09 导体和电介质中的静电场2.doc

第1页：静电场中的导体

第十章 导体和介质中的静电场

§10-1 静电场中的导体

一、导体与导体静电平衡的条件：导体内部 E_i = E + E′ = 0；导体表面 E ≠ 0。归纳有二条：

1. 导体内部任一点的场强都等于零；
2. 导体表面附近的场强和表面垂直。

由 E = −∇V = 0 ⇒ V = 常数，U_ab = ∫_a^b E·dl = 0 ⇒ V_a − V_b = 0，可知：导体是等势体，导体表面是等势面。

二、导体电荷的分布：由高斯定理 ∯_S E·dS = Σq_i/ε₀，且导体内部 E_i = 0，得导体内部没有净电荷，电荷只能分布在表面。有空腔时分成两种情况：

1. 空腔内有其它带电体；
2. 空腔内没有其它带电体。

第2页：导体电荷分布与静电屏蔽

导体处于静电平衡时的性质：

1. 导体是等势体，导体表面是等势面；
2. 导体内部没有静电荷，电荷只能分布在表面（包括内表面）；
3. 紧靠导体表面外的各点场强方向与导体表面垂直，若面密度为 σ，则 E = σ/ε₀。

三、静电屏蔽：

1. 封闭导体（不论接地与否）内部电场不受壳外电荷的影响；
2. 接地封闭导体（或金属丝网）外部电场不受壳内电荷的影响。

注意：

• 无论导体壳内是否有电荷，壳外电荷的分布均不影响壳内场；这并不意味着壳外电荷不在壳内空间产生电场，而是壳外电荷与壳表面感应电荷在壳内空间的合电场为零；
• 若壳不接地，则壳内电荷将影响壳外的场，但该影响与壳内电荷的位置无关。

§10-2 静电场中的电介质及其极化

一、极化的微观机制

无极分子的位移极化

如 H₂、N₂、CH₄、He 等。

有极分子的取向极化

如 H₂O、HCl、NH₃、CO、SO₂、H₂S、甲醇（CH₃OH）等。

第3页：极化强度矢量

室温下各类材料的电阻率：电介质 ρ ≈ 10⁸～10¹⁸ 欧·米；半导体 ρ ≈ 10^-5～10⁶ 欧·米；金属导体 ρ ≈ 10^-8～10^-6 欧·米。

二、极化强度矢量 P

定义

P = Σp_分子/ΔV，即单位体积内的电矩矢量和，单位：库仑/米²（C/m²）。

2、束缚电荷的分布与极化强度矢量的关系：设柱内极化是均匀的，ΔV 很小，两底面出现的束缚（极化）电荷面密度分别是 +σ′、−σ′，则整个斜柱体相当于一个偶极子，电矩 ql = σ′ΔS l，即 Σp = σ′ΔS l。按定义 P = Σp/ΔV = σ′ΔS l/(ΔS l cosθ) = σ′/cosθ × cosθ，故

σ′ = P cosθ = P_n，即 σ′ = P·n̂，束缚电荷面密度等于 P 沿介质表面外法线方向的分量。

第4页：电位移矢量与有介质的高斯定理

3、极化规律：束缚电荷 ±σ′ 产生的场 E′ 称为退极化场。由场强迭加原理，介质中的总场强 E = E₀ + E′。实验表明，对大多数各向同性电介质有 P = χ_eε₀E，其中 χ_e 叫做极化率，与 E 无关，只与介质的种类有关。

三、电位移矢量 D 与有介质的高斯定理、介电常量

1、有介质时的高斯定理：∯_S E·dS = (Σq₀ + Σq′)/ε₀，其中束缚电荷 q′ 为未知量。为消去 q′，以充满均匀电介质的平行板电容器为例，选取圆柱高斯面，有 ∯ E·dS = (σ₀S − σ′S)/ε₀；又因 P = σ′，故

∯_S2 P·dS = P S₂ = σ′S₂。

代入并整理得 ∯_S E·dS = σ₀S/ε₀ − (1/ε₀)∯ P·dS。

定义电位移矢量：D = ε₀E + P（一般定义式，对一切介质成立），于是

∯_S D·dS = q₀，即有介质时的高斯定理，q₀ 是自由电荷。

2、D、E、P 三者的关系：D = ε₀E + P = ε₀E + χ_eε₀E = ε₀(1 + χ_e)E = ε₀ε_rE = εE，其中 ε_r 称为相对介电常量，ε 称为绝对介电常量。

第5页：电容与平行板电容器

§10-3 电容　电容器

一、孤立导体的电容：设孤立导体带电 q、电势为 U，则 C = q/U。C 只与导体的形状、大小、尺寸和环境有关，称为孤立导体的电容，单位是法拉（F）。为消除其它导体的影响，可采用静电屏蔽的办法：使 D、C 对 A 无影响，则同样可以定义 C = q_A/U_AB；若 B 不接地，也可定义 C = q_A/(U_A − U_B)，它仅仅与两导体的尺寸、形状和相对位置及环境有关。

二、电容器的计算

1、平行板电容器：设两板间的场强为 E，由 ∯ D·dS = q₀ 得 E = σ/ε；又 U_A − U_B = Ed = σd/ε，q = σS，故

C = q/(U_A − U_B) = εS/d。

若两板间是真空，则 C′ = ε₀S/d，两者之比 C/C′ = ε_r。

第6页：圆柱形与球形电容器

2、圆柱形电容器：设内、外极板分别带电 +q、−q，q₀ = λl，λ 为线电荷密度。由高斯定理 E = λ/(2πεr)，U_A − U_B = ∫_A^B E dr = λ ln(R_B/R_A)/(2πε)，故

C = q/(U_A − U_B) = λl / [λ ln(R_B/R_A)/(2πε)] = 2πεl / ln(R_B/R_A)。

3、球形电容器：由高斯定理 E = q/(4πεr²)，dU = −E dr，

U_A − U_B = q(1/R_A − 1/R_B)/(4πε) = q(R_B − R_A)/(4πεR_AR_B)，故 C = q/(U_A − U_B) = 4πεR_AR_B/(R_B − R_A)。

计算电容的步骤：

1. 设电容器两极上分别带电荷 ±q，计算两极间的场强分布，从而算出 U_AB；
2. 所设的 U_AB 必然与 q 成正比，利用电容的定义 C = q/U_AB 求出电容。

第7页：电荷系统的静电能

§10-4 电场的能量

一、电荷系统的能量：设 q₁、q₂ 原来相距无穷远，先将 q₁ 迁移到 a 点固定下来，再将 q₂ 迁移到 b 点固定下来。此时 U₂ = q₁/(4πε₀r)，外力做功

A = q₂(U₂ − U_∞) = q₁q₂/(4πε₀r)；颠倒 q₁、q₂ 的迁移顺序，同样得到该结果。根据功能原理，W = A = q₁q₂/(4πε₀r)。

将式子改写为 W = (1/2)q₁U₁ + (1/2)q₂U₂；同理可讨论 3 个、4 个电荷系统并推广到 n 个点电荷组成的带电系统：

W = (1/2) Σ_i=1ⁿ q_iU_i。

这里计算的是由几个点电荷组成的系统的相互作用能（内能），不包括每个点电荷的自能；U_i 表示除第 i 个点电荷之外所有其他 n−1 个点电荷在第 i 个点电荷处所产生的电势（对有介质时上式也成立，U_i 是有介质时的电势）。

第8页：电场能量与能量密度

二、连续分布情形的静电能（电荷分布已形成）：由 W = (1/2)Σq_iU_i 推广为 W = (1/2)∫ U dq。以体电荷为例，把带电体分割成许多体积元 ΔV_i，设电荷体密度为 ρ_e，W = (1/2)Σ ρ_eΔV_iU_i；当 ΔV → 0 时，

W = (1/2)∭ ρ_eU dV，其中 U 是 dV 处的电势（可以是变化的）。

同理，面分布 W = (1/2)∬ σ_eU dS，线分布 W = (1/2)∫ λ_eU dl。

电场的能量：将以上结果应用到平行板电容器上，因 U_AB = Ed、C = εS/d，故

W = (1/2)CU_AB² = (1/2)(εS/d)(Ed)² = (1/2)εE²Sd = (1/2)εE²V。因 E 是均匀的，故 W 的分布也是均匀的。无介质时纯粹是电场的能量，有介质时还包含介质的极化能。

电场能量的体密度：w = W/V = (1/2)εE² = (1/2)DE。推广为普遍适用的公式，电场总能量

W = ∭_V w dV = ∭_V (1/2)DE dV，即能量定域在电场之中，V 是整个电场存在的空间。