11 教案 第三章 静态电磁场II：恒定电流的电场和磁场.docx

第1页：恒定电场基本方程与扇形导电片

恒定电场基本方程与扇形导电片

第三章静态电磁场II

恒定电流的电场和磁场3．1恒定电场的基本方程与场的特性1．恒定电场由麦克斯韦组的磁场旋度方程，对于导电媒质中的传导电流密度Jc，有HJc上式两边取散度，得（公式详见原图）

• Jc0又由麦克斯韦组的另一旋度方程E0而导电媒质的构成方程为JcE由此可见，导电媒质中(电源区域外)恒定电场具有无散无旋场。
• 仿照静电场的处理，引入标量电位函数(r)作为辅助场量，即令E=-，可得电位满足拉普拉斯方程，即2=0例1：设一扇形导电片，如图所示，给定两端面电位差为U0。
• 试求导电片内电流场分布及其两端面间的电阻。
• [解]：采用圆柱坐标系，设待求场量为电位，其边值问题为：,
• ,z积分，得=C1
• +C2由边界条件，得0U1C2，C0图扇形导电片中的恒定电流场

第2页：导电片电阻与电功率密度

导电片电阻与电功率密度

• 故导电片内的电位U0
• 电流密度分布为（公式详见原图）
• JE对于图示厚度为t的导电片两端面的电阻为btlnaRU0IU0J
• etde2．电功率在恒定电流场中，沿电流方向截取一段元电流管，如图所示。
• 该元电流管中的电流密度J可认为是均匀的，其两端面分别为两个等位面。
• 在电场力作用下，dt时间内有dq电荷自元电流管的左端面移至右端面，则电场力作功为dW=dUdq于是外电源提供的电功率为dPdWdUdqdUdIE
• dSEJdVdtdt故电功率体密度2J2dVdPpEJE或写成一般形式p=E
• J3．不同媒质分界面上的边界条件两种不同导电媒质分界面上的边界条件：类同于静电场的讨论，在两种不同导电媒质分界面上场量的边界条件为en(J2J1)=0或J1n=J2nen(E2E1)=0或E1t=E2t对于线性且各向同性的两种导电媒质，有如下类比于静电场的折射定律tg11tg22图电功率的推导

第3页：恒定电场的边界条件

恒定电场的边界条件

• 良导体与不良导体分界面上的边界条件：当电流从良导体流向不良导体时，如图所示，设12，由折射定律可知，只要190，就有20。
• 这表明，当电流由良导体侧流向不良导体侧时，电流线总是垂直于不良导体(20)。
• 换句话说，这时可以不计良导体内部的电压降，而把良导体表面可近似看作为等位面。
• 如图所示，在两种有损电介质的分界面上，应有1E1n2E2n同时，还有2E2n1E1n联立求解，得分界面上自由电荷面密度为图由良导体(1)到不良导体(2)的电流流向P1J2en2J121++++++++UE2tE2nE2E2tE2E2n图输电线电场示意图两种有损电介质分界面上的边界条件：Jc1Jc1导体与理想介质分界面上的边界条件：此时，由于Jc2n=0，必然有Jc1n=0；且E1t=E2t，电场强度的切向分量连续。
• 应指出的是，虽然E1n=Jc1n/1=0，但E2n0，其结果将使导体外表面处的电场强度E2，与导体表面不相垂直，如图所示。
• 然而，分量E2t与E2n相比是极其微小的，因而在研究导体外表面附近的电场时，可以略去E2t分量的影响。
• 即近似为静电场中导体的边界条件。
• 也就是说，当分析载有恒定电流的导体外部电场时，可以应用静电场分析方法。
• 12图两种有损电介质的分界面J22,2P1,1J1

第4页：两层非理想介质中的恒定电场

两层非理想介质中的恒定电场

• 2n12《电磁场》讲稿（3）2112J由此可见，只有当两种媒质参数满足2112条件时，其上表面自由电荷才为零，即=0。
• 例2：设一平板电容器由两层非理想介质串联构成，如图所示。
• 其介电常数和电导率分别为1，1和2，2，厚度分别为d1和d2，外施恒定电压U0，忽略边缘效应。

试求

(1)两层非理想介质中的电场强度；(2)单位体积中的电场能量密度及功率损耗密度；(3)两层介质分界面上的自由电荷面密度。

• [解]：(1)忽略边缘效应，可以认为电容器中电流线与两介质交界面相垂直，用边界条件1E12E2又有电压关系E1d1E2d2U0联立求解两式，得12212U01ddE12211U02，Edd(2)两非理想介质中的电场能量密度分别为w1E2，w1E2e1211e2222相应的单位体积中的功率损耗分别为p11E1，2(3)分界面上的自由电荷面密度为p22E2201221212dd2112U2112J3．2恒定电场与静电场的比拟1．静电比拟法将均匀导电媒质中的恒定电场与无源区中均匀介质内的静电场相比较，可以看出，两者有如下表的对应关系。
• 图非理想介质的平板电容器中的恒定电流场2,2第4页1,1U0d2d1

第5页：恒定电场与静电场的比拟

恒定电场与静电场的比拟

• 均匀导电媒质中的恒定电场无源区中均匀介质中的静电场
• dSS显然，只要两者对应的边界条件相同，则恒定电流场中电位、电场强度E和电流密度Jc的分布将分别与静电场中的电位、电场强度E和电位移矢量D的分布相一致。
• 如果场中两种媒质分区均匀，当恒定电场与静电场两者边界条件相似，且两者对应的电导率与介电常数之间满足如下物理参数相似的条件时：1122则两种场在分界面上的Jc线与对应的D线折射情况相同。
• 根据以上相似原理，就可以把一种场的计算和实验结果，推广应用于另一种场。
• 这就是静电比拟法。
• 由静电比拟法，有GC因此，可以利用电容的计算方法计算电导或电阻，反之亦然。
• dSSSll例1：内外导体半径分别为a和b的同轴电缆，如图所示导体间外施电压U0。
• 试求其因绝缘介质不完善而引起的电缆内的泄漏电流密度及其单位长绝缘电阻。
• dS图同轴电缆中的泄漏电流SAPb,U0oaBJc

第6页：同轴电缆泄漏电流与接地电阻

同轴电缆泄漏电流与接地电阻

• [解]：（1）解法一：恒定电场分析法电场强度E和泄漏电流密度Jc均只有径向分量，作一半径为的同轴单位圆柱面，且令单位长泄漏电流为I，则I2cJ，EI2内外导体间电压为IbbUABU0Ed2lnaa由此可知泄漏电流密度为lneJbaU0cab电缆的单位长绝缘电阻为1RU0lnbI2a（2）解法二：静电比拟法在同轴电缆分析中，已求得电场强度为ρbaU0eElnab故泄漏电流密度ρbaclnJEU0eab同理，单位长电导可以由单位长度电容求得，即电缆的单位长绝缘电阻为ln第6页11bGC2aR12．接地电阻接地技术是保障人身和设备的一项电气安全措施。
• 计算接地体的接地电阻是恒定电场计算的一项重要工作。
• 下面计算图示埋于大地的半球形接地体的接地电阻。
• 由镜象法得（公式详见原图）

第7页：跨步电压与安全临界电压

跨步电压与安全临界电压

• dra212aiR1u1Gii2r3．跨步电压电力系统接地体一旦有电流通过，由于接地电阻的存在，在地面上存在电位分布。
• 此时，人体跨步的两足之间的电压称为跨步电压。
• 当跨步电压超过允许值时，将威胁人的生命。
• 对于如图所示的半球形接地器，由镜象法，地面上任意点P的电位为2dr2rII2rrE
• drPr如图绘出了地面电位分布。
• 设人的跨步距离为b，在距半球中心距离r点的跨步电压为2r2rbr2rdrII11Ib2rBArbABUE
• dl设U0为人体安全的临界跨步电压（通常小于5070V），可以确定危险区半径r0为00Ib2Ur3．3恒定磁场的基本方程与场的特性1．恒定磁场的基本方程由麦克斯韦方程组，描述恒定磁场的基本方程为HJc
• B0(a)电流线J的分布图半球形接地器(b)镜象法图示土壤土壤aai2i土壤IoarJABbI2a第7页rP图跨步电压与危险区的分析2r2EIr

第8页：恒定磁场的有旋性与安培环路定律

恒定磁场的有旋性与安培环路定律

• 媒质的构成方程为BH2．恒定磁场的有旋性在自由空间中，由基本方程可以得出，在恒定磁场问题磁感应强度矢量B与传导电流密度Jc之间的关系为B0Jc上式表明，源于电流的磁场具有旋涡场的特性，表明了磁力线与电流源之间相互交链的基本特征。
• 利用斯托克斯定理，得安培环路定律：nk10klSB
• dSI0c式中，电流Ik正负，取决于电流方向与积分回路绕行方向是否符合右手定则。
• 当方向相符时为正；反之取负值。
• dl0(I1I2I3)l3.恒定磁场的无散性基本方程还表明了恒定磁场的磁感应强度的散度处处为零，具有无散(无源)性。
• 磁力线是无头无尾的闭合曲线，即磁通连续性原理。
• 4.矢量磁位的引入由亥姆霍兹定理，磁感应强度B(r)应为B(r)(r)A(r)式中dV04V1
• rrBr(r)0dV14Vrr4Vrr4VRBrArdV0JcdVJc式中A称为矢量磁位。
• 在SI单位制中，矢量磁位的单位是韦伯/米(Wb/m)。
• 需要说明的是矢量磁位A不是一个物理量，不能被测量，仅是一个为简化计算引入的数学上的辅助矢量函数。

对于不同形式的电流源，有

I3I1lI2I40S图环量与激磁电流I间关系说明图

第9页：矢量磁位与毕奥沙伐定律

矢量磁位与毕奥沙伐定律

体电流Jc

4VRA(r)0JcrdV面电流K：S4'RA(r)0KrdS'线电流I：l4'RA(r)0Idl'5．磁感应强度表达式上段讨论表明，自由空间中任意点的磁感应强度等于该点矢量函数A的旋度。

• 若已知Jc(r)，可以先计算矢量磁位A，然后再通过计算A旋度计算磁感应强度B。
• 即B(r)A0JcrdV4VR由矢量恒等式，得RccR2R2ReecccR1rJR1JJrrJ(r)J(r)R''将上式代入B，得VR24JcreRdVB(r)0这正是毕奥—沙伐定律。
• 由该定律可以直接计算电流源在自由空间的磁感应强度B。

对于不同形式的电流源，有

VR24JcreRdV体电流Jc：B(r)0面电流K：SR24KreRdSB(r)0线电流I：l第9页R24IdleRB(r)03．4自由空间中的磁场计算思路一：利用毕奥—沙伐定律直接计算电流源在自由空间的磁感应强度。

思路二

先求矢量磁位，再利用B=A，求磁感应强度。

• 此外，在无电流分布的恒定磁场区域中，由于H=0，也可以引入一个类似于静电场标量电位函数的标量磁位m

第10页：用毕奥沙伐定律求直导线磁场

用毕奥沙伐定律求直导线磁场

• 作为辅助函数，以简化恒定磁场的计算。
• 1．由毕奥—沙伐定律计算磁感应强度应该注意，由毕奥—沙伐定律计算磁感应强度时，积分均为矢量积分。
• 而对于具有对称性场分布特征的问题，应用安培环路定律更加简单。
• 例1：计算真空中载流I的有限长直导线所引起的磁感应强度。
• [解]：首先，计算图(a)所示场点P处的B；然后，推广至图(b)所示任意场点P1、P2和P3处的B的计算。
• 图有限长直线电流I的磁场(1)场点P处的磁感应强度采用圆柱坐标系，取元电流Idz，在点P处产生的dB为（公式详见原图）
• 0ILdz0B02223(2)场点P1、P2和P3处的磁感应强度基于场点P处B的解答，不难理解图(b)中任意场点P1、P2和P3处的B分别为12
• 2P2B1sinsine0I4(a)场点P距端点垂直距离为(b)任意场点P1、P2和P3的位置示意图zLIdzIdz(dz,eR)RP(,0,0)eRzz1IP1P第10页2P312212312o

第11页：直导线与圆柱导体内外的磁场

直导线与圆柱导体内外的磁场

• 33P3B1sinsine0I42sinsine0I4(3)推论：对于P1点，若L→∞，则B为（公式详见原图）
• 20Ie422B0Isinsine这正是应用安培环路定律的计算结果。
• 例2：计算真空中半径为a，载流为I的无限长直圆柱导体内部和外部的磁场。
• [解]：应用安培环路定律，得(1)导体内部(<a)2B
• e(a)B(2)导体外部(>a)B
• e(a)圆柱导体内、外B值随坐标的变化曲线示于图(b)。
• 2．由矢量磁位计算磁感应强度由于元电流矢量产生相同方向的元矢量磁位A，这使得在一些问题中A的计算比B的计算更加简单。
• 例1：计算空气中长度为2L的长直载流导线在空间P点的矢量磁位和磁感应强度。
• [解]：取圆柱坐标系，由于电流沿z轴方向，故矢量磁位只有z方向分量，即220ILlnez0IdzIdzLL0LAAzez4Rez42z2ez2lnLL(a)长直圆柱形铜导体截面I00aloBoa(b)导体内、外|B|的变化曲线图无限长直圆柱形载流导体的磁场图长直载流导线的磁场LBAdAoP(x,y,0)zIdzdzLxyzR

第12页：有限长导线的矢量磁位

有限长导线的矢量磁位

• 当L>>时，可表示为z2A0Iln2Le从而得（公式详见原图）
• eBAeAz0I2与例1结果相符。

讨论

从上例可以看出，尽管B的结果与例1相同，但当L时A不存在。

• 其原因在于，在我们给出的标量电位和矢量磁位的计算公式中，均假定电荷和电流分布在有限区域，此时，它们的参考点选择在无限远处。
• 但是，例2不满足这个条件，电流延伸到了无限远，这是，它们的参考点应选择在有限区域内的任意一点。
• 仍以例2为例讨论如下，此时线电流的矢量磁位公式修改为lA(r)0C4'RIdl'式中C为常矢量，取决于矢量磁位参考点的选择。
• 在有限区域内任取一点为磁位参考点，设选与线电流I相距0的Q点为矢量磁位参考点，应有0Qz2A0Iln2LeC0故有z02C0Iln2LeP点的矢量磁位为z0zz222A0Iln2Le0Iln2Le0Iln0e相应的磁感应强度为（公式详见原图）
• eBAeAz0I2与上例结果相符。例2：图示无限长直平行输电线，半径为a、线间距离为2b且远大于a。试计算的

第13页：两线输电线的矢量磁位与磁通

两线输电线的矢量磁位与磁通

• 矢量磁位和穿过输电线间单位长的磁通量。
• [解]：本例为平行平面磁场，故只需计算xoy平面中任一场点P处的矢量磁位即可。
• 由例1且设矢量磁位参考点位Q，则P点的矢量磁位A为102010I20Ilnlne22z2212IIA0ln010ln02ez为计算穿过输电线间单位长的磁通量，将矢量磁位参考点选在原点上，则01=02，得1ezx2yb2x2yb24A0ln2ez0ln2IIlSS2ba0Iln(2ba)20Iln(bab)20Iln(bab)2Ia(a)22(bab)24(bab)24穿过输电线间单位长的磁通量为ΦB
• dl0ln另外，也可以应用安培环路定律计算，即00000Sx00Sbaba0baln|ln[ln(by)ln(by)])dyI2baI(by)02(by)0a2II2(by)2(by)I2(by)2(by)II)e
• dS(与由矢量磁位直接计算结果相同。

由本例可以看出

穿过任意曲面S的磁通量也可以直接利用矢量磁位A在该曲面S的曲线l上的环量来计算，曲面S的法线方向与曲线l的绕向满足右手螺旋关系，即ΦB

• dlSl例3：求图示半径为a的载流小圆环（磁耦极子）在远处的矢量磁位和磁感应强度。
• [解]：采用图示球坐标系。
• 定义mISa2Iez为磁耦极子的磁矩。
• 可见A仅有（公式详见原图）
• 方向分量且与
• 无关，为简化计算，我们将场点选在图无限长直平行输电线的磁场QxyzIIP(0,-b,0)o(0,b,0)第13页1A20201

第14页：磁偶极子的矢量磁位

磁偶极子的矢量磁位

• =0的平面。如图所示取两个电流元，得（公式详见原图）
• )2由于R>>a，有rrrRr112a1a(1sincos
• 4r3m4r3a2I02coser0sine0(2cosersine)4r3a2I(sinA)e1(rA)ersinrrBA13．磁力线与电力线类似，磁力线也可以形象地描绘磁场的分布。
• 磁力线方程为Bdl=0平行平面磁场：在直角坐标系中，B线满足的微分方程为dxdydzBxByBz设Jc=Jez，则A=Aez。
• 由B=A，得

第15页：磁力线与矢量磁位等值线

磁力线与矢量磁位等值线

• yxxAeyBAe代入磁力线方程，得AdxAdy0xydA=0A=常量即所以可见，在平行平面磁场中，A的等值线即为磁力线（B线）且等A线的差值为相邻两条磁力线间隔的单位长磁通量，即111B
• dlA1dzA2dzAz1Az2dzA0Sl00轴对称磁场：在圆柱坐标系下，B线满足的微分方程为ddzBBz设Jc=Je
• 由B=A，得zAe1zBAAe代入磁力线方程，得1第15页AdAdz0z即dAAdAdz0zA=常量所以这表明，在轴对称磁场中，A的等值线即为磁力线（B线）

第16页：媒质磁化与磁场强度

媒质磁化与磁场强度

• 3．5媒质中的磁场1．媒质磁化磁化强度矢量：V0VMlimm(A/m)束缚电流密度：设被磁化媒质体积为V，则体积元dV的磁矩产生的矢量磁位为dA0dmeR0MeRdV4R24R3有ArVVR1MdVdV04R0R34Me根据矢量恒等式RRRM(r)1M(r)M(r)1代入，得SdVrMn04RMe0SVn004dSR4VR4dVdSRRdV4VR4VMrMAr0MrdV0eMr可以看出，磁化体电流密度和磁化面电流密度分别为Jm=MKm=Men2．磁场强度媒质在外磁场作用下发生的磁化效应可归结为磁化电流。
• 因此，总的磁场是在真空中电流源Jc和磁化电流Jm共同建立的合成磁场，应有B0JcJm0Jc0M整理，得c0(BM)J定义磁场强度H图磁化媒质建立的磁场

第17页：磁导率与磁性媒质分类

磁导率与磁性媒质分类

• HBM(A/m)0第17页这样，得HJc由此可见，磁场强度的引入简化了媒质中磁场的分析计算，正如使用电位移矢量可以简化电介质中电场的计算一样。
• 3．磁导率实验表明，媒质的磁化强度与磁场强度成正比，即M=mH式中m称为磁化率。
• 由磁场强度的定义，得B=0H+M=0(1+m)H令则有=(1+m)0=r0B=H式中称为媒质的磁导率，单位是亨/米(H/m)，r为相对磁导率。
• 根据媒质的磁化性能，可分为以下三种类型：(1)抗磁性媒质：当不存在外磁场时，这类媒质的原子中的合成磁矩为零。
• 在外磁场作用下媒质中合成磁场减弱，如银、铜、铋、锌、铅和汞等属抗磁性媒质。

(2)顺磁性媒质

当不存在外磁场时，这类媒质的原子中合成磁矩并不为零，仅因热运动之故，其宏观的合成磁矩为零。

• 在外磁场作用下媒质中合成磁场增强。
• 如铝、锡、镁、钨、铂和钯等属顺磁性媒质。
• (3)铁磁性与亚铁磁性媒质：这类媒质在外磁场作用下会发生显著的磁化现象。
• 在外磁场作用下产生显著的磁性，如铁、镍、钴等属这类铁磁性媒质(r>>1)，这种铁磁性媒质的磁性能还存在非线性、磁滞与剩磁现象。
• 另一类称为亚铁磁性媒质，如铁氧体等，其磁化现象稍逊于铁磁媒质，但剩磁小，且电导率很低。
• 值得指出，铁磁媒质因其高磁导率的特性，在电磁装置中得到了极其广泛的应用，以满足工程上高磁场能量密度和高磁场强度的应用需求。
• 同样，铁氧体因其电导率很低，高频电磁波可以进入其中，且具有如高频下涡流损耗小等一些可贵的特性，从而在高频和微波器件中获得广泛的应用。
• 媒质磁化性能也有均匀与非均匀，线性与非线性，各向同性与各向异性等特点。

第18页：矢量磁位的泛定方程

矢量磁位的泛定方程

• 于均匀媒质Jm=M=(mH)=mH=0可见，在均匀媒质中束缚电流密度为零。
• 4.矢量磁位的泛定方程基于矢量磁位A的引入、麦克斯韦方程和媒质的构成方程，得A0Jc由矢量恒等式A(
• A)2AJ0c由亥姆霍兹定理可知，仅由B=A定义矢量磁位A并不是唯一的，还必须同时规定A的散度，才能唯一地确定A。
• 为简化分析，令
• A0上式称为库伦规范。
• 这样，有如下矢量泊松方程2AJ0c在无源区中，Jc=0，则上式成为矢量拉普拉斯方程2A0在直角坐标系中，矢量形式的泊松方程及拉普拉斯方程均可分解为相应的三个坐标分量的方程。
• 但在其它正交曲线坐标系下，矢量的分量一般是相互耦合的。
• 5.标量磁位标量磁位的引入：在无源区中，H=0。
• 这表明在无源区中磁场是无旋的，可以仿照静电场那样引入一个标量磁位函数m，即Hm式中，标量磁位的单位是安培(A)。
• 若选定Q点为标量磁位参考点，即mQ=0，则任意点P的标量磁位为QmPH
• dlP需要特别注意的是标量磁位m的使用仅限于无电流分布的区域。
• 此外，标量磁位m与标量电位不同，它不具有任何物理意义。
• 与矢量磁位一样，它纯粹是为了计算方便

第19页：标量磁位与磁压

标量磁位与磁压

• 而引入的一个辅助标量函数。

磁压的概念

标量磁位的等值面（线）称为等磁位面（线），等磁位面（线）处处与B线正交。

• 也可以用等磁位面（线）的分布描绘磁场的分布。
• 类比于静电场的电压定义，空间M点和N点之间的磁压定义为NMmNUmMNH
• dldmmMmNmM可见，两点的磁压即为两点的标量磁位之差。
• 应该指出，当磁场中存在电流分布时，两点间的磁压不仅与该两点的位置有关，而H
• dlIMnNmM将上式写为H
• dlIMnNMmN如取积分回路交链电流k次，则H
• dlkIMrNMmN显然，M、N两点间磁压与所取积分路径相关。
• 这说明在存在电流的区域，即使在磁场中选定了标量磁位的参考点，其标量磁位仍可以是多值函数。
• 为解决在电流区域中应用标量磁位的多值性问题，一般采用磁屏障的方法。
• 如图所示，规定积分路径l不许穿越载流回路所限定的某一曲面S(磁屏障)，这样就保证了两点之间磁压与积分路径无关。

标量磁位的泛定方程

将标量磁位和媒质的构成方程代入

• B=0，得（公式详见原图）
• (0m)0如果媒质均匀，得且还与积分路径相关。
• 如图所示，如取一与电流I相互交链的闭合路径PnQmP，由安培环路定律，有MnIN图磁压和标量磁位多值的说明图mrI图磁屏蔽设置的示意图Slm_m+

第20页：媒质分界面的磁场边界条件

媒质分界面的磁场边界条件

• 20m可见，标量磁位m满足拉普拉斯方程。
• 6．边界条件媒质分界面上的边界条件：对应于B=0，有B1n=B2n或en(B2-B1)=0表明在两种媒质分界面上的磁感应强度的法向分量是连续的。
• 对于旋度方程H=Jc，取图示跨越分界面的矩形回路l。
• 设分界面上存在面电流K=Kes(该面电流密度的单位矢量es=enet，且与矩形回路l符合右手定则)，由安培环路定律，得H
• dlH2tl1H1tl1Kl1lH2t-H1t=K或en(H2-H1)=K通常分界面上不存在宏观的自由面电流分布，即K=0，则有H1t=H2t或en(H2-H1)=0此时，当两种媒质线性且各向同性，恒定磁场的折射规律为tg11tg22铁磁媒质的边界条件：设1>>2，由恒定磁场折射定律，必有20，即B1n=B2n；H1t=H2t0这表明在铁磁媒质与空气分界面的空气侧，磁力线几乎垂直于铁磁表面。

矢量磁位表达的边界条件

由于A=B和A=0，不难推出如下边界条件A1=A2121n2e(1A1A)K标量磁位表达的边界条件：类似于静电场标量电位的边界条件的推导，标量磁位媒质分界面上的边界条件为m1=m2nnm22m11

第21页：含气隙铁芯的磁场计算

含气隙铁芯的磁场计算

• 而对应于铁磁媒质与空气分界面，由于铁磁媒质表面为等磁位面，其边界条件为m1=m2=Cnnm22m117．磁场的计算例1：在图示含气隙的环形铁芯上紧密绕制N匝线圈，环形铁芯的磁导率为>>0，圆环的平均半径为R，线圈半径为a<<R，气隙宽度为d<<R。
• 当线圈载流为I时，试求铁芯及气隙中的磁感应强度和磁场强度。
• [解]：设忽略漏磁通，铁芯中B和H的方向沿环形的圆周方向，由于R>>a，铁芯内磁场分布均匀。
• 由于气隙宽度d<<R，由边界条件（此时仅法向分量），有0H=H又应用安培环路定律，得Hd+H(2R-d)=NI解得，铁芯中的磁场强度为HNIrd2Rd气隙中的磁场强度为0rrNId2RdHH铁芯和气隙处的磁感应强度为BBrd2RdNI可见在铁芯中，因>>0，H=-m0。
• 故工程分析中往往将铁磁媒质近似看作一等磁位体，而磁压集中施加在铁芯的气隙处。
• 例2：半径为a的长直圆柱导体通有电流密度J。
• 试写出矢量磁位的边值问题并求导体内外的磁场。
• 解：选圆柱坐标系，z轴为圆柱导体轴线。
• 矢量磁位仅有z方向分量，其边值问题为1ddA01ddJ,a图含气隙的环形铁芯线圈

第22页：载流导线的镜像法

载流导线的镜像法

• dd1d(dA2)0,a0d0d1dA11dA2,12AA0,aA1=有限值，0解得202114JAClnCA2C3lnC4由边界条件，上述四个待定系数为2Ja2C40lna2Ja2C30,4Ja2C10,C20,aa2422(a),a01AJa2JA20ln,由B=A得a第22页a22Ja2B
• 10J,例3：推导图示无限大平面媒质中无限长载流导线的镜像法

第23页：铁磁媒质旁的载流导线

铁磁媒质旁的载流导线

• 解：按图(a)所示将线电流I放置在媒质1中，在媒质分界面上的束缚电流分别由图（b）和图（c）的镜像电流I’和I’’表示。
• 由边界条件，得2aI''2aI'I''2a2aI'2aI2aIsinsinsin1cos1cos2cos解得2I2121I21I，I例4：设一根载流为I的无限长直导线平行放置图示在半无限大铁磁媒质(μ→∞)上方，导线与铁磁媒质平面间的距离为h。
• 试求在空气和铁磁媒质中的磁场。
• [解]：本例中空气为媒质1=0，铁磁媒质2→∞。

由镜象法知

在上半空间，磁场可由均匀媒质0中的线电流I和I=I计算如下。

• 在上半空间任一点P处的磁场强度为21II
• 12r2rHee式中rx2(yh)2，rx2(yh)212在边界上(y=0)，任一点P处的磁场强度为yy(x2h2)HcoseeIIx(x2h2)1/2(b)上半空间磁场的镜象法图示(c)下半空间磁场的镜象法图示(a)线电流～无限大平面媒质系统图磁场中镜象法的应用图线电流~无限大铁磁平面系统的磁场

第24页：铁磁媒质中的磁场分布

铁磁媒质中的磁场分布

• 上述结果再次表明磁力线垂直于铁磁媒质的表面。
• 在下半空间，磁场可由I≈0计算。
• 显然，因I≈0，故铁磁媒质中磁场强度H≈0。
• 但是，磁通连续，所以铁磁媒质中B绝不可能略而不计，其值是（公式详见原图）
• 232032Ire0Ie2re22rI20BH综合以上解答，可以定性地描绘本例的场图如图示。
• 3．6电感与电容、电阻参数类似，电感是反映线圈磁场能量的集总参数，必须通过磁场的分析来计算。
• 1．自感在线性媒质中，线圈的自感定义为自感磁链与其激磁电流I之比，即L(H)I取决于线圈几何形状、尺寸以及媒质磁导率。
• 当载流导体截面较大时，通常又将自感磁链分为内磁链i和外磁链o两部分之和。
• 如图所示，闭合管a的磁通与载流导体电流I完全交链，构成外磁链o的一部分；而闭合管b则仅与载流导体的部分电流I交链，构成内磁通i。
• 对于这种部分交链的情况，其匝数以载流I为基数，以I应计为分数，其匝比为I/I。
• 于是，内磁链为SIIdi此时，自感L为内自感Li与外自感Lo之和，即ioIIIIoLLLioi例1：计算图示同轴电缆的单位长自感（设其外壳厚度可予忽略）。
• [解]：为计算自感，设电缆中电流为I。
• (1)外磁链oabIIb00o2d2lna图内、外磁链区分的示意图图同轴电缆的自感

第25页：内磁链与互感的定义

内磁链与互感的定义

• (2)内磁链i内导体中磁感应强度为I2I2a22a2Bi00此时，匝比为a222IIa2I'1IdI302a42Ia22d0a2a2idiBd于是，内磁链8a02aI03d04Ii最后，得同轴电缆的单位长自感为aI24ioLioLL01lnb值得注意，内自感Li仅与圆导体的长度有关，而与半径无关。
• 2．互感在线性媒质中，线圈k与线圈h的互感定义为线圈k上交链的互磁连kh与线圈h的电流Ih之比，即hkhIkhM(H)同理，线圈k对线圈h的互感定义为k第25页hkIhkM(H)我们将证明Mkh=Mhk两个线圈的互感取决于他们的形状、尺寸、相互位置和媒质的磁导率

第26页：两对输电线间的互感

两对输电线间的互感

• 例2：计算图示两对输电线间的单位长互感。
• [解]：设导线之间的距离DAC、DAD、DBC和DBD均远大于导线半径。
• 设在导线AB(回路1)通有电流I，在导线CD（回路2）交链的互磁通穿过面积CD’和面积C’D，即D2DACDBDDACDBD0I(lnDADlnDBC')0I(lnDADlnDBC)2单位长互感为dMAB
• dSSDACBD02d02DADIDBC'IDACDBDI2MM0lnDADDBC3.电感计算的一般公式自感：设电流集中在回路的轴线上。
• 利用矢量磁位A计算外磁链。
• 回路的内周界l为积分路径，外磁链为lllr4dl
• dl0I则，外自感为ll0r4Lodl
• dl当线圈由N匝细导线密绕组成时，则单匝回路上的磁通增大N倍，而该磁通又与N匝回路相交链，故外自感为llII4rLooo0NN2dl
• dl可见，此时外自感Lo与N2正比，为单匝回路外自感的N2倍。
• 对于内自感，一般均采用近似计算法。
• 不论回路形状如何，其内自感计算可等同于无限长直导线的情况，回路的内自感为线圈的长度l乘以单位长内自感，即08iLl一般而言，回路的内自感远小于外自感，所以回路的自感为图两对传输线间的互感图回路外磁链的计算用图dl第26页llrdl

第27页：电感与互感的一般公式

电感与互感的一般公式

L=Li+Lo≈Lo互感

图示两个回路，设回路2中通电流I2，在回路1的轴线上任一点处产生的矢量磁位为l24rAP0I2dl2在回路1上交链的互磁链为l1l202l112r4P1Idl2

• dl1Adl于是，回路2对回路1的互感为l1l2212r4Idl2
• dl1120M同理可得l2l1121r4IMdl1
• dl2210可见M12=M21若回路1和回路2分别由N1和N2匝细导线密绕而成，则互感为l1l22112r4MMdl2
• dl1N1N20上述计算回路电感的一般公式被称为诺以曼公式。
• 3．7磁场能量1．载流回路系统中的磁场能量单个载流回路的磁场能量：设回路电流i从零缓慢增长到终值I，回路磁通链随之由零值缓慢增长到终值，并在载流回路产生感应电压u，在dt内电源作功为dW=uidt，且全部转换为磁场能量储存在磁场中，即dWm=dW=uidt=id=iLdi在线性媒质中，单个载流回路的磁场能量为2211IWmdWmiLdiLIΨI20dl1l1dl2l2I2图两个回路间互感的计算rP

第28页：载流回路系统的磁场能量

载流回路系统的磁场能量

• 由上式，若已知单个载流回路的电流及其磁场能量，则可方便地计算该回路的自感为L2WmI2n个载流回路的磁场能量：令各个回路电流均按比例系数为m(0≤m≤1)由零值缓慢增长到终值，在线性媒质中，在某一时刻，各回路电流ik(t)=m(t)Ik，磁链k(t)=m(t)k。
• 在dt内电源在n个载流回路中作功为nnndWmdWiktdψktmIkdmΨkmIkΨkdmk1k1k1该n个载流回路的磁场能量为k1kknk110WdWIΨmdmmkkIΨ1n2m在线性媒质中，以k号载流回路为例，其磁链k可表示为自感磁链和互感磁链之和，即nhkh1kLkMkLkIKMk1I1Mk2I2MknInLkIkMkhIh代入磁场能量公式，得n个载流回路的磁场能量为22121221211nnnk12MII1ITLILIhkk1h1kkkhkh222nn121213132211(n1)nn1nIIMIIMIIWLILILIMm式中，I为各载流回路电流列向量，L为载流回路电感矩阵。
• 2．磁场能量密度设各载流回路均单匝回路，且设载流回路为体电流分布，则元电流Ikdlk=JdV。
• 注意到求和式化为体积分，则有k1kk212n1IlkVA
• dlWm将J=H代入上式，并利用矢量恒等式
• (A)及散度定理，得1HA

第29页：磁场能量密度与内电感

磁场能量密度与内电感

• r2r1设场域无界，即S为无限大球面，因H∝1，A∝，而S∝r2，当r→∞时第一项积分应等于零。因而，有V21H
• BdVWm上式表明，磁场能量分布于整个磁场空间中。磁场能量的体密度为2w1H
• Bm对于各向同性线性媒质，有1B22wm2H2例1：设圆柱导体的半径为a，计算其单位长度的内电感。
• [解]：设圆柱导体电流为I，由安培环路定理，得圆柱导体中的磁场强度为2a2iIH圆柱导体内单位长度的磁场能量为12a12I2Ia2Wm0HidV0d
• d022V2因此，单位长度的内电感为8第29页I2L2Wm0显然，通过磁场能量计算电感参数是十分方便的。
• 3．8磁场力计算的虚位移法在电磁学中，我们学过两种磁场力的计算方法，即运动电荷受到的磁场力dF=dqvB(又称为洛仑兹力)和元电流Idl受到的磁场力dF=IdlB（又称为安培力）。
• 此外，我们也可以借助磁场能量来计算磁场力。
• 对于恒定磁场，能量平衡方程为dW=dgWm+Fdg式中，dW=∑Ikdk表示电源提供的能量，dgWm为广义坐标变化dg而引起的磁场能量增量，Fdg为在dg方向上，磁场力作的功。

常电流系统

设定载流回路的电流保持不变，Ik=常量，有（公式详见原图）

第30页：磁场力的虚位移法

磁场力的虚位移法

• nkknk1k1kkgdWmIk常量122Id1dWd(I)12这表明电源提供的能量一半作为磁场能量的增量，另一半作为克服磁场力的作功，即FdgdgWmIk常量由此，得WmFdgWmdggIk常量Ik常量常磁链系统：设定载流回路的磁链保持不变，k=常量，有FdgdgWm常量k上式表明，磁场力作功所需能量取自于系统磁场能量的减少。
• 得kkdgg常量常量FdgWmWm尽管上述计算方式不同，但其值相同，即kkgg常量常量FWmWm例1：计算无限长平行载流导体的单位长受到的磁场力。
• [解]：设导体电流为I，导体半径为a，导体轴心距位D。
• 由上节例题知，其单位长电感为a4L01lnD载流导体的单位长磁场能量为m2W1LI2由虚位移法，取广义坐标为D，则载流导体单位长受到的磁场力为0第30页2D2DIDW12LI2F1mIC磁场力（广义力）的正方向为广义坐标D增加的方向，可见两导线在沿线间距D扩展的方向上分别受到磁场力F1的作用，即两载流导线相斥

第31页：载流导体受力与电磁铁吸力

载流导体受力与电磁铁吸力

• 例2：求图示电磁铁对衔铁的吸力。
• 设铁心截面积为S，空气隙长度为l，并忽略空气隙处边缘效应，认为气隙中磁场均匀分布。
• [解]：应用虚位移法。
• 由于铁磁材料的相对磁导率远大于气隙，故该电磁铁系统的磁场能量可近似认为存储在两气隙内，即B2000B22mW22SlSlSl电磁力为2B20S0SlWFmC式中，负号表示磁场力的方向与气隙增加的方向相反，也就是说，磁场力是电磁铁作用于衔铁的吸力。
• 图电磁铁的起重力