04-4 机械波能量 和干涉，驻波.pptx

第1页：机械波

机械波

1第五章前言§5-1机械波的形成和传播§5-2平面简谐波的波动方程§5-3波的能量*声强§5-4惠更斯原理、波的叠加和干涉§5-5驻波§5-6多普勒效应*冲击波*§5-7色散波包群速度

第2页：类似的波动方程

类似的波动方程

什么是波动波动有机械波，电磁波，物质波。

波动也是一种运动形式，波动是振动的传播过程。

• 2、波动和其他运动形式相比具时间和空间上的某种重复性
• 3、各类波在传播途中具有共性：类似的波动方程：反射、折射现象：在两种介质的界面上的反射，折射；干涉现象：同一介质中，几列波的叠加；衍射现象：在介质中绕过障碍物继续前进

前言

第3页：长胁变

长胁变

3物体弹性形变中的几个基本概念１、形变的分类２、形变的度量、胁变(应变)长胁变：容胁变：切胁变：长变：容变：切变

第4页：虎克定律

虎克定律

4３、胁强（应力），：协变与胁强成正比（应力与应变的关系）４、弹性模量：虎克定律中的比例系数E──杨氏模量B──容变模量G──切变模量５、形变能量密度

第5页：机械波产生的条件

机械波产生的条件

• 1、什么是机械波一个振动以有限的速度在连续介质中的传播

波源（振源）弹性介质5.1.1机械波产生的条件5.1.2横波和纵波1、横波传播的特点：简谐振动在理想介质中的传播，叫简谐波。

－－在此只讨论作简谐振动的波源。

－－只讨论各向同性均匀无限大无吸收的理想情况。

（前提条件

波源相对于介质是静止的）以绳上所形成的横波为例

§5-1机械波的形成和传播

第6页：机械波的形成和传播

机械波的形成和传播

61112131516t= 0141234567891011121315161412345678910t=T/26111213151614123478910t=T511121315161412345678910t=T/4111213151614123456789101112131516141234567891011121315161412345678910t=3T/4

第7页：所谓波形

所谓波形

711121315161412345678910t=5T/4①当点波源完成自己一个周期的运动，就有一个完整的波形发送出去。

②沿着波的传播方向向前看去，前面各质元都要重复波源（已知点振动亦可）的振动状态（即位相），因此，沿着波的传播方向向前看去，前面质元的振动位相相继落后于波源的位相。

③所谓波形

是指介质中各质元在某确定时刻，各自偏离自己平衡位置位移的矢端曲线──简谐横波可用余弦函数描述

④横波使介质产生切变，——只有能承受切变的物体（固体）才能传递横波

第8页：表面波•因液面有表面张力

表面波•因液面有表面张力

在液面是纵波、横波均可传递。

• 2、纵波的特点•前三点基本上与横波相同

简谐纵波必须经过数学处理后才能用余弦函数处理。

• •有液面波传播时，液面的流体微元会在平衡位置附近作椭圆振动

液面波不是简谐波。

• •纵波在介质中引起长变或体变──所有物质都能承受长变，体变（固、液、气体）

在固体中纵波、横波均可传递，但两种波速各不相同。

机械波向外传播的是

波源（及各质点）的振动状态和能量

第9页：波线和波面

波线和波面

• 32、波的传播方向称波线
• 1、波所传播到的空间叫波场

(a)点波源波前波线波面(b)球面波波前波面波线(c)平面波3、振动传播时相位相同的点所组成的面称波面，在各向同性介质中，波线恒与波面垂直。

最前面的一个波面称波阵面（或波前）

第10页：简谐波一般说来

简谐波一般说来

4，波动中各质点的振动是复杂的。

最简单而又最基本的波动是简谐波，即波源以及介质中各质点的振动都是谐振动。

这种情况只能发生在各向同性、均匀、无限大、无吸收的连续弹性介质中。

以下我们所提到的介质都是这种理想化的介质。

由于任何复杂的波都可以看成由若干个简谐波叠加而成，因此，研究简谐波具有特别重要的意义

第11页：机械波的形成和传播（续1）

机械波的形成和传播（续1）

11*5.1.5物体的弹性形变固体、液体和气体在受到外力作用时，不仅运动状态会发生变化，而且其形状和体积也会发生改变，这种改变称为形变.如果外力不超过一定限度，在外力撤去后，物体的形状和体积能完全恢复原状，这种形变称为弹性形变.这个外力限度称为弹性限度.形变有以下几种基本形式：(1)长变如图5.4所示，在一棒的两端沿轴向作用两个大小相等、方向相反的一对外力F时，其长度发生变化，由l变为l＋Δl，伸长量Δl的正负(伸长或压缩)由外力方向决定，表示棒长的相对改变，称为应变或胁变.设棒的横截面积为S，则称为应力或胁强.胡克定律指出，在弹性限度范围内，应力与应变成正比，即图5.4长变(5.1)

第12页：机械波的形成和传播（续2）

机械波的形成和传播（续2）

12(2)切变如图5.5所示，在一块材料的两个相对面上各施加一个与平面平行、大小相等而方向相反的外力F时，则块状材料将发生图中所示的形变，即相对面发生相对滑移，称为切变.设施力的平面面积为S，则称为切变的应力或胁强，两个施力的相对面相互错开的角度称为切变的应变或胁变.根据胡克定律，在弹性限度内，切变的应力和切应变成正比，即图5.5切变(5.3)式中G是比例系数，只与材料性质有关，称为切变弹性模量，其定义式如下：(5.4)

第13页：机械波的形成和传播（续3）

机械波的形成和传播（续3）

13(3)容变当物体(固体、液体或气体)周围受到的压力改变时，其体积也会发生改变，这种形变称为容变.如图5.6所示，物体受到的压强由p变为p＋Δp，相应地物体的体积由V变为V＋ΔV，显然，ΔV与Δp的符号恒相反.ΔV/V表示体积的相对变化，称为容变的应变.实验表明，在弹性限度内，压强的改变与容应变的大小成正比，即图5.6容变(5.5)式中比例系数B只与材料性质有关，称为容变弹性模量，其定义式为(5.6)

第14页：描述波动的几个物理量

描述波动的几个物理量

14波动周期T

一个完整波形通过波线上某固定点所需的时间

或者说，波传播一个波长所需的时间。

波动频率

单位时间内通过介质中某一点完整波的个数1、波长λ5.1.6描述波动的几个物理量2、波动周期、频率λλ在波源相对于介质为静止时，波动周期等于波源振动周期

同一波线上振动位相差为2π的相邻的两质点间的距离。

或某个振动状态在一个周期内传播的距离为波长

第15页：波速决定于介质的力学性质

波速决定于介质的力学性质

波速u某个振动状态（即位相）在介质中传播的速度，波速又叫相速，用u表示，波速决定于介质的力学性质：弹性和惯性（介质的弹性模量和密度）。

固体中的波速液体和气体中的波速它表示单位时间内一定振动状态或位相沿波线传播的距离。

波长、波速、周期三者间关系

第16页：机械波的形成和传播（续4）

机械波的形成和传播（续4）

16注意波速与振速的区别

波速决定于介质的力学性质

第17页：平面简谐波的波动方程

平面简谐波的波动方程

1在同一时刻，沿着波的传播方向，各质点的振动状态或位相依次落后；波动是介质中大量质点参与的集体运动（振动）。

如何用数学式来描述大量质点以一定位相关系进行集体振动呢？

§5-2平面简谐波的波动方程

第18页：点的振动方程

点的振动方程

思路介质中所有质任一波面上任一质点振动方程通式任一波线上任一质点振动方程式的通式2、过程条件：B、波是沿着X轴正向传播，传播速度为u；C、波源的振动方程为y=A cosωt；D、波源相对于介质静止。

A、波源在坐标原点，X轴与某一波线重合

第19页：设P为波线（即x轴）上的一点

设P为波线（即x轴）上的一点

19，其坐标为x，那么0点的振动传到P点需要时间为：Δt = x /u在P点的观察者，认为P点在t时刻（Ｐ点的钟）所重复的振动状态是0点在[ t-(x/u)]时刻的振动状态。

P点在t时刻的振动状态＝0点在[ t-(x/u)]时刻的振动状态∴P点在t时刻的振动方程为由于P为任选的，所以上式所表示的是任一波线上任一点振动方程的通式，此即所求的平面简谐波的的波动表达式

第20页：波动表达式的多种形式

波动表达式的多种形式

第21页：波动方程

波动方程

2的物理意义振动y=f(t)描述一个质点的位移随时间变化的规律。

波动y=f(x,t)描述波线上所有质点的位移随时间变化的规律。

• 1、假定x=x0常数则考察的是波线上某固定点y=f（x，t）蜕变成y=f（t）

第22页：波动方程（续1）

波动方程（续1）

22（1）波动方程蜕变成x0处质元的振动方程（2）x0处质元的振动初位相“－”表示x0处质元的位相落后于原点0。

• （3）同一时刻，同一波线上两点的振动位相差xOx2x1

第23页：波动方程（续2）

波动方程（续2）

假定t=t0常数（1）波动方程蜕变成t0时刻的波形方程y=A cos［ω(t0-x／u)+φ／］可见，波长反映了波动在空间上的周期性。

y=f（x，t）蜕变成y=f（x）λλ/2λ/2相当于对某波动过程照相后的相片，这时──故波形图有鲜明的时间特征

第24页：平面简谐波的波动方程（续1）

平面简谐波的波动方程（续1）

24（3）同一质元在不同的两个时刻的振动位相差（2）时间延续△t，整个波形向前推进△x=u·△t据此，可由已知时刻的波形图画出下一时刻的波形图

第25页：平面简谐波的波动方程（续2）

平面简谐波的波动方程（续2）

25所以波动周期T反映了波动在时间上的周期性。

则

第26页：平面简谐波的波动方程（续3）

平面简谐波的波动方程（续3）

26波形不断向前推进就是波动传播的过程，波动方程描述一个波形的传播。

• 3、x，t都变y=f（x，t）描述波线上各个不同质点在不同时刻的位移t时刻的波形方程为y(x)=Acosω(t－x／u) (t)＋Δ(t)(t)＋2Δ(t)(t)t+Δt时刻的波形方程为y(x)=Acosω(t+Δt－(x+Δx)／u)

第27页：波动微分方程与波速图

波动微分方程与波速图

波动微分方程*5.2.35.11表示横波在某瞬时的波形图，取位于x和x＋Δx处两波面所围体元为隔离体.体元两侧受剪切力和作用.相比之下重力可不计.体元发生剪切变形，剪切应变为.用S表示体元横截面积，根据胡克定律有图5.11当波传播时，媒质内某体元的受力和形变G为切变模量

第28页：平面简谐波的波动方程（续4）

平面简谐波的波动方程（续4）

28固体内弹性平面纵波的波动微分方程为：（5.28)式中ρ表示媒质密度，E为杨氏模量.至于张紧柔软线绳上传播横波的波动微分方程则为：(5.29)T为线绳所受张力，μ为单位长度线绳的质量，称为线密度.以上的波动方程均根据质点动力学方程得出，故波动微分方程即是关于波的动力学方程.该方程的未知函数为y(x，t)，方程中y的两个偏导数都是以线性方式出现的，故本节讨论的波动方程是线性的.

第29页：平面简谐波的波动方程（续5）

平面简谐波的波动方程（续5）

波速波动微分方程给出了媒质内体元的运动和受力的关系，反映了波动传播的机制，对应于经典力学的动力学方程.而波动方程对应于运动学方程.故波动方程是波动微分方程的解.平面简谐波为平面波的特例，故平面简谐波动方程应为波动微分方程一特殊的解.固体中弹性横波波速为：同理可得固体中弹性纵波波速为：张紧软绳中横波波速则为：流体中纵波的波速为：B为流体的体变模量.

第30页：例5：平面简谐波的波动方程

例5：平面简谐波的波动方程

30解

(1)用比较法，将波动方程改写为：所以(2)同一时刻波线上坐标为和两点处质点振动的位相差例5.1已知波动方程为，其中x，y的单位为m，t的单位为s，求(1)振幅、波长、周期、波速；(2)距原点为8m和10m两点处质点振动的位相差；(3)波线上某质点在时间间隔0.2s内的位相差.并与波动方程的标准形式比较，即可得

第31页：是波动传播到和处的波程之差

是波动传播到和处的波程之差

31，上式就是同一时刻波线上任意两点间位相差与波程差的关系.负号表示x2处的振动位相落后于x1处的振动位相.(3)对于波线上任意一个给定点(x一定)，在时间间隔Δt内的位相差

第32页：波的能量

波的能量

1和能量密度1、dV内的波动动能设：在介质内任取一体元dv§4-5波的能量

第33页：波的能量（续1）

波的能量（续1）

dv内的波动势能体积元因形变而具有弹性势能在横波中，产生切变

第34页：波的能量（续2）

波的能量（续2）

34①在同一体元dV内，dEk、dEp是同步的。

３、dV内的总波动能量以上讨论说明：以横波为例，当体积元的位移最大时（即波峰、波谷处），它附近的介质也沿同一方向产生了几乎相等的位移，使该体积元发生的相对形变为零，即此时有y/x=0，所以此时体积元的弹性势能为零，而此时体积元的振速也为零，所以动能也为零

第35页：相反地

相反地

35，当体积元处在位移为零处(即平衡位置)时，振速、相对形变均最大，所以弹性势能和动能都同时达到最大值。

对任一介质体积元来说，不断从波源方向的介质中吸收能量，又不断地向后面的介质传递能量。

这说明波动是传递能量的一种方式，且能量传播的速度就是波速。

②体元dV内的机械能不守恒，且作周期性变化。

孤立的谐振子系统总能量守恒。

这与孤立的谐振子系统不相同，孤立的谐振子系统振动过程中系统的动能和势能相互转换,且总能保持不变

第36页：一个周期内的平均能量密度

一个周期内的平均能量密度

• 4、能量密度单位体积内的能量这说明

第37页：波的能流和能流密度

波的能流和能流密度

能流

单位时间内通过介质中某一截面的能量

uΔS平均能流

在一个周期内能流的平均值

• 2.能流密度(波的强度)：通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能量单位：瓦·米－24.5.2波的能流和能流密度

第38页：面的能量应该相等对平面波

面的能量应该相等对平面波

在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波在行进方向上振幅不变，球面波的振幅与离波源的距离成反比。

• 3.平面波和球面波的振幅在一个周期T内通过S1和S2面的能量应该相等对平面波：uSS所以,平面波振幅相等

第39页：对球面波

对球面波

r1r2所以振幅与离波源的距离成反比。

如果距波源单位距离的振幅为A则距波源r处的振幅为A/r由于振动的相位随距离的增加而落后的关系，与平面波类似，球面简谐波的波函数

第40页：惠更斯原理、波的叠加和干涉

惠更斯原理、波的叠加和干涉

惠更斯原理波动传播到的各点都可以看做是发射子波的新波源；§4-6惠更斯原理、波的叠加和干涉其后任一时刻，这些子波的包迹就是新的波阵面。

子波波源波前子波利用惠更斯原理可解释波的衍射、反射和折射

第41页：波的叠加原理

波的叠加原理

波的独立传播波传播的独立性

当几列波在空间某相遇后，各列波仍将保持其原有的频率、波长、振动方向等特征继续沿原来的传播方向前进

波的叠加原理

各列波在相遇区域内，任一质元的振动是各列波单独存在时对该质元所引起振动的合振动

第42页：

第43页：波的干涉干涉

波的干涉干涉

两列波在空间相遇（叠加），以致在空间的某些地方振动始终加强，而在空间的另一些地方振动始终减弱或完全消失的现象。

干涉条件

一般情况下，几列波在介质中相遇时，相遇区域内各处质点的合振动是很复杂的和不稳定的

振动方向相同。

频率相同；相位差恒定；1、干涉现象

第44页：波源振动表达式

波源振动表达式

S1S2PP点振动表达式

P点的合振动表达式

第45页：相干波

相干波

• ••干涉现象各点振幅稳定能产生干涉现象的波

振动方向相同。

频率相同；相位差恒定；•相干条件

第46页：干涉加强

干涉加强

和减弱条件合振幅仅由波程差（r2-r1）决定。

干涉相长与干涉相消的条件

k= 0,±1,±2,…A=A1+A2干涉相长A=A1－A2干涉相消

第47页：惠更斯原理、波的叠加和干涉（续1）

惠更斯原理、波的叠加和干涉（续1）

若ϕ10=ϕ20,上式简化为波程差δ干涉相长干涉相消k= 0,±1,±2,…

第48页：例1：AB为两相干波源，振幅均为5

例1：AB为两相干波源，振幅均为5

例1：AB为两相干波源，振幅均为5cm，频率为100Hz，波速为10 m/s。

A点为波峰时，B点恰为波谷，试确定两列波在P点干涉的结果。

解：设A比B超前π反相位P点静止15m 20m

第49页：例2：惠更斯原理、波的叠加和干涉

例2：惠更斯原理、波的叠加和干涉

解：干涉减弱的条件是例2图形是声波干涉仪.声波从入口E处进入仪器，分B，C两路在管中传播，然后到喇叭口A会合后传出.弯管C可以伸缩，当它渐渐伸长时，喇叭口发出的声音周期性增强或减弱.设C管每伸长8 cm，由A发出的声音就减弱一次，求此声波的频率(空气中声速为340 m/s).当C管伸长x＝8 cm时，再一次出现干涉减弱，即此时两路波的波程差应满足条件δ′－δ＝2x＝λ声波的频率为

第50页：例3：位于A、B两点的两个波源，相

例3：位于A、B两点的两个波源，相

例3：位于A、B两点的两个波源，相距30米，振幅相等，频率都是100赫兹，波速为400米/秒，已知A为波峰时，B点恰为波谷，求:A、B连线之间因相干干涉而静止的各点的位置。

解：如图所示，取A点为坐标原点，A、B联线为X轴，两波源的位相差为π，取A点的振动方程:在X轴上A点发出的行波方程：B点的振动方程

第51页：点发出的行波方程

点发出的行波方程

在X轴上B

因为两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相干为静止的点满足：整理得

第52页：惠更斯原理、波的叠加和干涉（续2）

惠更斯原理、波的叠加和干涉（续2）

其中

第53页：驻波

驻波

53波腹

振幅始终为极大值的点；在同一介质中，两列振幅相同的相干平面简谐波，在同一直线上沿相反方向传播时叠加形成的波，称为驻波

相邻两个波节点或波腹点之间的距离为半个波长。

波节

介质中始终不振动的点；B绳上的驻波mPA§4-7驻波

第54页：驻波方程

驻波方程

1两波相遇，其合成波为变量分离为简单计算，设两列相向传播的波在原点位相相同（例如为零）

第55页：驻波的特点

驻波的特点

55√波线上各点都在自己平衡位置附近作周期为T的谐振动，各点的振幅随位置的不同作周期性变化。

• 1.波腹与波节驻波振幅分布特点考察某一点，令x=常数，则x处的质元振幅为振动频率为2πν4.7.2驻波的特点

第56页：驻波（续3）

驻波（续3）

56√波节和波腹位置•当振幅为极大时，为波腹的坐标位置介质中各点的振幅是随x按余弦规律变化，而余弦函数的绝对值的周期为π，故说明两相邻波腹间距为•当振幅为0时，为波节的坐标位置说明两相邻波节间距为两相邻波节和波腹之间距为

第57页：驻波（续4）

驻波（续4）

57注意结论的适用范围

上述波腹、波节的坐标位置公式是特殊情况下的结论（即两相干波初相为零时所得），不具普遍性

而关于两相邻波腹，两相邻波节间距为λ的结论具有普遍性，求波节、波腹的方法，思路具有普遍性

第58页：驻波（续5）

驻波（续5）

58相邻两个波节之间的所有各点振动位相相同，同步振动。

任一波节两侧的点，振动位相正好相反，相差π，λ／43λ／45λ／4ϕ(x) < 0ϕ(x)＞0──即驻波干涉中，介质各点的振动位相分段相同，相邻两段位相相反

第59页：驻波相位的分布特点

驻波相位的分布特点

59√当所有质点的位移到达最大时，各质点动能为零，全部能量为势能，且势能集中在波节附近。

√当所有质点到达平衡位置时，各质点势能为零，全部能量为动能，且动能集中在波腹附近。

√在驻波振动的其它时刻，动能、势能并存，且在一个波段内动能、势能在不断地进行转换，并不断地分别集中在波腹和波节附近而不向外传播。

驻波

波形并不向前传播，也没有振动状态(位相)和能量的传播

驻波干涉实际上是一种特殊振动，是在一段有限长介质中入射波与反射波叠加后引起的特殊振动。

所有乐器都是不同介质的不同形式的驻波振动。

• 2.驻波相位的分布特点

第60页：半波损失

半波损失

60反射波与入射波在界面处的相位，当满足一定条件时，始终存在着π的位相差的现象。

• 2、产生半波损失的条件4.7.3半波损失1、什么是半波损失波由波疏介质入射到波密介质面上反射，波动在反射时发生π位相突变的现象称为半波损失

正入射（对光波还可以是掠入射）当界面处为波节时，即有半波损失。

有半波损失无半波损失

第61页：在界面处的相位变化的讨论

在界面处的相位变化的讨论

反射波

1、波阻：ρ·u──即介质的密度与波速之乘积两种介质中，相对波阻大的介质为波密介质相对波阻小的介质为波疏介质如＞n1> n2波由波疏介质入射，在波密界面上反射──界面形成波节

• 2、实验表明：波由波密介质入射，在波疏界面上反射──界面形成波腹

第62页：例5：8如图5.31所示

例5：8如图5.31所示

62例5.8如图5.31所示，沿x轴正向传播的平面简谐波方程为，两种介质的分界面P与坐标原点O相距d＝6.0m，入射波在界面上反射后振幅无变化，且反射处为固定端.求：(1)反射波方程；(2)驻波方程；(3)在O与P间各个波节和波腹点的坐标.图5.31解(1)由波动方程可知，入射波的振幅A＝0.2m，角频率ω＝200π，波速u＝200m/s，故波长λ＝u/v＝2m.由题意知，反射波的振幅、频率和波速均与入射波相同.入射波在两介质分界面P点处的振动方程为因为反射点是固定端，所以反射波在P点处的振动位相与入射波在该点的振动位相相反，故有反射波以速度u＝200m/s向x轴负向传播，在P点处的振动方程已经由上式给出，所以反射波方程为

第63页：驻波方程（续1）

驻波方程（续1）

63(2)驻波方程为

(3)由(k＝0,1,2,3，…，6)得波节点的坐标为x＝0,1,2,3,4,5,6.(k＝0,1,2…，5)由得波腹点的坐标为