05 狭义相对论4.doc

第1页：伽利略相对性原理与经典时空观

第五章 狭义相对论基础

§5.1 伽利略相对性原理 经典力学的时空观

一、伽利略（牛顿力学）相对性原理

对力学规律而言，所有的惯性系都是等价的；或者说，在一个惯性系中所作的任何力学实验都不能够确定这一惯性系本身是静止状态，还是匀速直线运动。力学中不存在绝对静止的概念，不存在一个绝对静止的优越惯性系。

二、伽利略坐标变换式 经典力学时空观

设当 O 与 O′ 重合时 t = t′ = 0 作为记时的起点，同一事件在 K 系中为 (x, y, z, t)，在 K′ 系中为 (x′, y′, z′, t′)，按经典观念有

所谓绝对时空：

1. 时间：时间间隔的绝对性与同时的绝对性，即 Δt′ = Δt，t′ = t。时间是与参照系无关的不变量；
2. 空间：若有一把尺子，两端坐标在 K 中为 P₁(x₁, y₁, z₁, t)、P₂(x₂, y₂, z₂, t)……

第2页：牛顿相对性原理与狭义相对论的引子

在 K′ 中尺子两端坐标为 P₁′(x₁′, y₁′, z₁′, t′)、P₂′(x₂′, y₂′, z₂′, t′)，有 Δr = √(Δx² + Δy² + Δz²)，Δr′ = √(Δx′² + Δy′² + Δz′²)；由 t′ = t 得 Δr = Δr′，即长度（空间间隔）是与参照系无关的不变量，或长度（空间间隔）的绝对性。

由加速度变换 a_x′ = a_x，a_y′ = a_y，a_z′ = a_z，且认为 F′ = F、m′ = m，因此：在 K′ 中有 F′ = m′ a′，在 K 中有 F = m a。

由牛顿的绝对时空以及「绝对质量」的概念，得到牛顿相对性原理。总结：牛顿定律在所有惯性系都具有相同的表述形式，即牛顿定律在伽利略变换下是协变的，牛顿力学符合力学相对性原理。

§5.2 狭义相对论基本原理与光速不变

一、引子：相对论主要是关于时空的理论。局限于惯性参考系的理论称为狭义相对论，推广到一般参考系和包括引力场在内的理论称为广义相对论。

牛顿力学的困难：

1. 打排球、发点球等日常力学现象；
2. 超新星爆发过程中光线传播引起的疑问，如「蟹状星云」有较为详实的记载：「客星」最初出现于公元 1054 年，历时 23 天，往后慢慢暗下来，直到 1056 年才隐没。按牛顿观点，v ≈ 1500 km·s⁻¹、l ≈ 5000 光年，会持续 25 年能看到超新星开始爆发时发出的强光，其实不然；
3. 电动力学的例子。

第3页：狭义相对论基本原理与光速不变

物理规律需要用一定参考系来表述：麦克斯韦方程组 → 波动方程 → 真空中光速 c → 以太参考系 → 寻找以太参考系 → 寻找到？

爱因斯坦提出所面临的困难处境：

1. 存在力学相对性原理，但不适用于电动力学，对电动力学存在一个优越的惯性系——以太参考系；
2. 存在一个既适用于力学又适用于电动力学的相对性原理，但麦克斯韦给出的电动力学规律（麦克斯韦方程组）不正确；
3. 存在一个既适用于力学又适用于电动力学的相对性原理，但牛顿给出的力学不正确。

爱因斯坦认为：这种不对称不像是自然现象本身所固有的问题，大概发生在我们所习惯的旧概念和理论上。他发现：只要把作为经典物理学基础的空间和时间观念加以改变，这种「不对称」就可以消除；他猜想：绝对静止这一概念不仅在力学中，而且在电动力学中也不符合现象的特性。

二、狭义相对论基本原理（将猜想提升为假设）

1、狭义相对论的相对性原理（力学相对性原理的推广）

对一切物理规律而言，所有惯性系都是等价的。

2、光速不变原理

真空中的光速相对于任何惯性系沿任一方向恒为 c，且与光源运动无关。

§5.3 狭义相对论的时空观

一、引子：同时性的相对性与时间延缓

1. 两时钟（异地）的校准问题；
2. 同时的相对性：在 K′ 系中光同时到达 A′ 和 B′；在 K 系中光速不变，光先到达 A′ 而后到达 B′。

第4页：同时性的相对性与时间膨胀

反之，在 K′ 系中 A′ 和 B′ 同时发光、同时到达 M′ 点；而在 K 系中 A′ 的光先到达 M、B′ 的光后到达 M。以上情况，当参考系朝负方向运动，一切都反过来。

在一惯性系中异地对准的时钟，在另一个惯性系上观察会变得不准了，这就是同时的相对性的意义。

3、时间的膨胀（时钟的延缓）

①垂直于相对运动方向的长度测量与运动无关，可用火车过山洞的例子定性加以说明。

②设光信号在 K′ 系中往返，路程为 2b，则 Δt′ = 2b/c；在 K 系中光走斜线，满足 (c Δt/2)² = b² + (u Δt/2)²，解得

Δt = 2b/(c√(1 − u²/c²)) = Δt′/√(1 − β²) = γ Δt′，其中 β = u/c，γ = 1/√(1 − β²)。

静止钟所显示的时间间隔 Δτ 称为固有时，Δτ = Δt′，故

Δt = Δτ/√(1 − β²) = γ Δτ

注意：Δt′ 是一个钟的时间差，Δt 是异地两个钟的先后差。

当 O 与 O′ 重合发出光信号、O 与 O′ 再次重合收到光信号，又由光速不变原理，如图，以上结果是显然的，除非光速为无穷大。

第5页：长度的相对性与固有长度

二、长度的相对性（运动长度的收缩）与长度收缩

1、长度的相对性（火车与站台的例子）：

• K 系（对站台）：AB 静止，长度为 AB。设 A 与 A′ 重合、B 与 B′ 重合同时发生，则 AB 即为火车的长度；
• K′ 系（对火车）：设 A 与 A′ 重合在前，B 与 B′ 重合在后，故 AB < A′B′。

尖锐的例子——列车过隧道：地面上看，列车与隧道一样长，可避免雷击；火车上看，列车长、隧道短，但 A′(A) 在先、B′(B) 在后，也可避免雷击。

这里 L₀ = A′B′ 称为物体的固有长度。同一物体的长度在不同的参考系内测量会得到不同的结果，这就是长度相对性的意义。

2、垂直于运动方向尺子不收缩（图为 A(A′)、B(B′) 两讯号同时到达 C(C′)）。

3、洛伦兹收缩。

第6页：洛伦兹收缩与三个补充例题

推导：K 系中 l = u(t₂ − t₁)，其中 t₂ − t₁ 是一个钟的读数，是固有时；K′ 系中 l′ = u(t₂′ − t₁′)。因为 (t₂ − t₁) = (t₂′ − t₁′)√(1 − u²/c²)，故

l = l′ √(1 − u²/c²)

l′ 是静止长度，又称固有长度，固有长度最长；l 是在 K 中测得的运动长度。

补例 4：用洛伦兹变换验证长度的收缩公式。K′ 系中静止的棒 l′ = x₂′ − x₁′；K 系中必须同时测，即 t₂ = t₁，l = x₂ − x₁。由 x′ = (x − u t)/√(1 − u²/c²) 得 l′ = (x₂ − u t₂)/√(1 − u²/c²) − (x₁ − u t₁)/√(1 − u²/c²) = l/√(1 − u²/c²)，故 l = l′√(1 − u²/c²)。

第7页：洛伦兹变换的推导

§5.4 洛伦兹变换推导

P 处发生的某事件 (x, y, z, t) 与 (x′, y′, z′, t′) 在两参考系之间的坐标变换关系。

如图，在 K 中，x = u t + x′√(1 − u²/c²)……①，解得 x′ = (x − u t)/√(1 − u²/c²)；

下图，在 K′ 中，x′ = x√(1 − u²/c²) − u t′……②

其中 γ = 1/√(1 − u²/c²)。

第8页：光速不变原理的验证

补例：求证下列三种情形下合成速度的性质（v′ 为物体在 K′ 系中的速度，u 为 K′ 系相对 K 系的速度）：

其中速度合成公式为 v = (v′ + u)/(1 + v′u/c²)。

讨论：很明显，上式符合光速不变原理的要求，也说明 c 已具有无穷大的一些性质，体现了 c 是物质运动的最大速度，也是一切相互作用物体的极限速度。

第9页：相对论速度变换

§5.5 相对论速度变换

K 系中 v_x = dx/dt，v_y = dy/dt，v_z = dz/dt；K′ 系中 v_x′ = dx′/dt′，v_y′ = dy′/dt′，v_z′ = dz′/dt′。

由洛伦兹变换微分：dx′ = γ(dx − u dt)，dt′ = γ(dt − u dx/c²)，故 v_x′ = (v_x − u)/(1 − u v_x/c²)；同理 v_y′ = v_y√(1 − u²/c²)/(1 − u v_x/c²)，v_z′ = v_z√(1 − u²/c²)/(1 − u v_x/c²)。

第10页：平行尺补例与相对论动力学方程

补例：设有两根相互平行的尺子，在各自静止的参考系中长度均为 l₀。它们以相同的速率 u 相对于某一参考系运动，但运动方向相反，且平行于尺子。求在一根尺上测量另一根尺子的长度。

解：先由速度变换求相对速度 v_x = (v′ + u)/(1 + v′u/c²)，其中 v′ = u，得 v_x = 2u/(1 + u²/c²)；再代入长度收缩公式

l = l₀√(1 − v_x²/c²) = l₀√[1 − 4u²/(c²(1 + u²/c²)²)] = l₀(1 − u²/c²)/(1 + u²/c²)。

注：常见误解是直接用 l = l₀√(1 − u²/c²)。主要错误在于长度收缩公式 l = l₀√(1 − u²/c²) 是有条件的——必须在 K 系上同时测量；而由同时的相对性，不可能在 K、K′ 上同时满足这两个条件。

关于相对性与绝对性：时空量度的相对性、因果联系的绝对性。

§5.6 狭义相对论动力学基础

一、相对论力学的基本方程

动量 P = mv，牛顿第二定律 F = dP/dt = d(mv)/dt（若认为 m 不变，则该式对洛伦兹变换非协变）。若定义

P = mv = m₀v/√(1 − v²/c²)，则 F = dP/dt

注：①可以证明，上式对洛伦兹变换是协变的，满足相对论协变性要求；②当 v ≪ c 时，上式就过渡到经典力学，其中 m₀ 称为粒子的静止质量，而 m = m₀/√(1 − v²/c²) 称为粒子的运动质量。

第11页：质能关系与相对论动能

二、质能关系、质量亏损与结合能

1、讨论：静止质量为 m₀ 的粒子在外力作用下速率由 0 增加到 v，力所作的功仍然定义为与粒子最后的动能相等：

E_k = ∫ F·dr = ∫ v·d(mv)，其中 v·d(mv) = m v·dv + v·v dm = m v dv + v² dm。

由 m = m₀/√(1 − v²/c²)，两端平方得 m²c² − m²v² = m₀²c²，两边取微分得 2m c² dm − 2m v² dm − 2m² v dv = 0，即 c² dm = v² dm + m v dv，故 v·d(mv) = c² dm。

于是

E_k = ∫ c² dm = m c² − m₀ c² —— 相对论的动能公式。

由 1/√(1 − v²/c²) = 1 + ½(v²/c²) + (3/8)(v⁴/c⁴) + … ≈ 1 + ½(v²/c²)，得 E_k = m c² − m₀ c² ≈ ½ m₀ v²，回到经典动能。

注：1、静止能量 m₀c² 的得出是相对论协变性要求的结果；根据能量转化守恒定律，只有当 m₀c² 可以转化为其他形式的能量时，这项作为能量的一部分才有物理意义。2、质能关系反映了作为惯性量度的质量与作为运动量度的能量之间的关系。几个粒子相互作用时，最一般的能量守恒为 ΣE_i = Σ(m_ic²) = 常量，即质量守恒。历史上能量守恒与质量守恒是分别发现的两条相互独立的自然规律，在相对论中二者完全统一起来了。必须强调：历史上的质量守恒只涉及粒子的静止质量，只是相对论质量守恒在粒子能量变化很小时的近似。

第12页：结合能、质量亏损与热核反应

一般情况下，当能量变化较大时，以上守恒给出的粒子静止质量也是可以改变的。原子能时代可以说随同这一关系的发现而到来。总之 E = m c² 确切地表明了质量与能量的不可分性。

2、讨论：一组粒子组成的复合物体（如原子核或宏观物体），质能关系式仍然成立。设物体的总质量为 M₀，则 E₀ = M₀ c²（物体静止时的能量）。一般情况下 E₀ ≠ Σ m_i0 c²，其中 m_i0 为第 i 个粒子的静止质量。称

ΔE = Σ m_i0 c² − E₀ 为物体的结合能；ΔM = Σ m_i0 − M₀ 为质量亏损（应理解为静质量亏损）；则 ΔE = ΔM c²（也可称为质能关系）。

补例：某种热核反应 ²₁H + ³₁H → ⁴₂He + ¹₀n 中各粒子的静止质量是：氘核 m_D = 3.3437 × 10⁻²⁷ kg，氚核 m_T = 5.0049 × 10⁻²⁷ kg，氦核 m_He = 6.6425 × 10⁻²⁷ kg，中子 m_n = 1.6750 × 10⁻²⁷ kg。求这一热核反应释放的能量。

注：源文本中氦核静止质量排版为「1.6750 × 10⁻²⁷ kg」，与中子数值重复，按该反应的标准数据取 m_He = 6.6425 × 10⁻²⁷ kg 代入，方能得到课件给出的 0.0311 × 10⁻²⁷ kg 质量亏损。

1 kg 这种核燃料所释放的能量为 1 kg 优质煤燃烧所释放热量的一千多万倍。

第13页：动量与能量的关系

2、动量、能量的关系

经典力学中 E_k = p²/(2m)，对洛伦兹变换非协变。相对论中 E = m c² = m₀c²/√(1 − v²/c²)，p = m v = m₀ v/√(1 − v²/c²)。由 m²c² − m²v² = m₀²c² 可知 (E/c²)²c² − p² = m₀²c² 为不变量，故

E² = c² p² + m₀² c⁴（对洛伦兹变换协变）。

讨论：

1. 又因为 E = E_k + m₀c²，代入上式即 c²p² = E² − E₀²，得 E_k = √(m₀²c⁴ + c²p²) − m₀c²；当 v ≪ c 时 m ≈ m₀，即 E_k ≈ p²/(2m₀)；
2. 对 m₀ ≠ 0 的粒子，运动速度不可能等于 c，否则 m → ∞；但对 m₀ = 0 是可以的。

相对论中，可以存在静止质量为零的物体（粒子），且该粒子具有两个重要性质：①它们的运动速度等于真空中的光速 c；②它们的动量和能量满足 E = p c 或 p/E = 1/c，例如光子。

第14页：π介子衰变例题

例题（教材 p261 习题 5-21）：设有一 π⁺ 介子，在静止下来后衰变为 μ⁺ 子和中微子 γ。三者的静止质量分别为 m_π、m_μ 和 0，求 μ 子和中微子的动量、能量和动能。

解：在 π⁺ 介子质心系中，π⁺ 介子的动量和能量为 P_π = 0，E_π = m_πc²。设 p_μ 和 p_γ 分别为 μ 子和中微子的动量，它们的能量分别为 E_μ = √(p_μ²c² + m_μ²c⁴)，E_γ = p_γ c。

由动量和能量守恒定律得

• p_μ + p_γ = p_π = 0 ……（1）
• √(p_μ²c² + m_μ²c⁴) + p_γ c = m_π c² ……（2）

由（1）p_μ = p_γ = p，代入（2）解得