04-2 机械振动能量 振动的合成.pptx

第1页：简谐振动的能量

简谐振动的能量

动能二、势能三、总能四、动能和势能在一个周期内的平均值设x(t)=Acos(ωt+ϕ0)v(t)=-Aωsin(ωt+ϕ0)§4-3简谐振动的能量

第2页：简谐振动的能量（续1）

简谐振动的能量（续1）

2同理平均势能Etx0xx=Acosωt在一个周期T内的平均动能

第3页：简谐振动的能量（续2）

简谐振动的能量（续2）

振子在振动过程中，动能和势能分别随时间变化，但任一时刻总机械能保持不变。

• （2）动能和势能的变化频率是弹簧振子振动频率的两倍
• （3）频率一定时，谐振动的总能量与振幅的平方成正比

（适合于任何谐振系统）结论

弹性势能

第4页：例1：当简谐振动的位移为振幅的一半

例1：当简谐振动的位移为振幅的一半

例1：当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？

物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？

解

第5页：例4

例4

5解(1)子弹射入木块过程中，水平方向动量守恒.设子弹陷入木块后两者的共同速度为，则有取弹簧处于自由状态时，木块的平衡位置为坐标原点，水平向右为x轴正方向，并取木块和子弹一起开始向右运动的时刻为计时起点.因此初始条件为，而子弹射入木块后谐振系统的圆频率为例4-3:光滑水平面上的弹簧振子由质量为M的木块和劲度系数为k的轻弹簧构成.现有一个质量为m，速度为的子弹射入静止的木块后陷入其中，此时弹簧处于自由状态.(1)试写出该谐振子的振动方程；(2)求出处系统的动能和势能.

第6页：振动方程

振动方程

6设谐振系统的为，将初始条件代入得所以谐振子的振动方程为联立求出

第7页：简谐振动的能量（续3）

简谐振动的能量（续3）

7(2)x＝A/2时谐振系统的势能和动能分别为

第8页：同方向同频率简谐振动的合成

同方向同频率简谐振动的合成

1x1= A1cos(ωt+φ10)x2= A2cos(ωt+φ20)求：x＝x1＋x21、计算法§4-4简谐振动的合成

第9页：简谐振动的合成

简谐振动的合成

9两个同方向、同频率的简谐振动的合振动仍然是一个同频率的简谐振动。

合振幅初位相其中

第10页：简谐振动的合成（续1）

简谐振动的合成（续1）

旋转矢量合成法xA1ϕ10ωA2ωϕ20Aϕ0ωx1x2x两振动频率相同，则它们的旋转矢量以相同的角速度ω旋转，故形成稳定的平形四边形。

合振幅初位相

第11页：简谐振动的合成（续2）

简谐振动的合成（续2）

位相差对合振幅的影响（1）若位相差（2）若位相差（3）若位相差为其它任意值时振幅AAmin＜A＜Amax

第12页：例3：两个同方向同频率的简谐振动曲

例3：两个同方向同频率的简谐振动曲

例3：两个同方向同频率的简谐振动曲线(如图所示)1、求合振动的振幅。

• 2、求合振动的振动方程

解：xTt

第13页：同方向不同频率简谐振动的合成

同方向不同频率简谐振动的合成

13从图可看出，因两旋转矢量的角速度ω1、ω2不相同，所以由两矢量A1、A2合成的平行四边形的形状要发生变化，矢量A的大小也随之而变，出现了振幅有周期性地变化。

• 1、利用旋转矢量合成法4.4.2同方向不同频率简谐振动的合成ω1 ω2ωθ

第14页：拍振动表达式设分振动为3

拍振动表达式设分振动为3

拍频

指合振幅变化的频率.合振幅每变化一个周期称为一拍

振幅只能取正值，因此拍的圆频率为调制频率的2倍即“拍频”等于两个分振动频率之差

第15页：简谐振动的合成（续3）

简谐振动的合成（续3）

15因此，当两个振动频率接近时，合成中由于周期的微小差别而造成合振幅随时间作周期性变化，振动时而加强时而减弱的现象称为拍。

合振动在单位时间内加强(或减弱)的次数称为拍频

第16页：同步锁模

同步锁模

“拍振动”的应用声振动、电磁振荡和波动中是经常遇到的。

利用拍现象还可以测定振动频率、校正乐器和制造差拍振荡器等等5、同步锁模

第17页：振动的频谱

振动的频谱

17*4.4.3分析确定一个复杂振动能包含的各种简谐振动的频率及其对应的振幅称为频谱分析.例如，如图所示的方波，根据数学计算有式中第一项可看成周期为无穷大的零频项，第二、三、四项就是频率分别为, ,的谐振动，其振动曲线分别如图4.14(b)，(c)，(d)所示，它们的合振动曲线就接近方波了.

第18页：一个任意的周期性复杂运动

一个任意的周期性复杂运动

18，分解后是一组包含一系列谐频振动的无穷级数。

一个随机的振动分解后只能用傅里叶积分表示，即其频谱线不是分立的，而是连续的，即

第19页：简谐振动的合成（续4）

简谐振动的合成（续4）

19*4.4.4两个相互垂直的同频率简谐振动的合成设下面所做的工作是为了消去参量t，而得其轨迹方程。

将两分振动方程进行恒等变换，得由

第20页：简谐振动的合成（续5）

简谐振动的合成（续5）

20并整理可得这说明

振动方向互相垂直的同频谐振的轨迹是一椭圆曲线，但曲线的形状则与两分振动的位相差有很大关系

第21页：简谐振动的合成（续6）

简谐振动的合成（续6）

21Δϕ=5π/4Δϕ=3π/2Δϕ=7π/4Δϕ=0Δϕ=π/4Δϕ=π/2Δϕ=3π/4Δϕ=πP··Q

第22页：简谐振动的合成（续7）

简谐振动的合成（续7）

22*4.4.5两个相互垂直的不同频率简谐振动的合成

第23页：阻尼振动受迫振动共振

阻尼振动受迫振动共振

1阻尼振动1、固体在介质中所受阻力在一般情况下为2、以弹簧振子为例，其运动微分方程为令，则有我们只讨论其中的线性部分，即在低速情况下的振动§4-5阻尼振动受迫振动共振

第24页：阻尼振动、受迫振动与共振

阻尼振动、受迫振动与共振

24式中β──阻尼系数ω0──系统固有角频率。

＊方程的解及其物理意义1、弱阻尼(1)式中A0、φ0是由初始条件所决定的两个积分常数；(2)阻尼振动的振幅即：振幅按指数规律衰减，故阻尼振动又称减幅振动

第25页：准周期的问题

准周期的问题

25(3)

准周期指函数与时间轴t的零交点间的间隔（但函数的峰值不在两零交点的中心）,即x阻尼振动曲线说明阻尼越大，准周期越大，阻尼越小，越接近系统固有周期

第26页：阻尼振动、受迫振动与共振（续1）

阻尼振动、受迫振动与共振（续1）

临界阻尼这时c1、c2为两积分常数。

其用途之一,用于灵敏仪器的回零装置。

此时其不是往复运动，须无限长的时间才能回零。

• 3、过阻尼

第27页：受迫振动

受迫振动

弱阻尼谐振子系统谐微分方程──以弹簧振子为例其运动方程为4.5.2受迫振动——振动系统在周期性外力作用下发生的振动则得外界作用ïîïíì-=--不讨论随机外力cospt只讨论谐和策动力F周期性外力用下的新平衡点将坐标原点移至恒力作恒力作用

第28页：物理意义

物理意义

方程的解及其由微分方程理论,上述方程的解为1）自由振动的能量是外界一次性输入2）受迫振动过程中，外界在不断地向振动系统补充能量

第29页：阻尼振动、受迫振动与共振（续2）

阻尼振动、受迫振动与共振（续2）

稳定的受迫振动(1)说明此时振动方程的位相ϕ与初始条件无关，其表示振动位移的位相与策动力位相的位相差；(2)说明振幅是策动力的函数，因此存在极值的问题,与此对应的极值现象，称为位移共振。

• 1）稳定受迫振动的频率等于策动力的频率2）稳定受迫振动的振幅A和位相ϕ（用待定系数法可得）

第30页：位移共振曲线图

位移共振曲线图

3共振1、位移共振（又称振幅共振）只要令即可得──此即振幅共振频率图4.24位移共振曲线图4.25速度共振曲线

第31页：阻尼振动、受迫振动与共振（续3）

阻尼振动、受迫振动与共振（续3）

速度共振（又称能量共振）──速度（能量）共振频率3、共振的利用与防止(1)位移共振(2)能量共振──调谐（能量输入处于最佳状态）