16 光的干涉3.doc

第1页：光源、单色光与相干光

波动光学：基于光的波动性去研究光在传播过程中的各种现象及其应用的学科。波动光学的主要研究内容包括光的干涉、衍射和偏振。波动光学与量子光学、分子光学统称物理光学。

第十七章 光的干涉　§17.1 光源 单色光 相干光

一、光源：热光源、冷光源、荧光物质、磷光物质。

• 热光源：大量分子和原子在热能的激发下辐射电磁波，发光时间在 10^-8 s 数量级，波列长度在 1 m 数量级；
• 热光源在恒定温度下存在确定的宏观规律：如发射的总功率一定，能量按各种波长的分布也一定。

二、光的单色性：可见光是波长在 4000～7600 Å、亦即频率在 4.3×10¹⁴～7.5×10¹⁴ Hz 之间的电磁波。具有一定频率的光称为单色光；此外还有复色光以及光的色散、单色光的获得等问题。

三、光的相干性：波的干涉现象——已知两列机械波相遇发生干涉的条件是：振动频率相同、振动方向相同、位相相同或位相相差恒定。对于光波，振动矢量（简称光矢量）主要是指电场 E。对实际光的相干条件：

1. 频率相同的两光波在相遇点有相同的振动方向和固定的位相差（必要条件）；
2. 两光波在相遇点所产生的振动的振幅相差不悬殊；
3. 两光波在相遇点的光程差不能太大。

例：已知两列相干光的振幅表达式为 E₁ = E₁₀ cos(ωt − φ₁)，E₂ = E₂₀ cos(ωt − φ₂)，求合成光矢量 E = E₁ + E₂。

第2页：光矢量的合成与光强分布

因两光矢量是同方向的，故 E = E₁ + E₂ = E₀ cos(ωt − θ)，其中

E₀² = E₁₀² + E₂₀² + 2E₁₀E₂₀ cos(φ₂ − φ₁)，　θ = arctg[(E₁₀ sin φ₁ + E₂₀ sin φ₂)/(E₁₀ cos φ₁ + E₂₀ cos φ₂)]。

在观察的时间间隔 τ（τ ≫ 光的振动周期）内，平均光强 I 正比于 E₀²，即 I ∝ (1/τ)∫E² dt = E₁₀² + E₂₀² + (2E₁₀E₂₀/τ)∫cos(φ₂ − φ₁) dt。

屏幕上各点的强度重新分布：有些地方 I < I₁ + I₂，有些地方 I > I₁ + I₂。若 I₁ = I₂ = I，则

I = 2I[1 + cos(ΔΦ/2)] = 4I cos²(ΔΦ/2)。

• 当 ΔΦ = 0、±2π、±4π…时，I = 4I（最强）；
• 当 ΔΦ = ±π、±3π…时，I = 0（最暗）。

四、相干光的获得（见下页）。

第3页：相干光的获得与杨氏双缝干涉

普通两光源的光波不能满足相干条件，而来自同一光源的两束相干光，相当于来自两个位相等或位相差恒定的光源，这一对光源称为相干光源。通常有分波振面和分振幅两种方法。

§17.2 双缝干涉　一、杨氏双缝实验

实验结果：

1. 干涉条纹是以 P₀ 为对称点而明暗相间、等间距的，P₀ 处的中央条纹是明条纹；
2. 用不同的单色光源作实验时，条纹间距不同：波长短则条纹密，波长长则条纹疏。

二、干涉明暗条纹的条件：讨论 P 点，波程差 δ = r₂ − r₁ ≈ d sinθ，位相差 Δφ = 2πδ/λ。

用白光作实验，除中央条纹是白色外，两侧是由紫到红的彩色条纹；若两光束到达 P 点时的波程差不满足上述两条件，则 P 点光强介于最明和最暗之间。

第4页：双缝干涉条纹的位置与间距

4、计算各明暗条纹中心所在位置：在通常观察到条纹的情况，θ 角很小，sinθ ≈ tgθ，tgθ = x/D，故 δ ≈ d sinθ ≈ xd/D。

干涉条纹是等间距的，且与 λ 有关。

§17.3 光程和光程差：两光束在同一媒质中传播时，位相差 Δφ 和几何路程（波程差 δ）有关系 Δφ = 2πδ/λ，由 δ 或 Δφ 即可计算明暗条纹。但当两光束通过不同的媒质时，条纹不仅与 δ 有关，而且与媒质的性质有关。

设光在真空中的波速为 c、频率为 ν、波长为 λ，则光在折射率为 n 的媒质中的波速为 υ = c/n；由于对于不同媒质 ν 不变，所以在媒质中的波长 λ′ = λ/n。因 n > 1，故 λ′ < λ（波长变短）。若光波在某短时间内通过某一媒质的几何路程为 x、波数为 x/λ′，则在同样的时间内，同样波数的光波在真空中的几何路程将是 xλ/λ′ = nx。

第5页：光程与光程差

可见：对同一频率、同一时间间隔而言，光波在媒质中的几何路程 x 相当于在真空中的路程 nx。

光程

定义 nx 为光波在某一媒质中的光程。

光程差与位相差

若已知两相干光的光程差 δ，则 Δφ = ωδ/c = 2πνδ/c = 2πδ/λ，其中 λ 是真空中的波长。

干涉条件写成：

§17.4 薄膜干涉（半波损失）：薄膜干涉是通过分振幅方法来获得的（使用扩展的面光源）。

第6页：薄膜干涉的光程差与半波损失

已知 e、i、n₁、n₂，认为 a、b 两表面平行，由折射定律 n₁ sin i = n₂ sin r，且

AC = CB = e/cos r，　AD = AB sin i = 2e·tg r·sin i，

故反射光的光程差为 δ = n₂(AC + CB) − n₁·AD + λ/2 = 2n₂e/cos r − 2n₂e·tg r·sin r + λ/2，整理得

注：反射光光程差中的 λ/2 一项即半波损失——光从光疏媒质射向光密媒质并在界面反射时，反射光相对入射光附加 λ/2 的光程差；透射光无此项，故同一薄膜的反射与透射干涉图样互补。

讨论两种特殊情况：

第7页：等倾干涉与等厚干涉

总结：对平行平面板和楔形板，当光源是扩展光源时，所产生的干涉条纹都有一定的位置，这种干涉统称为定位干涉；当光源是点光源时，与光源在同一边的空间的任一点都可得到一定的干涉，称此干涉为不定位干涉。

例 1：一平面单色光波垂直照射在厚度均匀的薄油膜上，油膜覆盖在玻璃板上，油的折射率为 1.30，玻璃的折射率为 1.50，若单色光的波长可由光源连续可调，可观察到 5000 Å 与 7000 Å 这两个波长的单色光在反射中消失，试求油膜层的厚度。

第8页：油膜厚度的计算例题

解：由题意（油膜折射率 1.30 小于玻璃折射率 1.50，两次反射均由光疏到光密），不必计入半波损失，垂直入射 i = 0，n = n₂ = 1.30，光程差

δ = 2en = (k + 1/2)λ，k = 0,1,2…

当 λ₁ = 7000 Å 时：2en = (k₁ + 1/2)λ₁；　当 λ₂ = 5000 Å 时：2en = (k₂ + 1/2)λ₂。

讨论：因 λ₁ > λ₂，故 k₁ < k₂；又因 λ₁ 与 λ₂ 之间不存在第三个使反射消失的波长 λ₃（若有则 2ne = (k₃ + 1/2)λ₃，且 k₁ < k₃ < k₂），故 k₂ = k₁ + 1。

由 (k₁ + 1/2)λ₁ = (k₂ + 1/2)λ₂ = (k₁ + 3/2)λ₂ 得

k₁ = (3λ₂ − λ₁)/[2(λ₁ − λ₂)] = (3×5000 − 7000)/[2×(7000 − 5000)] = 2，

于是 e = (k₁ + 1/2)λ₁/(2n) = 2.5×7000/(2×1.30) Å = 6731 Å = 6.731×10^-7 m ≈ 6.73×10^-4 mm。

注：源文本中「1 mm」为数量级笔误，6731 Å 应换算为 6.73×10^-4 mm（即 6.73×10^-7 m），本页按标准换算给出。

附带可得介于 5000 Å 与 7000 Å 之间、同样在反射中消失的波长 λ₃ = 2ne/(k₃ + 1/2)（k₃ 取 k₁ 与 k₂ 之间的整数）。

§17.5 劈尖干涉　牛顿环　一、劈尖的干涉

第9页：劈尖干涉与牛顿环

垂直入射（i = 0）：讨论空气劈尖，让单色平行光垂直入射，n₁ > n₂ = 1，光程差

δ = 2e + λ/2 = kλ（k = 1,2,3…）为明条纹；δ = 2e + λ/2 = (2k+1)λ/2（k = 0,1,2…）为暗条纹。

计算相邻明（暗）条纹间距：厚度差 e_k+1 − e_k = (k+1)λ/2 − kλ/2 = λ/2，故

l = (e_k+1 − e_k)/sinθ = λ/(2 sinθ)　（空气中 n = 1，一般式为 l = λ/(2n sinθ)）；θ 小则条纹疏，θ 大则条纹密。

二、牛顿环（i = 0，n₂ = 1）：δ = 2e + λ/2 = kλ（k = 1,2,3…）为明环，δ = 2e + λ/2 = (2k+1)λ/2（k = 0,1,2…）为暗环。

计算某级明（暗）环的半径：r² = R² − (R − e)² = 2Re − e²，因 e ≪ R，故 r² ≈ 2Re，即 e ≈ r²/(2R)。

牛顿环的特点：

1. r 愈大条纹愈密，牛顿环不等间距；
2. R 愈大条纹愈疏；
3. 中央级别低、边缘级别高，与等倾干涉相反；
4. 实验中中央为一暗斑，k = 0 对应中央暗斑。

（第五版 P197 例 17-7；P28 例 17-5）

第10页：迈克耳逊干涉仪与相干长度

§17.6 干涉仪　干涉现象的应用　一、迈克耳逊干涉仪

对 M₁′ 与 M₂ 之间的空气层（n₁ = n₂ = 1），光程差 δ = 2e cos i。

• 当为面光源且 M₁ ⊥ M₂、即 M₁′ ∥ M₂ 时，可看到等倾干涉条纹，2e cos i = kλ 对应明条纹；
• 调节 M₂ 可看到条纹外冒或内陷，中间有个特殊位置视场均匀；
• 当 M₁ 与 M₂ 不完全垂直、即不完全平行时，可看到等厚干涉条纹（弯曲）；
• 当 M₂ 平移 Δe 时，视场将移过 Δk 条明条纹，Δe = Δk·λ/2。

二、相干长度：两分光束产生干涉效应的最大光程差 δ_m 叫做该光源的相干长度，它是描述光源相干性好坏的量。δ_m 实际等于波列的长度 L。

设波列持续时间为 Δt，可以证明单色光的谱线宽度满足 Δt·Δγ = 1，显然 δ_m = L = c·Δt = c/Δγ。由 γ = c/λ 取微分得 Δγ = c·Δλ/λ²，故

δ_m = λ²/Δλ，说明 δ_m ∝ 1/Δλ。

也可以这样说明：要弄清条纹必须满足（讨论明条纹）δ = k(λ + Δλ) = (k+1)(λ − Δλ)，解得 k ≈ λ/(2Δλ)，故 δ_m·Δλ = λ²/2。可见最大光程差与谱线宽度成反比：δ_m 大，时间相干性好。

第11页：本章小结：相干条件与双缝干涉

本章小节

1. 理解相干光的条件及获得相干光的两种基本方法——分振幅和分波振面。
2. 掌握杨氏双缝干涉实验的基本装置、干涉条纹的特点及条纹位置的计算。

3. 理解光程及光程差的概念，并掌握其计算方法；理解什么情况下反射光有半波损失；了解透镜不引起附加光程差的意义。
4. 薄膜干涉：δ = 2e√(n₂² − n₁² sin²i) + λ/2 = kλ（k = 1,2…）加强，= (2k+1)λ/2（k = 0,1,2…）减弱。

第12页：本章小结：劈尖、牛顿环与干涉仪

（a）劈尖干涉：等间距直条纹，2ne + λ/2 = kλ（k = 1,2,3…）为明纹，= (2k+1)λ/2（k = 0,1,2…）为暗纹；间距 l = e_k+1 − e_k 对应的长度为 l = λ/(2n sinθ)，对空气劈尖 n = 1，l = λ/(2 sinθ)。

（b）牛顿环：疏密不等的同心圆环，n = 1 时明环 r = √[(2k−1)Rλ/2]（k = 1,2…），暗环 r = √(kRλ)（k = 0,1,2…）。

若将装置浸在水中（n₂ ≠ 1），则明环 r = √[(2k−1)Rλ/(2n)]、暗环 r = √(kRλ/n)——条纹半径变小、条纹变密。

另外，由 r_k+m² − r_k² = mRλ 可得 λ = (r_k+m² − r_k²)/(mR)，或 R = (r_k+m² − r_k²)/(mλ)。

5. 了解迈克尔逊干涉仪的原理和应用。
6. 了解光源的单色性和相干性，了解相干长度的意义（δ_m = λ²/Δλ）。