第1页：第四篇 机械振动与机械波
第四篇机械振动与机械波
第2页：第十五章 阻尼振动受迫振动共振
机械振动第十五章阻尼振动受迫振动共振
第3页：§15-1 机械振动的一般概念机械振动
§15-1 机械振动的一般概念机械振动：物体在一定位置的附近作来回往复的运动(周期性或非周期性)成因：物体的惯性和所受的回复力
第4页：§15-2 简谐振动
简谐振动:物体距平衡位置的位移(或角位移)随时间按余弦(或正弦)函数变化§15-2 简谐振动一.简谐振动的特征
第5页：简谐振动的动力学特征2.运动学特征令
- 1.动力学特征胡克定律
- 物体所受弹性力与物体的位移成正比而反向即——简谐振动的动力学特征2.运动学特征令
第6页：简谐振动表达式加速度
速度位移——简谐振动表达式加速度
第7页：简谐振动的运动学特征说明
即有——简谐振动的运动学特征说明：——简谐振动的振幅，为物体离开平衡位置最大位移的绝对值——简谐振动的初相位——简谐振动的相位——圆频率(2秒内的振动次数)
第8页：讨论：由初始条件
- 讨论
- 由初始条件可确定A和：设t=0时，可得
第9页：周期和频率由振动系统本身
- 固有频率和固有周期
- ——周期和频率由振动系统本身的性质所决定，与A和无关
第10页：谐振动的旋转矢量表示法
二.谐振动的旋转矢量表示法t =0：t时刻参考圆振幅矢量逆时针旋转O
第11页：例1 用旋转矢量法讨论质点初始时刻位
例1 用旋转矢量法讨论质点初始时刻位
- [例1]用旋转矢量法讨论质点初始时刻位移为以下情况时谐振动的初相位：A
- -A
- 0，且向负方向运动
- -A/2，且向正方向运动解：或
第12页：初相差与t无关
三.相位差和相位的超前与落后设相位差同频率时——初相差与t无关
第13页：讨论：即——同相即——反相即
- 讨论
- 即——同相即——反相即——第二个谐振动超前第一个谐振动
第14页：例2 如图的谐振动x-t曲线
[例2]如图的谐振动x-t曲线，试求其振动表达式解：由图知设振动表达式为t=0时：即
第15页：又即旋转矢量法
又即旋转矢量法
第16页：例3 质量为0.01kg物体作周期
例3 质量为0.01kg物体作周期
- [例3]质量为0.01kg物体作周期为4s、振幅为0.24m的简谐振动
- t=0时,位移x=0.24m
- 求(1)谐振动表达式
- (2)t=0.5s时,物体的位置和所受的力
- (3)物体从初始位置运动至x=-0.12m处所需的最短时间解：(1)设振动表达式为其中
第17页：由旋转矢量法得(2)t=0.5s
由旋转矢量法得(2)t=0.5s:
第18页：或(3)
或(3)
第19页：例4 一弹性系数为k的轻弹簧
例4 一弹性系数为k的轻弹簧
- [例4]一弹性系数为k的轻弹簧,下挂一质量为m的砝码
- 开始时用手托住砝码,使弹簧为原长,放手后砝码开始振动
- 证明砝码作谐振动,并写出振动表达式解：建立如图坐标系，原点为物体静平衡时位置，它距弹簧原长位置为y0
第20页：在y处时设则——得证
在y处时设则——得证
第21页：设振动表达式为由旋转矢量法得t=0时
设振动表达式为由旋转矢量法得t=0时
第22页：例5 如图系统，已知物体质量
例5 如图系统，已知物体质量
- [例5]如图系统，已知物体质量为m，光滑斜面倾角为,自由转动的定滑轮半径为R,转动惯量为J,弹簧弹性系数为k
- 开始时物体静止,弹簧为原长,重物下滑后开始振动
- (1)证明重物作谐振动,并写出振动表达式
- (2)求重物下滑的最大距离,并用机械能守恒定律验证
第23页：设系统处于静平衡时弹簧伸长x0取
设系统处于静平衡时弹簧伸长x0取物体静平衡位置为坐标原点，沿斜面向下建立坐标系解：(1)
第24页：谐振动其解
物体振动时可得——谐振动其解为
第25页：其中由旋转矢量法
其中由旋转矢量法得而
第26页：物体下滑的最大距离为由机械能守恒定律
(2)物体下滑的最大距离为由机械能守恒定律
第27页：单摆和复摆1.单摆由转动定律有很小时
三.角谐振动——单摆和复摆1.单摆由转动定律有很小时有
第28页：可得角谐振动表达式其中
可得角谐振动表达式其中2.复摆为角振幅由转动定律有很小时有
第29页：角频率周期讨论
- 角频率周期讨论
- 单摆和复摆谐振动的频率由系统本身的性质决定
第30页：谐振动的能量以弹簧振子为例
四.谐振动的能量以弹簧振子为例:
第31页：讨论：弹簧振子的动能和势能
- 讨论
- 弹簧振子的动能和势能是随时间(或位移)而变化的总的机械能保持不变，即动能和势能相互转化谐振动系统的总能量与振幅的平方成正比
第32页：例6 一水平放置的弹簧振子，质量为
[例6]一水平放置的弹簧振子，质量为m，弹性系数为k，当它振动时，在什么位置动能和势能相等？它从该位置到达平衡位置所需的最短时间为多少？解：(1)即
第33页：因此(2)
因此(2)
第34页：§15-4 同方向谐振动的合成
一.同方向同频率谐振动的合成1.代数法设有两个谐振动§15-4 同方向谐振动的合成
第35页：§15-4 同方向谐振动的合成（续）
由
第36页：旋转矢量法
2.旋转矢量法
第37页：讨论：合振动仍然是简谐振动
- 讨论
- 合振动仍然是简谐振动，其频率与分振动相同合振动振幅不但与两分振动的振幅有关，而且与相位差有关时(同相)时(反相)
第38页：例7 已知两谐振动的曲线(如图)
[例7]已知两谐振动的曲线(如图),它们是同频率的谐振动,求它们的合振动方程解：由图知1振动在t=0时：
第39页：2振动在t=0时
- 2振动在t=0时
- 由旋转矢量法
第40页：同方向不同频率谐振动的合成拍设讨论
二.同方向不同频率谐振动的合成拍设讨论A1=A2=A的情况
第41页：时合振幅随时间周期
时合振幅随时间周期性缓慢地变化而作角频率近于或的谐振动讨论：振动出现时强时弱的拍现象
第42页：合振幅最大处即两相邻振
合振幅最大处即两相邻振幅极大之间的相位差为:振幅变化周期拍频
第43页：A1追上A2
A1追上A2
第44页：§15-5 相互垂直谐振动的合成
一.相互垂直的同频率谐振动的合成设§15-5 相互垂直谐振动的合成
第45页：椭圆方程
两式平方后相加得——椭圆方程
第46页：直线t时刻质点离开平衡位置的距离
- 讨论
- 2-1=0：同相——直线t时刻质点离开平衡位置的距离为——振幅为的谐振动
第47页：2-1=
- 2-1=
- 反相——直线
第48页：正椭圆设某一时刻则t后
- 2-1=/2
- ——正椭圆设某一时刻则t后——质点在椭圆上顺时针旋转
第49页：正椭圆质点在椭圆上逆时针旋转A1
- 2-1=-/2
- ——正椭圆质点在椭圆上逆时针旋转A1=A2时椭圆变为圆二.相互垂直的不同频率谐振动合成李萨如图形
