09 教案 绪论 第一章 电磁场的数学物理基础.docx

第1页：绪论：电磁场理论的地位

绪论：电磁场理论的地位

• 绪论1.电磁学与电磁场理论电磁学：麦克斯韦方程组的积分形式。
• 它概括了全部已有的宏观电磁现象的实验事实，给出了用积分量描述宏观电磁场的全部规律。

电磁场理论

麦克斯韦方程组的微分形式。

• 是在电磁学的基础上，进一步研究宏观电磁现象和电磁过程的基本规律及其计算方法的理论，是用数学方法描述空间任意一点、任意时刻电磁现象变化规律的理论。
• 2.在电气工程与电子工程中的地位电路理论和电磁场理论是电气工程与电子工程学科基础课程。

电路理论

提供了计算由集总元件联接起来的网络和系统行为的方法和理论。

电磁场理论

提供了解决所有电气工程与电子工程问题的根本计算方法和理论，如集总元件伏安关系的建立和难以用电路理论解决的电磁问题等。

电气工程领域

能量的转换、传输、分配和利用，旋转电机、变压器、输电线路与电缆、电容器、电抗器、开关设备、互感器等。

电子工程领域

信息的发送、传输、接收与转换，电波设备、天线、雷达、卫星、光纤、遥感、遥测、遥控等。

其他工程领域

电磁兼容、生物电磁场、无损电磁探伤、磁悬浮、超导等。

• 电磁场理论是理解、发展和实现一切与电磁现象与电磁效应相关技术必不可少的知识本源。
• 3.课程的特色与学习方法建议课程学时：48学时。

课程的特色

体系完整、逻辑性强、内容抽象。

教材的特色

电气工程与电子工程相结合、理论与工程的结合，突出理论应用、提高学习兴趣。

学习方法建议

注重物理概念，强调数学方法，培养抽象思维能力，通过例题和习题充分理解电磁场理论。

第2页：电磁场物理模型的构成

电磁场物理模型的构成

1.源量点电荷

q、单位：C

电荷体密度

、单位：C/m3。

电荷面密度

、单位：C/m2。

电荷线密度

、单位：C/m。

• 如果已知上述各种电荷的分布规律，则对应的q、和都应是已知的空间坐标变量的函数。
• 又若已知电荷均匀分布，则意味着这些源量都将是某个已知的常量。

电流

i、单位：A。

电流密度（面积电流）

J、单位：A/m2。

面电流密度

、单位：A/m。

2.场量0电场强度

E、单位：V/m。

磁感应强度（磁通密度）

B、单位：T。

3．电磁性能参数电介质

介电常数、单位：F/m。

• 真空中，13610-98.85410-12(F/m)磁介质：磁导率、单位：m。
• 真空中，0410-7导电媒质：电导率、单位：S/m4．媒质的构成方程（本构关系）(H/m)电位移矢量：D、单位：C/m2。

磁场强度

H、单位：A/m。

构成方程（本构关系）

DE第2页HBJE

第3页：矢量运算与正交坐标系

矢量运算与正交坐标系

• 1．2矢量分析1．矢量运算标量积（点积）：A
• BAxBxAyByAzBz。矢量积（叉积）：ABCABsinABecexeyezAyAzBxByBzABAx正交坐标系统：直角坐标系(x,y,z)、圆柱坐标系(,
• ,z)和球坐标系(r,,

)。环量积分

lxyzlF

• dlFdxFdyFdz通量积分：SxyzSF
• dSFdydzFdxdzFdxdy2．矢量分析标量场的梯度：考察标量场等值面的变化率。
• 设等值面方程为(x,y,z)=C标量场(x,y,z)在图中P点沿dl方向的变化率，此即方向导数为图标量场梯度的图示xyzcoscoscoslxlylzlxyz

第4页：方向导数与标量场的梯度

方向导数与标量场的梯度

• 方向导数值与所选取的方向dl有关。
• 记该dl方向的单位矢量为el，可知elexcoseycosezcos定义xxyyzzeegrade为标量场的梯度，记作gradxxyyzz其中，eee可见，标量场的梯度是一个矢量。
• 此时，方向导数可改写成lllgrad

e矢量场的散度

考察通量“源”在场中各点的分布情况。

• 作包围P点的一相当小的封闭曲面S如图示，则当V→0时，即V收缩为P点时，定义通量对于体积V的变化率的极限值为矢量F在P点的散度，记作ddVVF
• dSlimSdivFlimV0VV02x2000x,y,zxxFxx000x000000xxFFx,y,zFx,y,zFx,y,z2000x2x,y,zxxFxx000x000000xxFFx,y,zFx,y,zFx,y,z图直角坐标系下divF表达式的推导用图

第5页：矢量场的散度推导

矢量场的散度推导

• 穿出这二个面的净通量值为xFx0x0x0000Fxx,y,zFx,y,zyzxyz22xxyz同理，对于另二组侧面进行类同的分析计算。
• 合成可得穿过整个平行六面体的净通量F
• dSFxxyzFyxyzFzxyzS而V=xyz，在直角坐标系下散度的表达式为zFyFFVxyzF
• dSdivFlimSxV0又记为divF
• F可见，矢量场的散度是一个标量，它描述了矢量场在给定点的通量密度。
• 若divF=0，则表明该点没有产生通量的“源”（无源）；若divF0，则表明该点有产生通量的“源”，divF>0为正源，divF<0为负源。

矢量场的旋度

考察环量“源”在场中各点的分布情况。

• 作一条围定面积为S的微小的有向曲线l，令en为S的法向单位矢量，它与有向曲线l构成右螺旋关系，如图所示。
• dlS0curlFlimlmaxe可见，矢量场的旋度是一个矢量，其方向和环量积分路径循行的方向满足右螺旋定则，且为获得最大环量位置的面积元的法线方向en；其大小表征了每单位面积上矢量场的最大环量。
• 因此，旋度描述了旋涡源的强度。
• 图环量强度的图示图直角坐标系下(curlF)z表达式的推导用图

第6页：矢量场的旋度推导

矢量场的旋度推导

• 由旋度定义可知，F
• dlFx1xFy2yFx3xFy4yll1l2l3l4可得2x0,y0yxyFFx1Fxx0,y0同理2x0,y0xyxFFy2Fyx0,y02x0,y0x3x00FFx,yyxyF2x0,y0xyxFFy4Fyx0,y0代入环量计算式，有lFyFxF
• dlxyxy由此根据旋度的定义式，有xzFyFxyxyS0F
• dlcurlFliml同理，可得(curlF)x与(curlF)y的计算式。
• 合成为一个矢量式，得矢量场的旋度为yxzxyzFxyzFzFyFxFzFyeecurlFexcurlFxeycurlFyezcurlFzex或写成便于记忆的行列式，即curlFFezeyexzFzyFyxFx3．场论基础散度定理（高斯定理）：F
• FdVSV第6页斯托克斯定理

第7页：场论基础与亥姆霍兹定理

场论基础与亥姆霍兹定理

dlSl无散场

无散场是散度恒为零的场，即（公式详见原图）

• F0由矢量恒等式
• A0可以看出，无散场可以用另一个矢量的旋度表达，即FA一般称矢量A是矢量场F的矢量位。

无旋场

无旋场是旋度恒为零的场，即F0由矢量恒等式0可以看出，无旋场可以用另一个标量的梯度表达，即ForF一般称标量是矢量场F的标量位。

亥姆霍兹定理

若矢量场F(r)在无界空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域V中，则该矢量场唯一地由其散度和旋度所确定，且可被表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和，即FrrAr式中dV4Vrr1

• Frr第7页dV4Vrr1FrAr可见，对于无界空间，当所论矢量场的散度和旋度均为零时，即(r)=0与A(r)=0，则矢量场F(r)也随之消失。
• 常用矢量恒等式
• (A)=0，V=04．电磁场的基本规律-麦克斯韦方程组

第8页：麦克斯韦方程组的积分形式

麦克斯韦方程组的积分形式

• 电磁感应定律：StE
• dSlSt应用斯托克斯定理，得E
• dSlS式中，两个面积分是对同一表面S求积，并考虑到S的随意性，有tEB全电流定律：SSSltcH
• dS一般而言，传导电流和云流电流不能共存同一空间，如仅考虑传导电流，上式为SSltH
• dSc应用斯托克斯定理，得HJ其中，DvJvtE
• J由矢量恒等式
• A0，得电流连续性方程的微分形式为（公式详见原图）
• J=0由散度定理，其积分形式为J
• dS0S磁通连续性定理：B
• dS0S由散度定理，得B
• BdV0SV第8页并考虑到V的随意性，有（公式详见原图）

第9页：麦克斯韦方程组的微分形式

麦克斯韦方程组的微分形式

• B=0高斯定理：D
• dSdVSV由散度定理，得（公式详见原图）
• D=麦克斯韦方程组的微分形式：tvJHJc
• D=麦克斯韦方程组奠定了宏观电磁理论的基础。

爱因斯坦这样评述

“这个方程组的提出是牛顿时代以来物理学上的一个重要事件，它是关于场的定量数学描述，方程组所包含的意义比我们指出的要丰富得多。

• 在简单的形式下隐藏着深奥的内容，这些内容只有仔细的研究才能显示出来，方程组是表示场的结构的定律。