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本课件采用类比法组织全章内容，从刚体运动学与角坐标、角速度、角加速度出发，推导力对转轴的力矩与转动惯量，建立刚体绕定轴转动定律，进而讨论刚体的转动动能、重力势能，最后给出角动量定理与角动量守恒定律的典型应用。
第四章刚体的定轴转动•§4.1刚体的运动•§4.2刚体绕定轴的转动定律•§4.3刚体的动能和势能•§4.4刚体的角动量角动量守恒定律本章教学内容
一理解描写刚体定轴转动的物理量，并掌握角量与线量的关系.二理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕定轴转动的转动定理.三理解角动量概念，掌握质点在平面内运动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题.五能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简单系统的力学问题.四理解刚体定轴转动的转动动能概念，能在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒定律.◆本章教学基本要求
◆教学思路全章的教学始终以“类比法”进行。由力矩的定义及牛顿第二定律导出刚体绕定轴转动的转动定律,并与牛顿第二定律类比教学。*力矩的功与力的功类比;刚体的转动动能与质点的平动动能类比;刚体的角动量定理及角动量守恒定律与质点(系)的角动量定理及角动量守恒定律类比;刚体绕定轴转动的机械能守恒定律与质点的机械能守恒定律类比。
41.刚体的运动在讨论问题时可以忽略由于受力而引起的形状和体积的改变的理想模型。
平动:刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。
§4-1刚体的定轴转动2.描述刚体转动的物理量对定轴转动的刚体可选取垂直于转轴的一个平面进行研究.xo• Prθω转动平面点P(r,θ)的转动可代表整个刚体的转动.描述点P转动的物理量为:(1).角坐标θ(t)一般规定逆时针转动为正.定义:单位: rad/s逆时针转动时，ω> 0顺时针转动时，ω< 0(2).角速度
角速度矢量ω刚体定轴转动时,只需用正负来表示方向.角速度方向规定为沿轴方向，指向用右手螺旋法则确定。(3).角加速度定义:单位: rad·s-2点P(r,θ)的转动可代表整个刚体的转动.描述点P转动的物理量为:(1).角坐标θ(t)一般规定逆时针转动为正.定义:单位: rad/s逆时针转动时，ω> 0顺时针转动时，ω< 0(2).角速度§4-1刚体的定轴转动
β>0时,刚体作加速转动;反之减速转动.加速转动方向一致减速转动方向相反定轴转动时方向只需用正负表示:β3.刚体匀变速转动当β为常量时有:质点作匀变速直线运动公式.类似于角速度矢量ω刚体定轴转动时,只需用正负来表示方向.角速度方向规定为沿轴方向，指向用右手螺旋法则确定。(3).角加速度定义:单位: rad·s-2
对点P有考虑v , r ,ω都是矢量ωrωv• P角量与线量的关系※β>0时,刚体作加速转动;反之减速转动.加速转动方向一致减速转动方向相反定轴转动时方向只需用正负表示:β3.刚体匀变速转动当β为常量时有:质点作匀变速直线运动公式.类似于
v = rω大小关系：一圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动.开始时它的角速度ω0=0,经过300秒后,角速度ω=18000转/分.已知其角加速度β与时间成正比.问在这段时间内,转子转过多少转?对点P有考虑v , r ,ω都是矢量ωrωv• P角量与线量的关系※例1
解:已知β= Ct即:dω= Cdt积分:由条件t=300s时v = rω大小关系：一圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动.开始时它的角速度ω0=0,经过300秒后,角速度ω=18000转/分.已知其角加速度β与时间成正比.问在这段时间内,转子转过多少转?例1
再由:积分在0~300s内,转过的转数= 3·104转角速度为解:已知β= Ct即:dω= Cdt积分:由条件t=300s时
121、力对转轴的力矩转动平面满足右手法则.方向：（1）外力在转动平面内只有切向分力才可能改变转动状态。大小：即：§4-2刚体绕定轴的转动定律只有在转动平面内的力才能产生转动,才能改变刚体定轴转动的转动状态。（2）外力不在转动平面内（3）外力产生的合力矩对定轴转动:合力矩是各分力产生的力矩的代数和.
只有在转动平面内的力才能产生转动,才能改变刚体定轴转动的转动状态。（2）外力不在转动平面内（3）外力产生的合力矩对定轴转动:合力矩是各分力产生的力矩的代数和.(4)一对内力对转轴的力矩由于成对内力大小相等,方向相反，则其力臂必相同.故力矩大小相等.一对内力对转轴的合力矩为零.故:整个刚体的合内力矩为零.
半径为R,质量为m的均匀圆盘在水平桌面上绕中心轴转动,盘与桌面间的摩擦系数为μ,求转动中的摩擦力矩的大小.例2liti解:设盘厚度为h,以盘轴心为圆心取半径为r,宽为dr的微圆环,其质量为dm=ρdv它对桌面的压力为:h与桌面间的摩擦力为:
该摩擦力的力矩为:整个圆盘的摩擦力矩为:与桌面间的摩擦力为:h
162.刚体定轴转动定律◆转动第一定律：若◆转动第二定律：zOrifiFiΔmiϕiθi转动平衡设刚体中质元Δmi受外力Fi,内力fi作用法向力的力矩为零.对Δmi用牛顿第二定律：切向分量式为：Fisinθi+fisinϕi=Δmiait外力矩内力矩两边乘以riait=riβ
zOrifiFiΔmiϕiθiFisinθi+fisinϕi=Δmiait外力矩内力矩两边乘以riait=riβ对所有质元求和：∑ Fisinθi=（∑Δmiri2）β内力力矩和为零，则有定义：转动惯量刚体定轴转动第二定律矢量式上式为
对所有质元求和：∑ Fisinθi=（∑Δmiri2）β内力力矩和为零，则有定义：转动惯量刚体定轴转动第二定律矢量式上式为(1)定轴转动时M.J均为代数量.式中M、J、β必须对同一定轴而言。（2）定律具有矢量性和瞬时性。m反映质点的平动惯性，（4）地位相当与J反映刚体的转动惯性注意：
由转动惯量的定义知:它是刚体中各质元的质量与各质元到转轴的距离平方的乘积之和.与转动惯量有关的因素：•刚体的质量•转轴的位置•刚体的形状分离质量系统:三.转动惯量及计算连续分布质量的刚体:单位:kg·m2质量为线分布质量为面分布质量为体分布其中λ、σ、ρ分别为质量的线密度、面密度和体密度。
连续分布质量的刚体:单位:kg·m2质量为线分布质量为面分布质量为体分布其中λ、σ、ρ分别为质量的线密度、面密度和体密度。§4-1刚体的定轴转动由转动惯量的定义知:它是刚体中各质元的质量与各质元到转轴的距离平方的乘积之和.与转动惯量有关的因素：•刚体的质量•转轴的位置•刚体的形状分离质量系统:三.转动惯量
一质量为m,长为l的均匀长棒.求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量.解:建立如图坐标系xOdxx在x处取长为dx的质元例3用JC表示刚体过质心的转动惯量JC※若转轴在棒的端点呢?讨论
xOcdd=l /2比较两结论J’§4-1刚体的定轴转动※若转轴在棒的端点呢?讨论※平行轴定理JC是刚体通过质心的转动惯量,d是过质心的转轴到另一平行转轴的距离.
求质量为m,半径为R的细圆环或匀质圆盘绕通过中心并与圆面垂直的转轴的转动惯量.例4或（2）对匀质圆盘:（1）薄圆筒（不计厚度）解:细圆环的质量可认为全部集中在半径为R的圆周上,推论：rdr在r处取宽为dr的细圆环质量面密度细环元的面积dS=2πrdr则dm =σdS------与质量分布有关.
◆常见刚体的转动惯量匀质矩形薄板匀质薄圆盘匀质细圆环匀质细圆环匀质厚圆筒转轴沿直径的球体
◆刚体定轴转动定律的应用细杆长为l,质量为m,求从竖直位置由静止转到θ角时的角加速度和角速度.OθPNl细杆受力P和N合力矩：解:例5
由转动定律而于是利用有利用初始条件:t=0,θ0=0,ω0=0◆刚体定轴转动定律的应用细杆长为l,质量为m,求从竖直位置由静止转到θ角时的角加速度和角速度.OθPNl细杆受力P和N合力矩：解:例5
积分:解得由转动定律而于是利用有利用初始条件:t=0,θ0=0,ω0=0a= rβMg-T=maTr=JβMg r=Jβ(J=Mr2/2)注意下图的区别:（a）（b）mm讨论：
§4-3刚体的动能和势能一.刚体转动的动能定理1.刚体的转动动能所有质元的动能之和为：定义：刚体的转动动能2.刚体的重力势能hhihcxOmCΔm一个质元：整个刚体：
一个不太大的刚体的重力势能相当于它的全部质量都集中在质心时所具有的势能。对于含有刚体的系统,如果在运动过程中只有保守内力作功,则此系统的机械能守恒。3.刚体的机械能守恒定律:2.刚体的重力势能hhihcxOmCΔm一个质元：整个刚体：
§4-4刚体角动量角动量守恒定律1.质点的角动量定义:质点m对点O的角动量Oxyzrvθd• m(1)L是矢量.(2)质点的角动量是对参考点而言的.(3)其大小可以表达为mvd大小:L = mvr sinθ方向满足右手螺旋关系.注意：特例:L = rmv = m r2ωzov•mr
若考虑方向有2.质点的角动量定理(1)L是矢量.(2)质点的角动量是对参考点而言的.(3)其大小可以表达为mvd大小:L = mvr sinθ方向满足右手螺旋关系.注意：特例:L = rmv = m r2ωzov•mr用r叉乘上式两边且则
故作用于质点的合力对参考点O的力矩,等于质点对该点O的角动量对时间的变化率.而,若考虑方向有2.质点的角动量定理用r叉乘上式两边且则上式还可写为Mdt叫冲量矩、角冲量。
积分形式:◆对同一参考点O,质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量.——质点的角动量定理1.M和L应对同一参考点。2.定律只适用于惯性系。§4-4刚体角动量角动量守恒定律用r叉乘上式两边且故作用于质点的合力对参考点O的力矩,等于质点对该点O的角动量对时间的变化率.则而,说明：
343.质点的角动量守恒定律若M= 0,则即当质点所受对参考点O的合力矩为零时,质点对该参考点O的角动量为一恒矢量.◆质点的角动量守恒定律注意1、条件：如有心力，对力心。F
（3）定律与惯性系中参考点的选择有关。质点在同样外力作用下，对某参考点力矩为零，而对另一参考点力矩不为零，如圆锥摆对圆心o角动量守恒,而对悬点角动量不守恒。（2）定律具有坐标独立性。§4-4刚体角动量角动量守恒定律3.质点的角动量守恒定律若M= 0,则即当质点所受对参考点O的合力矩为零时,质点对该参考点O的角动量为一恒矢量.◆质点的角动量守恒定律注意（1）、条件：如有心力，对力心。F
如图所示,一半径为R的光滑圆环置于竖直平面内,有一质量为m的小球穿在圆环上,并可在圆环上滑动.小球开始静止于圆环上的A点(该点通过环心O的水平面上),然后从点A开始下滑.设小球与圆环间的摩擦略去不计.求小球滑到点B时对环心O的角动量和角速度.•ARO•Bθ• A•θOPTv解:小球受重力P,支持力T作用重力矩为:由(方向向里)M = mgRcosθ例题
有又,由: t=0,θ0= 0, L0= 0即§4-4刚体角动量角动量守恒定律•ARO•Bθ• A•θOPTv解:小球受重力P,支持力T作用重力矩为:由(方向向里)M = mgRcosθ
384.刚体定轴转动的角动量如图刚体上的一个质元Δmi对z轴(或O点)的角动量为有又,由: t=0,θ0= 0, L0= 0即
刚体对z轴的角动量5.刚体定轴转动的角动量定理对质元i对所有质元求和:而刚体的内力矩和为零.§4-4刚体角动量角动量守恒定律4.刚体定轴转动的角动量如图刚体上的一个质元Δmi对z轴(或O点)的角动量为
刚体绕某定轴转动时,作用于刚体的合外力矩等于刚体绕此定轴的角动量随时间的变化率.由当J为恒量时转动定律的另一种表达形式.刚体对z轴的角动量5.刚体定轴转动的角动量定理对质元i对所有质元求和:而刚体的内力矩和为零.
再看力矩对时间的累积:Mdt = dL两边积分:叫冲量矩.作用在物体上的冲量矩等于物体角动量的增量.——角动量定理刚体绕某定轴转动时,作用于刚体的合外力矩等于刚体绕此定轴的角动量随时间的变化率.由当J为恒量时转动定律的另一种表达形式.
426.刚体的角动量守恒定律如: M=0,则有:L = Jω=恒量即：如果物体所受合外力矩为零,或者不受外力矩作用,物体的角动量保持不变。——角动量守恒定律.1.当J =恒量, Jω= Jω0,则ω=ω0,匀角速转动如:回转仪,定向装置.注意：再看力矩对时间的累积:Mdt = dL两边积分:叫冲量矩.作用在物体上的冲量矩等于物体角动量的增量.——角动量定理
432.当J可变化时,Jω= Jω0如:滑冰运动员旋转时两臂收拢转速快。※讨论:1.在有心力作用下的质点其角动量守恒.如:天体的运动,电子的绕核运动,合外力都不为零,则动量不守恒,但角动量守恒.2.若刚体由几部分组成,角动量守恒时,如一部分运动,则其它部分必反向运动.§4-4刚体角动量角动量守恒定律6.刚体的角动量守恒定律如: M=0,则有:L = Jω=恒量即：如果物体所受合外力矩为零,或者不受外力矩作用,物体的角动量保持不变。——角动量守恒定律.1.当J =恒量, Jω= Jω0,则ω=ω0,匀角速转动如:回转仪,定向装置.注意：
细杆长为l可绕O点转动,当细杆水平静止时,小虫以速率v0垂直落到距点O为l/4处,并向A点爬行.设小虫和细杆质量都为m.细杆以恒定的角速度转动,小虫的爬行速率为多少?O•A•v0•A•Prθ§4-4刚体角动量角动量守恒定律2.当J可变化时,Jω= Jω0如:滑冰运动员旋转时两臂收拢转速快。※讨论:1.在有心力作用下的质点其角动量守恒.如:天体的运动,电子的绕核运动,合外力都不为零,则动量不守恒,但角动量守恒.2.若刚体由几部分组成,角动量守恒时,如一部分运动,则其它部分必反向运动.例2
小虫,杆系统角动量守恒解:小虫与细杆的碰撞为完全非弹性碰撞,且略去重力的冲量矩,小虫在爬行时,系统受重力矩角速度为恒定,由角动量定理此时细杆获得角速度§4-4刚体角动量角动量守恒定律细杆长为l可绕O点转动,当细杆水平静止时,小虫以速率v0垂直落到距点O为l/4处,并向A点爬行.设小虫和细杆质量都为m.细杆以恒定的角速度转动,小虫的爬行速率为多少?O•A•v0•A•Prθ例2
系统的转动惯量为即:由θ=ωt小虫,杆系统角动量守恒解:小虫与细杆的碰撞为完全非弹性碰撞,且略去重力的冲量矩,角速度为恒定,由角动量定理此时细杆获得角速度小虫在爬行时,系统受重力矩
ABChl杂技演员M从h高处下落,弹起N.设跷板长l,质量为m.C为转动支点.M、N质量都为m.M与板为完全非弹性碰撞.问N可弹起多高?NM系统的转动惯量为即:由θ=ωt例3
解:M落到A处,速率为碰撞后M、N有共同的线速度以M、N板为系统,合外力矩为零,碰撞过程角动量守恒.而ABChl杂技演员M从h高处下落,弹起N.设跷板长l,质量为m.C为转动支点.M、N质量都为m.M与板为完全非弹性碰撞.问N可弹起多高?NM例3
于是演员N以速率u跳起,达到高度h´解:M落到A处,速率为碰撞后M、N有共同的线速度以M、N板为系统,合外力矩为零,碰撞过程角动量守恒.而
轻绳与光滑轴的匀质定滑轮无相对滑动,物体由静止开始下落,求下落速度v与下落高度h的关系.oMmRTmgoMmRNMg由动能定理有对M:解:M和m受力如图.N和Mg对o的力矩为零.于是演员N以速率u跳起,达到高度h´例4
对m:由于无相对滑动,有解得轻绳与光滑轴的匀质定滑轮无相对滑动,物体由静止开始下落,求下落速度v与下落高度h的关系.oMmRTmgoMmRNMg由动能定理有对M:解:M和m受力如图.N和Mg对o的力矩为零.例4
解法二:用机械能守恒定律求.解得结果相同.※讨论:下落速度v与时间t的关系对M:对m:对m:由于无相对滑动,有解得
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