页数：104页文件大小：1.29 MB来源： 电磁场与电磁波ppt课件
本课件为课程的第三章静态电磁场及其边值问题的解，先给出恒定磁场的基本方程、矢量磁位与标量磁位及其边界条件，讨论自感、互感与磁场能量；随后建立静态场边值问题的三类边界条件与惟一性定理，并依次讲解镜像法的等效电荷原理、圆柱面与介质分界面的镜像设置，以及直角坐标与圆柱坐标中的分离变量法求解过程。
静态电磁场及其边值问题的解：本页为该课件的封面页，标示课程名称与本章主题，详细内容自下一页展开。
本章内容
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恒定磁场的基本方程：解2.基本方程对于一个矢量场,要掌握它的空间分布(变化)和特性,需要从两个方面入手.即宏观上微观上(点,微分形式)散度旋度(大范围,积分形式)通量环量
散度与旋度的区别：本页以公式推导与图示为主。
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恒定磁场的基本方程与本构关系：高斯定理:环流特性:本构关系:物理意义:恒定磁场是一有旋无源场(磁力线是一闭合曲线，没有孤立的磁荷存在);电流即是它的旋度源.。
恒定磁场方程的微分形式与边界条件：本页以公式推导与图示为主。
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由电流分布求磁场的方法：的微分方程，即ϖϖ。
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矢量磁位A的引入：解5.矢量磁位问题：通过J(r)直接求解H(r)比较困难，能否找到一种较简单的方法。
(1)矢量磁位A的引入条件：依据恒定磁场基本方程Θ∇•B=0,∇×H=J∴可引入一辅助矢量A，定义：B=∇×AA:矢量磁位,单位:T⋅m(特⋅米)或wb/m(韦/米).ϖϖ
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库仑规范下的矢量位方程：库仑规范；泊松方程,讨论：1).对于无源区域(J；的区域：若为直角坐标系，则Θ。
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矢量位的积分表达式：本页以公式推导与图示为主。
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无界空间中的场源积分法：本页以公式推导与图示为主。
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体电流、面电流与线电流的矢量位：求得A以后，就可以依据：B；显然，这比直接求解H要容易。
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矢量位A的边界条件：解（3）A的边界条件问题:两种介质的分界面----H的奇点---场方程的微分形式失效----需补充定义界面的值.分析方法:¬依据:恒定磁场方程的积分形式(它可应用于任意不连续的区域)；
¬场量:分解成法向和切向分量(对界面而言).
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矢量位切向分量的边界条件：本页以公式推导与图示为主。
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矢量位A的边界条件汇总：本页以公式推导与图示为主。
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标量磁位φm：解ϖ6.标量磁位条件：在无自由电流(J；的空间，这时因为；由第一章的讨论可知，在这种情况下，我们既可以引入A，也可以引入一标量位函数ϕm。
标量磁位的引入条件：解（1）标量磁位一般情况下，恒定磁场只能引入磁矢位来描述，但在无传导电流（J；的空间中，则有；即在无传导电流（J；的空间中，可以仿照静电场那样，在这些区域引入一个标量位函数来描述磁场；标量磁位或磁标位（2）磁标位的微分方程ρρρρ；等效磁荷体密度。
标量磁位的边界条件：标量磁位的边界条件mS0en；等效磁荷面密度21ρρρρ电磁场与电磁波第三章静态电磁场及其边值问题的解在线性、各向同性的均匀媒质中B；标量磁位的表达式与静电位相比较，有m；磁标位拉普拉斯方程。
静电位与磁标位的比较：本页以公式推导与图示为主。
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静态场的求解方法：解*磁场的求解方法(1).场源积分法:已知源分布,通常是无界空间.(2).通过求磁矢位A(或磁标位Φm的边值问题求场:已知源分布及边界条件,通常是在有限空间(无界空间:可看成如原点,及无限远两边界).(3).对称性的利用，安培环路定理
例：小圆环电流的远区矢量磁位与磁场：例3.3.1第三章静态电磁场及其边值问题的解求小圆环电流回路的远区矢量磁位与磁场；小圆形回路的半径为a，回路中的电流为I；解如图所示，由于具有轴对称性，矢量磁位和磁场均与φ无关，计算xOz平面上的矢量磁位与磁场将不失一般性；小圆环电流ρφ。
小圆环远区矢量磁位计算（续）：本页以公式推导与图示为主。
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小圆环的磁偶极矩与远区磁场（续）：本页以公式推导与图示为主。
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磁链与电感的概念：解单匝线圈形成的回路的磁链定义为穿过该回路的磁通量Ψ=Φ多匝线圈形成的导线回路的磁链定义为所有线圈的磁通总和Ψ=∑ΦiiC27IΨ细回路4.电感在线性媒质中，单个闭合回路电流产生的磁感应强度与回路电流I成正比，因此穿过回路的磁通也与回路电流I成正比。
在恒定磁场中，把穿过回路的磁通量（或磁链）与回路中的电流的比值称为电感系数，简称电感。
（1）磁通与磁链
自感系数：解（2）自感设回路C中的电流为I，所产生的磁场与回路C交链的磁链为Ψ，则磁链Ψ与回路C中的电流I有正比关系，其比值L=ΨI称为回路C的自感系数，简称自感。
若交链N次，则磁通链增加N倍；
若部分交链，则必须给予适当的折扣。
因此，与N匝回路电流I交链的磁通链为Ψ=NΦ。
互感系数：解（3）互感与回路电流I1交链的磁通链是由两部分磁通形成的，其一是I本身产生的磁通形成的磁通链Ψ，另一是电流I在回路l1中产生的磁通形成的磁通链Ψ；同理，与回路电流I交链的磁通链为Ψ2；式中L11称为回路l1的自感，M12称为回路l2对l1的互感；令同理定义222I。
例：同轴线单位长度的自感：解例3.3.4求同轴线单位长度的自感；设内导体半径为a，外导体厚度可忽略不计，其半径为b，空气填充；解：先求内导体的内自感；穿过沿轴线单位长度的矩形面积元dS；得与dΦi交链的电流为a2I；则与dΦ相应的磁链为dΨ。
同轴线自感计算（续）：解因此内导体中总的内磁链为30ii0Ψ；故单位长度的内自感为再求内、外导体间的外自感；故单位长度的外自感为单位长度的总自感为。
例：长直导线与三角形回路的互感：穿过三角形回路面积的磁通为000；由图中可知z；电磁场与电磁波第三章静态电磁场及其边值问题的解例3.3.6如图所示，长直导线与三角形导体回路共面，求它们之间的互感；解设长直导线中的电流为I，根据安培环路定理，得到。
三角形回路互感结果（续）：故长直导线与三角形导体回路的互感为M。
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磁场能量：解（1）磁场能量电流回路在恒定磁场中受到磁场力的作用而运动，表明恒定磁场具有能量。
若在回路中加入外源，回路中产生电流。
在电流建立过程中，回路中产生的反磁通企图阻碍电流增长，为了克服反磁通产生反电动势，外源必须作功。
在恒定磁场建立过程中，外电源克服感应电动势做功所供给的能量，就全部转化成磁场能量。
载流回路的磁场能量：解设回路从零开始充电，最终的电流为I、交链的磁链为Ψ；在时刻t的电流为i；磁链为ψ；根据能量守恒定律，此功也就是电流为I的载流回路具有的磁场能量Wm，即对α从到积分，即得到外电源所做的总功为外加电压应为1012ΨW；所做的功dW；当α增加为(α；时，回路中的感应电动势:ε。
电场能量与磁场能量的类比：解电场的能量来自建立电场的过程中，电源输运电荷所做的；
电场总能量为功，dW=ϕdq22eV2CW=1ϕq2=q=1∫ρϕdV磁场的能量来自建立磁场的过程中，电源输运电流所做的；
磁场总能量为功，dW=IdΨ222mVW=1ΨI=1LI2=1∫J⋅AdV电感储能电容储能集中的观点
多载流回路的磁场能量：解对于体分布电流，则有W例如，对于两个电流回路C1和回路C2，有回路C2的自有能回路C1的自有能C1和C2的互能；自有能恒为正，互有能可正可负；正负号取决于磁通相互增强还是削弱。
磁场能量密度：本页以公式推导与图示为主。
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例：同轴电缆单位长度的磁场能量与自感：解例3.3.8同轴电缆的内导体半径为a，外导体的内、外半径分别为b和c，如图所示；导体中通有电流I，试求同轴电缆中单位长度储存的磁场能量与自感；解：由安培环路定理，得22πρc。
同轴电缆磁能分区计算（续）：本页以公式推导与图示为主。
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同轴电缆单位长度总自感（续）：解单位长度内总的磁场能量为Wm；内导体的内自感内外导体间的外自感外导体的内自感。
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本章内容
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三类边值问题：解ϕ|S=f1(S)给定场域边界面上的位函数值，即S2∂ϕ|=f2(S2)∂nϕ|S=f(S)、111S2∂ϕ|=f(S)∂n第一类边值问题（或狄里赫利问题）已知场域边界面上的位函数的法向导数值，即第三类边值问题（或混合边值问题）已知场域一部分边界面上的位函数值，而另一部分边界面上则已知位函数的法向导数值，即第二类边值问题（或纽曼问题）VS441.边值问题的类型
矩形域上的第一类边值问题示例：本页以公式推导与图示为主。
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静态场边值问题的惟一性定理：解值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V具有惟一值。
∂ϕ在场域V的边界面S上给定或∂n的VS惟一性定理的重要意义给出了静态场边值问题具有惟一解的条件为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据为求解结果的正确性提供了判据惟一性定理的表述472.唯一性定理
惟一性定理的证明：解惟一性定理的证明反证法：假设解不惟一，则有两个位函数ϕ1在场域V内满足同样的方程，即和ϕ2；且在边界面S上有令ϕ0；且在边界面S上满足同样的边界条件。
由格林第一恒等式完成证明：解由格林第一恒等式可得到(；对于第一类边界条件：ϕ0S；对于第二类边界条件：若ϕ1和ϕ2取同一点Q为参考点，则1S对于第三类边界条件：ϕ0。
边界条件的作用：解•关于边界与边界条件的几点补充边界条件的作用在可以直接积分的情况下（一维问题），边界条件用于确定积分常数。
在高维情况下，边界条件用于从一个泛解得到一个确定的解，——定解。
2边界条件是人为选定的，而不是先天的。
选定的原则是：结果正确；
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本页对应「本节分隔页：镜像法」，源文件提取到的文字有限，完整公式与图示请对照页面图片查看，建议人工补充本页要点说明。
镜像法的引入：解当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面会出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场的分布。
非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代几个实例接地导体板附近有一个点电荷，如图所示。
qq′非均匀感应电荷等效电荷523.5镜像法
接地导体球与导体柱的镜像：解接地导体球附近有一个点电荷，如图。
非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代qq′等效电荷非均匀感应电荷接地导体柱附近有一个线电荷。
情况与上例类似，但等效电荷为线电荷。
结论：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷或线电荷的作用。
镜像法的基本原理：解在不改变求解区域电荷分布、介质分布和边界条件的前提下，用虚设的简单电荷分布（称为镜像电荷）来等效地代替导体表面的感应电荷或介质分界面上极化电荷对求解区域电场的贡献，使场的解答满足唯一性定理，从而大大简化问题的求解。
求解区域三个不变：∇2ϕ=−ρε微分方程不变电荷分布介质分布不变边界条件不变解唯一1.镜像法的原理
镜像法的适用条件：解有效区域R′qRhh′q′qh条件:当求解区域内只有一个或几个点电荷,区域边界是导体或介质界面时.求解方法:镜像法----(一种特殊的方法)
镜像电荷的放置原则：解基本原理:56在求解的场的区域外部的适当位置上,放置一些“等效电荷”-----镜像电荷;它们与场源电荷共同作用的结果保持边界条件不变;这时,将边界面移去后,镜像电荷与场源电荷共同作用的结果即是场的区域中的解.解题关键:(1).镜像电荷必须位于待求解的场的区域外部;(2).镜像电荷与场源电荷共同作用的结果保持边界条件得以满足.
无限大接地导体平面的镜像：例：无限大接地平面导体板附近有一点电荷q,两者距离为h，求空间中的场。
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用镜像电荷替代导体平面的影响：解分析：从其电力线结构得到启示，若在导体平面下方用一“假想电荷”（镜像电荷）-q代替导体平面的影响。
------条件是q与-q共同作用的结果使导体平面的电位为0。
则这时，1)没有改变场域内“源”的分布；
2)满足导体平面的边界条件。
导体平面上的感应电荷面密度：本页以公式推导与图示为主。
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点电荷与导体平面的相互作用力：解2).应用镜像电荷可以很方便的计算点电荷q与导体平面的相互作用力：226100(2h)16hq2q24πεπεF=−=−式中负号表示点电荷所受的力指向导体平面。
3).导体平面的镜像法可以推广到两相交的导体平面附近放置一点电荷(或线电荷)的情形。
但是，两平面的交角必须满足：α=1800/n,n=1,2,3,...;镜像电荷数为2n−
镜像法的应用范围：解4)镜像法也可应用于点电荷与介质分界平面的场问题；
5)镜像法也可应用于点电荷与圆柱面和球面的场问题(以及它们的复合问题)；
6).磁场的线电流问题，以及天线问题中，当讨论地面对天线的影响时，亦可用镜像法求解。
点电荷对介质分界平面的镜像：解例在z；的下半空间是介电常数为ε的介质，上半空间为空气(ε0),距离介质平面h处有一点电荷q，求z；两半空间内的场；边界条件1z。
介质分界面镜像电荷示意：本页以公式推导与图示为主。
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镜像电荷的求解设定：本页以公式推导与图示为主。
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由边界条件确定镜像电荷：本页以公式推导与图示为主。
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镜像电荷电量结果：解代入ϕ1,ϕ2的表达式得原来问题的解.68q。
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镜像法应用的关键点：解¬镜像法应用的关键点镜像电荷的确定像电荷的个数、位置及其电量大小——“三要素”。
等效求解的“有效场域”，得到的解只适用于有效区域。
¬确定镜像电荷的两条原则像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中。
像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场区域的边界条件来确定。
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分离变量法的基本原理：解1.分离变量法解题的基本原理分离变量法是求解边值问题的一种经典方法分离变量法解题的基本思路：将偏微分方程中含有n个自变量的待求函数表示成n个各自只含一个变量的函数的乘积，把偏微分方程分解成n个常微分方程，求出各常微分方程的通解后，把它们线性叠加起来，得到级数形式解，并利用给定的边界条件确定待定常数。
分离变量法的理论依据是惟一性定理713.6分离变量法
直角坐标中的分离变量法：解2.直角坐标中的分离变量法条件：给定的边界面与直角坐标面重合或分段重合(矩形、长方体边界等).方程:拉氏方程∇2ϕ(x,y,z)=010∂2ϕ∂2ϕ∂2ϕ=∂x2∂y2∂z
分离变量的基本步骤：解基本求解思路:将以上；偏微分方程；转化成一些常微分方程.（1）基本步骤1).分离变量:ϕx,y,z。
引入分离常数：本页以公式推导与图示为主。
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kx=0 时的解：本页以公式推导与图示为主。
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kx>0 时的解：本页以公式推导与图示为主。
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kx<0 时的解：电磁场与电磁波第三章静态电磁场及其边值问题的解(c).若kx2；其中，A，B，C称为待定常数,由边界条件确定.77。
双曲正弦与双曲余弦：本页以公式推导与图示为主。
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分离变量法通解的叠加：依据边界条件确定分离常数、待定常数.从而得到具体问题的解(特解).79。
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直角坐标系中的狄利克莱问题：解例直角坐标系中的狄利克莱问题(Dirichlet)即:求图中,长方形体积内的电位函数.边界条件为:z= c表面上给定的电位函数为U(x,y),其它各表面的电位为零.解:由题给条件:(1).选择直角坐标系(2)方程:∇2ϕ(x,y,z)=00∂2ϕ∂2ϕ∂2ϕ=∂x2∂y2∂z
齐次与非齐次边界条件：非齐次边界条件齐次边界条件。
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设定电位的可分离形式：本页以公式推导与图示为主。
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三个方向的特征方程：本页以公式推导与图示为主。
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X(x)的解与kx=0讨论：本页以公式推导与图示为主。
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kx<0 情形的排除：本页以公式推导与图示为主。
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kx>0 时的本征函数：本页以公式推导与图示为主。
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Y(y)的本征函数：本页以公式推导与图示为主。
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Z(z)的双曲正弦解：本页以公式推导与图示为主。
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电位的二重级数解：本页以公式推导与图示为主。
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由非齐次边界条件确定待定常数：本页以公式推导与图示为主。
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利用正弦函数正交性求系数：本页以公式推导与图示为主。
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待定系数的积分表达式：本页以公式推导与图示为主。
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给定电位为正弦分布时的特例：本页以公式推导与图示为主。
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特例下的电位分布：本页以公式推导与图示为主。
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特例系数的积分计算：本页以公式推导与图示为主。
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特例电位解的级数形式：本页以公式推导与图示为主。
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多个表面电位非零的处理：解条件3:给出的边界条件中,有多个表面电位函数不为零-----非齐边界条件的处理.如97ϕ(x,y,z)。
把定解问题分解为三组：本页以公式推导与图示为主。
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圆柱域电位问题的数学模型：解求空间电位，列出问题的数学模型
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圆柱坐标中的分离变量法：代入方程，可得到由此可将拉普拉斯方程分离为两个常微分方程在圆柱坐标系中，若位函数与z无关，则拉普拉斯方程为d2Φ2dφ22100kΦ；通常ϕ(ρ,φ)随变量φ的变化是以2π为周期的周期函数；因此，分离常数k应为整数，即k；圆柱坐标系中的分离变量法。
圆柱域电位解的一般形式：本页以公式推导与图示为主。
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均匀场中导体圆柱的边界条件：E0exE0ρ与x轴一致，即=ρ当导体圆柱处于静电平衡时，圆柱内的电场强度为零，圆柱为等位体，圆柱表面电场强度切向分量为零，且柱外的电位分布函数应与z无关。
解的形式可取前述一般形式，但应满足下列两个边界条件：例3.6.2均匀外电场中，有一半径为a、介电常数为ε的无限长均匀介质圆柱，其轴线与外电场垂直，圆柱外为空气，如图所示。
试求介质圆柱内、外的电位函数和电场强度。
解选取圆柱坐标系，令z轴为圆柱轴线，电场强度的方向E0exE0第三章静态电磁场及其边值问题的解ρ=ρxaE0oε102yP(ρ,φ)
无限远处电位的渐近条件：由于圆柱表面电场强度的切向分量为零，即；无限远处的电场未受到扰动，因此电位应为ϕ(；此式表明，无限远处电位函数仅为cosφ的函数，可见系，且；因此电位函数A0；那么，根据应满足的边界条件即可求得系数C1、D1应为ρ。
导体圆柱外的电位与电场分布：解代入前式，求得柱外电位分布函数为Ea20ϕ(ρ,φ)；则圆柱外电场强度为E；电场线等位面xy；圆柱外电场线、等位面以及圆柱表面的电荷分布如图所示；圆柱表面的电荷分布ρ。
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