13 教案 第五章 动态电磁场与电磁波.docx

第1页：动态电磁场的基本方程

动态电磁场的基本方程

• 第五章动态电磁场与电磁波5．1动态电磁场时变电场和时变磁场是相互依存又相互制约的，这种相互作用和相互耦合的时变电磁场通常被称为动态电磁场。
• 当动态电磁场以电磁波动的形式在空间传播时，即被称为电磁波。
• 1．动态电磁场的有关方程描述动态电磁场的麦克斯韦方程组为tcDHJEB第1页2024-12-12t
• D媒质特性的构成方程组为DEBHJE一般而言，反映媒质特性的三个参数、和与动态电磁场的工作频率有关。
• 如在200MHz以下时，水的相对介电常数约为80，而在光频时则减小到1.75。
• 本书假设它们在一定频率范围内均为常数。
• 2．动态电磁场的边界条件类似于静态和准静态电磁场中边界条件的推导，只要D/t和B/t在媒质分界面上是有限的，其边界条件与静态电磁场的边界条件相同。
• 事实上，在动态电磁场中，媒质分界面上的D/t和B/t均为有限量。
• 不同媒质分界面上的动态电磁场的边界条件为：H2t-H1t=Ks，en(H2-H1)=Ken(E2-E1)=0，E1t=E2ten(B2-B1)=0，B1n=B2n，en(D2-D1)=D2n-D1n=在理想导体内，且Jc是有限的，可知E＝0。
• 再由-B/t=E=0可见，在理

第2页：理想导体平板间的动态电磁场

理想导体平板间的动态电磁场

• 想导体内也不存在随时间变化的磁场。
• 在理想导体(设为媒质1)与介质(设为媒质2)交界面上的边界条件为enH=K，Ht=KsenE=0，Et=0enB=0，Bn=0enD=，Dn=式中，规定的交界面上en的指向为理想导体表面的外法线方向，且es=enet。
• 上述边界条件表明，电力线垂直于理想导体表面，而磁力线沿着理想导体表面分布。
• 例1：图示两无限大理想导体平板间的无源自由空间中，动态电磁场的磁场强度为dy0H=eHcoszcos(tx)，为常数。

试求

(1)板间电场强度；(2)两导体表面的面电流密度和电荷面密度。

• [解]：(1)由麦克斯韦方程第一式，得xzHyHyxHeezE11tEedzx1zxH0HyezdtHyxtxddtxecoszcosesinzsin(2)由边界条件，在z＝0的导体表面上KenHezHexH0costx0nze
• DHcostx在z＝d的导体表面上KenHezHexH0costx0nze
• DHcos(tx)3．有损媒质的复数表示在实际中上，一方面导体的电导率是有限的；另一方面介质是有损耗的(如电极化损耗、或磁化损耗、或欧姆损耗等)。
• 对于时谐电磁场中介电常数为的导电媒质，由麦克斯韦方程和媒质的构成方程，得（公式详见原图）
• EjDHjj图两无限大理想导体平板第2页2024-12-12

第3页：有损媒质的复介电常数

有损媒质的复介电常数

• E式中Dj由上式可见，这类有损媒质的欧姆损耗是以负虚数形式反映在媒质的构成方程中。
• 类似地，为表征存在电极化损耗的有损电介质的极化性能可以定义如下复介电常数：~j同样，为表征有损磁介质的磁化性能也可以定义如下复磁导率：~j可见，~和~的实部，即和就是通常的介电常数和磁导率；而虚部和则分别表征电介质中的电极化损耗与磁介质中的磁化损耗。
• 在高频时谐电磁场中，、和通常是频率的函数。
• 当电介质同时存在电极化损耗和欧姆损耗时，其等效复介电常数可写为~je为了表征电介质中损耗的特性，通常采用损耗角的正切(工程上记作tan)，即tan和tan是在时谐电磁场中表征电介质特性的两个重要参数。
• 工程上，称tan<<1的介质为低损耗介质。
• 显然，tan愈小、介质的绝缘特性愈好。
• 通过测量电气设备的tan可以检验设备的绝缘缺陷，如绝缘受潮、老化等。
• 反之，tan>>1的媒质被称为良导体。
• 在微波炉中，微波频率为2.45GHz，面食的tan约为0.073，菜和肉的tan更高，而包装用的聚苯乙烯泡沫材料的tan仅为3×10-5，所以包装盒中的食品得以加热，而包装盒几乎不从微波中获取能量。
• 5．2坡印廷定理1．坡印廷定理动态电磁场的能量守恒关系可以由麦克斯韦方程组导出。
• 在单位体积内，动态电磁场在导电媒质中消耗的电功率为第3页2024-12-12tcE

第4页：损耗角正切与坡印廷定理

损耗角正切与坡印廷定理

• 利用矢量恒等式
• (H)，上式为E
• (EH)tttc上式等号右边的前两项可写为wtt2t2t2t2tt2E
• m将以上两式代入前式，得t
• Jemc将上式两边对任意闭合曲面S包围的体积V积分，并由散度定理，得dtVVdtScememEH
• JdVdWWP上式改写为dtSemEH
• dSdWWP令S=E×H，对上式分析可知，S(W/m2)表征了单位时间内穿过单位面积的电磁能量，即单位时间内穿过闭合面S流入体积V的电磁能量等于该体积内电磁场能量W(=We+Wm)的增加率和电磁能量的消耗率。
• 显然，上式反映了动态电磁场的能量守恒和功率平衡关系。
• 上式又被称为坡印廷定理的积分形式，其微分形式为c第4页2024-12-12t
• Jem被称为坡印廷定理的微分形式。
• 2．坡印廷矢量可以看出，矢量S不仅表征了穿过单位面积上的电磁功率，还确定地描述了该电磁功率流的空间流动方向。
• 这一电磁功率流面密度矢量，被称为坡印廷矢量，即SEH对于时谐电磁场，导电媒质吸收的复功率体密度为（公式详见原图）
• (HjD)式中，“*”号表示对复矢量取共轭运算，可得（公式详见原图）

第5页：坡印廷矢量与同轴电缆输电

坡印廷矢量与同轴电缆输电

• D)这就是时谐电磁场坡印廷定理的微分形式，其积分形式为（公式详见原图）
• D)]dVSV对于有损媒质，上式可以写为（公式详见原图）
• dS[(EEH)j(HE)]dVSV上式右端实部表示体积V内有损媒质吸收的有功功率P(平均功率)，它不仅包含传导电流产生的欧姆损耗，还包含了媒质的极化和磁化损耗；右端虚部表示体积V内吸收的无功功率Q，既包含磁场(感性)无功功率，也包含电场(容性)无功功率。
• 在时谐电磁场中，定义复坡印廷矢量为（公式详见原图）
• SEH~其实部为有功功率密度矢量，虚部为无功功率密度矢量。
• 例1：直流电压源U0经图示的同轴电缆向负载电阻R供电。
• 设该电缆内导体半径为a，外导体的内、外半径分别为b和c。
• 试用坡印廷矢量分析其能量的传输过程。
• 图同轴电缆横截面中的E、H和S的分布[解]：设同轴电缆为理想导体，内导体电位为U0，电流I=U0/R沿z轴方向流动；外导体电位为零，电流与内导体电流反向。
• 可得同轴电缆内外电、磁场分别为bccab0aEbccab0U22012b22Rcbe

第6页：同轴电缆中的电磁功率传输

同轴电缆中的电磁功率传输

• 不难看出，除同轴电缆内外导体间的坡印廷矢量0ezaU221SEH2Rlnbab不为零外，其余各处均为零。
• 对同轴电缆截面积分得同轴电缆传输的功率为RaS02a2RlnbbU2U2PS
• ez2d0d0显然，与电路理论获得的结果相同。

讨论

从以上例题，坡印廷矢量仅存在于同轴电缆的内外导体之间的空间，且垂直于E和H组成的平面。

• 这说明电磁能量是以电磁场方式通过空间传输给负载的，而不是象人们直观臆断的那样是以电流为载体通过导体传送给电阻的。
• 应指出，导体的作用仅在于建立空间电磁场、并从电源定向导引电磁能量输入负载。
• 5．3电磁位1．电磁位的引入类似于恒定磁场，由麦克斯韦方程的
• B=0，定义动态矢量位ABA代入麦克斯韦方程的E=-B/t，得(EA)0t由上式括号中矢量的无旋性，进一步定义动态标量位EAtA和的单位分别为韦/米(Wb/m)和伏(V)，上述定义的位函数组A－被称为动态电磁场的电磁位。
• 2．洛仑兹规范为唯一地确定A，还必须规定A的散度。
• 将上述定义式代入麦克斯韦方程组的另外两个方程，并整理得2AAt2(

第7页：动态电磁位与洛仑兹规范

动态电磁位与洛仑兹规范

• 从以上两个二阶偏微分方程不难看出，对A的散度规范不同，方程组的形式也将不同。
• 如取库仑规范，尽管上述标量方程可以转化为简单的泊松方程，但上述矢量方程中依然存在着A与的耦合。
• 为去掉A与的耦合，但上述矢量方程中梯度项为零，即（公式详见原图）
• At上式被称为洛仑兹规范。
• 此时，上述两个偏微分方程转化为At2Jc2A222t2上式被称为电磁位的非齐次波动方程，又称为达朗贝尔方程。
• 3．非齐次波动方程的复数形式对于时谐电磁场，采用复矢量表示法，电磁位的非齐次波动方程的复数形式为（公式详见原图）
• 2k2k式中k称为波数，单位为弧度/米(rad/m)，其物理含义将在后面阐述。
• 电磁位的非齐次波动方程的复数形式又被称为非齐次亥姆霍兹方程。
• 对于非齐次波动方程，无论是它的时域形式，还是它的频域形式，在动态电磁场问题中占有重要的地位。
• 可以说，动态电磁场的产生、辐射、传播和接收的分析都是围绕非齐次(或齐次)波动方程的求解进行的。
• 4．电磁位的积分解令1动态标量位非齐次波动方程重写为2122t2第7页2024-12-12

第8页：电磁位的非齐次波动方程

电磁位的非齐次波动方程

• 对位于坐标原点的时变点电荷q，其场分布具有球对称特征，即动态标量位仅为球坐标系变量r的函数。
• 在除去坐标原点以外的整个无源空间，位函数满足齐次波动方程2rrrrrr22t221212r12即t2r212r22r(0<r<)由直接代入法可以证明，其通解为rftrftr12由后述分析可知，在无界空间中，上式右端第二项不符合实际的物理条件，应舍去。
• 因此，位于原点的时变电荷q产生的动态标量位为r,trftr1式中函数f1取决于场域中的媒质和q的变化形式。
• 当q与时间无关时，即为静电场，这时它所产生的电位为rq4r可见函数f1应表示为4qtrrft1所以，位于原点的时变电荷q产生的动态标量位为4rqtrr,t由此推知，场域V中体电荷(r,t)在场点r处产生的动态标量位为dV14Vrrr,t|rr|r,t观察上述积分解可见，在动态电磁场中动态标量位的积分解与静电场中电位的积分图时变点电荷波形第8页2024-12-12

第9页：时变点电荷的滞后位

时变点电荷的滞后位

• 解形式相似，但在时间上是滞后的。
• 为说明其物理含义，设在坐标原点有一个按图示随时间变化的点电荷q(t)。
• 不难看出，给定点的电位不是瞬间建立起来的，只有当tr/时，才不为零。
• 也就是说，在动态电磁场中，q(t)在空间r点处产生的电位，需要一个时间tr/的传播过程，其传播速度为。
• 这表明时变点电荷产生的电位是以点电荷为中心、幅值与传播距离成反比的球面波，其波速由介质的介电常数和磁导率确定。
• 在自由空间中3108001m/s正是光波在真空中的传播速度，即光速c。
• 右图画出了前图所示时变点电荷在空间产生的电位传播过程。
• 同理，动态矢量位非齐次波动方程的积分解为dVJ(r,t|rr|)Ar,t4Vrr由以上分析可知，空间各点动态标量位和动态矢量位A随时间的变化总是落后于场源的变化。
• 因此，通常也称及A为滞后位。
• 对于时谐电磁场，时间t写为时间延迟tr，进一步可写为(tr)trtkr上式表明，时域上的延迟等同于频域上相位的滞后。
• 的电磁位积分解的复数形式为（公式详见原图）
• (r)4Vrrr而以上两式正是非齐次亥姆霍兹方程的解答。
• 5．波长与波数可等相位点的传播过程分析电磁波传播的滞后效应，即对0tkr求导，得等相位点的传播速度为图标量电位的传播第9页2024-12-12

第10页：波长波数与电偶极子辐射

波长波数与电偶极子辐射

• 1dtkdr波的传播方向为r方向，波长为（公式详见原图）
• 22fk由上式可见，包含在2米长度(对应2相位)中的波长数为k2
• 因此，k被称为波数，也称为相位系数。
• 5．4电磁辐射随时间变化的场源或J产生的电磁场以波的形式在空间传播，这种现象被称为场源的电磁辐射。
• 今后主要讨论时谐电磁场。

这主要基于两方面的考虑

一是在实际工程中，电磁发射往往是以某一频率的正弦波为载频；二是时谐电磁场分析相对比较简单，其结果易于延拓到整个频域，并可借助傅里叶分析计算其它类型的动态电磁场。

• 1．电偶极子的电磁场图示电偶极子Il是最简单的电磁辐射元件，通常称产生电磁辐射的元件为天线。
• 设电偶极子长度l远小于其
• 上电流频率对应的电磁波波长，其横截面忽略不计。I为电流有效值相量。lr，得jkr
• 4rAeez0Il将上式在球坐标系下展开，可写成A
• 根据HA/0，可得IlHe(1jkr)sine4r2
• 图电偶极子(元天线)第10页2024-12-12

第11页：电偶极子的近场与远场

电偶极子的近场与远场

2．近场与远场近场

首先，定义靠近电偶极子的区域即kr1(相当于r

• )为近区。此时eEj30rej304r2r
• 利用电流与电荷的关系即Ijq，电场强度又可写为eE3r004re2r3
• 将上述电场强度和磁场强度分别与电偶极子产生的静电场的电场强度和电流元产生的恒定磁场的磁场强度相对比，可以看出，其场分布是相同的。
• 此外，场与源的相位完全相同，两者之间没有时差。
• 因此，虽然源随时间变化，但它产生的近场与静态电磁场的特性完全相同，无滞后效应，所以近场也称为似稳场。
• 同时，从上式还可看出，电场强度和磁场强度的相位差为90，故坡印廷矢量的平均值Sav为零。
• 这说明存储在电偶极子附近空间的能量表现为电场与磁场之间相互交换的方式，而并不产生向无限远空间传送的电磁辐射。
• 应指出，事实上近场也有平均功率在传输，而且正是这部分功率提供了向外空间传送的辐射功率，只是相对于存储在近场的功率而言，其值可以忽略不计。

远场

其次，定义远离电偶极子的区域即kr1(相当于r

• )为远区。此时0jkr
• 可以看出，远场中电场强度和磁场强度在空间上相互垂直并与半径为r的球面相切，且同相位。
• 它们的振幅均反比于r，其振幅之比定义为介质的特性阻抗，即kH
• E在自由空间中0第11页2024-12-1200377

第12页：远区辐射场与球面波特性

远区辐射场与球面波特性

• 由于特性阻抗反映了电磁波的电场强度和磁场强度之比，它又被称为介质的波阻抗。
• 求空间任意一点复坡印廷矢量的平均值rav2
• rIl2Ssin2e这表明电磁能量向无限远辐射。
• 由此可见，时谐振荡的电流以波的形式向空间辐射电磁能量。
• 此种辐射电磁能量的电磁场称之为辐射场，亦即电磁波。
• 可以看出，对于远场中的电磁波，无论是电场强度还是磁场强度，它们的相位在以电偶极子为中心形成的球面上是等相位的，称等相位面为球面的电磁波为球面波。

有如下特点

(1)E、H和Sav相互垂直，且满足右手螺旋关系；(2)E和H同相位且它们的振幅之比为介质的特性阻抗；(3)传播方向由相位因子ejkr确定，当jkr前取“-”时

• 沿er方向传播；反之，沿-er方向传播。
• 可见，在无限大空间中，只需知道E和H中的一个，另一个就可以利用上述的特点求出。
• 所以今后将只分析电磁波的电场强度。
• 3．方向图电偶极子是最简单的天线，它产生的辐射场不仅与场点到源点的距离有关，还与同一球面上的和
• 角度有关。当=0，即在z轴方向上辐射为零；当＝90，也就是在垂直z轴的方向上辐射最强。辐射场的电场强度随和
• 角度变化的函数f(,
• )被称为天线的方向图因子，根据f(,
• )画出的图形被称为该天线的方向图。方向图描述了天线辐射场强在空间的分布情况。由上式，得电偶极子的方向图因子为f(,
• )sin右图为电偶极子天线在子午面上的方向图。
• 在远场选一个包围电偶极子的半径为r的球面，由复坡印廷矢量的平均值，得电偶极子向外发出的总辐射功率为Il23
• dSPSSav可见总辐射功率与半径无关，即总辐射功率辐射到无限远。将其写为PI2R形式，则r3
• 2l2Rr图电偶极子天线的方向图第12页2024-12-12

第13页：辐射电阻与移动电话天线算例

辐射电阻与移动电话天线算例

• 称为天线的辐射电阻，它表示天线的辐射能力。Rr愈大则天线的辐射功率也就愈强。由于辐射电阻与l/
• 有关，当电源频率较高即（公式详见原图）
• 较小时，可使用长度较短的天线发送一定量的辐射功率；而当电源频率较低即（公式详见原图）
• 较大时，就必须使用相当长的天线才能发送一定量的辐射功率。
• 有时还常用P或Rr表示坡印廷矢量的平均值，即3PavSr23RI2rav8r28r2sin2e或Srsine例1：个人通信系统频率范围为800MHz～3GHz。
• GSM系统双频移动电话天线的发射功率，当f=900MHz时为0.1～2W；当f=1.8GHz时为0.1～1W。
• 若将该移动电话天线近似看作为偶极子天线，试分别计算距移动电话3cm处的最大功率面密度。
• [解]：在距离一定的情况下，最大功率面密度出现在＝90情况，当f＝900MHz时，Savmax＝265.2W/m2＝26.52mW/cm2当f＝1.8GHz时，Savmax＝132.6W/m2＝13.26mW/cm2需要说明的是，以上仅是估算值。
• 这是因为，在自由空间中，900MHz电磁波对应的波长为33.3cm，1.8GHz电磁波对应的波长为16.7cm。
• 而移动电话的天线长度既不满足远小于波长，也不满足远场条件，并且还未考虑使用移动电话时人体头部媒质对电磁场的扰动。
• 但是1～3GHz频率范围内的电磁波能够全部被皮肤、脂肪和肌肉所吸收，使人体深处的细胞加热，导致内部器官损伤。
• 因此，世界各国均对功率面密度限值作了规定，如美国IEEE/ANSI标准规定功率面密度限值为1mW/cm2。
• 显然，本例在两个工作频率下的最大功率面密度均超过了1mW/cm2。
• 所以，从健康的角度考虑，不应长时间使用移动电话。

4．线天线与天线阵线天线

线天线是指具有一定长度，且线半径远小于长度的直线导体构成的天线。

• 图示为半波线天线的形成示意图，图(a)为终端开路的传输线，图中画出了电压和电流沿(a)终端开路的传输线(b)半波线天线的形成图由终端开路传输线形成半波线天线第13页2024-12-12图半波线天线

第14页：半波线天线与天线阵

半波线天线与天线阵

• 线分布曲线。
• 在距终端四分之一波长处，将传输线分别向上和向下折90，就形成了图图示的半波线天线。
• 这表明半波线天线易于与传输线匹配，天线上的电流分布可以用终端开路传输线上的电流分布予以近似表示，如图(b)所示，其电场强度为（公式详见原图）
• Ejcoskzsinedz由于rl，有,rrzcos，电场强度可改写为（公式详见原图）
• Ejj22rsincoscos4r2ksin22coscossinejkrsinejkrcoskzejkzcosdze方向图因子为2sincoscosf(,
• )右图为半波线天线的方向图，可以看出，它比电偶极子有更好的方向性。

天线阵

将多个线天线组合在一起即构成天线阵。

• 以右图所示由N个相互平行的线天线构成的天线阵(N元天线阵)为例。
• 设相邻两天线距离为d，电流振幅分布相同，相位依次滞后为。
• 从图中可以看出，相邻两天线在场点由于波程差和电流相位差产生的总相位差为kdsincos
• 设图中原点线天线的辐射电场强度为E0，则N元天线阵在场点总的辐射电场为g1ej22sin1ejNj(N1)22(N1)sinN
• )E0EE0(1ejej2ej(N1)图半波线天线方向图图N元天线阵图阵因子分布曲线第14页2024-12-12

第15页：阵因子与天线的互易定理

阵因子与天线的互易定理

• 式中sinNg2sin2被称为N元天线阵的阵因子。
• 如果上述N元天线阵均由半波线天线组成，则总辐射电场强度为jef(,
• Ej上式表明，N元天线阵的方向图因子为线天线方向图因子与天线阵阵因子的乘积。为理解天线阵的方向性，取=90，kdcos
• 为了确定天线阵的最大辐射方向，右上图画出了阵因子g随的变化曲线。
• 可见，当＝0时，辐射最强，最强的主瓣宽度为/N，由上式得最强辐射的角度为kd2d
• 上式表明，当d一定时，调整各个线天线的相位差，可以改变天线阵的最大辐射方向，这就是相控天线阵的工作原理。下图画出d=
• /2的六元天线阵对应不同时的方向图。
• 5．天线的互易性当线天线用作接收天线时，其方向图和发射天线的方向图是等同的。
• 这一结论被称
• 为天线的互易定理。设在空间中有体积为V1的电流源J1和体积为V2的电流源J2，它们
• 在空间任意点产生的辐射电场分别为E1、H1和E2、H2。利用矢量恒等式有（公式详见原图）
• J2将上式下标1和2互换，得=-180=180=0=-90图不同相位差时对应的方向图第15页2024-12-12=90

第16页：天线互易定理的证明

天线互易定理的证明

• J1两式相减且在无限大空间积分，并应用散度定理，得（公式详见原图）
• 在上式推导中，应用了在非V1和V2的体积中J1=J2=0的条件。上式的面积分为零，且均为线天线，上式改为（公式详见原图）
• I2dll1l2由于假定线天线为理想导体，这意味着在线天线表面上无电场强度的切向分量。
• 上式线积分仅在线天线信号馈入点成立，如图所示，应为（公式详见原图）
• 式中E12表示线天线2在线天线1处产生的电场强度，E21表示线天线1在线天线2处产生的电场强度。
• 若令这两线天线电流和几何尺寸完全相同，则上式为（公式详见原图）
• E12E21如果将线天线1作为发射天线，线天线2作为接收天线。
• 则在线天线2馈入点感应的电场强度应正比于线天线1的方向图因子，即E21E0f,
• 现在将线天线1作为接收天线，线天线2作为发射天线，则在线天线1馈入点感应的电场强度为E12E21E0f,
• 上式表明，当线天线1在以线天线2为中心的球面上移动时，在线天线1馈入点感应的电场强度正比于将它作为发射天线的方向图因子。
• 这就证明了天线用作接收时的方向图因子与用作发射时的方向图因子是相同的。
• 6．电磁波频谱天线向空间发射电磁波信号，并占用一定的频谱宽度。
• 因此，频谱成为一种特殊资源。
• 为了防止电磁波信号相互干扰，必须将电磁波的频谱进行合理分配，并进行有效的管理。
• 我国由全国无线电管理委员会负责频谱分配、协调和管理。
• 下图是电磁波频谱分图两个线天线第16页2024-12-12

第17页：平面电磁波与TEM波

平面电磁波与TEM波

• 图电磁波频谱分配图5．5理想介质中的均匀平面电磁波平面电磁波：电偶极子产生的辐射电磁场是球面电磁波，其等相位面是球面。
• 当观察点远离电偶极子，且讨论范围限于观察点附近区域时，可以将球面近似为平面，且该平面上电场强度和磁场强度的振幅可近似看作为常量。
• 这样，即称电场强度、磁场强度和传播方向满足右手螺旋关系、等相位面为平面的电磁波为平面电磁波；并进而称电场强度和磁场强度振幅为常量的平面电磁波为均匀平面电磁波。
• TEM波：无论是平面电磁波还是均匀平面电磁波，电场强度和磁场强度均垂直于传播方向，即在传播方向上无电磁场分量，称这种电磁波为横电磁波，也称为TEM波。
• 1．波动方程及其解在无源理想介质空间中，麦克斯韦方程组为《电磁场》讲稿（5）配图，图中不仅给出了频率、波长范围，还简明地描述了相应的应用领域。
• 频率（Hz）频段主要应用领域波长（m）1021第17页2024-12-1210-910010-12γ射线癌症治疗，天体物理研究x射线医学诊断医学诊断10181015101210910610310010-610-3103106紫外线杀菌可见光视觉显示，天文学研究，光通信红外线毫米波加热，夜视，光通信天文学研究，气象学研究极高频（EHF）雷达，遥感微特高频（SHF）波雷达，卫星通信，移动通信（800MHz～3GHz）微波炉(2.45GHz),全球定位系统,移动通信,电视(14～83频道,470~890MHz)超高频（UHF）甚高频（VHF）电视(2~4频道,54~72MHz;5~6频道,76~88MHz,7~13频道,174~216MHz)调频广播(88~108MHz)高频（HF）中频（MF）短波广播，业余无线电频带中波广播（535～1605kHz）低频（LF）导航甚低频（VLF）超低频（ULF）导航，定位和海上通信电话，音频特低频（SLF）电力传输，水下通信极低频（ELF）地球勘探，脑电波

第18页：均匀平面波的波动方程

均匀平面波的波动方程

• D0t22E对于电场强度，有E由矢量恒等式E
• E2E，上式变为2t2EE200t222H同理，对磁场强度可导出H以上两式即为齐次波动方程。
• 可见，在无源理想介质空间，电场强度和磁场强度的变化规律均满足齐次波动方程。
• 对于时谐电磁场，上述两式的复数形式为（公式详见原图）
• 2Hk2H0以上两式又被称为齐次亥姆霍兹方程。
• 假设均匀平面电磁波沿z轴方向传播，其波振面平行于xoy平面，且电场强度和磁场强度在该波振面上为常量，电场强度矢量与x轴平行，即EexExz,t代入齐次波动方程，得t22E2Exx0z2由直接代入法可以证明，上式的解为Eex[ExztEzt]x对应的磁场强度为第18页2024-12-12E(zt)E(zt)z1Exxy1HEdteyxdte

第19页：正向行波与反向行波

正向行波与反向行波

• 2．均匀平面电磁波的物理意义在无源理想介质空间，波动方程的解由两项组成。
• 第一项分别为电场强度Ex＋(z-t)和磁场强度Hy＋(z-t)=Ex＋(z-t)/，这是沿z轴正方向传播的电磁波，又称为正向行波或入射波，如图(a)所示。
• 它的传播速度为，电场强度、磁场强度和传播方向相互垂直且满足右手螺旋关系，电场强度与磁场强度之比为介质的波阻抗。
• 第二项分别为电场强度Ex－(z+t)和磁场强度Hy－(z+t)=－Ex－(z+t)/。
• 考察Ex－(z+t)的一个定值点的运动情况，也就是z+t=const，对其微分，得运动速度为dzdt上式表明，电场强度Ex(z+t)和磁场强度Hy(z+t)=－Ex(z+t)/分别是沿z轴－－－反方向传播的电磁波，称为反向行波或反射波，如图(b)所示。
• 图(a)正向行波图(b)反向行波上述分析表明，均匀平面电磁波是由正向行波和反向行波叠加组成的。
• 3．波矢量在时谐电磁场中，设电场强度复数形式为（公式详见原图）
• EexExz代入齐次亥姆霍兹方程，得2dz2kEx0d2Ex
• 其解为xxxE00
• x0x0式中E和E为两个复常数，上式对应的时域表达形式为（公式详见原图）

第20页：波矢量与基站电磁波算例

波矢量与基站电磁波算例

• 分别为复常数E和E的幅角(初相位)。上式中第一项为电场正向行波，第二项为电场反向行波。磁场强度为yExe)Ex
• H同理，上式第一项为磁场正向行波；第二项为磁场反向行波。
• 再次看出，正向行波(或反向行波)的电场强度、磁场强度和传播方向相互垂直且满足右手螺旋关系，电场强度与磁场强度的振幅之比等于介质的特性阻抗。
• 对于任意方向ek传播的均匀平面电磁波，定义波矢量k如下k=ekk式中k为波数。
• 对于图示的均匀平面电磁波，等相位平面方程为k
• r=const这样，电场强度可以写为（公式详见原图）
• rEE0e磁场强度为（公式详见原图）
• rHH0e显然，电场强度、磁场强度和波矢量的关系可以写为（公式详见原图）

试求

(1)频例1：从移动电话基站发射电磁波的磁场为Hex50e率和波长；(2)电场强度；(3)坡印廷矢量的平均值。

• [解]：已知空气中的波速3108m/s，波阻抗为377，则0122k17.3(1)f1k310817.3826MHz
• 220.363m。(2)从磁场强度表达式中看出，电磁波的传播方向为y轴正方向，利用右手螺旋关系，电场强度方向为z轴正方向，即z0z6
• j(17.3y)3j(17.3y)3e18.85emV/mEe5010e362(3)Savey18.85105010ey0.94W/m图任意方向的均匀平面电磁波第20页2024-12-12

第21页：调频广播电磁波算例

调频广播电磁波算例

• 可见，移动电话基站发射的电磁波的功率面密度远低于1mW/cm2的安全标准限值。
• 例2：已知调频广播电磁波的电场强度为E0.55(exj0.17(3x3y2z)3ey)eV/m。

试求

(1)频率与波长；(2)磁场强度；(3)坡印廷矢量的平均值。

• [解]：由电场强度表达式，波矢量为rad/m4x3e3ey2ezk0.17(3ex3ey2ez)0.682.94m。
• 222k(2)磁场强度为2μA/mj0.17(3x3y2z)729.4(3exey23ez)ee11
• ezeyex3y2z)j0.17(3x233144437700.5530.55HkEekE(3)坡印廷矢量的平均值为xyzkavexeyez1303123
• 0.004026e23e4e32emW/m2SRe[EH*]0.55729.4106可见，调频广播电台发射的电磁波的功率面密度也远低于1mW/cm2的安全标准限值。
• 5．6均匀平面电磁波的反射与透射1．反射定律与透射定律设两理想介质交界面为无限大平面，均匀平面电磁波以入射角1由介质1向介质2传播，如图示。
• 称波矢量k与en形成的平面为入射平面。
• 1为反射角，2为透射角。
• 根据边界条件，o点两侧电场强度和磁场强度的切向分量应分别相等，且在电磁波的传播过程中，入射波、反射波和透射波沿交界面的传播速度必须相同，即211sin1sin1sin2图电磁波的反射与透射第21页2024-12-12

第22页：反射定律与透射定律

反射定律与透射定律

• 由上式即得反射定律为11透射定律为sin22sin11通常21，且nr被称为介质的折射率。
• 上式可改写为光学中透射定律，即n1sin1n2sin2例1：光纤是芯径极细外涂包层的二氧化硅棒，其沿轴线的子午面如图示。
• n1为光纤芯的折射率，n2为包层的折射率。
• 为使光在光纤芯和包层交界面上形成全反射，制造时使n1略大于n2。

试求

光在光纤中持续传输的最大入射角c(已知在空气中n0=1)。

• [解]：使光在光纤中持续传输的必要条件是2=90，由透射定律，可得1211sinnn在光纤端面点A处，再次透射定律，得c111112sinnsin90ncosn2n2
• sin1n2n2c12一般光纤芯径在几个微米至几十个微米之间。
• 显然，c的大小直接关系到光源与光纤的耦合效率。
• 称sinc为光纤的数值孔径，它是光纤的一个重要参数。
• 2．反射系数与透射系数分两种情况即图(a)和图(b)研究均匀平面电磁波的反射和透射问题。
• 图(a)中的电场强度矢量与入射面平行，称为平行极化情况；图(b)中的电场强度矢量与入射面垂直，称图光纤子午面上的光线(a)平行极化情况(b)垂直极化情况图均匀平面电磁波的反射与透射第22页2024-12-12

第23页：平行极化与垂直极化系数

平行极化与垂直极化系数

• 为垂直极化情况。平行极化情况：由图(a)和边界条件，得212111
• 112EEE联立求解以上方程，得（公式详见原图）
• 22E1E1cos12cos22cos1按电场强度在介质交界面的切向分量分别定义反射系数和透射系数2cos21cos1
• E1cos1Ecos2cosT//2222一般12，应用透射定律，上式可简化为11111111//2sin22cos2sin22cosR111111//2sin22cos22sin2T垂直极化情况：类似地，可以得到

第24页：全反射与临界角

全反射与临界角

• 此时，反射系数和透射系数为22cos11cos2cos11cos2R222cos12cos11cosT一般12，并由透射定律，以上两式简化为1111112sin2coscos2sin2R1112cos12sin2cosT从R//和T//或R和T的表达式中看出，反射系数和透射系数之间存在如下关系，即1R//T//全反射：若均匀平面电磁波入射到理想导体表面时，则由于理想导体内部电场强度必须为零，这时对于平行极化情况，在交界面上，应有（公式详见原图）
• 同理可得R1。
• 1122//当sin0时，RR1，发生全发射。
• 这时11第24页2024-12-121cn2sin1n2sin1显然，上述情况只有当21时才有意义。
• 因此，全反射只能出现在入射角c，且光由光密介质到光疏介质传播时的情况，c被称为全反射的临界角。

全透射

即反射系数等于零的情况。

• 从上式可见，使R0的条件是21。
• 这说明对于垂直极化情况，不存在全透射现象。
• 对于平行极化情况，令R//0，得（公式详见原图）

第25页：全透射与布儒斯特角

全透射与布儒斯特角

• 11112cos2sin2求解上式得1211p22tg1sin1称上式的入射角P为布儒斯特角。
• 它表明当平行极化入射波以布儒斯特角入射到两介质交界面时，不存在反射波。
• 在实际中，可以利用测量布儒斯特角来测量介质的介电常数，也可以利用布儒斯特角提取入射波的垂直极化分量。
• 3．垂直入射电磁波的反射与透射垂直入射电磁波的反射与透射问题是上节的一个特例，即入射角1等于零的情况。
• 此时，平行极化和垂直极化并为同一种情况。
• 介质交界面上的反射和透射系数为R21，21当12，反射系数和透射系数又可写为2221Tr2r1r1r2，R2r1r1r2T理想导电平面问题：如图所示，设入射电磁波为jkz
• ExE0e在理想导电平面上，电场强度的反射波分量和入射波分量量值相等而相位相反，即R1，而透射电场为零，即T0。
• 这表明在理想导电平面上发生全反射。
• 此时在理想导电平面上
• 00ExRExRE0E0在z0的空间内，反射电场强度为jkz
• EEex0总电场强度为2
• zExExExE0(eejkzjkz相应的磁场强度为图垂直入射到理想导电平面上的均匀平面波第25页2024-12-12

第26页：垂直入射理想导电平面的驻波

垂直入射理想导电平面的驻波

• jkzjkz从上式看出，空间电磁波不再是行波，而是驻波。
• 电场强度和磁场强度的振幅分布如图所示。
• 显然，电场强度的波节即为磁场强度的波腹，同样，电场强度的波腹即为磁场强度的波节，且电场强度(或磁场强度)相邻波节或相邻波腹的空间距离为半波长。
• 此时，能量不能通过波节传递，所以电场能和磁场能之间的交换只限于在空间距离为（公式详见原图）
• /4的范围内进行。理想介质平面问题：如图所示，仍设入射波电场强度为x011jkz
• EEe显然，在介质交界面上有（公式详见原图）
• 1020ExTE0在介质1内，电场强度和磁场强度为00xxx011111111
• 2RE0jkzj2kzTE0jkzkzE0jkzE0在介质2内，电场强度和磁场强度为22jkz
• Hye2从以上四个表达式不难看出，由于在介质交界面上存在反射，介质1中的电磁波由行波和驻波两部分组成，而在介质2中只有行波。
• 可以求得介质1中的电场强度的模值为x10112Rcos2kzR2|E|E
• 右图画出了当R＞0时电场强度模值分布图。
• 由图可见，由于在z0处介质的波阻抗不匹配，在介质1中存在反射波。
• 通常用驻波比反映这种不匹配情况，即令图E和H的振幅波形图5-24垂直入射到两理想介质交界面上的均匀平面波第26页2024-12-12

第27页：驻波比与垂直入射水面例题

驻波比与垂直入射水面例题

• |E||Ex|minxmax11可见，全反射时SWR；而匹配时SWR1。
• 显然，可以通过测量驻波比来测定反射系数，即RSWR1SWR1例2：均匀平面电磁波由空气垂直入射到水面上，设水无损且相对介电常数为81。

试求

(1)水平面的反射系数和透射系数；(2)驻波比；(3)水中的坡印廷矢量。

• [解]：设空气和水的相对磁导率r1r21，则(1)反射系数和透射系数为19r1r2r1Rr2190.8，T1R0.2(2)驻波比为R1R110.8910.8SWR(3)水中坡印廷矢量为0z2z221111221z0212112E212022ze11R12022222zE2EETE4zzEe1Te0eav21R20e0.360e2Ee1SRe[EH*]
• 可以看出，由于水面存在反射，水中的功率面密度始终小于空气中入射波的功率面密度。
• 在实际中，可以采取匹配措施使反射系数等于零，实现功率的最大传输。

匹配问题

定义介质1中空间任一点的波阻抗如下z1111211ExHy111Rej2k1z1Rej2k1z

• zjtan2z特别是当z
• 1)（其中n为整数）时，有424212图电场强度的有效值分布第27页2024-12-12

第28页：波阻抗匹配与天线罩镀膜

波阻抗匹配与天线罩镀膜

• 412上式表明，借助波阻抗为，厚度为（公式详见原图）
• 介质板可以实现波阻抗分别为和两种不同介质之间的波阻抗匹配。此外，当z
• 1（其中n为整数）时，222212这表明，借助波阻抗为，厚度为（公式详见原图）
• 的介质板可以将波阻抗为的同一种介质分成两部分，而波阻抗不变。
• 例3：设飞机地面导航雷达的波阻抗与空气相同，雷达的中心工作频率为5GHz。
• 为保护雷达天线的清洁，通常覆加一个非磁性塑料天线罩，其相对介电常数为3。
• 为使雷达天线工作时无反射波，天线罩的厚度应为多少？[解]：已知天线的波阻抗与空气相同，在空气中插入一介质板，使其在空气中不存在反射波。
• 由上述讨论知，只有用厚度为（公式详见原图）
• 1介质板时，才可使空气中无反射波存22在。按题设，介质板中波长为0.0346m351093108rfcf
• 所以，天线罩的厚度可选为1.73cm。
• 例4：在光纤技术中，常在光学元件表面镀膜以减少光的反射。
• 设激光在自由空间中的波长为550nm，光学玻璃为非磁性玻璃，其折射率为1.52。
• 为使激光照射在该光学玻璃上无反射，试确定镀膜厚度和镀膜材料的折射率。
• [解]：由于空气与光学玻璃的波阻抗不同，需要采取
• /4匹配技术，此时202020r20211n又因为镀膜的波阻抗可以写为00r1n1所以，镀膜材料的折射率为nn21.521.233镀膜厚度为第28页2024-12-12

第29页：琼斯矢量与波的极化

琼斯矢量与波的极化

• 5501095．7琼斯矢量和琼斯矩阵在上节讨论的均匀平面波的电场强度矢量在等相位面上仅有一个分量。
• 采用琼斯矢量可以方便地讨论等相位面上电场强度为二维矢量的情况。
• 1．琼斯矢量设z轴方向为均匀平面波的传播方向，且令其电场强度矢量的一般形式为xxx0yy0jkz
• 式中，x和y分别是E的x和y分量的初相位。定义琼斯矢量为（公式详见原图）
• x可见，琼斯矢量事实上是电场强度矢量的一种矩阵表示。
• 2．波的极化电场强度矢量随时间在等相位面上的轨迹称为电磁波的极化特性。
• 若轨迹是直线，则称为直线极化，简称线极化；轨迹是圆，称为圆极化；轨迹是椭圆，则称为椭圆极化。
• 为判断电磁波的极化特性，讨论在z=0等相位面上的电场强度，即Ex(t)2Excos(t

)0y线极化

若上述电场强度的两分量Ex和Ey相位相同或反相(为简化分析，令初相位

• y=0)，则合成场强E(t)为E2x0y0E2costE(t)E2(t)E2(t)2xyE(t)的取向为0Ex(t)ExarctanEy(t)arctanEy0const可见，E(t)的取向与x轴的夹角始终保持不变，而其大小随时间作正弦变化，即E(t)矢量末端随时间变化的轨迹为一直线，如图所示，称之为线极化波，对应的琼斯矢量为0y0xxyEEE图线极化波第29页2024-12-12

第30页：圆极化与椭圆极化

圆极化与椭圆极化

圆极化

若电场强度的两分量振幅相等，即2Ex2Ey2E0，但相位差为0090，则E(t)矢量末端的轨迹为圆，称为圆极化波。例如，取

• y=-90，即得E(t)的模值为0E(t)E2(t)E2(t)2Exy而E(t)的取向为Ex(t)arctanEy(t)t可见，E(t)矢量末端的轨迹是半径为2E0并以角速度旋转的圆，如图所示。
• 显然，E(t)的旋转是有方向的。
• 本书规定，让拇指指向电磁波传播方向，当E(t)的旋向与右手其他四指指向相同时，称为右旋；当E(t)的旋向与左手其他四指指向相同时，称为左旋。
• 图示为右旋圆极化波，对应的琼斯矢量为0ExyEj1
• 可见，对于圆极化波，当琼斯矢量的x分量超前y分量90时，为右旋；反之，当琼斯矢量的x分量滞后y分量90时，为左旋。

椭圆极化

对于一般情况，取Ex(t)2Excost0Ey(t)2Eycos(t

• )0消去t，可解得E(t)的轨迹方程为cos
• yxyx0y0x0y0xEEE2(t)E(t)E(t)2E22E2E2(t)这说明一般均匀平面波的电场强度的轨迹为椭圆，如图所示。
• 线极化和圆极化都是椭圆极化的特例。
• 类同于右旋、左旋圆极化波定义，当琼斯矢量的x分量相位超前y分量时，即（公式详见原图）
• 0，为右旋椭圆极化波，如图所示；反之，当琼斯矢量的x分量滞后y分量时，即（公式详见原图）
• 0，为左旋椭圆极化波。归一化琼斯矢量：定义归一正交化琼斯矢量为图圆极化波图椭圆极化波第30页2024-12-12

第31页：极化正交基的变换关系

极化正交基的变换关系

• 01Xˆ1；Yˆ0可见，它们是一对由线极化波构成的单位正交基，模为1，且Xˆ与Yˆ正交，即XˆTYˆYˆTXˆ0同理，定义归一化右旋和左旋圆极化波为一组单位正交基，即2jRˆ2j1111；Lˆ它们的模也为1且正交，即2jRˆTLˆ11j10，2jLˆTRˆ11j10因此，任意一个均匀平面电磁波的琼斯矢量均能展开成为两个相互正交的线极化波或右旋圆极化波与左旋圆极化波叠加的形式。
• 例1：设空气中均匀平面电磁波为E(x,t)ey100sin(tkx)ez200cos(tkx)V/m。
• 试分析该电磁波的极化特性。
• [解]：由E(x,t)表达式知，该电磁波的传播方向为x方向，当x=0时，得100220021E2(t)E2(t)zy由图可知，该电磁波为右旋椭圆极化波。
• 例2：试讨论线极化正交基Xˆ和Yˆ与圆极化正交基Rˆ和Lˆ的变换关系。
• [解]：归一化右旋和左旋圆极化波可以写为Lˆ1(XˆjYˆ)2Rˆ1(XˆjYˆ),2求得Yˆj1(RˆLˆ)2Xˆ1(RˆLˆ),2上式说明，任意一个均匀平面电磁波都可分解为右旋圆极化波与左旋圆极化波的叠加。
• 3．琼斯矩阵图旋向判断第31页2024-12-12

第32页：琼斯矩阵与相位延迟板

琼斯矩阵与相位延迟板

• 琼斯矩阵法是分析均匀平面电磁波在一些器件中传输的有效方法，在琼斯矩阵法中，假定在各个器件的两端面上均无反射波存在，即电磁波全部透过各个端面。
• 图为一个均匀平面波器件，设其琼斯矩阵为2122ttTt11t12则透射波的琼斯矢量为（公式详见原图）
• xyxyTEiEt对于图示两个器件的情况，则透射波的琼斯矢量为（公式详见原图）
• TEmTTEiEtxy2xy21xy该系统总琼斯矩阵为21TTT可见，应用琼斯矩阵法可以使均匀平面波的传输计算变得十分简单，只要找出器件的琼斯矩阵即可。
• 4.均匀平面电磁波在各向异性介质中的传播各向异性介质常用来制作各种平面电磁波器件。
• 一般，各向异性介质的介电常数和磁导率可以表示为三维二阶张量，即（公式详见原图）
• 应用麦克斯韦方程组，可以全面分析均匀平面波在各向异性介质中的传播规律，但这些内容已超出本教材范围。
• 在此仅概括地介绍其传播规律，不作推导。

相位延迟板

由称为波片，是用各向异性介质制作的。

• 在垂直于传播方向的平面上，取决于相速的差异，存在着所谓“快轴f”和“慢轴s”两个正交方向，如图所示。
• 由于沿快轴和慢轴的相对介电常数不同，使平行于快轴方向的线极化波的相速高于平行于慢轴方向的线极化波。
• 导致快轴方向与慢轴方向的两个线极化波产生相对的相位延迟Γ，这种效应被称为双折射效应。
• 在图示的sof坐标系下，它的琼斯矩阵为图相位延迟板图平面波器件图两个平面波器件第32页2024-12-12

第33页：相位延迟板的琼斯矩阵

相位延迟板的琼斯矩阵

• e00ejΓ2jΓ2T式中，Γ不仅与介质有关，还与波长和波片厚度有关。
• 图中的角被称为波片的方位角。
• 由于xoy坐标系和sof坐标系存在如下正交变换关系
• 式中变换矩阵记为cossinsinRcos
• sfsfxyxy由EtTEi，得REtTREi，即（公式详见原图）
• xyxyEt所以波片在xoy坐标系下的琼斯矩阵为TR1TR通常称=的波片为（公式详见原图）
• /2波片，它的琼斯矩阵记为T
• 2。而称=/2的波片为（公式详见原图）
• /4波片，它的琼斯矩阵记为T

泡克尔斯效应

对于某些各向异性介质，如锗酸铋(Bi12GeO20)、硅酸铋(Bi12SiO20)和铌酸锂(LiNbO3)等晶体，在适当方向上施加电场E0后，将产生双折射效应，称这种效应为电光效应。

• 当电光效应与外加电场呈线性关系时，称为泡克尔斯效应，即kelE0式中，ke是由各向异性介质和波长确定的常数，l为均匀平面波在各向异性介质中的波程长度。
• 显然，借助于泡克尔斯效应可以控制平面波的极化状态或测量电场或电压。
• 例3：试证明
• /2波片可以改变线极化波的极化方向，可以使右旋圆极化波与左旋圆极化波相互转化。[证]：设
• /2波片中的方位角为，其琼斯矩阵为第33页2024-12-12sin2cos2T2jπ0cossincos2jπjsincos0e2sincossin2cossine
• /2取入射波是x方向的线极化波，则透射波的琼斯矢量为（公式详见原图）

第34页：半波片与四分之一波片

半波片与四分之一波片

• jjsin2cos2cos20sin2《电磁场》讲稿（5）cos2sin21
• /2波片使线极化波的极化方向旋转了2。特别是当=/4时
• /2波片可以使x方向的线极化波转化为y方向的线极化波。
• 又取入射波为右旋圆极化波，则透射波的琼斯矢量为Etˆej2αjej2αL
• /2这表明透射波为左旋圆极化波；同理，当入射波为左旋圆极化波时，透射波为右旋圆极化波。证毕。例4：试证明方位角=/4的
• /4波片可以将y方向线极化波转换成左旋圆极化波，将x方向线极化波转换成右旋圆极化波。[证]
• /2波片的琼斯矩阵为2j14411jcossin44044e044T4jπjπe4sincossincossincos
• /4当入射波为x方向线极化波时，则透射波为EtˆR102j11j1112jˆTX
• /4当入射波为y方向线极化波时，则透射波为j1j1121EtˆjL2j1111j02jˆTY

旋光器

各向异性介质的另一种效应是右旋圆极化波与左旋圆极化波的相速在介质中不同。

• 当入射波为线极化波时，由于分解的右旋圆极化波和左旋圆极化波的相速不同，当它们离开该介质时，将合成一个极化方向相对于入射波极化方向偏转的线极化波。
• 也就是说，线极化波的极化方向通过介质后发生了旋转，如图所示。
• 称为旋转角，它与各向异性介质、波长和波在该介质中的传播距离有关。
• 它的琼斯矩阵为图极化方向的旋转第34页2024-12-12

第35页：法拉第效应及其应用

法拉第效应及其应用

• sincos第35页2024-12-12《电磁场》讲稿（5）cossinT法拉第效应：对于铁氧体、等离子体、锗酸铋(Bi12GeO20)、硅酸铋(Bi12SiO20)等晶体和一些磁性玻璃等各向异性介质，当在均匀平面电磁波的传播方向上施加磁场时，线极化波的极化方向发生旋转，即VB
• l式中，V为维尔德常数，B为外加磁场的磁感应强度。
• 这种效应被称为法拉第效应。
• 借助于法拉第效应，可以控制线极化波的极化方向或测量磁场或电流。
• 5．8有损媒质中的均匀平面电磁波1．波动方程及其解对于时谐电磁场，在无源有损媒质空间中，麦克斯韦方程组可写为e~
• D0e式中，~和~分别为媒质的复介电常数和复磁导率，~为有损媒质的等效复介电常数。
• 为简化分析，忽略媒质的磁化损耗，即~。
• 可以导出有损媒质的波动方程为e
• 2Hk2H0式中，ke为有损媒质的传播系数，它是一个复数，由下式确定ee22~k不难看出，上述波动方程与理想介质中的波动方程同形。
• 因此，它们的解也应同形。
• 设均匀平面电磁波的电场强度矢量与x轴平行，且沿z轴方向传播，则波动方程的解为ee

第36页：有损媒质中的传播系数

有损媒质中的传播系数

• 式中，e为有损媒质的特性阻抗(波阻抗)，它也是一个复数，即ee~2．传播系数与波阻抗显然，传播系数ke和波阻抗e是与频率相关的复数，设kekjke|e|ejθ则入射波为e
• Hyx0ek(ω)zj[k(ω)zθ]|e|可见，入射波的振幅随着波的行进按指数规律衰减，且磁场强度在相位上滞后电场强度，如图所示。
• 系数k被称为有损媒质的衰减系数，解得11k2211k22可见，在有损媒质中，相位系数k不再是频率的线性函数，从而导致均匀平面波的相速也不再是常数，而是频率的函数。
• 通常由于信号是由不同的频率成分组成的，当载有信号的均匀平面波在有损媒质中传播时，不同频率成分因相速不同而产生相位差，最终导致信号的失真。
• 对于数字信号将产生误码。
• 我们称这种现象为有损媒质的色散现象，因此，有损媒质又称为色散媒质。
• 3．低损耗介质情况对于低损耗介质，其损耗角正切tan1。
• 此时，有1tan21(11tan2)28k图有损媒质的入射波第36页2024-12-12

第37页：低损耗介质与良导体中的传播

低损耗介质与良导体中的传播

• 1tan21tan22k均匀平面电磁波的相速为8(11tan2)1k可见，对于低损耗介质，电磁波的相速近似等于理想介质中的相速，只是振幅沿传播方向略有衰减。
• 4．良导体情况对于良导体，其损耗角正切tan1。
• 由于可以忽略的影响，书写中不再区别和。
• 此时，有2kk波阻抗为e4jπe可见，在良导体中磁场强度分量在相位上滞后电场强度/4，且电磁波在良导体中衰减很快。
• 为了反映衰减程度，工程上定义了透入深度(或称趋肤深度)d，即2kd1如铜导体的=5.8107S/m。
• 当f=50Hz时，d=9.45mm；当f=1MHz时，d=66.7m；当f=100MH时，d=6.67m。
• 所以，在高频下，铜可以作为优异的屏蔽材料。
• 上式良导体的波阻抗又被称为其表面阻抗。
• 设良导体表面
• 电场切向分量为Ex0，如图所示，则导体表面的电流密度为（公式详见原图）
• 导体内任意点的电流密度为JxEx0ejkez。这样，在导体单位宽度内(0≤y≤1)分布在电磁波传播方向上的总电
• IdzJdyj图平表面良导体中电流的集肤效应第37页2024-12-12

第38页：良导体的表面阻抗

良导体的表面阻抗

• 将k’和k’’代入到上式ke，并整理得Sx04πZeE
• I式中RSjXSjπe4γd1j(1j)2ZSe式中dSSRX1
• 可见，基于集肤效应，流经良导体的正弦交变电流I可以用分布在导体表面层的表面电流来等效，其等效的面电流密度即为导体表面切向电场强度除以导体的表面阻抗(波阻抗)ZS，而平表面导体的表面电阻RS是导体沿电流方向取表面层截面为(d×1)所对应的单位长度电阻。
• 利用表面电流和表面阻抗的概念，可以方便地计算电磁波垂直进入导体的功率面密度，即avx0y0Sz
• SRe[EH*]RI2e例1：湖水1=410S/m，81；海水=4S/m，81。
• 求频率为10MHz电磁-3r12r2波在湖水和海水透入深度(设0)。
• [解]：对于湖水，在10MHz下r108.8810122107818.85101214103tan可见，湖水在10MHz下可以看作低损耗介质，由透入深度定义，得12m231082107818.88102120r10tankd而对于海水，在10MHz下88.81第38页2024-12-12r202107818.85101224tan在10MHz下，海水可以视作良导体，透入深度为（公式详见原图）

第39页：海水中的电磁波衰减与导引波

海水中的电磁波衰减与导引波

• 20.08m210741074202d这说明10MHz的电磁波难以在海水中传播，但在湖水中可采用这个频率进行水下通信。
• 5．9导引电磁波1．非均匀平面电磁波取z轴为传播方向，平面电磁波的电场强度和磁场强度可写为（公式详见原图）
• 式中，E0和H0是平面电磁波在等相位面上的二维电场强度矢量和二维磁场强度矢量，一般是x和y的函数，称这种振幅在等相位面上不是常量的平面电磁波为非均匀平面电磁波。
• 将算子写成如下形式zze式中，为垂直于传输方向z轴平面上的二维算子。
• 在无源空间中，jkz
• E(ezz)E0e(E0)eezE0(jk)ejωH0e比较上式两端，得（公式详见原图）
• H0kE0E00不难看出，非均匀平面电磁波的磁场强度与电场强度的关系式与均匀平面电磁波相同，也就是说在等相位面的任意点上，非均匀平面电磁波的电场强度、磁场强度和波矢量在空间上仍然满足右手螺旋关系，且电场强度与磁场强度振幅之比为波阻抗。
• 同理，将其余三个麦克斯韦方程展开，可得（公式详见原图）
• 从上式可以看出，平面电磁波横向电场强度E0和横向磁场强度H0满足的方程与平行平面静态电磁场的方程相同。
• 这说明能够建立平行平面静态电磁场的系统也一定能

第40页：同轴电缆中的非均匀平面波

同轴电缆中的非均匀平面波

• 够导引平面电磁波。
• 例如，各类均匀传输线主要用来导引平面电磁波。
• 例1：已知半无限长同轴电缆内外导体半径分别为a和b，激励电源的角频率为，内外导体间电压和电流的有效值为U0和I0。
• 试求同轴电缆内非均匀平面电磁波的分布。
• [解]：设z轴为电磁波传播方向。
• 由于非均匀平面电磁波的横向电场和横向磁场与同轴电缆内的静态电磁场分布相同，所以，同轴电缆内非均匀平面电磁波分布为-jkzbeU0aln
• I0a||lnbH0顺便指出，既可以用电磁波理论也可以用分布参数电路理论来研究传输线问题。
• 这可以通过考察波阻抗和相速来说明。
• 首先，由本章分析可知波阻抗
• 而由静态电磁场的分析得知，同轴电缆单位长度电容C0和单位长度电感L0分别为baC2,ln02aLlnb0因此，由分布参数电路理论可知I00lnbC2aU0L01
• 另外，电压和电流行波的相速为第40页2024-12-12111L0C0lnba2alnb2显然，两种理论获得的结果一致。
• 人们更偏爱应用分布参数电路理论研究传输线问题

第41页：平行板波导中的导行波

平行板波导中的导行波

• 2．平行板波导图示为一平行板波导(简称平板波导)。
• 设上下板为理想导体板，板宽a远大于板间距离b，且在z轴方向无限延展。
• 因此，设场量与x无关，即0，且沿z轴方向传播，波数为kz。
• 将麦克x斯韦方程组中的两旋度方程展开，并消去ejkzz因子，得（公式详见原图）
• 显然，平板波导是一种均匀传输线。
• 然而，上式表明，该导波系统还可以导引其它形式的电磁波。
• 也就是说，沿电磁波传输方向的纵向磁场可以产生横向电场和横向磁场，或沿电磁波传输方向的纵向电场可以产生横向磁场和横向电场。
• 在传输方向仅存在纵向图平板波导第41页2024-12-12

第42页：横电波与横磁波的分类

横电波与横磁波的分类

• 磁场的电磁波被称为横电波(简称TE波)或磁波(简称H波)，在传输方向上仅存在纵向电场的电磁波被称为横磁波(简称TM波)或电波(简称E波)。
• 因此，对于一个导波系统，可能存在三种波型，即TEM波、TE波和TM波。
• TE波：由波动方程，得dy22
• d2HzzzzkkHH0引入y方向波数ky，使其满足k2k2k22yz则纵向磁场分量为HzAsinkyyBcoskyy
• 进一步，得kyExj(AcoskyyBsinkyy)
• 由图示边界条件知，当y＝0和y＝b时，Ex0，代入上式，得（公式详见原图）
• bkynA0，BH0，n=1,2,3,…ky称为平板波导的特征值。所以，TE波的电磁场为zbjkz
• 21k2需要注意的是，上式中，n0。当n=0时，不存在电磁波。下图分别画出了n=1和n=2时的场图

第43页：TEn波型场图与截止条件

TEn波型场图与截止条件

• (a)TE1(n＝1)波型(b)TE2(n＝2)波型图TEn波型场图从图示场图不难看出，在横向y方向上电磁场呈驻波分布，n为横向y方向的半波长数。
• 对应不同n值的TE波型，称为TEn波。
• 由波的传播规律可知，当kz为零或虚数时，电磁波不能传播。
• 因此，TEn波型的截止条件为n2bcn
• cn称为TEn波的截止波长，对应的截止频率为nfcn2b可见，只有（公式详见原图）
• cn或ffcn的电磁波才能在平板波导中以TEn波型进行传播。
• 显然，在平板波导中，TE波型中的最低阶波型为TE1波，其截止波长最长，截止频率最低。
• 除通过求解波动方程的方法外，也可以通过均匀平面电磁波在理想导体平板内的全反射来分析平板波导问题。
• TM波：图示为均匀平面电磁波以平行极化方式入射理想导体平板。
• 波矢量为keykcosezksinkeykcosezksin入射波电场强度和磁场强度为（公式详见原图）
• EeyE0sine图平行极化情况第43页2024-12-12

第44页：平行板波导中的合成场

平行板波导中的合成场

• r反射波电场强度和磁场强度为（公式详见原图）
• 在y＝0的理想导体边界上有eE0，即E0E0，合成电场强度和磁场强度分别为jkzsinj(kycoskzsin)j(kycoskzsin)j(kycoskzsin)[e2
• HHHe从上式可以看出，合成电场和磁场沿z轴方向传播，在y轴方向呈驻波分布。
• 电场切向分量(z分量)在y轴方向的波节位置为nkcosy，n=0,1,2…显然，在这些波节位置插入一个与原理想导体板平行的新的理想导体平板，并不会改变场的分布。
• 设两板间距为b，则有bkcosn，n=0,1,2…导体平板内的电磁场分布为zbjkz

第45页：TMn波型的场图与截止

TMn波型的场图与截止

• 2kzksin12b上式描述的波型被称为TMn波型。
• 下图画出了TM1波和TM2波的波型场图。
• 图TMn波型场图可见，TMn波型的截止波长和截止频率也与TEn波型对应相同。
• 与TEn波型不同的是，在TMn波型中的n是可以取零的。
• 当n0时，相当于入射角等于90，Ez始终等于零，即TM波型退化为TEM波型。
• 此时，TM0(TEM)波型不存在截止波长。
• 以上分析表明，平板波导不仅可以导引TEM波，也可以导引TE波和TM波。
• 下图显示了平板波导中各种波型截止波长和截止频率的对应关系。
• (a)截止波长(b)截止频率图平板波导中截止波长和截止频率的对应关系至此可见，在平板波导的波型分析中，既可以采用求解波动方程的方法，也可以采用均匀平面电磁波的入射和反射分析方法。
• 当平板波导的板间距b和电磁波的波数k确定后，入射角θ便决定了波型阶数n，即(a)TM1(n＝1)波型(b)TM2(n＝2)波型第45页2024-12-12

第46页：波型与入射角及微带线算例

波型与入射角及微带线算例

• bkncos1n下图画出了波型与入射角θ的关系。
• 借助于下图可以更好地理解平板波导的导波机理。
• (a)垂直极化（TE波型）(b)平行极化（TM波型）(c)TEM波型（=0）图波型与入射角θ的关系例1：间距为1.25cm的微带线内充满空气。

试求

(1)TM0、TE1、TM1和TM2波的截止频率；(2)这些波型在f=15GHz时对应的相速度；(3)当f=25GHz时，该微带线不能传输的最低阶波型。

• [解]：(1)截止频率93108nnfcn12n10Hz2b21.25102fc00Hz，fc112GHz，fc224GHz(2)相速度211ff2b1cnn
• 21kznTM0(TEM)波：fc00Hz，0310m/s8TE1和TM1波：fc112GHz，1510m/s8TM2波：fc224GHzf15GHz。
• 此时，微带线中不存在这个波型。
• (3)可以求出TE3和TM3波的截止频率为fc336GHz，由于fc224GHzf25GHzfc336GHz所以，当f25GHz时，不能传输的最低阶波型为TE3和TM3波。
• 3．矩形波导和谐振腔如果在平板波导两侧再放上两片完纯导体板就形成了一个矩形截面的完纯导体通第46页2024-12-12

第47页：矩形波导的构成原理

矩形波导的构成原理

• 道，如图所示。
• 从平板波导中的TM波的波型分布图可以看出，在加入的两片完纯导体板后，并未改变导体的边界条件。
• 所以也不会改变其内电磁场分布，表明这种矩形截面的完纯导体管道可以导引电磁波。
• 们称这种矩形截面的金属管道为矩形波导。
• 图矩形波导由于在矩形波导内无法建立静态电磁场，因此，矩形波导不能导引TEM波，只能导引TE波和TM波。
• 为记述波型方便，我们使用TEmn和TMmn符号，m和n分别代表TE波和TM波在x方向和y方向的半波长数。
• 通过平板波导分析，可以直接获得矩形波导中TEm0波型和TE0n波型的解。
• 在平板波导两侧引入两片完纯导体板后将会破坏TMn波型的电磁场分布。
• 因此，在矩形波导中不存在TMm0波型和TM0n波型。
• 当然，也不存在TE00波型和TM00波型。
• 可以应用分离变量法和边界条件求解波动方程，获得矩形波导内的波型和对应的电磁场分布。
• 限于篇幅，本教材仅对矩形波导内的电磁波的传播特性进行讨论。
• 通过平板波导的分析之，无论是TE波还是TM波，都是均匀平面电磁波在两平行板之间入射和反射叠加后形成的，在板间横向形成驻波，即x方向和y方向的波数为：km,n0,1,2,...abkym,n,x电磁场仅在z方向上呈现行波，波数为kz。
• 将上述场型规律代入波动方程，得k2k2k2k20xyz解得zk2(m)2(n)2abkz对应的波长被称为波导波长，记为（公式详见原图）
• 在矩形波导内，电磁波的截止条件为kz0，因此，TEmn波和TMmn波的截止波长
• cmn和截止频率fcmn分别为第47页2024-12-12

第48页：矩形波导的波型与主模

矩形波导的波型与主模

• 1(m)2(n)22a2bcmnf一般矩形波导的宽边a大于窄边b。
• 由于在TEmn波型中的最低阶波型为TE10波，而TMmn波型中的最低阶波型为TM11。
• 因此，在矩形波导内的所有波型中，最低阶波型为TE10波，称为矩形波导的主模。
• 其它波型称为矩形波导的高阶模。
• 下图画出了当a=2b时不同波型的截止波长和截止频率分布图。
• 可见在矩形波导内，只要选择适当的频率或选择合适的尺寸，便可实现主模传输，又称为单模传输。
• （a）截止波长（b）截止频率图矩形波导截止波长和截止频率的对应关系在工程中广泛采用单模传输。

单模传输具有以下优点

（1）减小信号失真或误码率；（2）在相同截止频率下，a最小且与b无关，节省材料；（3）TE10波型的截止频率与次高阶波型的截止频率的频率间距最大，可利用的频率范围最宽；（4）波导内单向极化、便于耦合；（5）对于一定的b比值，损耗最小。

• a例1：有一矩形波导截面为5cm4cm，内部充满空气。
• 问当f=5GHz时，可以传输什么波型的电磁波？[解]：本题矩形波导的各阶波型的截止频率分别为TE10波：fc10=3.00GHz；TE01波：fc01=3.75GHz；TE11和TM11波：fc11=4.80GHz；TE20波：fc20=6.00GHz；TE02波：fc02=7.50GHz；…由于f=5GHz大于fc10、fc01和fc11，所以，本题矩形波导在f=5GHz下只能传输TE10波、TE01波、TE11波和TM11波。
• 如果在矩形波导两端再用两片完纯导体板将矩形波导封闭起来，就形成了所谓谐振腔，如图所示。
• 在微波段电磁波振荡都是由谐振腔实现的。
• 谐振腔的型式很多，下面第48页2024-12-12

第49页：矩形谐振腔的工作原理

矩形谐振腔的工作原理

• 仅以矩形谐振腔为例，说明谐振腔的工作原理。
• 显然，由于在矩形波导的传输方向上加了两片完纯导体板，因此，不论是TE波还是TM波在z方向上均产生全反射并形成驻波，z方向的波数为图矩形谐振腔czkl,l0,1,2,...波型分别记为TEmnl和TMmnl。
• 由波动方程得(m)2(n)2(l)220abc得谐振腔的谐振波长为)2l2c2b1n2am22(mnl
• 谐振腔的谐振频率为1(m)2(n)2(l)22a2b2cmnlf例2：一个内部充满空气的矩形谐振腔，其尺寸为a=5cm，b=4cm，c=10cm。
• 求该谐振腔最低阶波型谐振频率。
• 解：由上述公式，得151090.04m20.0625n20.01l2由于在矩形波导中不存在TMm0波型和TM0n波型，所以，在矩形谐振腔中也不存在TMm0l波型和TM0nl波型。
• 这样，最低波型只能在TE101波型和TE011波型中产生。
• 所以，本矩形谐振腔的最低阶波型为TE101波型（也称为矩形谐振腔的主模），其谐振频率为3.34GHz。