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本课件先由圆孔、狭缝等障碍物使光进入影内的现象引出光的衍射，说明惠更斯—菲涅耳原理的数学表达；随后用菲涅耳半波带法推导夫琅和费单缝衍射的明暗条纹条件与条纹特点，讲解光栅常数、光栅方程、主极大之间的暗纹与缺级现象；最后讨论圆孔衍射的爱里斑、瑞利判据与光学仪器分辨本领，并配有单缝衍射与光栅光谱的完整计算例题。
第十八章 光的衍射 §18.1 光的衍射现象 惠更斯—菲涅耳原理
一、光的衍射现象：在圆孔、狭缝或其他障碍物都很小的情况下，由于它限制了光波的波阵面，结果有光进入影内，并且影外的光强分布也不均匀，这是光的直线传播定律不能解释的，我们称这种现象为光的衍射（绕射）。
二、惠更斯—菲涅耳原理：从同一波阵面上各点发出的波，经传播而在空间某点相遇时，也可相互叠加而产生干涉现象（经过这样发展了的惠更斯原理）称为惠—菲原理。
利用以上原理，面元 ds 发出的光在 P 点产生的振动为
dy ∝ [K(α) ds/r]·sin 2π(t/T − r/λ)， 或 dy = c·[K(α)/r]·sin 2π(t/T − r/λ)·ds，
其中 K(α) 为随 α 角增大而缓慢减小的函数，c 为比例常数。于是波阵面 S 在 P 点产生的振动为
y = ∫dy = c∫∫S [K(α)/r]·sin 2π(t/T − r/λ)·ds （a）
若波阵面上各点的振幅有一定的分布、分布函数为 a(si)，则
y = c∫∫S [a(si)K(α)/r]·sin 2π(t/T − r/λ)·ds （b）
一般来说，（a）和（b）式是相当复杂的积分。
§18.2 单缝和圆孔夫琅和费衍射
一、夫琅和费衍射和菲涅耳衍射：对入射光和衍射光均为平行光的衍射称为夫琅和费衍射，否则称为菲涅耳衍射。
二、夫琅和费单狭缝衍射：利用菲涅耳半波带法分析，对应衍射角 φ 时缝两边缘光线的光程差为
BC = a sinφ（φ 为衍射角）。
通过分析：第一次出现暗纹在 a sinφ = λ 与 a sinφ = −λ 的角处；当 −λ < a sinφ < λ 时为中央明区，当 φ 很小时 φ ≈ sin-1(λ/a) ≈ λ/a，φ 称为半角宽度；当 a sinφ = ±2k·λ/2 = ±kλ（k = 1,2,3…）时为暗处，对应 1、2、3… 级暗条纹；当 a sinφ = ±(2k+1)λ/2（k = 1,2,3…）时为明条纹中心处，对应 1、2、3… 级明条纹。
| 条纹 | 条件 | 级次 |
|---|---|---|
| 暗条纹 | sinφ = ±kλ/a | k = 1,2,3…（k ≠ 0） |
| 明条纹中心 | sinφ = ±(2k+1)λ/(2a) | k = 1,2,3… |
| 中央明纹半角宽度 | φ0 ≈ λ/a（即 a sinφ = ±λ 之间） | 中央明区 |
衍射图样的特点：
§18.3 衍射光栅 一、光栅的构造
分透射光栅和反射光栅。设光栅缝宽为 a，每条刻痕的宽度为 b，则 a + b 称为光栅常数。若每厘米刻痕为 5000 条，则光栅常数为
a + b = (1/5000) cm = 2×10-4 cm = 2×10-3 mm。
注：源文本写作「2×10-3mm」，按 1 cm ÷ 5000 = 2×10-4 cm = 2×10-3 mm 换算，两者一致，此为标准值。
二、光栅的衍射条纹：分析知，光栅条纹是干涉和衍射的综合结果，所有狭缝的衍射条纹在屏幕上相互重合。
则衍射暗纹位置：a sinφ = ±k′λ（k′ = 1,2,3…）；相邻缝干涉明纹（主极大）位置：
(a + b) sinφ = ±kλ（k = 0,1,2…），称为光栅公式。干涉条纹要受到衍射条纹的调制。
讨论一具体情形：设某光栅缝数 N = 4，a + b = 4a（a 为缝宽）。以 (a+b)sinφ = 4a sinφ 为横坐标、光强为纵坐标作图：
| 项目 | 条件 | 说明 |
|---|---|---|
| 单缝衍射暗纹 | 4a sinφ = ±k′λ，即 a sinφ = ±k′λ/4 | 衍射因子的零点 |
| 中央明纹宽度 | 4a sinφ 从 −4λ 到 +4λ | 衍射中央包络 |
| 干涉主极大 | 4a sinφ = ±kλ，k = 0,1,2… | 受单缝衍射包络调制 |
对干涉 (a+b)sinφ = ±kλ 而言，两明纹之间出现暗的可能较多：在两主极大之间，即位相差从 0 到 2π 之间，相邻位相差为 π/2、π、3π/2 时均可出现极小，故两主极大之间有 N − 1 条暗纹（本例 N = 4，为 3 条暗纹）。
当某一 φ 同时满足 a sinφ = ±k′λ（k′ = 1,2,3…）与 (a+b)sinφ = ±kλ（k = 0,1,2…）时出现缺级，由两式相除得
k = [(a+b)/a]·k′，缺级级数为 k = 4, 8, 12…（本例 a + b = 4a，(a+b)/a = 4）。
三、衍射光谱：由光栅公式可知，除 k = 0 外，k = 1,2… 明纹的位置与 λ 有关，两侧按由紫到红展开，形成光谱，称为光栅光谱。
§18.4 夫琅和费圆孔衍射：光学仪器的分辨率
当入射光和衍射光都是平行光、而狭缝用小圆孔代替时，经计算：中央明光斑称为爱里（Airy）斑，光能约占总入射能量的 84%，其余约 16% 分布在周围各级亮斑中。
| 项目 | 公式 | 说明 |
|---|---|---|
| 爱里斑半角宽度 | θ ≈ sinθ = 0.610λ/R = 1.22λ/D | R、D 为圆孔的半径和直径；为第一极小对通过圆孔中心法线的夹角 |
| 爱里斑半径 | r1 = fθ = 0.610λf/R = 1.22λf/D | L2 的焦距为 f |
| 最小分辨角（瑞利判据） | δφ = θ = 1.22λ/D（狭缝状孔径 a：δφ = λ/a） | 甲图样中央最大与乙图样第一最小重合时两物点的张角 |
| 分辨本领 | R = 1/δφ = D/(1.22λ) | 孔径越大、波长越短，分辨本领越高 |
当 λ/D ≪ 1 时，过渡到直线传播。
例：在通常的明亮环境中，人眼瞳孔直径约为 3 mm，问人眼的最小分辨角是多大？如果纱窗上两根细丝之间的距离为 2.0 mm，问人离开纱窗多远恰能分辨清楚？
解：以视觉感受最灵敏的黄绿光来讨论，波长 λ = 550 nm，人眼的最小分辨角为
θR = 1.22λ/D = 1.22×550×10-9/(3.0×10-3) rad = 2.2×10-4 rad。
设人离开纱窗的距离为 s，纱窗上相邻两根细丝的间距为 l，对人眼来说张角 θ ≈ l/s。当恰能分辨时应有 θ = θR，于是
s = l/θR = 2.0×10-3/(2.2×10-4) m = 9.1 m，
即人眼能分辨纱窗细丝的最远距离约为 9 m。
本章小结
（1）平行光垂直入射：a sinφ = ±(2k+1)λ/2（k = 1,2,3…）为明，a sinφ = ±kλ（k = 1,2,3…）为暗。这里 k ≠ 0：在暗纹公式中 k = 0 实际上对应中央极大的中心；在明纹公式中 k = 0 时 a sinφ = λ/2，实际上对应中央明条纹内既不最亮也不最暗的点。
（2）当平行光以 ψ 角入射时，两边缘处已有 a sinψ 的光程差，故
a(sinψ + sinφ) = ±kλ（暗）， a(sinψ + sinφ) = ±(2k+1)λ/2（明），k = 1,2…
且入射光和衍射光在单缝法线两侧时 φ 取负值，在法线同侧时 φ 取正值；这时衍射条纹将发生移动，中央明条纹的中心在沿入射光线方向的透镜副光轴与屏幕的交点处。
（3）明条纹宽度：中央条纹角宽度 Δφ0 = 2λ/a，其他条纹角宽度 Δφ = λ/a；线宽度 Δx0 = Δφ0f，Δx = Δφ·f。
（4）若把装置放入水中，焦距和光程差改变都要考虑：
f水 = [n水(n玻 − 1)/(n玻 − n水)]·f空 = [1.33×(1.54 − 1)/(1.54 − 1.33)]·f空 = 3.42 f空；条纹宽度 Δx′ = 2.57 Δx（角宽变为原来的 1/n水，线宽度还与焦距有关）。
| 内容 | 公式 |
|---|---|
| 圆孔衍射半角宽度 | θ = 0.610λ/R = 1.22λ/D |
| 最小分辨角 | δφ = 1.22λ/D |
| 光学仪器分辨本领 | R = 1/δφ = D/(1.22λ) |
| 光栅方程（垂直入射） | (a + b) sinφ = ±kλ，k = 0,1,2…（明纹主极大） |
| 白光入射 | 除中央条纹是白色外，其他条纹都是从紫到红的彩色光谱；光谱随级数增加而增宽，较高级次的光谱有部分彼此重合 |
| 斜入射光栅方程 | (a + b)(sinψ + sinφ) = ±kλ，k = 0,1,2…；入射线与衍射线在法线同侧时 φ 取正值，反之取负值 |
由干涉明纹 (a+b)sinφ = ±kλ 与衍射暗纹 a sinφ = ±k′λ，当 k = [(a+b)/a]·k′（k′ = 1,2…）时发生缺级；令 M = (a+b)/a，则 M、2M、3M… 级缺级。
例 1：有一单缝，宽 a = 0.10 mm，在缝后放一焦距为 50 cm 的会聚透镜，用平行绿光（λ = 546.0 nm）垂直照射单缝，n玻 = 1.54，n水 = 1.33。试求：（1）位于透镜焦平面处的屏幕上中央明条纹和两侧任意相邻两暗条纹之间的距离；（2）若浸入水中，结果如何？
解 1：由 a sinφ = kλ，k = ±1 得暗纹半角宽 sinφ ≈ tgφ = xk/f，故
| 情形 | 第 k 级暗纹位置 xk | 中央明纹宽度 | 相邻暗纹间距 |
|---|---|---|---|
| 空气中 | xk = k fλ/a | Δx0 = x1 − x-1 = 2fλ/a = 5.46 mm | Δx = xk+1 − xk = fλ/a = 2.73 mm |
| 浸入水中 | x′k = k f水λ/(n水a) | Δx′0 = 2f水λ/(n水a) = 14.04 mm | Δx′ = f水λ/(n水a) = 7.02 mm |
2、透镜在水中的焦距：
f水 = [n水(n玻 − 1)/(n玻 − n水)]·f空 = [1.33×(1.54 − 1)/(1.54 − 1.33)]×0.50 m = 3.42×0.50 m = 1.71 m。
注意：角宽是原来的 1/n水，线宽度还与焦距有关（故浸入水中后线宽度反而增大）。
例 2：在垂直入射于光栅的平行光中，有 λ1 和 λ2 两种波长。已知 λ1 的第三级光谱线（即第三级明纹）与 λ2 的第四级光谱线恰好重合在离中央明条纹 5 mm 处，且 λ2 = 4861 Å，并发现恰好 λ1 的第五级光谱线缺级，透镜 f = 0.5 m。求：（1）λ1、a + b 是多少？（2）光栅最小缝宽 a？（3）能观察到 λ1 的多少条光谱线？
解：
| 小问 | 所用关系 | 结果 |
|---|---|---|
| （1）λ1 | (a+b)sinφ = k1λ1 = k2λ2，k1 = 3、k2 = 4 | λ1 = 4λ2/3 = 4×4861/3 = 6481 Å |
| （1）a + b | tgφ ≈ sinφ = x/f = 5×10-3/0.5 = 0.01，a + b = k1λ1/sinφ | a + b = 3×6481×10-10/0.01 m = 1.94×10-2 cm |
| （2）最小缝宽 a | 第 k 级缺级时 (a+b)sinφ = kλ 与 a sinφ = k′λ 同时成立，a = (a+b)k′/k；λ1 第五级缺级即 k = 5、k′ = 1 | amin = (a+b)/5 = 0.388×10-2 cm |
| （3）谱线数目 | 最大级次 kmax = (a+b)/λ1 = 299.35 ≈ 299；缺级 k = 5k′ ≤ 299 得 k′ ≤ 59 | 总条数 = 2×(299 − 59) + 1 = 481 条 |
能观察到的谱线数目取决于能出现的最大级数和缺级情况。因 sinφ = kλ1/(a+b) < 1，故 k < 299.35，取 kmax = 299；又缺级级次为 k = [(a+b)/a]k′ = 5k′，共缺 59 级（两侧各 59 条），故可观察 481 条。
例 3：利用一个每厘米有 4000 条缝的光栅，可以产生多少完整的可见光谱（可见光的波长 4000 Å — 7000 Å）？
解：设 λ1 = 4000 Å，λ2 = 7000 Å。由 (a+b)sinφ = kλ 可知，对 k 级光谱，是从 φ1k 到 φ2k：
(a+b) sinφ1k = kλ1， (a+b) sinφ2k = kλ2。
要产生完整的光谱，即要求 λ1 的 (k+1) 级条纹要在 λ2 的 k 级之后，即
kλ2 < (k+1)λ1 ⟹ 7000k < 4000(k+1) ⟹ 3000k < 4000 ⟹ k < 4/3。
故仅 k = 1 时上式满足（k ≥ 2 时均不满足），即该光栅只能产生 一个完整的可见光谱。
附注：该光栅的光栅常数 a + b = (1/4000) cm = 2.5×10-4 cm = 2.5 μm；第一级完整光谱展开在 sinφ 从 4000×10-10/(2.5×10-6) = 0.16 到 7000×10-10/(2.5×10-6) = 0.28 的角范围内。
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