15 机械波2.doc

第1页：机械波的产生与传播

第十六章 波动学基础

• 一、机械波：声波、地震波、水波；
• 二、电磁波：光、X 射线、γ 射线；
• 三、物质波。

16-1 机械波的产生与传播

一、什么是波：一般地说，波是振动（或任何扰动）在空间或媒质中的传播过程。

二、机械波的产生：通过分析知，机械波是机械振动在弹性媒质中的传播。

1. 产生的条件：振源（波源）和弹性媒质；
2. 波是指媒质整体所表现的运动状态，其特点是相邻质元的振动相位依次落后；
3. 波的传播过程是质点振动状态的传播过程，亦即是振动相位的传播过程，而所有的质点都仍在各自的平衡位置附近振动。

三、介绍几个概念

1. 横波与纵波：按振动方向与传播方向的关系来分；
2. 波面、波前、波（射）线（关于波的运动状态的几何描述）：在波的传播过程中，媒质中振动相位相同的点组成的面称为波（阵）面，最前面的波面称为波前；与波阵面垂直、且指向波的传播方向的线称为波线；
3. 平面波、球面波：按波阵面的形态来划分。

16-2 波动方程　一、波动方程（平面简谐波）（图）：设此脉冲向右移动的速度为 u，以绳索为 x 轴、绳上各点离开平衡位置为 y 建立坐标系。设 t = 0 时的波形为 y = f(x)；t = t 时，若绳子不吸收能量、波形不变，引入 S′ 系，则 y′ = f(x′)，因 x = x′ + ut、y = y′，故 t 时刻

y = f(x − ut)（波动方程）。

第2页：平面简谐波的波动方程

将 t 看成连续变化，则表示一列沿 x 轴正方向传播的波形；同理，波沿 x 轴负向传播时 y = f(x + ut)（u > 0）。

二、简谐波的波动方程（以横波为例讨论）

1. 若波形是余（正）弦曲线，则媒质中各质元依次作谐振动。设 t = 0 时波形函数 y = A cos kx（取 Φ₀ = 0），A 称作波的振幅，k 称为波数；当 kx = 0、2π、4π、6π…时 y = A 出现波峰，当 kx = π、3π、5π、7π…时 y = −A 出现波谷（仅对横波）。两相邻波峰或波谷之间的距离称为波长 λ，则 k(x + λ) − kx = 2π，即 k = 2π/λ；波数 k 即为 2π 距离内完整的整波个数。
2. 若波沿 x 轴正（或负）方向传播，则由上讨论，波动方程为 y = A cos k(x − ut) 或 y = A cos k(x + ut)。

三、波的周期与频率

1. 周期：波传播一个波长所需要的时间 T = λ/u；
2. 频率：单位时间传播的整波个数 γ = 1/T = u/λ，故 u = γλ；
3. 圆频率：ω = 2πγ = 2πu/λ = ku，k = ω/u = 2π/λ。

3、波动方程的几种常见形式（设 Φ₀ = 0）：

y = A cos k(x − ut)，y = A cos ω(t − x/u)，y = A cos 2πγ(t − x/u)，y = A cos 2π(t/T − x/λ)，y = A cos(ωt − kx)。

第3页：波动方程的意义与相速度

四、波动方程的意义：波动方程中有 x 和 t 两个独立变量。

1. 设 x 给定 x = x₀，则 y = A cos ω(t − x₀/u)，表示 x₀ 处质元的振动方程，即振动曲线——相当于给某个质元的振动情况「拍」的电影；可以证明波的周期也等于每个质元的振动周期：因 y = A cos ω(t − x₀/u) = A cos(ωt − ωx₀/u)，故 T = 2π/ω = 2π/(ku) = λ/u，即表明振动一周，向外发出一个整波。
2. 若给定 t = t₀，则 y = A cos ω(t₀ − x/u)，为波形曲线，相当于给全体质元在 t₀ 时刻「拍的相片」。
3. 若 x、t 都在变，则表示沿 x 轴正（或负）向传播的横波，波形曲线以 u 向右运动，称为「行波」。

注意：关于波源的位置与 x 的取值范围的讨论。

（1）设 t₁ 时刻 x₁ 处位相为 ω(t₁ − x₁/u)，t₁ + Δt 时刻到达 x₁ + Δx 处，则 ω(t₁ + Δt − (x₁ + Δx)/u) = ω(t₁ − x₁/u)，即 Δt = Δx/u，u = Δx/Δt，即振动的位相是以 u 传播的，因此又称 u 为「相速度」。

（2）波速 u 的值（计算）：

第4页：波速公式与质元的振动速度

a、理论证明，液体和气体中纵波的传播速度

注意：波的传播速度与质元的振动速度是两回事。由 y = A cos ω(t − x/u) 得：

u：波速、相速度；v = ẏ = −Aω sin ω(t − x/u) 为振动速度；a = ÿ = −Aω² cos ω(t − x/u) 为振动加速度。

例 16-1（略）、例 16-3（略）：已知 γ = 12.5 kHz，Y = 1.9×10¹¹ N/m²，ρ = 7.6×10³ kg/m³，A = 0.1 mm = 0.1×10^-3 m。求：（1）原点处质点的振动表达式；（2）波动方程；（3）x = 10 cm 处的振动方程；（4）x = 20 cm 与 x = 30 cm 两处振动的相位差；（5）t = 0.0021 s 时的波形方程。

第5页：波动方程的计算例题

解：u = √(Y/ρ) = √(1.9×10¹¹/7.6×10³) = 5.0×10³ m·s^-1，λ = u/γ = 5.0×10³/(12.5×10³) = 0.40 m，T = 1/γ = 8×10^-5 s。

（1）不妨设 Φ₀ = 0，原点处质点的振动表达式为

y₀ = A cos ωt = 0.1×10^-3 cos(2π×12.5×10³ t) m = 1×10^-4 cos(25×10³ π t) m。

（2）波动方程为

y = A cos ω(t − x/u) = 1×10^-4 cos(25×10³ π t − 5.0×10^-4 x) m。

（3）取 x = 10 cm = 0.1 m：

y = 1×10^-4 cos(25×10³ π t − 5.0×10^-4×0.1) m = 1×10^-4 cos(25×10³ π t − π/4) m，比原点落后 π/4 的位相。

（4）Δx = 10 cm = λ/4，故 ΔΦ = 2π·Δx/λ = π/2。

（5）取 t = 0.0021 s：

y = 1×10^-4 cos(25×10³ π×0.0021 − 5.0×10^-4 x) m = 1×10^-4 cos(5π − 5.0×10^-4 x) m。

例 16-4（学生自己看）。

第6页：由波动方程求各物理量与波形曲线

补充例题（习题 16-3）：已知 y = A cos(10πt − 4πx)。

解：（1）与标准方程 y = A cos(2πγt − 2πx/λ + Φ₀) 比较，得

注：源文本中速度振幅写作「0.05×2ω×5」、加速度振幅写作「0.05×(2ω×5)」，按 v_m = Aω、a_m = Aω² 整理为标准形式（ω = 2πγ = 10π rad/s）。

（3）位相 Φ = ωt − 2πx/λ = 2π×5t − 2πx/0.5；取 t = 1 s、x = 0.2 m 得 Φ = 9.2π；再取 x = 0，由 ωt = 9.2π 得 t = 9.2π/(2π×5) = 0.92 s。

（4）先画 t = 1 s 的波形曲线：y = 0.05 cos(10π − 4πx) = 0.05 cos 4πx（如图）。