02 第一篇 力学 质点运动学1.doc

第1页：力学的几个基本问题与质点模型

第一篇 力学

一、力学：研究物体机械运动规律的科学。

运动学

研究物体运动状态的变化规律而不涉及其原因的科学。

动力学

研究物体间的相互作用，以及由此引起的物体运动状态变化的科学。

注：（1）1687 年牛顿《自然哲学的数学原理》的发表奠定了经典力学的基础。（2）经典力学不适用于描述微观粒子以及高速运动物体的力学规律：高速运动物体用爱因斯坦的相对论，微观粒子用玻恩、狄拉克等的量子力学。（3）经典力学一般研究少体问题（一个或几个物体的相互作用规律），多体、系宗问题属于统计物理的范畴。

二、牛顿力学的决定论与微观体系的非决定论

• 牛顿力学的决定论：物体的运动状态可精确测量、唯一确定。
• 近代物理中微观体系的非决定论：①微观粒子的量子力学不确定关系；②多粒子系统中个别粒子的统计不确定性；③非线性动力系统中的不可预言性。

第一章 质点的运动 §1-1 质点、参照系、坐标系、运动方程

质点

理想化的物理模型，是进一步研究复杂物体的基础；能否看成质点取决于问题本身，不取决于物体大小。

机械运动

物体相对于其它物体的位置的变化、指向的变化以及物体各部分之间的相对运动。

第2页：参照系、位矢与运动方程

2、参照系

1. 运动是绝对的，运动本身的绝对性决定了参照系的必要性和重要性；
2. 参照系选择的任意性决定了运动描述的相对性。

3、时间和时刻：经典的时空观、时间的均匀性和单向性。

§1-2 位矢、位移、速度、加速度

一、位矢与运动方程

1、位矢（位置矢量）r = xi + yj + zk，其模长 r = |r| = √(x² + y² + z²)；方向余弦 cos α = x/r，cos β = y/r，cos γ = z/r，且 cos²α + cos²β + cos²γ = 1。

2、运动方程 r = x(t)i + y(t)j + z(t)k，即分量式 x = x(t)，y = y(t)，z = z(t)。

二、位移、速度、加速度

1、位移 Δr = AB = r_B − r_A = Δxi + Δyj + Δzk。

2、速度：平均速度 v = Δr/Δt；瞬时速度 v = lim_Δt→0(Δr/Δt) = dr/dt = (dx/dt)i + (dy/dt)j + (dz/dt)k = v_xi + v_yj + v_zk。

3、加速度：见下页。图中 P(x, y, z) 点处绘出位矢 r、方向角 α、β、γ 以及 A、B 两点间的位移 Δr。

第3页：加速度与例题1-1

3、加速度

平均加速度 a = Δv/Δt；瞬时加速度 a = lim_Δt→0(Δv/Δt) = dv/dt = (dv_x/dt)i + (dv_y/dt)j + (dv_z/dt)k = a_xi + a_yj + a_zk。

例 1-1 一质点在 xy 平面内运动，其运动方程为 x = a cos ωt，y = b cos ωt，试求该质点的运动轨迹、速度、加速度。

解：（1）由消元法消去 t 即可得到轨迹方程 x²/a² + y²/b² = 1；

（2）由运动方程 r = a cos ωt i + b sin ωt j 可得

• v = dr/dt = −aω sin ωt i + bω cos ωt j，方向角 θ(v, i) = tan⁻¹(v_y/v_x) = tan⁻¹(−cot ωt)；
• a = dv/dt = −ω²(a cos ωt i + b sin ωt j)，方向角 θ(a, i) = tan⁻¹(a_y/a_x) = tan⁻¹(tan ωt)。

讨论：当 a = b = R 时，轨迹为圆。例 1-2（见教材 P43，1-7）。

§1-3 运动学的两类问题 直线运动

一、运动学的两类问题

1. 已知运动方程 r = r(t)，求解质点在任意时刻的位矢、速度、加速度：v = dr/dt，a = dv/dt = d²r/dt²。
2. 已知加速度或速度与时间的关系以及初始条件，求解任意时刻的速度和位矢：设 a = a(t)，v|_t=0 = v₀，r|_t=0 = r₀，经过积分可得结果。

第4页：运动学两类问题与直线运动公式

由 v − v₀ = ∫₀^ta(t) dt 与 r − r₀ = ∫₀^tv(t) dt 积分可得任意时刻的速度与位矢。

二、直线运动

1、第一类问题：已知运动方程 x = x(t)，则可通过微分立即求解 v = dx/dt，a = dv/dt = d²x/dt²。

2、第二类问题：

• （1）已知加速度 a(t) 或速度 v(t) 与时间的关系以及初始条件 v₀、x₀，则 v − v₀ = ∫₀^t a(t) dt，x − x₀ = ∫₀^t v(t) dt；
• （2）已知加速度 a(x) 或速度 v(x) 与位置的关系以及初始条件 v₀、x₀，则 a = dv/dt = (dv/dx)(dx/dt) = v dv/dx，两边积分可得 ∫_v0^v v dv = ∫_x0^x a dx，即 v² = v₀² + 2∫ a dx。

讨论：

§1-4 圆周运动及其描述

一、自然坐标系描述

速度 v = v e_t；加速度 a = dv/dt = (dv/dt)e_t + v (de_t/dt)，其中 de_t/dt = (dθ/dt)e_n，故 a = a_te_t + a_ne_n，法向加速度 a_n = v²/R = ω²R。

第5页：圆周运动的角量描述与线量关系

自然坐标系下：a = a_te_t + a_ne_n = (dv/dt)e_t + (v²/R)e_n。

二、圆周运动的角量描述以及角量和线量的关系

1、角速度与角加速度：ω = lim_Δt→0(Δθ/Δt) = dθ/dt；β = lim_Δt→0(Δω/Δt) = dω/dt。

2、角量和线量的关系：

§1-5 一般的曲线运动和运动的迭加原理

一、运动的迭加原理：任意一个复杂的运动总可以看成是几个简单独立运动的迭加，且不产生相互影响，称为运动的迭加原理或运动的独立性原理。例如：平抛运动可以看成是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体的叠加。

二、一般曲线运动的描述：运用运动的迭加原理可得 x = x(t)，y = y(t)，z = z(t) ⇒ v_x = v_x(t)，v_y = v_y(t)，v_z = v_z(t) ⇒ a_x = a_x(t)，a_y = a_y(t)，a_z = a_z(t)。

例 1-5-1 一质点作半径为 R = 0.5 m 的圆周运动，其运动方程为 θ = t³ + 3t，试求质点在 t = 2 s 时的角位置、角速度、切向加速度、法向加速度和总加速度。

第6页：例题1-5-1与经典时空观

例 1-5-1 解答

（1）由 θ = t³ + 3t 得 ω = dθ/dt = 3t² + 3，β = dω/dt = 6t；将 t = 2 s 代入可得 θ = 14 rad，ω = 15 rad·s⁻¹，β = 12 rad·s⁻²。

（2）v = ω·R，代入 t = 2 s 得 v = 7.5 m·s⁻¹；

矢量式：a = 112.5 e_n + 6 e_t。

§1-6 运动描述的相对性和伽利略变换

一、牛顿的经典时空观

绝对空间

是广延性的量度，独立于时间和物质运动而一成不变的。

绝对时间

独立于空间和物质运动而均匀流逝的。

二、伽利略变换是牛顿经典时空观的体现

1、坐标变换：设两坐标系相对运动速度为 u（沿 x 方向），r = r′ + r_o′o，即 x′ = x − u t，y′ = y，z′ = z，t = t′；说明：对空间的测量与相对运动无关。图中绘出两套坐标系 Oxyz 与 O′x′y′z′ 及位矢 r、r′ 的关系。

第7页：伽利略速度变换与加速度变换

2、速度变换：v = v′ + u，分量式为 v_x′ = v_x − u，v_y′ = v_y，v_z′ = v_z；又 Δt = Δt′，说明对时间的测量与相对运动无关。

3、加速度变换：a = a′，即在伽利略变换下加速度不变，牛顿第二定律在所有惯性系中形式相同。