08 第三篇 电场和磁场 真空中的静电场1.doc

第1页：电荷与电场

第四篇 电磁学　第九章 真空中的静电场　§9-1、2 概述

一、电荷与电场

1、电荷：实物的一种属性。三个基本性质：

1. 自然界存在两种电荷：正电荷和负电荷；
2. 电荷守恒；
3. 电荷的量子化（微观世界的一个基本定律），最小电量 e = 1.602×10^-19 库仑。

点电荷

不考虑大小和分布状况而可看作集中于一点的电荷；实际有许多情况可以近似成点电荷，且点电荷的位置可以方便地在坐标上标出。

电荷守恒定律

在一个与外界没有电荷交换的系统内，在任一时刻存在于系统中的正电荷与负电荷的代数和始终保持不变。强调是正负电荷的代数和不变，它是物理学的基本定律之一。

2、电场：直观上看，电场是给电荷以作用力的物理场。若空间某一区域内各点具有给予在该点的静止电荷以作用力的属性，就说该区域存在着电场，可表示为「电荷 ⇄ 场 ⇄ 电荷」。从本质上说，电场是物质的一种存在形式，具有能量、动量和质量。本章只讨论相对于观察者静止的电荷在其周围空间产生的电场，即静电场。

二、库仑定律（实验定律，1785 年；电磁学从定性到定量的重要里程碑）：表示两个相对静止的点电荷之间相互作用的定律，是静电学的基础。

第2页：库仑定律与例题9-1

库仑定律的矢量形式：f₂₁ = k q₁q₂ r̂₁₂ / r₁₂²，且 f₁₂ = − f₂₁。

注意：

• 国际单位制（SI）中 k = 8.988×10⁹ N·m²·C^-2；电磁学 MKSA 有理制中 k = 1/(4πε₀)，ε₀ = 8.85×10^-12 C²·N^-1·m^-2；
• 满足「平方反比律」，这种力称为库仑力或静电力。

例题 9-1：在氢原子内，电子和原子核之间的距离为 r = 0.529×10^-10 m，试计算电子和原子核之间的静电作用力和万有引力并比较两者大小；又设原子核中的两质子相距 2r = 4.0×10^-15 m，求此两质子之间的静电力。已知 m_e = 9.11×10^-31 kg，M_氢核 = 1.67×10^-27 kg，q = 1.6×10^-19 C，G = 6.67×10^-11 N·m²·kg^-2。

注：源文本中数值与符号严重粘连（如指数与尾数相接），表中按标准物理常量与库仑定律还原为上述数值。另：源文本称两静止电荷之间的静电力「不是一对作用力与反作用力」，与牛顿第三定律不符；对静止电荷而言库仑力满足大小相等、方向相反且作用在同一直线上，构成一对作用力与反作用力（仅对运动电荷，因电磁场携带动量，才不严格满足牛顿第三定律）。

第3页：电场强度

§9-3 电场强度

电场强度矢量

E = F/q₀，单位：牛/库（N/C）或伏/米（V/m）。它是定量描写电场中各点性质的物理量，是描写电场性质最基本的物理量。

试探电荷 q₀ 应满足：

• 体积很小，以便确定场中每点的性质；
• 电量很小，不影响原来电场的分布。

2、场强迭加原理（迭加原理是经典电磁学的一条基本原理）：当 q₀ 置于 q₁, q₂, …, q_n 产生的场中时，分别受到 f₁, f₂, …, f_n 的力，由实验知 f = f₁ + f₂ + … + f_n，故 E = f/q₀ = f₁/q₀ + f₂/q₀ + … + f_n/q₀ = E₁ + E₂ + … + E_n。

3、真空中点电荷电场中的场强：E = q r̂ /(4πε₀ r²)，方向沿位矢方向（正电荷向外）。

第4页：场强的计算

（2）点电荷系电场中的场强：设真空中有 q₁, q₂, …, q_n 个电荷，各电荷单独产生的场强为 E_i = q_i r̂_i /(4πε₀r_i²)，由迭加原理得

E = Σ_i q_i r̂_i /(4πε₀r_i²)。

（3）任意带电体电场中的场强：把带电体分割为电荷元 dq，则 dE = dq·r̂ /(4πε₀r²)，E = ∫ dE = ∫ r̂ dq /(4πε₀r²)。

第5页：电偶极子的场强

例 9-2：试计算电偶极子轴线上各点和中垂线上各点的场强。

（1）轴线上 A 点的场强：E₊ = q/[4πε₀(r − l)²]，E₋ = q/[4πε₀(r + l)²]，两者方向相反，故

E_A = q[1/(r − l)² − 1/(r + l)²]/(4πε₀) = 2qlr /[4πε₀(r² − l²)²]。当 l ≪ r 时，E_A = 2ql/(4πε₀r³) = p/(2πε₀r³)，其中电偶极矩 p = ql。

（2）中垂线上 B 点的场强：B 到 ±q 的距离都是 √(r² + l²)，E₊ = E₋ = q/[4πε₀(r² + l²)]；仅考虑沿连线方向的分量，E_B = 2E₊cosα = ql/[4πε₀(r² + l²)^3/2]。当 l ≪ r 时，E_B = ql/(4πε₀r³) = p/(4πε₀r³)，方向与电偶极矩方向相反。

第6页：带电圆环轴线的场强

例 9-3：试计算均匀带电圆环轴线上任一给定点 P 处的场强。设圆环半径为 R、周长为 L、所带电量为 q，P 点与环心的距离为 x。

在圆环上任取微元 dl，其带电量 dq = q dl/(2πR)；微元电荷在 P 点产生的场强大小为 dE = dq/(4πε₀r²) = q dl/(8π²ε₀R r²)。由对称性，垂直于轴线的分量相互抵消，故

E = ∫ dE cosθ = (q/(8π²ε₀R r²)) cosθ ∫ dl = q cosθ/(4πε₀r²)。

由图中几何关系 cosθ = x/r，r² = R² + x²，得

E = qx /[4πε₀(x² + R²)^3/2]，方向沿轴线。

讨论：

• 当 x ≫ R 时，E ≈ q/(4πε₀x²)，相当于点电荷的场强；
• 当 x = 0 时，E = 0，即圆环中心处的场强为零。

第7页：高斯定理

§9-4 高斯定理（可由库仑定律和场强迭加原理导出）

在真空中的任何静电场中，通过任一闭合曲面的电场强度通量等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和的 ε₀ 分之一，与闭合曲面以外的电荷无关，即

∯_S E·dS = Σq_i/ε₀。

关于高斯定理的几点说明：

1. 它是静电场及电磁学的基本定律，表明静电场是有源场，电荷是电力线的源；
2. 高斯定理中 E 是总场；式中表示穿过闭合曲面的电通量，仅由闭合曲面内的电荷决定；
3. 高斯定理对静电场普遍适用，但仅对电荷分布具有空间对称性的电荷系统，才可能用此定理直接计算场强。

高斯定理推导分四步：

1. 点电荷位于球面的球心；
2. 点电荷位于任意闭合曲面之内；
3. 点电荷位于任意闭合曲面之外；
4. 由迭加原理推广到闭合曲面包围任意带电体的情形。

第8页：高斯定理的证明

高斯定理的证明：基本关系是点电荷 q 的场强 E = q/(4πε₀r²)。

1、点电荷 q 位于球面的中心：∯_S E·dS = q·4πr²/(4πε₀r²) = q/ε₀。

2、点电荷位于闭合曲面之内：利用立体角关系 dS cosθ/r² = dΩ，有

∯_S E·dS = ∯ q dS cosθ/(4πε₀r²) = q/(4πε₀) ∯ dΩ = q/ε₀。

3、点电荷位于闭合曲面之外：电力线穿入与穿出的通量大小相等、符号相反，

∯_S E·dS = ∯_S1 E·dS + ∯_S2 E·dS = −q/(4πε₀) ∯ dΩ + q/(4πε₀) ∯ dΩ = 0。

4、对多个点电荷：分别处于闭合曲面之内或之外，利用场强迭加原理立即可得 ∯_S E·dS = Σq_内/ε₀。

注：源文本中被积式的角标与积分号有粘连，此处按标准立体角（dΩ = dS cosθ/r²）推导过程整理。

第9页：高斯定理的应用

高斯定理的应用：对具有对称性的情形，直接运用高斯定理求场强往往比较简单。

例题 9-4：求均匀带电球体的电场。设球的半径为 R、电荷体密度为 ρ，总电荷 q = (4/3)πR³ρ。取同心球形高斯面，∯ E·dS = q′/ε₀。

当 r < R 时：q′ = ρ·(4/3)πr³，E·4πr² = ρ(4/3)πr³/ε₀，得 E₁ = ρr/(3ε₀) = qr/(4πε₀R³)；

当 r > R 时：E·4πr² = q/ε₀，得 E₂ = q/(4πε₀r²)。

例题 9-5：在半径为 R₁ 和 R₂ 的两个同心球面上，分别均匀分布着电荷 Q₁ 和 Q₂，求（1）Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 三个区域内的场强分布；（2）若 Q₁ = −Q₂ 时情况如何。

由分析知问题具有球对称性，取球形高斯面：

当 Q₁ = −Q₂ 时，E₃ = 0，E₁、E₂ 同上，可据此画出 E–r 曲线。

第10页：电场力的功与电势

§9-5 电场力的功　电势

1、与重力场对照：在点电荷电场中 q₀ 从 a 移到 b，元功 dA = F·dl = q₀E·dl = q₀E dl cosθ = q₀E dr，

A_ab = ∫_a^b q₀E·dl = q₀q(1/r_a − 1/r_b)/(4πε₀)。

对一般静电场，可看成各点电荷电场的迭加：A_ab = Σ_i q₀q_i(1/r_ia − 1/r_ib)/(4πε₀)，说明电场力的功只与始末位置有关，与路径无关。

电势能

W_a − W_b = A_ab = q₀ ∫_a^b E·dl；取 W_∞ = 0，则 W_a = A_a∞ = q₀ ∫_a^∞ E·dl。

电势

V_a = W_a/q₀ = ∫_a^∞ E·dl = ∫_a^∞ E cosθ dl。

电势差

U_ab = V_a − V_b = ∫_a^b E·dl，故 A_ab = q₀(V_a − V_b) = q₀U_ab。

2、电势的计算：见下页的电势迭加法。

第11页：电势的计算

① 电势迭加法

Ⅰ、点电荷的电势：V_P = A_P∞/q₀ = q/(4πε₀r)。

Ⅱ、点电荷系电场中的电势：V_P = ∫_P^∞ E·dl = Σ_i ∫_P^∞ E_i·dl = Σ_i V_i = Σ_i q_i/(4πε₀r_i)。

Ⅲ、带电体电场中的电势：V_P = ∫ dq/(4πε₀r)。

注：源文本中积分变量与下标有粘连，表中按标准电势迭加公式整理。

第12页：电势迭加例题

例 9-6：在同一直线上有三个点电荷 q₁、q₂、q₃，设 q₁ = q₀，q₂ = −3q₀，q₃ = 2q₀，试求点电荷 q₂ 正上方距 q₂ 为 a 处一点 P 的电势。

（1）由电势迭加原理：V_P = V₁ + V₂ + V₃ = q₁/(4πε₀r₁) + q₂/(4πε₀r₂) + q₃/(4πε₀r₃)，代入 r₁ = r₃ = √2 a、r₂ = a 得

V_P = q₀/(4πε₀√2 a) − 3q₀/(4πε₀a) + 2q₀/(4πε₀√2 a) = 3q₀(1 − √2)/(4πε₀√2 a)。

因为 (1 − √2) < 0，得 V_P < 0。

（2）场强积分法：也可利用高斯定理先求出 E，再积分得 V_P = ∫_P^∞ E·dl，两种方法结果一致。

注：源文本中分母出现「2a4πε」等粘连排版，此处按三个电荷到 P 点的距离分别为 √2 a、a、√2 a 还原计算过程。

第13页：等势面与电势的梯度

§9-6 等势面　电势的梯度

一、等势面：电势相等的点组成的面叫等势面。性质：

1. 等势面与电力线处处正交；
2. 等势面较密的地方场强大，较疏的地方场强小；
3. 可以方便地从电力线给出等势面，反之亦然。

二、电势的梯度：「梯度」指物理量的空间变化率。V 沿 dl 方向的微商 dV/dl = lim_Δl→0(ΔV/Δl)；沿 dn（等势面法向）方向的微商 dV/dn = lim_Δn→0(ΔV/Δn)。

由 dn = dl cosφ 得 dV/dl = (dV/dn) cosφ ≤ dV/dn，即在所有方向导数中，沿法向的方向导数最大。

定义 P 点处的电势梯度矢量 gradV = ∇V = (dV/dn) n̂，考虑其方向得

E = −∇V = −gradV = −(dV/dn) n̂，即电场强度等于电势梯度的负值。

其中 ∇ 算子：直角坐标系（x, y, z）中 ∇ = î ∂/∂x + ĵ ∂/∂y + k̂ ∂/∂z；柱面坐标系（ρ, φ, z）中 ∇ = ρ̂ ∂/∂ρ + φ̂ (1/ρ)∂/∂φ + k̂ ∂/∂z；球面坐标系（r, θ, φ）中 ∇ = r̂ ∂/∂r + θ̂ (1/r)∂/∂θ + φ̂ (1/(r sinθ))∂/∂φ。

第14页：由电势求场强

例 9-8：从点电荷的电势表达式 V = q/(4πε₀r)，求点电荷的电场。

取 q 处在原点处，由于具有球对称性，取球坐标系，E_θ = E_φ = 0，只有径向分量

E_r = −dV/dr = −(d/dr)[q/(4πε₀r)] = q/(4πε₀r²)。

写成矢量形式即 E = q r̂ /(4πε₀r²)，与库仑定律给出的点电荷场强一致。