19 4.3 边界点离散方程的建立及代数方程的求解.pptx

第1页：边界点离散方程的建立及代数方程的求解

4-3 边界点离散方程的建立及代数方程的求解：本页为《传热学》课程课件封面，标示课程名称与本讲主题。

第2页：§4-3边界节点离散方程建立及代数方程求

§4-3边界节点离散方程建立及代数方程求解原因：第一类边界：方程封闭第二、三类边界：边界相邻内节点方程建立时，引入边界未知温度，方程不封闭方法：热平衡法边界条件表示（导入为正）：第二、三类边界：4.3.1边界节点离散方程的建立

第3页：为不失一般性，假设物体内部有内热源，Δ

为不失一般性，假设物体内部有内热源，Δx及Δy均匀1.平直边界xyqw(m,n)(m,n+1)(m,n-1)(m-1,n)

第4页：外角点xyqw(m,n)(m,n-1)

• 2.外角点xyqw(m,n)(m,n-1)(m-1,n)

第5页：内角点xyqw(m,n)(m,n+1)

• 3.内角点xyqw(m,n)(m,n+1)(m,n-1)(m-1,n)(m+1,n)

第6页：阶梯逼近法4.3.2不规则区域的阶梯逼近

阶梯逼近法4.3.2不规则区域的阶梯逼近法

第7页：写出所有内节点和边界节点的温度差分方程

写出所有内节点和边界节点的温度差分方程n个未知节点温度，n个代数方程式：代数方程组的求解方法：直接解法、迭代解法4.3.2代数方程的求解

第8页：直接解法①Cramer法则

• 1.直接解法①Cramer法则

第9页：求解n阶线性方程组

求解n阶线性方程组，需计算n+1个行列式，如果取n=20，N=9.7×1020每个行列式是n！

个乘积的和，每个乘积是n个数相乘，需要做n-1次乘法，共需乘法次数(n+1)n!(n-1)，1亿次乘法/s的计算机，需计算30.8万年

第10页：Gauss消元法共需乘法次数n3/3+n

• ②Gauss消元法共需乘法次数n3/3+n2-n/3，如果取n=20，N=3060适用变量个数小于50直接解法缺点：所需内存较大,方程数目多时不便、不适用于非线性问题。

第11页：迭代法假设初场不断更新收敛关键

• 2.迭代法假设初场不断更新收敛关键：构造迭代格式第k个迭代层次

第12页：迭代方程

迭代方程

第13页：Jacobi迭代

Jacobi迭代：迭代代入值总为上轮得到的值

第14页：Gauss-Seidel迭代

Gauss-Seidel迭代：将本轮最新值代入计算机内存更省，收敛速度快

第15页：是否合理

是否合理？

• 3.迭代是否收敛判据

第16页：主对角占优原则迭代公式的选择应使每一个迭

主对角占优原则迭代公式的选择应使每一个迭代变量的系数总是大于或等于该式中其他变量系数绝对值的代数和，此时，用迭代法求解代数方程，一定收敛用每个方程采用导出该方程的中心节点的温度作为迭代变量，符合对角占优原则。

• 4.迭代能否收敛判据

第17页：t3t2t1迭代次数03.76905.6

t3t2t1迭代次数03.76905.67503.625014.9964.5451.73525.0584.0381.86435.0133.9801.98345.0003.9942.00355.0004.0002.000165.0004.0002.0007利用高斯赛德尔求解方程

第18页：高斯-赛德尔迭代计算结果表

43210迭代次数t1435228722522320t1-3996-3996-396-360t2-1068075-61755-3355-1550t3迭代发散