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本课件介绍机械波的形成机制与传播特征，建立平面简谐波的波动方程并讨论波的能量、能流密度与衰减吸收，随后讲解惠更斯原理、波的叠加与干涉，重点分析驻波的形成条件与特征，最后给出多普勒效应的频率公式与实际应用。
第十章波动MECHANICAL WAVES第6章机械波
本章教学内容6. 1机械波的形成和传播6. 2平面简谐波的波动方程6.3惠更斯原理波的叠加6.4驻波6.5多普勒效应
一理解描述简谐波的各物理量的意义及各量间的关系.二理解机械波产生的条件．掌握由已知质点的简谐运动方程得出平面简谐波的波函数的方法．理解波函数的物理意义．理解波的能量传播特征及能流、能流密度概念．本章教学基本要求
三了解惠更斯原理和波的叠加原理.理解波的相干条件，能应用相位差和波程差分析、确定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件.四理解驻波及其形成，了解驻波和行波的区别.五了解机械波的多普勒效应及其产生的原因.
波动——振动的传播。
二、横波与纵波1、横波特点：波传播方向上各点的振动方向与波传播方向垂直。
83、复杂波（本章研究对象）特点：波源及介质中各点均作简谐振动特点：复杂波可分解为横波和纵波的合成例如：地震波简谐波（harmonic waves):
三、波长波的周期和频率波速OyAA波传播方向上相邻两振动状态完全相同的质点间的距离（一完整波的长度）.1、波长
横波：相邻波峰——波峰波谷——波谷纵波：相邻波疏——波疏波密——波密2、周期T波传过一波长所需的时间，或一完整波通过波线上某点所需的时间.
113、频率单位时间内波向前传播的完整波的数目.（1内向前传播了几个波长）决定于介质的性质（弹性模量和密度）波在介质中传播的速度。4、波速：例如，声波在空气中；水中；钢铁中
◆四个物理量的联系注意周期或频率只决定于波源的振动；波速只决定于介质的性质。波在空间的周期性波在时间上的周期性通过波速联系起来。(1)波的周期和频率与媒质的性质无关；一般情况下，与波源振动的周期和频率相同。(2)波速实质上是相位传播的速度，故称为相速度；其大小主要决定于媒质的性质，与波的频率无关。说明
a.拉紧的绳子或弦线中横波的波速为：b.均匀细棒中，纵波的波速为：—张力—线密度—固体棒的杨氏模量—固体棒的密度※可以证明：—固体的切变弹性模量—固体密度c.固体媒质中传播的横波速率由下式给出：(常见介质中的波速如下)
d.液体和气体只能传播纵波—流体的容变弹性模量—流体的密度e.稀薄大气中的纵波波速为—气体摩尔热容比—气体摩尔质量—气体摩尔常数◆在同一种固体媒质中，横波波速比纵波波速小些。理想气体纵波波速:模量显然波速与温度有关。M为气体的摩尔质量；T为热力学温度；γ是比热容比R为普适气态常量。
四、波线波面波前振动相位相同的点组成的面称为波阵面。1、波线：2、波阵面：波的传播方向任一时刻波源最初振动状态在各方向上传到的点的轨迹。波前是最前面的波阵面。◆性质（3）各向同性介质中，波线垂直于波阵面.（2）波阵面的推进即为波的传播.（1）同一波阵面上各点振动状态相同.
◆分类（1）平面波（2）球面波柱面波波面波线xyz（3）柱面波波线波面波面波线
一平面简谐波的波函数设有一平面简谐波沿轴正方向传播，波速为，坐标原点处质点的振动方程为OPx§6.2平面简谐波的波动方程
OPx即为沿x轴正方向传播的平面简谐波的波函数，又称波动方程.右行波从时间看,P点t时刻的位移是O点时刻的位移;从相位看，P处质点振动相位较O处质点相位落后
右行波思考？OPx左行波？
波函数质点的振动速度，加速度※不同于波传播的速度u!
二、波函数的物理含义则令（3）一定，变化表示点处质点的振动方程（的关系）(2)波形传播的时间周期性(1)振动状态的空间周期性说明波线上振动状态的空间周期性说明波形传播的时间周期性
波线上各点的简谐运动图
令（定值）则yox(4)、一定，变化该方程表示时刻波传播方向上各质点的位移,即时刻的波形（的关系）
方程表示在不同时刻各质点的位移，即不同时刻的波形，体现了波的传播.O(5)、都变从形式上看：波动是波形的传播.从实质上看：波动是振动状态的传播.总结表明波形传播和分布的时空周期性。
一平面简谐波以速度沿直线传播，波线上点A的简谐运动方程求:(1)以A为坐标原点，写出波动方程；(2)以B为坐标原点，写出波动方程；ABCD5m9 m8 m例题1
解(1)以A为坐标原点，(m)ABCD5m9 m8 m
(2)以B为坐标原点，写出波动方程法一:(m)右行波的方程：ABCD5m9 m8 m
(2)以B为坐标原点，写出波动方程法二:以A为原点的波动方程为:(m)将代入上式得:B点振动方程波动方程:ABCD5m9 m8 m
已知求思考ωcost+yϕPA()P波动方程一平面简谐波以波速沿X轴正向传播。axu位于处的P点的振动方程为解法提要得波动方程YuXOaPxB设任意B点距原点为xP点振动传到B点需时间uax即B点时刻的振动状态与P点时刻的振动状态相同ttuaxycosAω(t)+ϕPuaxcosAω(t)+ϕPaux(ω)u例题2
球面波平面波O§6.3惠更斯原理波的叠加1.惠更斯原理(1)行进中的波面上任意一点都可看作是新的子波源；(3)各个子波所形成的包络面，就是原波面在一定时间内所传播到的新波面。(2)所有子波源各自向外发出许多子波（球面波）；
※用惠更斯原理证明:波的反向与折射定律时刻t时刻t+△tB2B3B1NNAIBLiiiA1A2A3B2B3B1NNAId波的反射定律：
iiiA1A2A3B2B3B1NNAIdⅠⅡⅠⅡ时刻t时刻t+△tB2B3B1NNAIBR所以波的折射定律：
332.波的叠加原理波传播的独立性：两列波在某区域相遇后再分开，传播情况与未相遇时相同，互不干扰.波的叠加性：在相遇区，任一质点的振动为二波单独在该点引起的振动的合成.
频率相同、振动方向平行、相位相同或相位差恒定的两列波相遇时，使某些地方振动始终加强，而使另一些地方振动始终减弱的现象，称为波的干涉现象.3.波的干涉
波频率相同，振动方向相同，位相差恒定例水波干涉光波干涉某些点振动始终加强，另一些点振动始终减弱或完全抵消.(2)干涉现象满足干涉条件的波称相干波.(1)干涉条件
波源振动点P的两个分振动(3)干涉现象的定量讨论*波沿波线传播的路程.r1、r2-----波程：对同一波而言，波向前传播到达的两点的波程之差.对两波而言，两波传到同一点的波程之差.波程差：
定值*
合振幅最大当合振幅最小当位相差决定了合振幅的大小.干涉的位相差条件讨论定值
位相差加强减弱称为波程差（波走过的路程之差）则如果即相干波源S1、S2同位相
将合振幅加强、减弱的条件转化为干涉的波程差条件，则有当时（半波长偶数倍）合振幅最大当时（半波长奇数倍）合振幅最小干涉的波程差条件加强减弱
如图所示，A、B两点为同一介质中两相干波源.其振幅皆为5cm，频率皆为100Hz，但当点A为波峰时，点B恰为波谷.设波速为，试写出由A、B发出的两列波传到点P时干涉的结果.15 m20 mABP例题
设A的相位较B超前点P合振幅解：(m)15 m20 mABP
一、驻波的产生1、驻波实验（弦线上的驻波）弦线分段作稳定振动，是入射波和反射波相干叠加的结果。------驻波。结论：﹡一根张紧的弦线，一端A固定，另一端连接一振子，当振子做上下振动时，该弦将如何运动呢？
452、产生驻波的条件：λ两列相干波λ振幅相同λ在同一直线上沿相反方向传播频率相同振动方向相同位相差恒定模拟
463、驻波的形成过程驻波是由振幅相同,速率相同且在同一直线上沿相反方向传播的两列相干波叠加而成的一种特殊形式的干涉现象.
474、驻波的基本特征：λ驻波波形不朝任何方向移动；λ驻波中有些质元始终静止不动，称为波节；有些质元的振幅始终最大，称为波腹；λ波腹和波节都是等间隔排列的。λ媒质质元分段振动,各分段步调一致,振幅不同。
相干迭加合位移：二、驻波方程（定量研究？）设两列平面相干波沿x轴正、负向传播,设在x=0处两振动的初相位均为0.沿x轴正向：沿x轴负向：
不含时间，为振幅项含时间，为振动项驻波中的各质点都在作振幅为，频率为的简谐振动。驻波方程：讨论1、波腹和波节的位置
（1）波腹：令即：相邻波腹间隔：（2）波节：令即：
相位振动相位为结论：一波节两侧各点振动相位相反结论：相邻两波节间各点振动相位相同为：
λ在一个波节两边的各质点，振动相位相反；λ在两个相邻波节之间各质点，振动相位相同。结论：驻波的相位分段相同,两相邻波节间相位相同(振动步调一致),某波节两边相位相反,相位不向前传播.“驻”实际上是一种特殊的振动现象。
绳波在固定端的反射：绳波在自由端的反射：三相位跃变（半波损失）固定端为波节。自由端为波腹。
在固定端，入射波和反射波相位相反，相干叠加后形成波节。在自由端，入射波和反射波相位相同，相干叠加后形成波腹。
反之，则形成波腹。
当形成波节时，说明反射波和入射波在反射处的振动相位相反，即反射波在反射处的相位较之入射波跃变了，则相当于出现了半个波长的波程差。
这种现象称为相位跃变，或称为半波损失（half-wave loss）。
◆入射波在两种介质的分界面上反射时：
*四驻波的能量思考？驻波中的能量如何分布呢？以弦线上的驻波为例：考虑两相邻波节a、b之间的一段弦，当其中各质元都达到最大位移时，动能为零。此时各质元发生不同程度的形变，越靠近波节，曲线斜率越大，剪切形变越明显，形变势能越大。ab此时驻波能量以形变势能的形式主要集中于波节附近。
当ab弦回到平衡位置时，形变势能为零，动能达到最大。由于在波腹处的质元速度最大，故此时动能主要集中在波腹附近。结论：驻波中两相邻波节之间一段介质内不断地进行动能与势能的相互转换，并且不断地分别集中在波腹和波节附近而不向外传播，转换过程中机械能保持不变。驻波中没有能量的定向传播。驻波是介质的一种特殊的振动.在其它时刻，ab弦上动能和势能同时存在。ba
五振动的简正模式波在两固定端面来回反射会形成各种驻波。思考任意频率的波来回反射都能形成稳定的驻波吗？两固定端面为波节，要形成稳定的驻波分布必：波的频率：——弦振动的本征频率（eigenfrequency）L
每一个本征频率对应弦线的一种可能的稳定振动模式，称这些模式为弦线振动的简正模式（normal mode）最小的本征频率称为基频，其它本征频率为基频的整数倍，依次称为二次谐频、三次谐频......◆对于弦线上的驻波，有波速：张力线密度故本征频率：本征频率（eigenfrequency）弦乐器基于这一原理,最低频率的叫基音,其它叫泛音,如第一泛音、第二泛音、……通过调整弦的张力F,弦的粗细和弦的长度L,改变基频和谐频,使其产生动听的音乐.
由Fourier分析,任何一个周期性函数都可分解为一系列基频和谐频的和.简正模式的应用相当广泛.当外界驱动源的频率等于系统的某一本征频率时，就会在系统当中激起强烈的驻波，这种现象称为共振（resonance）。调弦弦的音高演奏旋律改变改变改变各种乐器都是驻波系统：基频决定音调的高低谐频决定音色的变化
思考“鱼洗”之谜古代脸盆称“洗”，盆底刻有鱼纹的称鱼洗，龙纹的称龙洗。这种器物在先秦时期已被普遍使用，而能喷水的铜质鱼洗大约出现在唐代。※气体火焰驻波
*例1如图，一平面简谐波沿正向传播，其波动方程为，在固定端面P处产生反射，求:1）反射波的波动方程。2）介质中的驻波方程和OP之间各波节的位置。解：1）入射波在P点相位为：由于反射波在P点存在半波损失，故反射波在P点相位为：反射波到达处时的振动相位：例题
反射波到达处时的振动相位：故得反射波的波动方程为：2）驻波方程为：驻波中的波节满足：即：
在OP之间波节的位置：驻波中的波节满足：
本节教学目的和基本要求•了解多普勒效应。•了解声波和超声波的特性。§6.5多普勒效应
由于波源或者观察者的运动，使得观察者接受到的声波频率和波源的振动频率不一致，这种现象称为多普勒效应。
§6.5多普勒效应（Doppler effect）
接收频率：同理，当观察者离开波源运动时：一波源不动，观察者相对介质以速度运动
当波源运动时，介质中的波长将发生变化。当波源朝右运动时，波源右侧的波面变密，波长变短；波源左侧的波面变稀疏，波长变长。二观察者不动，波源相对介质以速度运动波源运动时的多普勒效应
A波在介质中的波长：接受频率：同理，当波源离开观察者运动时：
三波源与观察者同时相对介质运动观察者向波源运动+，远离取.波源向观察者运动，远离取+ .符号规定波源、观察者两者同时运动，定性地说，只要两者互相接近，接收到的频率就高于原来波源的频率；两者互相远离，接收到的频率就低于原来波源的频率.小结
一辆救护车以25 m·s-1的速度在静止的空气中行驶，假设车上鸣笛的频率为800Hz，求：静止站在路边的人听到救护车驶近和离去时的鸣笛声波的频率.（设空气中声速330 m·s-1.）例题
救护车驶近时，解得:u=330 m·s-1当救护车离去时，即：当救护车从观察着身边驶过时接收到的信号有频率差约为131Hz。
测速仪发出频率为的超声波，当汽车向着测速仪行驶时，测速仪接收到从汽车反射回来的波的频率为。已知空气中的声速为求汽车的行驶速度。解1）车为接收器2）车为波源车速νs0vvuu例题
λ多普勒声纳定位λ多普勒超声诊断λ多普勒雷达测速λ多普勒血流计λ用于贵重物品、机密室的防盗系统λ卫星跟踪系统等.◆多普勒效应的应用
应用之一：多普勒声纳舰艇、油轮、货船行驶在浩瀚无垠的大海上，如何准确的沿着既定的目标前进呢？多普勒声纳可以提供这种帮助.多普勒声纳是根据多普勒效应研制的一种利用水下声波来测速和计程的精密仪器.
多普勒声纳一般安装在船体底部，由一个发射器和一个接收器组成，如图中O点.此时，船上接收器接收到的频率为：PO船底a多普勒声纳原理简介无法显示该图片。
一般还在同一位置安装一对向后的发射器和接收器，此时它收到的频率为：PO船底a由此可得：当
应用之二：多普勒超声诊断探头皮肤声靶我们以心脏病中的二尖瓣狭窄为例，说明其诊断原理：利用超声波的多普勒效应可以测定血流的速度，如果发现明显的血流异常，则可以诊断二尖瓣狭窄，确定异常血流的深度.
光也存在多普勒效应，但是涉及狭义相对论的相对性原理和光速不变原理，较复杂.在此我们仅作简单介绍.由相对论可得：注意：以上两公式对电磁波同样适用。波源背离观测者运动，有波源朝着观测者运动，有其中为波源的速度
821848年，法国物理学家斐索指出，注意谱线的位置能够取得观测光的多普勒效应的最佳效果.因此，人们把光的多普勒效应称为多普勒-斐索效应.应用之三：光谱线的红移——宇宙膨胀学说的理论基础多普勒-斐索效应
应用之四：监测车辆的速度（电磁波的多普勒效应）公路上用于监测车辆速度的监测器，由微波雷达发射器、探测器及数据处理系统等组成.可以设想，当监测雷达发射频率为的微波被速度向其运动的车辆所接收后，微波频率变化为，即
然后，微波从运动的汽车上被反射回去.从监测器处所测得的反射波的频率为，即所以，频率差为如根据交通管理条例对汽车最高速率限制为，那么拍频的最大值是：
应用之五：预测天气的雷达——多普勒雷达、尼克斯雷达（电磁波的多普勒效应）尼克斯雷达是采用多普勒效应对风、雨、雪进行探测的的一种新型雷达.因为，雨滴和雪花运动方式不同，雷达反射回的波频率也不同.根据雷达接收反射回来的无线电波的频率，就可以分析出风、雨、雪花的运动情况.利用多普勒效应，可以确定风暴是不是向这个方向刮来，并且能判定速度的大小.END
*五冲击波（shock wave）当时，多普勒公式不再成立。此时波源前方不再有任何波动，所有波面都将被压缩在波源后方的狭小锥体之内（马赫锥）称为冲击波。
由于波面被压缩，波的能量被高度集中，冲击波具有很大的声压，当较强的冲击波掠过物体表面时，容易造成对物体的破坏。马赫角：马赫数：
高速快艇在其两侧激起的舷波；超音速飞机飞行生成的声波，高速子弹飞行激起的声波等，都属冲击波。冲击波大都由非线性振动引起，如强烈爆炸。，冲击波可使媒质的密度、速度和温度急剧变化，并产生高温、高压。声暴当波源的运动速率刚好等于波速时，vsu即，马赫锥的顶角，锥面变为平面。απ波源在各时刻发射的波，几乎与波源自身共处于同一平面，这时冲击波的能量非常集中、强度和破坏力极大，这种现象称为“声暴”。
当飞机刚好以声速飞行时，机体所产生的任一振动都将尾随在机体附近，并引起机身的共振，给飞行带来危险。
因此，超音速飞机在飞行时都要尽快越过这道音速的屏障。
多普勒效应只发生在相互运动的方向上.当波源与接收器并非沿它们的连线运动时,只要认为VR、VS为连线速度的分量即可,而垂直于连线方向的分量不产生生多普勒效应.多普勒效应在电磁波中也存在.小结
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