10 电流的磁场3.doc

第1页：磁场与磁感应强度

第十一章 电流的磁场　§11-1 基本磁现象　§11-2 磁场　磁感应强度

一、磁场：磁铁 ⇄ 电流，磁铁 ⇄ 磁铁，电流 ⇄ 电流，均通过磁场相互作用。实验和近代物理证明，所有这些磁现象都起源于运动电荷在其周围产生的磁场，磁场给场中的运动电荷以作用力（变化的电荷还在其周围激发磁场）。

• 作为磁场的普遍定义，不宜笼统定义为「传递运动电荷之间相互作用的物理场」，电磁场是物质运动的一种存在形式；
• 磁场相互作用不一定都满足牛顿第三定律。

二、磁感应强度：实验发现

1. 磁场中运动电荷受力与 v 有关，且 F ⊥ v；
2. 当 F = 0 时，v 的方向即 B 的方向（或反方向）；
3. 当 v ⊥ B 时，F = F_max；
4. F_max 与 qv 成正比，F = qv × B。

磁感应强度 B 是描述磁场中一点性质（强弱和方向）的物理量，为一矢量，由 F = qv × B 定义（B 的单位：特斯拉 T），它为由场点唯一确定的矢量（与运动电荷无关）。

大小

B = F_max/(qv)（当 v ⊥ B 时）。

方向

由 F = qv × B 决定。

第2页：磁通量与磁场的高斯定理

三、磁通量

1、磁力线：磁场是无源涡旋场，磁力线是环绕电流的无头无尾的闭合曲线。

2、磁通量（B 通量）：dΦ_m = B cosα dS = B_ndS = B·dS，

Φ_m = ∫ dΦ_m = ∬_S B_n dS = ∬_S B cosα dS = ∬_S B·dS，单位：韦伯（Wb）。

3、磁场的高斯定理：由磁力线的性质，∬_S B·dS = 0（对比静电场 ∬_S E·dS = Σq_i/ε₀），即磁场是无源场。

§11-3 毕奥—萨伐尔定律

一、电流元 I dl 在空间（真空）某点产生的 dB：dB ∝ I dl sin(I dl, r)/r²，写成矢量形式 dB = k I dl × r̂/r² = k I dl × r/r³。与电荷场相似，磁场也满足迭加原理：

B = ∫_L dB = ∫_L k I dl × r̂/r²。在国际单位制（SI）中 k = μ₀/(4π)，真空磁导率 μ₀ = 4π×10^-7 T·m·A^-1（特·米·安^-1），故

dB = μ₀ I dl × r̂/(4πr²)；当有介质时 μ = μ₀μ_r，dB = μ I dl × r̂/(4πr²)。

第3页：运动电荷的磁场

二、运动电荷的磁场（每个运动带电粒子产生的磁场）：设单位体积内有 n 个带电粒子，每个带电粒子带有电量 q，均以速度 v 运动，则单位时间内通过截面 S 的电量为 qnvs，即 I = qnvs；代入上式（I dl 与 v 同向），在电流元内有 dN = nS dl 个带电粒子以速度 v 运动着，由迭加原理，每个带电粒子所产生的磁场为

B = dB = μ₀ q v × r̂/(4πr²)，

可以看成微观意义上的毕奥—萨伐尔定律。

例：一半径为 R = 1.0 cm 的无限长半圆柱面导体，沿轴向的电流 I = 5.0 A 在柱面上均匀分布，试求半圆柱面轴线 OO′ 上的磁感应强度。

解：（典型磁场的迭加计算）设 xOy 平面垂直于 OO′ 轴，在圆柱面上取一条平行于轴的直线电流，宽度为 dL，则 dI = I dL/(πR)（面电流密度）。由 dl = R dθ 得 dB = μ₀dI/(2πR) = μ₀I dθ/(2π²R)。将 dB 分解为 dB_x 与 dB_y：

dB_x = −dB sinθ，dB_y = dB cosθ。积分得 B_y = ∫₀^π μ₀I cosθ dθ/(2π²R) = 0（可由对称性直接得到），

B_x = −∫₀^π μ₀I sinθ dθ/(2π²R) = −μ₀I/(π²R)。

故 B = −6.37×10^-5 î (T)。

第4页：载流长直导线的磁场

三、毕奥—萨伐尔定律的应用

1、载流长直导线的磁场：设长为 L 的直导线中电流为 I，计算离直导线距离为 a 的 P 点的磁感应强度。由 dB = μ₀I dl sinα/(4πr²)，取 l = −a cotα、r = a/sinα，dl = a dα/sin²α，积分得

B = ∫ dB = μ₀I(cosα₁ − cosα₂)/(4πa)。

讨论：若为无限长直导线，α₁ = 0、α₂ = π，则 B = μ₀I/(2πa)。B 与 μ、I、a 以及导线的形状有关，对无限长直导线，B 与距离 a 的一次方成反比。

2、载流圆线圈轴线上的磁场：设有圆形线圈 L，半径为 R，通以电流 I，计算轴线上 P 点（P 到圆心 O 的距离为 x）的磁感应强度。对轴上场点 P，sin(dl, r) = 1，dB = μ₀I dl/(4πr²)；由对称性只有轴向分量，B = ∫ dB cosα，其中 sinα = R/√(R² + x²)，cosα = x/√(R² + x²)，∫dl = 2πR，故

B = μ₀IR²/[2(R² + x²)^3/2]。详见下页的讨论与例题。

第5页：载流圆线圈与旋转圆盘的磁场

讨论（圆电流轴线上的磁场）：

• 在圆心处，x = 0，B = μ₀I/(2R)；
• 当 x ≫ R 时，B = μ₀IR²/(2x³)。

例：半径为 R 的薄圆盘上均匀带电，总电量为 q。令此盘绕通过盘心且垂直盘面的轴线匀速转动，角速度为 ω，求轴线上距盘心 x 处的磁感应强度。

解：相当于一系列半径不同的同心圆电流所产生磁场的迭加。圆盘上电荷面密度 σ = q/(πR²)；取半径为 r、宽为 dr 的圆环，dq = σ·2πr dr，dI = dq·ω/(2π) = σω r dr。该圆电流在轴线上产生

dB = μ₀r²dI/[2(r² + x²)^3/2] = μ₀σω r³dr/[2(r² + x²)^3/2]。令 λ² = r² + x²，积分得

B = μ₀σω/2 · [(R² + 2x²)/√(R² + x²) − 2x] = μ₀qω/(2πR²) · [(R² + 2x²)/√(R² + x²) − 2x]。

方向：q > 0 时 B 与 ω 同向；q < 0 时 B 与 ω 反向。

第6页：载流螺线管轴线上的磁场

3、载流螺线管中的磁场：取中心点为坐标原点，P 点坐标为 x。由圆电流轴线上的磁场 B = μ₀R²I/[2(R² + x²)^3/2]，计算螺线管轴线上的磁场分布。设螺线管半径为 R、总长度为 L、单位长度内的匝数为 n、电流为 I，则 dl 长度内有 n dl 匝，在 P 点产生

dB = μ₀R²nI dl/[2(R² + (x − l)²)^3/2]（x 为常量，l 为变量）。

以 β 为积分变量：r² = R² + (x − l)²，cotβ = (x − l)/R，dl = R dβ/sin²β，积分上下限为 β₁、β₂，得

B = μ₀nI(cosβ₁ − cosβ₂)/2，

其中 cosβ₁ = (x + L/2)/√(R² + (x + L/2)²)，cosβ₂ = (x − L/2)/√(R² + (x − L/2)²)。当 L ≫ R 时，中间很大一个范围内近于均匀磁场，只在端点附近才显著下降。

讨论：

1. 无限长螺管 L → ∞，β₁ = 0、β₂ = π，B = μ₀nI，为均匀磁场（不仅对轴，对整个管内适用）；
2. 在半无限长螺线管的一端（β₁ = π/2、β₂ = π，或 β₁ = 0、β₂ = π/2），都有 B = μ₀nI/2（将无限长螺线管截成两半，很好理解）。

第7页：运动带电细棒的磁场

补例：一长为 l = 0.1 m、带电量 q = 1×10^-10 C 的均匀带电细棒，以速率 v = 1 m/s 沿 x 轴正方向运动。当细棒运动到与 y 轴重合的位置时，细棒的下端与坐标原点 O 的距离为 a = 0.1 m，求此时坐标原点 O 处磁感应强度的大小。

解：电荷线密度 λ = q/l，电荷元 dl = λ dy = q dy/l，由 dB = μ₀qv × r̂/(4πr²) 得 dB = μ₀q v dy/(4πl y²)；积分

B = ∫_a^a+l μ₀qv dy/(4πl y²) = μ₀qv(1/a − 1/(a + l))/(4πl) = 5.00×10^-16 T，方向垂直纸面向内。

本节小节：

1. 毕奥—萨伐尔定律：dB = μ₀ I dl × r̂/(4πr²)；
2. 迭加原理：B = ΣB_i 或 B = ∫ dB。

用毕奥—萨伐尔定律解题的主要步骤：

1. 分析 B 的对称性，建立适当的坐标系，写出 dB 的分量式，把矢量积分化为标量积分进行计算；
2. 统一积分变量，给出正确的积分上下限；
3. 用已知典型电流的磁场迭加求出未知磁场分布。

第8页：磁场强度与安培环路定律

§11-4 磁场强度　安培环路定律

一、磁场强度：定义 H = B/μ（引入一个辅助物理量），式中 μ 是磁导率，μ = μ_rμ₀ = (1 + χ_m)μ₀，χ_m 是磁化率。同样可用磁场线（H 线）形象地描述磁场强度。

二、安培环路定律：磁感应线是连在闭合载流回路上的闭合线，故 ∮ B·dl ≠ 0。定律表述为：磁感应强度沿任何闭合回路 L 的线积分，等于穿过该环路所有电流强度代数和的 μ₀ 倍，即

∮_L B·dl = μ₀ ΣI_{（L 内）}，或 ∮_L H·dl = ΣI_{（L 内）}（其中 H = B/μ）。

以长直载流导线为例：已知 B = μ₀I/(2πr)。

1. L 为环绕导线的圆周：∮ B·dl = B·2πr = μ₀I；若 L 反向，则 ∮ B·dl = −μ₀I；
2. L 在垂直于导线的平面内：∮ B·dl = ∮ Br dφ = μ₀I/(2π) ∮dφ = μ₀I；
3. L 不在垂直于导线的平面内：把 dl 分解为平行于 B 与垂直于 B 的分量，∮ B·dl = ∮ B cos90° dl_∥ + ∮ Br dφ = 0 + μ₀I。

第9页：安培环路定律的说明

安培环路定律的补充说明：

1. 若沿同一闭合路径反方向积分，则 ∮ B·dl = ∮ B cos(π − θ) dl = −∮ B cosθ dl = −μ₀I；
2. 若 L 中没有包围电流，则穿入与穿出的两部分通量大小相等、符号相反，∮ B·dl = 0；推而广之即得定律的一般形式。

注意：

1. 当 L 与 I 服从右手法则时，I > 0，反之 I < 0；
2. 若 I 不穿过回路 L，则对上式右端无贡献；
3. B 是由环路内外电流共同产生的，只是环路外电流对 ∮ B·dl 的贡献为零，对上式左端无贡献；
4. 定律成立条件：必须是对闭合电流或无限长电流的磁场；
5. 该定律在电磁场理论中占有重要地位；
6. 用安培环路定律可以计算某些具有对称性分布的电流的磁场。

说明第 4 点：对一段有限长（非闭合）电流，取圆周 L 求环流，虽圆周上各点 B = μ₀I/(4πR)·[cosα₁ − cosα₂] = μ₀I/(2·4πR)·… 且 B 处处与圆周相切，算得 ∮ B·dl ≠ μ₀I，不符合环路定律——这正是要求「闭合电流或无限长电流」的原因。

第10页：安培环路定律的应用

三、安培环路定律的应用：求对称电流分布的磁场很有效。

1、无限长直载流导线的磁场：∮_L B·dl = B·2πR = μ₀I ⇒ B = μ₀I/(2πR)。

2、长直螺线管内的磁场：∮ B·dl = B·ab = μ₀ ΣI = μ₀nI·ab ⇒ B = μ₀nI，H = nI。

3、环形螺线管内的磁场：∮ B·dl = B·2πr = μ₀NI ⇒ B = μ₀NI/(2πr)。当 r₂ − r₁ ≪ r₁, r₂ 时，管内各点的磁场实际上可视为均匀的；取圆环平均长度 l，则 B = μ₀NI/l = μ₀nI，H = nI。

4、长直圆柱形载流导线内外的磁场（电流 I 均匀分布在半径为 R 的截面上）：

总之，对一般情况 ∮_L B·dl = μ₀ ∬_S δ·dS（δ 为电流密度，取值按右手螺旋法则）。

解题步骤：

1. 由电流分布的对称性，分析磁场分布的对称性；
2. 选取合适的闭合路径 L；
3. 再应用安培环路定律确定磁感应强度的数值和方向。

注：源文本对导线外情形误标了区域（写成 r < R），表中按「导线外 r > R、导线内 r < R」的标准结果给出。

第11页：同轴电缆与挖空圆柱体的磁场

补充例题

1、同轴电缆的磁场：一根很长的同轴电缆，由一导体圆柱（半径为 a）和一同轴的导体圆管（内、外半径分别是 b、c）构成，使用时电流 I 从一导体流去、从另一导体流回，电流均匀分布在导体横截面上（设铜导线 μ ≈ μ₀），求各区域的磁场强度。

2、挖空圆柱体的磁场：在半径为 R 的无限长金属圆柱体内部挖去一半径为 r 的无限长圆柱体，两柱体的轴线平行、相距为 d，电流 I 沿轴向流动并均匀分布在空心柱体的截面上。用补偿法：等效为均匀通有电流密度 δ 的大圆柱，加上反向通有电流密度 δ 的小圆柱，δ = I/[π(R² − r²)]。

• 大圆柱轴线处：大圆柱自身在该处 B₁₀ = 0，小圆柱（反向）在相距 d 处产生 B₂₀ = μ₀δr²/(2d)，故 B₀ = μ₀Ir²/[2πd(R² − r²)]；
• 空心部分轴线处：小圆柱自身在该处 B′₂₀ = 0，大圆柱在该处（距轴 d）产生 B′₁₀ = μ₀δd/2，故 B′ = μ₀Id/[2π(R² − r²)]。

注：源文本中的最终数值与符号严重粘连且缺漏，此处按题给数据 R = 1.0 cm、r = 0.5 mm、d = 5.0 mm、I = 31 A 重新计算：大圆柱轴线处 B₀ ≈ 3.11×10^-6 T，空心部分轴线处 B′ ≈ 3.11×10^-4 T。

第12页：本章小结

本章小节

1. 毕奥—萨伐尔定律：dB = μ₀ I dl × r̂/(4πr²)；
2. 磁场迭加原理：B = ΣB_i 或 B = ∫ dB；
3. 几种典型电流磁场的 B 分布：有限长直细导线电流、无限长直细导线电流、通电流细圆环中心、密绕长直螺线管轴线上、密绕无限长直螺线管内；
4. 熟练掌握应用安培环路定理求具有一定对称性分布的磁场，并理解安培环路定理的物理意义。