T2=22.71K，T3=16.46K，T4=13.54K。

4-4、试对附图所示的等截面直肋的稳态导热问题，用数值方法求解节点2、3的温度，图中t0=85℃,tf=25℃,h=30w/(㎡·K)。

肋高H=40cm，纵2L剖面面积A=4cm。

导热系数入=20W(m·K)。

解：对于点2可以列出：f2八x八x节点2：入8t1-t2+入8t3-t2+2h八x(t-t)=0；

八x22f3f3节点3：入8t2-t3+8×1×h(t-t)+2h八x(t-t)=0。

由此得：t1-t2+t3-t2+2h八x2入8八x2h2入8(tf-t2)=0,t2-t3+入8(tf-t3)+8h(tf-t3)=0,习题4-3附图（△x=△y）习题4-4附图

第2页：入8入82hΑx22hΑx2t2=t1+

入8入82hΑx22hΑx2t2=t1+t3+tf2+,hhΑx2f1+入+2入8。

2入8thhΑx2t3=t2+入tf+0.06hΑx2=30×0.022=入820×0.01，于是有：2+0.12t2=t1+t3+0.12tf，2.532.53==1+3020+0.03t2+(3020)tf+0.03tft2+1.5tf+0.03tft2+1.53tft3=，代入上式得：f+t2+1.53tf+0.12t2.53212.12t=tff，5.3636t2=2.53t1+t2+1.53t+0.3036t，4.3636=2.53t1+1.8336tf，24.3636t2=2.53t1+1.8336tf，t2t=2.53×85+1.8336×25=215.05+45.84=59.7959.80C，o4.36364.363659.8+1.53×253=38.7538.8C。

2.53t=离散方程建立4-6、极坐标中常物性、无内热源的非稳态导热方程为1×t1×2t×t=2ta(++)Τr2r×rr2χ2试利用本题附图中的符号，列出节点(i,j)的差分方程式。

解：将控制方程中的各阶导数用相应的差分表示式代替，可得：11Αχ2ΑΤ×i,j+1i,j-1+jj-2tk+tktkr2-+tkΑr2r2Αrtk-2tk+tki,ji,j=ai,j+1i,ji,j-1+tk+1-tktk×i+1,ji,ji-1,j。

也可采用热平衡法。

对于图中打阴影线的控制容积写出热平衡式得：jtkjj-tk-tkrΑχrΑχΑΤi+1,ji,jΑri,jΑr+入i,j=入i-1,jtk+1-tktk(rΑχΑr)(ρc)i,j-)ΑχΑr+Αr2Αr2Αrj-tktk)Αχ+入i,j-1i,j(rj-tktk+入i,j+1i,j(r对等式两边同初以rjΑχΑr并简化之，可以得出与上式完全相同的结果。

习题4-6附图

第3页：fΑyΑx解：节点1

421fΑyΑx解：节点1：入t5-t1Αx+入t2-t1Αy+1ΑxΑy<·-1Αyh(t-t)=0；

22222ΑxΑyΑx节点2：入t1-t2Αy+入t3-t2Αy+入t6-t2(Αx)+1ΑxΑy<·=0；

节点5：225fΑyΑx2Αy入t1-t5Αx+入t9-t5Αx+入t6-t5(Αy)+1ΑxΑy<·-Αyh(t-t)=0；

节点6：入t2-t6(Αx)+入t7-t6(Αy)+入t10-t6(Αx)+入t5-t6(Αy)+ΑxΑy<·=0ΑyΑxΑyΑx；

4229fΑyΑx节点9：入t5-t9Αx+入t10-t9Αy+1ΑxΑy<·-Αx+Αyh(t-t)=0；

22节点10：2210fΑxΑy2Αx入t9-t10Αy+入t11-t10Αy+入t6-t10(Αx)+1ΑxΑy<·-Αxh(t-t)=0。

当Αx=Αy以上诸式可简化为：2152-22+入入12<·t+ΑhΑyy=0；

入hΑy节点1：t+t+tf2入2<·节点2：2t6+t1+t3-4t+Αy=0；

5+2入入入2<·t+ΑyhΑyhΑy节点5：2t6+t1+t9tf-22+=0；

4-9、在附图所示的有内热源的二维稳态导热区域中，一个界面绝热，一个界面等温〔包括节点4〕，其余两个界面与温度为tf的流体对流换热，入，h均匀，内热源强度为<·，试列出节点l、2、5、6、9、lO的离散方程式。

习题4-9附图

第4页：节点6：6入2<·-4t+τιt7+t1

节点6：6入2<·-4t+τιt7+t10+t5+t2y=0；

29510节点9：t+t+2入入入12<·t+τιhτιyhτιytf-21+y=0；

节点10106911入入入2<·t+τιyhτιyhτιy：2t+t+t+2tf-22+=0。

一维稳态导热计算4-10、一等截面直肋，高H，厚δ，肋根温度为t0，流体温度为tf，表面传热系数为h，肋片导热系数为入。

将它均分成4个节点(见附图)，并对肋瑞为绝热及为对流边界条件(h同侧面)的两种情况列出节点2、3、4的离散方程式。

设H=45mm，δ=10mm，h=50W/(㎡·K)，入=50W(m·K)，t0=100℃，tf=20℃计算节点2、3、4的温度(对于肋端的两种边界条件)。

解：采用热平衡法可列出节点2、3、4的离散方程为：2f节点2：入(t1-t2)8+入(t3-t2)8-2hτιx(tτιxτιx-t)=0；

3f节点3：入(t2-t3)8+入(t4-t3)8-2hτιx(tτιxτιx-t)=0；

4fτιx节点4：肋端绝热入(t3-t4)8-hτιx(t-t)=0，4f4fτιx肋端对流入(t3-t4)8-hτιx(t-t)-h8(t-t)=0。

3t肋端绝热t2-2.045t3+t4+0.9=0式中τιx=H3。

将已知条件代入可得下列两方程组：t3-2.045t2+100.9=04-1.0225t+0.45=0

第5页：t肋端对流t2-2.045t3+t4+0

3t肋端对流t2-2.045t3+t4+0.9=0t3-2.045t2+100.9=04-1.0375t+0.8=0边界上均为第三421m,nf1+3�x�y<·=�x+�yh(t-t)（4）外角顶：入tm+1,n-tm,n�y+入tm-1,n-tm,n�y+入tm,n+1-tm,n�x+入tm,n-1-tm,n�x+�x�y<·=0。

�x�x�y�y由此解得：肋端绝热t2=92.2C，t=87.7C，t=86.2C；

°o°34肋端对流t2=91.5C，t=86.2C，t=83.8C。

ooo34肋端对流换热的条件使肋端温度更接近于流体温度。

多维稳态导热问题4-22、如附图所示，一矩形截面的空心电流母线的内、外表面分别与温度为tf1，tf2的流体发生对流换热，表面传热系数分别为h1，h2，且各自沿周界是均匀的。

电流通过壁内产生均匀热源。

今欲对母线中的稳态温度分布进行数值计算，试：(l)划出计算区域；

• (2)对该区域内的温度分布列出微分方程式及边界条件；
• (3)对于图中内角顶、外角顶及任一内部节点列出离散方程式（△x≠△y），设母线的导热系数入为常数。

解：（1）可取14区域为计算对象；

2微分方程为二维Laplace方程，对称线上为绝热边界条件，内、外习题4-22附图类边界条件；

3内角顶：入tm-1,n-tm,n�y+入tm+1,n-tm,n�y+入tm,n+1-tm,n�x+入tm,n-1-tm,n�x�x2�x�y�y2