12 电磁感应5.doc

第1页：电磁感应现象与楞次定律

第十三章 电磁感应　§13-1 电磁感应的基本定律

一、电磁感应现象：当穿过一个闭合导体回路所包围的面积内的磁通量发生变化时，在导体回路中就会产生电流，这种现象称为电磁感应现象（1831 年）。

二、楞次定律（1833 年，纯电阻）：闭合回路中产生的感应电流具有确定的方向，它总是使感应电流所产生的通过回路面积的磁通量，去补偿或反抗引起感应电流的磁通量的变化。

或表述为：感应电流的效果总是反抗引起感应电流的原因。这里「效果」可以理解为感应电流激发的磁场，也可以理解为因感应电流出现而引起的机械作用；「原因」既可以指磁通量的变化，也可指引起磁通量变化的相对运动或回路的形变。

▲实质：感应电流取楞次定律所述的方向，是能量守恒和转化定律的必然结果。

例题：楞次定律是能量守恒所必需的。换句话说，如果电磁感应的规律正好与楞次定律相反，则能量守恒定律不成立，试用简单例子加以说明。

三、法拉第电磁感应定律：导体回路中感应电动势 ε_i 的大小与穿过回路的磁通量的变化率 dΦ/dt 成正比，即 ε_i ∝ dΦ/dt，或 ε_i = −K dΦ/dt；对于国际单位制 K = 1，

ε_i = −dΦ/dt（适用于单匝导线组成的回路）。

第2页：法拉第电磁感应定律与感应电量

对于多匝线圈串联，每匝的磁通分别为 Φ₁、Φ₂、…、Φ_N，则

ε_i = −dΦ₁/dt − dΦ₂/dt − … − dΦ_N/dt = −d(Φ₁ + Φ₂ + … + Φ_N)/dt = −dΨ/dt，

Ψ = Φ₁ + Φ₂ + … + Φ_N 叫做磁通匝链数或全磁通。若各 Φ_i 相同均为 Φ，则 Ψ = NΦ，ε_i = −dΨ/dt = −N dΦ/dt。

▲感应电动势的方向问题，需作三条规定：

1. 回路 L 的绕行正方向；
2. 曲面法线 n 的正方向；
3. L 与 n 的关系满足右手法则。

方可满足法拉第定律。如果闭合电路的电阻为 R，则 I_i = −(1/R) dΦ/dt；当 t = t₀ 时 Φ = Φ₀、t = t₁ 时 Φ = Φ₁，通过回路中任一截面的感应电量（迁移的电量）为

★ q = ∫_t0^t1 I_i dt = −(1/R)∫_Φ0^Φ1 dΦ = (Φ₀ − Φ₁)/R。

例题：如图，环形螺线管 n = 5000 匝/米，dI/dt = −20 安培/秒，截面 S = 2×10^-3 m²。在环上再绕一线圈 A，N = 5 匝，R = 2.0 Ω。求：1、A 中 ε_i 及 I_i；2、2 秒内通过 A 的电量 q。

解：环内的 B ≈ μ₀nI，通过 A 的 Φ = μ₀nIS，故

ε_i = N dΦ/dt = μ₀nNS·dI/dt = 4π×10^-7×5000×5×2×10^-3×20 = 1.26×10^-3 V；

I_i = ε_i/R = 1.26×10^-3/2.0 = 6.30×10^-4 A；

q = ∫₀² I_i dt = 6.30×10^-4×2.0 = 1.26×10^-3 C。

注：源文本中电动势结果写作「1.26×10 伏特」，缺少指数，按 μ₀ = 4π×10^-7 与给定数据计算应为 1.26×10^-3 伏特，此处按标准换算给出。

第3页：动生电动势及其微观解释

§13-2 在磁场中运动的导线内感应电动势（动生电动势）

一、动生电动势：Φ = B·S = B l l′，dl′ = v dt，故

ε_i = dΦ/dt = d(B l l′)/dt = B l dl′/dt，即 ε_i = Blv，方向可由楞次定律得到（从 b 指向 a）。

二、对动生电动势的解释（金属电子理论）：

当 eE = evB 即 E = vB 时达到平衡，这时 v_a − v_b = El，即因洛仑兹力作用的结果 ε_i = El = l v B，与前面结果完全一致。

▲以上说法与洛仑兹力不作功是否矛盾？不矛盾：总洛仑兹力 F = −e(v + u) × B 与合成速度 (v + u) 垂直，不做功；然而分力 f = −e(v × B) 对电子做正功，形成动生电动势，另一分力沿 −v 方向做负功，两功代数和为零（f·u = −f′·v），总功率为零。因此，洛仑兹力作用并不提供能量，而只是传递能量。

第4页：旋转铜棒与铜盘的动生电动势

补充：导体在恒定磁场中运动时，动生电动势

ε_ab = ∫_a^b (v × B)·dl，或 ε = ∮_L (v × B)·dl；

ε_ab > 0 则 U_a < U_b；ε_ab < 0 则 U_a > U_b。

例题：已知铜棒长 L，在匀强磁场 B 中沿逆时针方向绕轴以角速度 ω 旋转。1、求铜棒中感生电动势的大小和方向；2、若是半径为 L 的铜盘绕圆心旋转，求中心与边缘之间的电势差。

解：1、在距 O 为 l 处取 dl 小段，速度 v = ωl，dε_i = −B v dl = −Bω l dl，(v × B) 方向为从 A 指向 O，各小段 dε_i 的指向都一样，故

ε_i = −∫₀^L Bω l dl = −BωL²/2，ε_i 的指向是从 A 到 O，即 U_O − U_A = BωL²/2。

另解：计算铜棒在单位时间所切割的磁感应线数来求动生电动势。设 Δt 内转过 Δθ 角度，ΔΦ = B·(1/2)L·L Δθ = (1/2)BL²Δθ。

2、若是铜盘，可以看成是无数根并联的铜棒组成，结果同上。

例题［程守洙《普通物理学》第四版 p220，14-13］：如图，（1）质量为 M、长度为 l 的金属棒 ab 从静止开始沿倾斜的绝缘框架下滑，设磁场 B 竖直向上，求棒内的动生电动势与时间的函数关系，忽略摩擦；（2）如果金属棒 ab 是沿光滑的金属框架下滑，结果有何不同？

第5页：金属棒沿斜面下滑的动生电动势

解：（1）下滑加速度 a = g sinθ，经过时间 t，v = at = gt sinθ，金属棒切割磁感线的有效速度为 v_⊥ = v cosθ，故

ε_i = B l v_⊥ = B l g t sinθ cosθ = (1/2)B l g sin2θ·t。

（2）设速度为 v，则 ε_i = B l v cosθ，I = ε_i/R（方向沿 badcb）；安培力 F_m = B l I，水平向右，在斜面上的投影为

F′_m = B l I cosθ = B²l²v cos²θ/R；下滑力 f_下 = Mg sinθ。

所以运动方程为 M dv/dt = Mg sinθ − B²l²v cos²θ/R，即 dv/dt = −(1/τ)(v − v_max)，解得

v = v_max(1 − e^−t/τ)，其中 v_max = MgR sinθ/(Bl cosθ)²，τ = MR/(Bl cosθ)²。

讨论：

1. 当 t → ∞ 时，由上式 v = v_max = MgR sinθ/(Bl cosθ)²，匀速下滑；另一方面，下滑力等于磁力在斜面上的分力，即 Mg sinθ = F′_m，同样得到 v_max；
2. 达到 v_max 以后，势能的减小等于焦耳热：Q = ε²t/R = (Blv cosθ)²t/R = M²g²R sin²θ t/(Bl cosθ)²，而 ΔE_p = Mgh = Mgs·sinθ = Mg v t sinθ，二者相等。

第6页：长直导线与共轴线圈的感应电动势

例题［程守洙《普通物理学》第五版 p339，13-4］：如图，已知 I、l、a、v，求金属棒 AB 中的动生电动势。

解：距长直导线 x 处 B = μ₀I/(2πx)，dε_i = B v dx，故

ε_i = ∫_a^a+l μ₀Iv dx/(2πx) = μ₀Iv ln[(a + l)/a]/(2π)；

ε_i 的指向是从 B 到 A，也就是 A 点的电势比 B 点高，即 U_A − U_B = μ₀Iv ln[(a + l)/a]/(2π)。

例题：两个共轴圆线圈，半径分别为 R 及 r（r 很小，可认为小线圈所在处的磁场为均匀的），匝数分别为 N₁ 和 N₂，大线圈中通有电流 I，求当小线圈沿轴线方向以速度 v 运动（两线圈平面保持平行），两者相距为 x 时，小线圈中心处的电动势大小。

解：大线圈轴线上 B = μ₀R²I N₁/[2(R² + x²)^3/2]，小线圈的全磁通

Ψ = N₂B·πr² = μ₀N₁N₂πr²R²I/[2(R² + x²)^3/2]；

ε = −dΨ/dt = −(μ₀N₁N₂πr²R²I/2)·d[(R² + x²)^-3/2]/dt = 3πμ₀N₁N₂r²R²I x v/[2(R² + x²)^5/2]，方向不宜直接判断。

第7页：涡旋电场与涡旋电流

§13-4 感生电动势　涡旋电场　涡旋电流

一、涡旋电场：动生电动势的非静电力是洛仑兹力，那么磁场变化产生的感生电动势，其非静电力是什么呢？麦克斯韦认为：即使不存在导体回路，变化的磁场在其周围也会激发一种电场，叫做感应电场或涡旋电场。

产生感生电动势的非静电力正是这一涡旋电场 E_涡，即 ε_i = ∮_L E_涡·dl = −dΦ/dt，Φ 与 B、L 有关。一般情形下 E = E_静 + E_涡，其中 ∮_L E_静·dl = 0，故

∮_L E·dl = −∬_(S) (∂B/∂t)·dS，

这是电磁学的基本方程之一；对于稳恒条件 ∂B/∂t = 0，即 ∮_L E·dl = 0（静电场的环路定理），所以基本方程是静电场环路定理在非稳恒条件下的推广。

［程守洙《普通物理学》第五版 p348，13-6］

二、涡旋电流（傅科电流 Foucault）：

1. R 很小，I 可以很大：因 ε_i ∝ dΦ/dt ∝ ω（外加交流电），I ∝ ω，P = I²R，所以 P ∝ ω²，当 ω 高到几百、几千 Hz 时 P 可以很大；
2. 真空技术上用于加热，放出残存在金属面上的少许气体；
3. 变压器、电机中的涡流损耗；
4. 涡电流产生阻尼作用。

第8页：自感现象与自感系数

§13-6 自感应

自感应：由于回路中电流产生的磁通量发生变化，而在自身回路中激发感应电动势的现象，称为自感现象，相应的电动势称为自感电动势。

设回路电流为 I，回路几何形状不变，且空间没有铁磁性物质时，Φ ∝ I，写成等式

Φ = L I　（1）

其中 L 称为该回路的自感系数（简称自感或电感），单位：亨利 H；L 取决于回路几何形状以及周围磁介质的磁导率。当 I = 1 时 L = Φ，可见 L 在量值上等于 I = 1 时的 Φ。

由法拉第定律 ε_L = −dΦ/dt = −d(LI)/dt = −(L dI/dt + I dL/dt)；若回路几何形状和周围磁导率都不变（dL/dt = 0），则

ε_L = −L dI/dt（关于负号的解释可与力学的惯性相比较）。

若回路为 N 匝线圈组，某匝的磁通量为 Φ_i，则 Φ₁ + Φ₂ + … + Φ_N = LI，即 Ψ = LI，Ψ = Φ₁ + Φ₂ + … + Φ_N 为全磁通；若 Φ₁ = Φ₂ = … = Φ_N = Φ，则 NΦ = LI（当 I = 1 时，L = Ψ = NΦ）。

当回路不形变、周围磁介质不变，仍有 ε_L = −L dI/dt，L 是 N 匝线圈的自感系数，即 L = −ε_L/(dI/dt)　（2）。

注意（1）与（2）式的区别：（1）式是自感系数的定义式（由磁通与电流的比给出），（2）式是由自感电动势测定的表达式。

第9页：长直螺线管与同轴电缆的自感

例题［P209，14-2］：求长直螺线管的自感系数 L。

解：已知 l、R、N、μ，因为 B = μNI/l，NΦ = μN²IS/l = μN²πR²I/l；按定义 NΦ = LI，故

L = μN²S/l = μN²πR²/l；又 n = N/l、Sl = V，所以 L = μn²V。

补充例题［五版 p357，13-7］：设有一电缆，由两个「无限长」的同轴圆筒状导体组成，其间充满磁导率为 μ 的磁介质，电缆中沿内圆筒和外圆筒流过的电流 I 大小相等，求电缆单位长度的自感系数。

解：应用安培环路定律，在内圆筒之内和外圆筒之外的空间中磁感应强度都为零；在内外两圆筒之间，离开轴线距离为 r 处 B = μI/(2πr)（R₁ ≤ r ≤ R₂）。考虑长为 l 的部分电缆，通过面积元 l dr 的磁通量 dΦ = B·l dr = μI l dr/(2πr)，故两圆筒之间（l 长的一段）的总磁通量为

Φ = ∫_R1^R2 μI l dr/(2πr) = μI l ln(R₂/R₁)/(2π)；

由 Φ = LI，可知单位长度电缆的自感系数为

L/l = Φ/(I l) = μ ln(R₂/R₁)/(2π)。

第10页：LR 电路接通的暂态过程

例题：讨论 LR 电路的暂态过程。

（1）当开关拨向 1 时，LR 上电压从 0 到 ε，由于自感，ε_L = −L dI/dt，接通时电路中的总电动势为 ε + ε_L = ε − L dI/dt；因电流变化不快，欧姆定律仍然成立：

ε − L dI/dt = IR，即 L dI/dt + RI = ε；

分离变量：dI/(I − ε/R) = −(R/L)dt，积分得 ln(I − ε/R) = −(R/L)t + K，即 I − ε/R = K₁e^−Rt/L；

由 t = 0 时 I(0) = 0 得 K₁ = −ε/R，故

I = (ε/R)(1 − e^−Rt/L)，或 I = I₀(1 − e^−t/τ)，其中 τ = L/R 为弛豫时间，称为电路的时间常数。

第11页：LR 电路断开与互感应

（2）当开关由 1 很快拨向 2，LR 上的电压从 ε 到 0，−L dI/dt = IR，即 L dI/dt + RI = 0；

dI/I = −(R/L)dt，积分得 I = K₂e^−Rt/L；初始条件 t = 0 时 I₀ = ε/R，故 K₂ = ε/R，于是

I = (ε/R)e^−Rt/L，或 I = I₀ e^−t/τ，其中 τ = L/R 为时间常数。

§13-7 互感应

互感应（现象）：设两个回路的位置固定不变，周围介质的磁导率也不改变（铁磁质除外），则由回路 1 中的电流 I₁ 所产生的穿过回路 2 的磁通量 Φ₂₁ 与 I₁ 成正比，即

Φ₂₁ = M₂₁I₁　（★）

比例系数 M₂₁ 叫做回路 1 对回路 2 的互感系数，简称互感（与 I₁ 无关）。当 I₁ 变化时，在回路 2 中产生互感电动势

ε₂₁ = −dΦ₂₁/dt = −M₂₁ dI₁/dt（M 不变情况下）；同理 Φ₁₂ = M₁₂I₂，ε₁₂ = −dΦ₁₂/dt = −M₁₂ dI₂/dt。

理论和实验都可证明 M₂₁ = M₁₂ = M，即 ε₂₁ = −M dI₁/dt、ε₁₂ = −M dI₂/dt，M = −ε₂₁/(dI₁/dt)。

注意与（★）式的区别：（★）式是互感的定义式，后式是由互感电动势测定的表达式。

对于 N₁ 和 N₂ 匝的两回路：N₂Φ₂₁ = MI₁，N₁Φ₁₂ = MI₂，ε₂₁ = −N₂dΦ₂₁/dt、ε₁₂ = −N₁dΦ₁₂/dt。

第12页：线圈的顺串与反串

例题：两线圈的自感分别是 L₁ 和 L₂，互感为 M。求：（1）顺串时 1、4 之间的自感；（2）反串时 1、3 之间的自感。

解：（1）由于顺串联，L₁ 和 L₂ 中的电流方向相同，1、4 间总磁通为

Φ = Φ₁₁ + Φ₁₂ + Φ₂₂ + Φ₂₁ = L₁I₁ + MI₂ + L₂I₂ + MI₁；

串联时 I₁ = I₂ = I，则 Φ = (L₁ + 2M + L₂)I。由 L = Φ/I 得

L = L₁ + L₂ + 2M。

（2）由于反串联，L₁ 和 L₂ 中的电流方向相反（与电流构成右手系为正），1、4 间总磁通为

Φ = Φ₁₁ − Φ₁₂ + Φ₂₂ − Φ₂₁ = L₁I₁ − MI₂ + L₂I₂ − MI₁；反串时 I₁ = I₂ = I，则 Φ = (L₁ − 2M + L₂)I，同理

L = L₁ + L₂ − 2M。

这里 Φ₁₁、Φ₂₂ 总是大于零，而 Φ₁₂、Φ₂₁ 的正负要根据电流的方向来判断。

第13页：共轴螺线管的互感与耦合系数

补充例题［p221，14-18］：已知两共轴螺线管，外、内管半径为 r₁、r₂，匝数为 N₁、N₂，试证：

M = K√(L₁L₂)，L₁、L₂ 为自感系数，K ≤ 1 称为耦合系数。

解：利用 NΦ = LI、N₁Φ₁₂ = MI₂ 及 N₂Φ₂₁ = MI₁。已知 r₁ > r₂，线圈 1 中通有电流 I₁，线圈 2 中通有电流 I₂，则

由 B₁ = μ₀n₁I₁、B₂ = μ₀n₂I₂ 联立可得

M = K√(L₁L₂)，其中 K = r₂/r₁ ≤ 1。

§13-8 磁场能量（与电场建立比较，电容器 W = (1/2)CV²）：已知电场的能量密度为 ω_e = (1/2)DE = (1/2)εE²。下面从具有自感的简单电路中的电流增长过程，推导磁场的能量表达式。

第14页：磁场能量与磁能密度

设有自感为 L 的线圈，在线圈中电流由零增加到稳定值 I 的过程中，线圈中的自感电动势 ε_L = −L dI/dt；在 dt 内，电源电动势反抗自感电动势而做功

dA = −ε_LI dt = L I dI；

由功能原理，磁场能量 W_m 的增量 dW_m = dA = L I dI，故

W_m = ∫₀^I L I dI = (1/2)L I²。

要变换成描述磁场本身的量 B 和 H，以长直螺线管为例：B = μnI，L = μn²V，故

W_m = (1/2)μn²V·(B/(μn))² = B²V/(2μ) = (1/2)B H V，

能量密度 ω_m = W_m/V = (1/2)BH。普遍公式：

ω_m = (1/2)BH = B²/(2μ) = (1/2)μH²，dW_m = ω_mdV，W_m = ∫ ω_mdV。

例［p14-4、14-5；五版 P373，13-10、13-11］：如图，设等边三角形高为 h，平行于直导线的一边到直导线距离为 b，且长直导线与三角形线圈共面。求：1、长直导线与三角形线圈间的互感系数；2、设导线和三角形中电流分别为 I₁、I₂，若 b 增至 2b，互感磁能改变了多少？是增加还是减少？

解：（1）设长直导线通有电流 I，在三角形线圈内距导线 x 处取宽为 dx 的窄条，其面积 dS = 2x tan30° dx，距导线为 b + h − x，则

Φ = ∫₀^h μ₀I·2x tan30° dx/[2π(b + h − x)] = (μ₀I/√3π)∫₀^h x dx/(b + h − x)，

利用 ∫ x dx/(a + bx) 型积分可得 M = Φ/I = (μ₀/√3π)[(b + h)ln((b + h)/b) − h]。

第15页：互感磁能与本章小结

（2）互感磁能 W_m = M I₁I₂，故 ΔW_m = I₁I₂(M₂ − M₁)，其中

M₁ = (μ₀/√3π)[(b + h)ln((b + h)/b) − h]，M₂ = (μ₀/√3π)[(2b + h)ln((2b + h)/(2b)) − h]，

ΔW_m = (μ₀I₁I₂/√3π)·[(2b + h)ln((2b + h)/(2b)) − (b + h)ln((b + h)/b)] = (μ₀I₁I₂/√3π)·b ln[4b(b + h)/(2b + h)²] < 0，

即互感磁能减少。

本章小结：

1. ε_i = −dΦ/dt：有关 L、n 的三条规定，负号的物理意义，如何判定 ε_i 的方向，感应电动势的计算；
2. 动生电动势 ε_ab = ∫_a^b (v × B)·dl，特殊情况 ε_i = Blv（ε_ab > 0 则 U_a < U_b，ε_ab < 0 则 U_a > U_b），或 ε = ∮_L (v × B)·dl；掌握动生电动势的计算方法：（1）用上式求，（2）用 ε = −dΦ/dt 求；
3. 明确感生电动势的计算方法：（1）ε_i = ∮_L E_涡·dl，（2）ε = −dΦ/dt。

第16页：本章小结与滑动线框的感应电动势

本章小结（续）：

4. 自感：Ψ = LI，L 为自感系数；自感电动势 ε_L = −L dI/dt（L 不变）；自感磁能 W_m = (1/2)LI²（一定大于零）；
5. 互感：Ψ₂₁ = MI₁，其中 Ψ₂₁ 是通过回路 L₂ 的、由回路 L₁ 中电流 I₁ 所产生的全磁通；互感电动势 ε₂₁ = −M dI₁/dt（M 不变）；互感磁能 W_m = MI₁I₂（可正可负）；
6. 计算 L 和 M 的一般步骤：①先假设回路通有电流 I，并求出 B 的分布；②求全磁通 Ψ；③利用定义 L = Ψ/I、M = Ψ/I；
7. 也可用磁能公式求 L；
8. 掌握磁场贮存能量的概念，并能计算典型磁场的磁能。

补充例题：一长直导线通有电流 I(t) = I₀e^−λt，与之共面的一矩形线框，其尺寸和位置如图所示（宽 b、高方向从 a 到 a+b）。当滑动边的导线以速度 v 匀速向右滑动时，在忽略自感的情况下，求矩形线框内的感应电动势 ε_i。

解：设 t 时刻滑动边距长直导线为 x(t)，在距长直导线 y 处取面元 dS = x(t)dy，该处 B = μ₀I/(2πy)，dΦ = B dS = μ₀I x(t)dy/(2πy)，总磁通为

Φ = μ₀I x(t) ln[(a + b)/a]/(2π)；

ε_i = −dΦ/dt = −μ₀ln[(a + b)/a]/(2π)·[x(t) dI/dt + I dx/dt] = −μ₀ln[(a + b)/a]/(2π)·[vt·(−λI₀e^−λt) + I₀e^−λtv]，

即 ε_i = μ₀vI₀e^−λt ln[(a + b)/a](λt − 1)/(2π)。

第17页：矩形截面螺线环的自感与互感

补充例题［见 p222，14-21］：截面为矩形的螺线环共绕 N 匝，内、外半径分别为 a、b，环高为 h，在螺线环的轴线上有一无限长直导线。若在螺线环的线圈中通以电流 I，求：1、螺线环的自感系数 L；2、螺线环与长直导线之间的互感系数 M；3、螺线环内储存的磁能（自感磁能）。

解：1、螺线环通有电流 I，由对称性 B 只集中在环内，应用安培环路定理

∮_L B·dl = 2πrB = μ₀NI ⇒ B = μ₀NI/(2πr)（环内，r 为环路的半径）；

Φ = ∬_S B·dS = ∫_a^b μ₀NI h dr/(2πr) = μ₀NI h ln(b/a)/(2π)，

Ψ = NΦ = μ₀N²I h ln(b/a)/(2π)，由 L = Ψ/I 得

L = μ₀N²h ln(b/a)/(2π)。

2、设长直导线中通有电流 I₁，距长直导线 r 处磁感应强度 B = μ₀I₁/(2πr)，所以穿过螺线环的磁通匝链数

Ψ = N ∬ B dS = N ∫_a^b μ₀I₁h dr/(2πr) = μ₀N I₁h ln(b/a)/(2π)；

由 M = Ψ/I₁ 得 M = μ₀Nh ln(b/a)/(2π)。

也可以将长直导线看成一很大的闭合回路的一部分：环上通电流为 I 时，穿过该回路的磁通为 Φ = μ₀NIh ln(b/a)/(2π)，由 M = Φ/I 同样得到上述结果（互感系数具有互易性）。

第18页：螺线环内储存的磁能

3、螺线环内储存的磁能为

W_m = (1/2)L I² = μ₀N²h I² ln(b/a)/(4π)。

也可由磁能密度积分验证：ω_m = B²/(2μ₀) = μ₀N²I²/(8π²r²)，取体积元 dV = h·2πr dr，

W_m = ∫_a^b μ₀N²I²/(8π²r²)·2πr h dr = μ₀N²h I² ln(b/a)/(4π)，与上式一致。