04 刚体转动3.doc

第1页：刚体的平动与定轴转动

第三章 刚体的转动

出发点：牛顿质点运动定律。刚体的运动分为：平动、定轴转动、定点转动、平面平行运动、一般运动。

§3-1 刚体的平动、转动和定轴转动

一、刚体的定义

在无论多大力作用下形状和大小均保持不变的物体（理想模型）。

二、平动

在运动过程中，若刚体上任意一条直线在各个时刻的位置始终彼此平行，则这种运动叫做平动。

特征：

1. 平动时刚体各质点的位移、速度、加速度相等；
2. 动力学特征：将刚体看成是一个各质点间距离保持不变的质点组。

受力：内力 f_i 和外力 F_i，对每一个质元满足牛顿运动定律 F_i + f_i = M_i a_i；对刚体而言 Σ(F_i + f_i) = Σ M_i a_i，即 ΣF_i + Σf_i = Σ M_i a_i，且 Σf_i = 0，故 ΣF = M a。

即：刚体做平动时，其运动规律和一个质点相当，该质点的质量与刚体的质量相等，所受的力等于刚体所受外力的矢量和。

三、转动和定轴转动

定轴转动的运动学特征：用角位移、角速度、角加速度加以描述，且刚体中各质点的角位移、角速度、角加速度相等，ω = dθ/dt，α = dω/dt。

第2页：角量与线量的关系与飞轮例题

对匀速、匀变速转动可参阅教材 P210 表 4-2。

角量与线量的关系：v = R ω，a_t = R α，a_n = ω² R（图中标出转轴、转动平面与参考方向）。

更一般的形式：角速度矢量的定义 v = ω × r，α = dω/dt。显然，定轴转动的运动学问题与质点的圆周运动相同。

例题：一飞轮在时间 t 内转过角度 θ = a t + b t³ − c t⁴，式中 a、b、c 都是常量，求它的角加速度。

解：飞轮上某点的角位置可表示为 θ = a t + b t³ − c t⁴，将此式对 t 求导数，即得角速度的表达式 ω = d(a t + b t³ − c t⁴)/dt = a + 3b t² − 4c t³；角加速度是角速度对 t 的导数，因此得 α = dω/dt = d(a + 3b t² − 4c t³)/dt = 6b t − 12c t²。由此可见，飞轮作的是变加速转动。

§3-2 力矩 刚体定轴转动定律

一、力矩：设 F 在转动平面内……

第3页：力矩的定义与转动定律的推导

一、力矩：M = r × F，M 是矢量。对绕固定轴转动，M 只有两种可能的方向，用正负即可表示，按代数求和（对多个力）。若 F 不在转动平面内，则要进行分解（图中标出质元受外力 F_i 与内力 f_i 的作用位置、半径 r_i 及夹角 φ_i、θ_i）。

二、转动定律

首先考虑任一质元 i，质量为 M_i，所受内力 f_i 和外力 F_i，则 F_i + f_i = M_i a_i。按自然坐标系分解：

• F_i cos φ + f_i cos θ_i = − M_i a_in = − M_i r_i ω²
• F_i sin φ + f_i sin θ_i = M_i a_it = M_i r_i α_i

第二式两边乘以 r_i 得 F_i r_i sin φ + f_i r_i sin θ_i = M_i r_i² α_i。

第4页：刚体定轴转动定律与转动惯量

对整个刚体：Σ F_i r_i sin φ + Σ f_i r_i sin θ_i = Σ (M_i r_i²) α。因为 Σ f_i r_i sin θ_i = 0（内力矩相互抵消），故 Σ F_i r_i sin φ_i = Σ (M_i r_i²) α。

令 J = Σ M_i r_i²，称为刚体的转动惯量；而 M_z = Σ F_i r_i sin φ 为总（合）外力矩，故

M_z = J α = J dω/dt —— 刚体的转动定律（与牛顿第二定律比较）。

三、转动惯量的计算

J 是物体在转动中惯性大小的量度，决定于刚体各部分质量对给定转轴的分布情况。

例题：求质量为 m、长为 l 的均匀细棒对下列三种转轴的转动惯量：①转轴通过棒的中心并与棒垂直；②转轴通过棒的一端并与棒垂直；③转轴通过棒上距中心为 h 的一点并与棒垂直。

第5页：转动惯量例题与回转半径

解（设线密度 λ = m/l）：

总结：J 与以下几点有关：①与刚体总质量有关；②与质量分布有关；③与转动轴的位置有关。

四、回转半径的概念：由 J = Σ M_i r_i²、M = Σ M_i，写成 J = M r_G²，r_G 称为刚体的回转半径。

注意：求回转半径时，一般地不能把物体的质量看作集中在它的重心（质心）上。

第6页：平行轴定理

五、平行轴定理

质心轴

通过质心的轴。求物体对于与质心轴平行的另一轴的转动惯量，此定理说明了同一物体对于上述两轴的转动惯量关系。

设物体质量 M，质心为 c 点，取两组直角坐标系 oxyz 与 o′x′y′z′，z 轴通过质心 c 是质心轴，z′ 轴平行于 z 轴、相距为 d。

物体对 z 轴的转动惯量为 J_z = Σ M_i r_i² = Σ M_i(x_i² + y_i²)；物体对 z′ 轴的转动惯量为

J_z′ = Σ M_i(x_i′² + y_i′²) = Σ M_i[x_i² + (y_i − d)²] = Σ M_i(x_i² + y_i²) − 2d Σ M_i y_i + d² Σ M_i = J_z − 2d Σ M_i y_i + M d²。

因为 z 轴为质心轴，即 y_C = Σ M_i y_i / Σ M_i = 0，所以 Σ M_i y_i = 0，故

J_z′ = J_z + M d² —— 平行轴定理。

第7页：同轴柱体转动的角加速度与张力

平行轴定理叙述：物体对于任一轴 z′ 的转动惯量，等于物体对平行于 z′ 轴的质心轴 z 的转动惯量，加上物体质量与两轴间距离平方的乘积。

例题：固定在一起的两个同轴均匀柱体可绕其光滑的水平对称轴 OO′ 转动，设大小圆柱体的半径分别为 R 和 r，质量分别为 M 和 m。绕在两柱体上的细绳分别与物体 m₁ 和 m₂ 相连，m₁ 和 m₂ 挂在圆柱体的两侧。

注：源文本中「开始时 m₁、m₂ 离地面均为…」后缺失高度数值，此题按原课件 h 作为符号处理，落地时间由 h = ½ a t² 给出。

图中标出：两柱体的张力 T₁、T₂ 与 T₁′、T₂′，两悬挂物的重力 m₁g、m₂g 及加速度 a₁、a₂。

第8页：同轴柱体例题解答与转动动能

解：对于第一个物体，由牛顿第二定律可知 m₁g − T₁ = m₁ a₁；对于第二个物体，T₂ − m₂g = m₂ a₂；对于刚体，由刚体转动定律可知 T₁′ R − T₂′ r = J α，其中 J = ½(m r² + M R²)。又由牛顿第三定律可知 T₁ = T₁′，T₂ = T₂′；由角量和线量关系可知 a₁ = R α，a₂ = r α，h = ½ a t²。

综合上式，代入已知值，可解得 α = 6.13 rad/s²，T₁ = 17.2 N，T₂ = 20.8 N，m₁ 先着地，时间为 t = 1.81 s（SI）。

§3-3 定轴转动的角动能定理

一、转动动能：设刚体定轴转动时的角速度为 ω，划分微元，对第 i 个微元 E_ki = ½ m_i v_i² = ½ m_i r_i² ω²，所以 E_k = Σ ½ m_i r_i² ω² = ½ J ω²（与物体的平动动能 ½ m v² 相比较）。

二、力矩的功：dA_i = F_i cos β ds = F_i r_i cos β dθ = F_i r_i sin φ dθ = M_i dθ，所以 A_i = ∫_θ0^θ M_i dθ；M = Σ M_i 为刚体所受的合外力矩，故 A = Σ A_i = ∫_θ0^θ (Σ M_i) dθ = ∫_θ0^θ M dθ。

注意：因刚体不变形，内力及内力矩的功永远为零（图中标出 F_i、r_i、dθ 与夹角 β、φ）。

第9页：定轴转动的角动能定理与重力势能

三、定轴转动的角动能定理

由转动定律 M = J α = J dω/dt = J (dω/dθ)(dθ/dt) = J ω dω/dθ，所以 dA = M dθ = J ω dω，积分得

A = ∫ dA = ∫_ω1^ω₂ J ω dω = ½ J ω₂² − ½ J ω₁² —— 角动能定理（J 不变的情况下）。

四、刚体的重力势能：E_p = Σ m_i g h_i = g Σ m_i h_i = M g h_C，其中 h_C = Σ m_i h_i / Σ m_i 为刚体的质心高度。

例题：一根质量为 m、长为 l 的均匀细棒 OA，可绕通过其一端的光滑轴 O 在竖直平面内转动，今使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒摆到竖直位置时其中心点 C 和端点 A 的速度。

解：先对细棒 OA 所受的力作一分析：重力 G 作用在棒的中心点 C，方向垂直向下；轴和棒之间没有摩擦力，轴对棒作用的支撑力 N 垂直于棒和轴的接触面且通过 O 点，在棒的下摆过程中此力的方向和大小随时改变。对转轴 O 而言，支撑力 N 通过 O 点，所以支撑力 N 的力矩等于零；重力 G 的力矩是变力矩，大小等于 mg(l/2) cos θ，棒转过一极小的角位移 dθ 时，重力矩所作的微功为 dA = mg(l/2) cos θ dθ。

第10页：细棒下摆解答与质点的角动量

在棒从水平位置下摆到竖直位置的过程中，重力矩所作的总功 A = ∫ dA = ∫₀^π/2 mg(l/2) cos θ dθ = ½ m g l。

注：重力矩的功就是重力的功，也可用重力势能的差值来表示。

棒在水平位置时的角速度 ω₀ = 0，下摆到竖直位置时的角速度为 ω，按力矩的功和转动动能增量的关系式得 ½ m g l = ½ J ω²；因 J = ⅓ m l²，代入上式得 ω = √(3g/l)。

所以细棒在竖直位置时，端点和中心点的速度分别为

• v_A = l ω = √(3 g l)；
• v_C = (l/2) ω = ½√(3 g l)。

§3-4 质点的角动量与角动量守恒定律

一、质点的角动量（动量矩）定义：L = r × p；大小 L = p r sin φ；方向：右手螺旋（图中标出 r、p 与夹角 φ）。

注意：角动量不仅与参考系有关，也与中心点的选择有关。

特例：作圆周运动的质点，大小 L = r p = r m v = m ω r²。

第11页：质点的角动量定理与守恒定律

二、角动量定理与角动量守恒定律

因为 L = r × p，所以 dL/dt = d(r × p)/dt = dr/dt × p + r × dp/dt = v × mv + r × F = M，即

M = dL/dt

注：M = dL/dt 中 M 是对 O 点的合力矩，L 是质点对 O 点的角动量，也可以是质点系的角动量。

写成 M dt = dL，积分得 ∫ M dt = L₂ − L₁ = ΔL —— 角动量定理。

当 M = 0 时，可得 dL/dt = 0，即 L = 恒量 —— 角动量守恒定律。

第12页：刚体定轴转动的角动量定理

§3-5 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律

一、定轴转动刚体的角动量定理

1、刚体的角动量：设刚体绕定轴转动，考虑某一微元 L_i = m_ir_i × v_i = m_ir_i × (ω × r_i) = m_i[ω(r_i·r_i) − r_i(ω·r_i)]；因为 ω ⊥ r_i，所以 ω·r_i = 0，故 L_i = m_i r_i² ω，于是

L = Σ L_i = Σ m_i r_i² ω = J ω —— 刚体的角动量（与 P = mv 比较）。

2、角动量定理及角动量守恒定律：M_z dt = dL = d(J ω)，所以

∫_t0^t M_z dt = ∫_L0^L dL = L − L₀ = J ω − J ω₀ —— 角动量定理（∫ M_z dt 叫力矩的冲量矩）。

若 M_z = 0，则 L = J ω = 恒量 —— 刚体角动量守恒定律。

第13页：刚体碰撞的角动量守恒例题

例题 1：如图，有一均匀细棒，质量为 M，长为 2l；小球质量为 m，以速度 u 垂直落到棒的端点，O 为转轴。设两物体作完全弹性碰撞，求碰后小球回跳速度及棒的角速度。

解法一：对小球利用动量定理（按顺时针为正方向）∫ f dt = −m v − m u；对细棒应用角动量定理 ∫ M dt = ∫ l f′ dt = J ω；因为 l ⊥ f′，所以 ∫ l f′ dt = J ω。又因为 ∫ f dt = − ∫ f′ dt，所以 −m v − m u = − J ω/l，即 m v + m u = J ω ……①。由弹性碰撞得 ½ m u² = ½ m v² + ½ J ω² ……②，其中 J = 1/12 · M(2l)² = ⅓ M l² ……③。联合①②③解得

v = u(M − 3m)/(M + 3m)，ω = 6 m u /[(M + 3m) l]。

例题 2：质量为 M、长为 l 的均匀直棒，可绕垂直于棒的一端的水平轴 O 无摩擦地转动，原来静止在平衡位置上。现有一质量为 m 的弹性小球飞来，正好在棒的下端与棒垂直相撞；相撞后棒从平衡位置摆动到最大角度 θ = 30° 处。①设碰撞为弹性碰撞，计算小球初速 v₀ 的值；②相撞时小球受到多大的冲量？

解：设碰后小球速度为 v，棒转速为 ω。（1）因为弹性碰撞，所以 ½ m v₀² = ½ m v² + ½ J ω² ……①；又因为系统合外力矩为 0，所以角动量守恒：m v₀ l = m v l + J ω ……②；碰后机械能守恒，½ J ω² = M g (l/2)(1 − cos 30°) ……③；J = ⅓ M l² ……④。由③④得 ω = √[3g(1 − cos30°)/l]，代入①②得 v₀ = (1/2)·√[3 g l (2 − √3)/3]·(3m + M)/(6m)。

注：源文本该例题的最终表达式排版错乱，上式按标准联立结果整理，建议对照原课件核对系数。

第14页：碰撞冲量与刚体的自由度

（2）方法一：由 J ω = m(v₀ − v) l 得 v = v₀ − J ω/(m l)，故 ∫ f dt = m v − m v₀ = − J ω/l = − M √[3 g l (2 − √3)/3]/6。

方法二：利用牛顿第三定律：∫ M dt = J ω，即 ∫ f′ l dt = l ∫ f′ dt = J ω，故 ∫ f′ dt = J ω/l；因为 f = − f′，所以 ∫ f dt = − ∫ f′ dt = − J ω/l。

注：源文本中冲量计算式残缺，此处按方法一、方法二的标准结果整理。

§3-6 刚体的自由度 刚体的平面平行运动

在刚体定轴转动中，只要一个方程（转动定律）就能解决问题；对一般运动较复杂，需要几个方程联立起来才能求解。究竟需几个独立的方程？——由自由度决定。

1、自由度

决定这个系统在空间的位置所需要的独立参量的数目。

自由刚体的 6 个自由度构成为：①用三个独立坐标 x、y、z 确定刚体上某点的位置（平动自由度）；②用两个独立坐标 θ、φ 确定转轴的位置（转动自由度）；③用一个参量表示刚体绕转轴的转动 ω（转动自由度）。

物体有几个自由度，它的运动定律就可归结为几个独立的方程式。

2、刚体的平面平行运动：当刚体运动时，其中各点始终和某一平面保持一定的距离，或者说刚体中各点都平行于某一平面而运动。

第15页：刚体的平面平行运动

刚体平面平行运动的运动学与动力学（图中标出质心 C、参考点 A、相对位矢 R 与角速度 ω，以及地面参照）：

①速度：边缘上任一点 A 的速度为 v = v_C + ω × R = v_平 + v_转；

②转动定律：M_C = J_C α（对通过质心且垂直于运动平面的轴）；

③刚体的动能：E_k = ½ m v_C² + ½ J_C ω²。

即刚体的全部动能等于质心运动的平动动能与刚体对质心的转动动能之和。