05 第五章 机械振动.pptx

第1页：本章教学内容与教学基本要求

本章教学内容第五章机械振动vibrationmechanicalchapter 55.2简谐运动的能量5.3简谐运动的合成5.1简谐运动及描述5.4阻尼振动和受迫振动简介

第2页：本章教学基本要求

二掌握描述简谐运动的旋转矢量法和图线表示法，并会用于简谐运动规律的讨论和分析.一掌握描述简谐运动的各个物理量（特别是相位）的物理意义及各量间的关系.本章教学基本要求三掌握简谐运动的基本特征，能建立一维简谐运动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐运动的运动方程，并理解其物理意义.

第3页：四理解同方向、同频率简谐运动的合成规律

四理解同方向、同频率简谐运动的合成规律，了解拍和相互垂直简谐运动合成的特点.五了解阻尼振动、受迫振动和共振的发生条件及规律.

第4页：简谐振动

§5机械振动机械振动电磁振动……◆振动的形式◆振动的分类受迫振动自由振动阻尼自由振动无阻尼自由非谐振动(简谐振动)无阻尼自由振动无阻尼自由谐振动

第5页：物体或物体的某一部分在一定位置附近来回往

物体或物体的某一部分在一定位置附近来回往复的运动实例:心脏的跳动，钟摆，乐器，地震等◆机械振动:平衡位置§5.1简谐振动及描述（simple harmonic vibration)最简单、最基本的振动简谐运动复杂振动合成分解◆简谐振动:一、简谐运动

第6页：谐振子与简谐运动的成因

◆谐振子:作简谐运动的物体弹簧振子的振动平衡位置振动的成因：回复力+惯性

第7页：简谐运动的特征

73弹簧振子的运动分析无法显示该图片。简谐运动的特征：加速度与位移的大小x成正比，方向相反

第8页：简谐运动方程简谐运动的微分方程作简谐运动

积分常数，根据初始条件确定。解得无法显示该图片。简谐运动方程简谐运动的微分方程作简谐运动物体所受合外力----线性回复力或准弹性力简谐运动的动力学特征

第9页：周期、频率周期频率圆频率周期和频率仅与振

91.振幅图二、描述简谐运动的物理量2.周期、频率周期频率圆频率周期和频率仅与振动系统本身的物理性质有关。

第10页：分周期为动物、昆虫的心跳频率(参考值

频率为例如，心脏的跳动80次/分周期为动物、昆虫的心跳频率(参考值,单位:Hz)大象0.4~0.5马0.7~0.8猪1~1.3兔1.7松鼠6.3鲸0.13雌性蚊子355~415雄性蚊子455~600苍蝇330黄蜂220

第11页：振动方程的标准形式x

※振动方程的标准形式x=Acos(ωt+φ)=Acos(2πt/T+φ)=Acos(2πft+φ)相位的意义:表征任意时刻（t）物体振动状态.物体经一周期的振动，相位改变.相位初相位三、相位

第12页：由图可见：谐振动的位移、速度

avxtoTT/4T/4由图可见：谐振动的位移、速度、加速度之间的相位关系

第13页：例试证明，若选取受力平衡点作为位置坐标原

例试证明，若选取受力平衡点作为位置坐标原点，垂直弹簧振子与水平弹簧振子的动力学方程和振动方程相同。fxk()+ρlρlmgXOf0平衡点mgxfmm在平衡点m小球f0mgkρl受弹性力解：选受力平衡点为坐标原点，小球在位置坐标处受弹性力xFmgxk()+ρl+合力xcosA()ωtϕ+kxkρl+kρlkx即：xmddtx22k均与水平弹簧振子结果相同！解法提要

第14页：小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅振动

142.小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅振动mgO谐振动◆分析判断下列运动是否为简谐振动？1.乒乓球在地面上的上下跳动讨论切向:

第15页：如图所示，振动系统由一倔强系数为k的轻弹

如图所示，振动系统由一倔强系数为k的轻弹簧、一半径为R、转动惯量为J的定滑轮和一质量为m的物体所组成。使物体略偏离平衡位置后放手，任其振动，试证物体作简谐振动，并求其周期T.例题mm在平衡位置时，设弹簧伸长量为Δl，则当m有位移x时取位移轴ox，滑轮解：滑轮，m受力如图xm>>>>>>>>

第16页：在平衡位置时，设弹簧伸长量为Δl

物体作简谐振动mm在平衡位置时，设弹簧伸长量为Δl，则当m有位移x时取位移轴ox，滑轮解：滑轮，m受力如图

第17页：作逆时针方向的匀角速转动

自Ox轴的原点O作一矢量，使它的模等于振动的振幅A，并使矢量在Oxy平面内绕点O作逆时针方向的匀角速转动，其角速度与振动频率相等，这个矢量就叫做旋转矢量.四、旋转矢量

第18页：以为原点旋转矢量的端点在轴上的投影点的运

以为原点旋转矢量的端点在轴上的投影点的运动为简谐运动.

第19页：谐振动振幅A角频率ω角速度ω位相

谐振动振幅A角频率ω角速度ω位相ωt+φ角坐标ωt+φ初位相φ初角坐标φ旋转矢量A的圆运动矢量A的模A

第20页：已知初始条件t

x=Acos(ωt+ϕ)已知初始条件t=0,x=x0，v=v0求初相位ϕ由速度确定v1<0v2>0v0<0,ϕ=ϕ1v0>0,ϕ=ϕ2vm1vm2oxωx0·ϕ1ϕ2如图，在x=x0处可有两个状态分析◆讨论1用旋转矢量法确定初相

第21页：相位差：表示两个相位之差对同一简谐运动

相位差：表示两个相位之差对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间．讨论2

第22页：相位差与旋转矢量图

如图示，

第23页：例如已知弹簧振子

例如已知弹簧振子x0= 0t= 0时v0= 0.4m·s-1m= 5×10-3kgk= 2×10-4N·m-1完成下述简谐振动方程cos()x+tωmk0.2(rad · s–1)A+x02v02ω22 (m)v00x0= 0,已知OXωM(0(相应的旋转矢量图为cos()x+t20.2(SI)解法提要v00ϕπ2π2

第24页：角谐振动五、物理摆（单摆）单摆

令*（C点为质心）CO转动正向------角谐振动五、物理摆（单摆）单摆

第25页：物体受线性回复力作用平衡位置

简谐运动的方程和特征（2）简谐运动的动力学方程（1）物体受线性回复力作用平衡位置（3）简谐运动的运动学方程（4）加速度与位移成正比而方向相反小结1

第26页：简谐振动的描述方法

261.解析法2.曲线法已知表达式A、ω、ϕ；简谐振动的描述方法oA-AtxTϕ=π/2复摆弹簧振子单摆小结2已知A、ω、ϕ表达式已知曲线A、ω、ϕ曲线已知A、ω、ϕ

第27页：简谐运动的能量

（1）动能(以弹簧振子为例)OxX§5.2简谐运动的能量（2）势能（3）机械能线性回复力是保守力，作简谐运动的系统机械能守恒.

第28页：简谐运动能量图

简谐运动能量图4T2T43T能量

第29页：简谐运动势能曲线简谐运动能量守恒

简谐运动势能曲线简谐运动能量守恒，振幅不变.

第30页：能量守恒简谐运动方程导出思考

能量守恒简谐运动方程导出思考？简谐振动的动力学解法小结a.由分析受力出发(由牛顿定律列方程)b.由分析能量出发(将能量守恒式对t求导)

第31页：简谐运动的合成

一.两个同方向同频率简谐运动的合成设一质点同时参与两独立的同方向、同频率的简谐振动：两振动的位相差=常数§5.3简谐运动的合成

第32页：两个同方向同频率简谐运动合成后仍为同频率

两个同方向同频率简谐运动合成后仍为同频率的简谐运动§6.2简谐运动的合成解析法/旋转矢量法：

第33页：一般情况加强减弱（1）相位差

（3）一般情况加强减弱（1）相位差（2）相位差说明：

第34页：多个同方向同频率简谐运动的合成多个同方向

*二.多个同方向同频率简谐运动的合成多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动

第35页：多个同方向同频率简谐运动的合成多个同方向

讨论(2)(1)

第36页：两个同方向不同频率简谐运动的合成频率较大

三.两个同方向不同频率简谐运动的合成频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍.

第37页：讨论：拍的现象

讨论,的情况◆拍的现象（测振动频率,乐器调音,制造拍振荡器）

第38页：缓变方法一振幅振动频率

合振动频率，随t剧变振幅部分,随t缓变方法一振幅振动频率ttAx2π2cos)2π2cos2(12121νννν讨论,的情况

第39页：合振动频率，随t剧变振幅部分

合振动频率，随t剧变振幅部分,随t缓变ttAx2π2cos)2π2cos2(12121νννν◆拍拍频（振幅变化的频率）

第40页：方法二：旋转矢量合成法

方法二：旋转矢量合成法

第41页：振幅振动圆频率拍频

振幅振动圆频率拍频

第42页：一质点同时参与两个在同一直线上的谐振动

4217.6一质点同时参与两个在同一直线上的谐振动,其表达式为x1=0.04cos(2t+π/6) (SI)；x2=0.03cos(2t–π/6) (SI).试写出合振动表达式.解:讨论题x=x1+x2=Acos(2t+φ0)合振动其中A=[A12+A22+2A1A2cos(φ20–φ10)]1/2tanφ0=A1sinφ10+A2sinφ20A1cosφ10+A2cosφ20A=0.061m；代入数值tanφ0=0.08248因t=0时,x0=x10+x20故φ0=0.0823radφ0=4.715°=0.0823rad或φ0=184.715°=3.224rad=0.04cos(π/6)+0.03cos(–π/6)=0.0606m>0（解析法）

第43页：用旋矢法确定初相

◆用旋矢法确定初相φ0Axox=0.061cos(2t+0.0823)(SI)合振动:x1=0.04cos(2t+π/6) (SI)；x2=0.03cos(2t–π/6) (SI).φ0=4.715°=0.0823rad或φ0=184.715°=3.224radA1π/6A2-π/6

第44页：阻尼振动、受迫振动与共振

一阻尼振动现象：振幅随时间减小原因：阻尼动力学分析：阻力系数阻尼力*§5.4阻尼振动受迫振动共振

第45页：方程的解：固有角频率阻尼系数

方程的解：固有角频率阻尼系数(a)欠阻尼δ<ω0x=A0e–δtcos(ωt+φ0)其中ω=(ω02–δ2)1/2------减辐振动(非谐振动)

第46页：应用于天平调衡)

(c)临界阻尼x=(c1+c2t)A0e–δt(b)过阻尼δ>ω0(a)欠阻尼δ<ω0x=A0e–δtcos(ωt+φ0)(应用于天平调衡)

第47页：受迫振动振动系统振动系统受迫振动共振受迫

受迫振动振动系统振动系统受迫振动共振受迫振动共振系统在周期性外力的持续作用下所作的等幅振动称为受迫振动。幅值角频率pH周期性外力（强迫力）costHp弹性力fxkmmvvX平衡点平衡点OO阻力阻力frfrvγvγ示意建立动力学方程ddtx22xxddtxkmγcosHtp+ddtx22即+kmγmddtx+xxmHcostp表成ddtx22+β2ddtx+ω02xxhcostp此微分方程的解为A0exxβcos()ωt+ϕtδ+cosA(+tp)

第48页：阻尼振动等幅振动受迫振动进入稳定振动状态

A0exxβcos()ωt+tδϕ+cosA(+tp)21阻尼振动等幅振动受迫振动进入稳定振动状态后，其振动角频率为强迫力的角频率，其振幅为pAh()4βpω02p22+22受迫振动与强迫力有一定的相位差，用初相表示ϕarctanϕβp2ω02p2A和ϕ都与阻尼系数β固有角频率的大小有关。ω0强迫力角频率相对于系统的p12tXOXOt+受迫振动开始振动比较复杂经过一段时间后，受迫振动进入稳定振动状态。XOt12A

第49页：较大受迫振动稳定状态时的振幅

ApOβω00β较小β较大受迫振动稳定状态时的振幅？Ah)4βp(ω02p22+22若强迫力的角频率已定，大则小。pβA若阻尼系数已定，当等于或接近β系统的固有角频率时，获得极大值。ApA令dd0p求得极大时的为Appω022β2受迫振动的振幅出现极大值的现象称为共振。共振时的振幅值为Ahβ2ω022β---共振频率

第50页：北京大钟寺内的巨钟的频谱图

北京大钟寺内的巨钟的频谱图0100200300400500v(Hz)

第51页：工程建筑中应避免共振的危害

①电共振：收音机“调谐”②工程建筑中应避免共振的危害。共振现象在光学,电学,无线电技术，医学中应用极广.共振现象及应用ϖ共振用途极广,但也有危害.

第52页：求火车的危险车速设铁轨长为

求火车的危险车速设铁轨长为25m ,车厢弹簧每受重力1.0×103kg即压缩1.6mm,车厢重55×103kg.解:共振时出现危险取理想情况,无阻尼γ→0 ,固有周期外驱动力周期当T=T0时危险ϖ提高车速措施:(1)l↑,(2)改变T即改变(k,m)例题