02 第2章 静电场1.ppt

第1页：第2章静电场

第2章静电场

第2页：静电场基本方程与电位

静电场基本方程与电位

• §2.1自由空间中场的基本方程和特性1.静电场的基本方程
• 由，电场可以用一个标量场的梯度表示:可见，静电场是有散场、无旋场。2.电场强度与电位
• 电场力将点电荷q沿任意路径从P点移动到Q点所作的功为（公式详见原图）
• 由此定义PQ两点间的电位差（电压）为（公式详见原图）

第3页：各类电荷分布的电场

各类电荷分布的电场

• 3.电场的分布
• 点电荷的电场为（公式详见原图）
• 多个点电荷的电场为（公式详见原图）
• 线电荷的电场为（公式详见原图）
• 面电荷的电场为（公式详见原图）
• 体电荷的电场为（公式详见原图）
• 如果以Q点为零电位参考点，则P点电位为（公式详见原图）
• 如果以无穷远点为零电位参考点，则P点电位为（公式详见原图）

第4页：各类电荷分布的电位

各类电荷分布的电位

• 点电荷的电位为（公式详见原图）
• 多个点电荷的电位为（公式详见原图）
• 线电荷的电位
• 面电荷的电位
• 体电荷的电位

第5页：电场线与等位面

电场线与等位面

• 4.电场线和等位面

E线的定义

线上任一点的切线方向与该点的电场强度方向一致

• 等位面:

第6页：电偶极子

电偶极子

• 相距很小距离l的一对等值异号的电荷，称为电偶极子.
• 偶极子的电矩，简称电偶极矩:
• 远离电偶极子的一点P(r,,
• )的电位:

第7页：电偶极子的电场

电偶极子的电场

• 偶极子的电场
• 因为r>>l，将r1、r2用二项式定理展开，略去高阶项，得（公式详见原图）

第8页：静电场中的导体与电介质

静电场中的导体与电介质

• §2.2导体和电介质静电场中的导体处于静电平衡状态；导体内部电场处处为零；所有电荷分布在导体表面上；1.静电场中的导体2.静电场中的介质介质极化现象(演示）极化强度：介质极化后每单位体积内电偶极矩的矢量和，即导体内部是等位体，导体表面是等位面；导体表面的电场垂直于导体表面

第9页：介质极化强度与电位

介质极化强度与电位

• 大多数介质在电场作用下产生极化时，其电极化强度P与介质中的合成电场强度E成正比，即P=e0E体积元dV内的等效电偶极子的电偶极矩∑p=P(r)dV，它在远区P点处产生的电位应为（公式详见原图）

第10页：极化电荷密度

极化电荷密度

• 体积V内所有电偶极矩在P点产生的合成电位为根据矢量恒等式上式可表示为由此定义极化电荷的面密度与体密度分别为（公式详见原图）

第11页：极化电荷产生的电场

极化电荷产生的电场

• 在引入极化电荷密度描述的基础上，类比于自由电荷产生的电场，极化电荷在真空中所产生的电场，可分别通过电位
• 和场强E表示为（公式详见原图）

第12页：电介质中的高斯定律

电介质中的高斯定律

• 电介质中高斯定理的微分形式为上式可以转化为由此定义电位移矢量电介质中高斯定理的积分形式为（公式详见原图）

第13页：介电常数与击穿场强

介电常数与击穿场强

• 2.介电常数
• 击穿场强对于均匀且各向同性的线性电介质令则有，其中，为相对介电常数，为介电常数。
• 某种介质材料所能承受的最大场强就称为该电介质的击穿场强，或称为该材料的电介质强度

第14页：介质分界面E的切向边界条件

介质分界面E的切向边界条件

• 3.不同媒质分界面上的边界条件(1)两种不同介质分界面上的边界条件E的切向分量满足的边界条件或

第15页：介质分界面D的法向边界条件

介质分界面D的法向边界条件

• D的法向分量满足的边界条件或

第16页：静电场的折射定律

静电场的折射定律

• 若两种介质均为线性且各向同性，即D1=1E1，D2=2E2，应有1=1，2=2。
• 两种介质分界面上通常不可能存在面分布形式的自由电荷(=0),
• 两式相除，即得介质分界面上的极化电荷结合折射率

第17页：导体与介质分界面的边界条件

导体与介质分界面的边界条件

• (2)导体和介质分界面上的边界条件E2设导体为媒质1，介质为媒质2。
• 在导体中，E1=D1=0；分界面上的边界条件(3)由电位
• 表示的边界条件对应有；对应有对应导体和介质分界面上的边界条件

第18页：边值问题分类与泊松方程

边值问题分类与泊松方程

• §2.4边值问题1.边值问题的分类泊松方程和拉普拉斯方程把代入得对于均匀介质，为常数。
• 再代入得对于场中无自由电荷分布(=0)的区域，在直角坐标系中定解条件(1)给定的是场域边界S上的电位值，边界条件称为第一类边界条件，它与泛定方程组合成第一类边值问题

第19页：第二、三类边界条件

第二、三类边界条件

• (2)给定的是场域边界S上电位的法向导数值，边界条件称为第二类边界条件，它与泛定方程组合成第二类边值问题。
• (3)给定的是场域边界S上电位及其法向导数的线性组合，边界条件称为第三类边界条件，它与泛定方程组合成第三类边值问题。
• 如果场域扩展至无界空间，则还必须给出无限远处的边界条件。
• 对于电荷分布在有限区域的无界电场问题，根据物理问题的本质，在无限远处(r→)应有这表明r
• 在无限远处是有界的，即电位
• 在无限远处为零(

第20页：静电场解的唯一性

静电场解的唯一性

• 设V中存在两个电位函数
• 2，在给定第一类或第二类边值时，均满足泊松方程，即令
• d，显然对已知的任意两个连续可导的标量函数
• 和，应有令
• d，代入上式得无论对于第一类边界还是第二类边界，均有在整个场域内必有（公式详见原图）
• d=0。由此得证
• 2，即只有唯一可能的解答

第21页：直接积分法求角形电极电场

直接积分法求角形电极电场

3.直接积分法例

二块半无限大的导电平板构成夹角为的电极系统，设板间电压为U0，如图所示。

• 试求导板间电场，并绘出场图。
• [解]可以判定
• 仅为一个坐标变量的函数，因而可以写出如下的第一类边值问题：将泛定方程直接积分二次，即得通解为由给定的二个边界条件，可以确定式中待定的积分常数C1和C2为（公式详见原图）

第22页：直角坐标系中的分离变量法

直角坐标系中的分离变量法

因此，电位的解为

电场强度的解为：角形电极系统的场图AB4.分离变量法(1)直角坐标系中的平行平面场问题平行平面场中位函数U(x，y)在场域内满足拉普拉斯方程设定分离变量形式的试探解，即令U(x，y)=X(x)Y(y)，代入方程得（公式详见原图）

第23页：分离常数与解的形式

分离常数与解的形式

• 在x和y取任意值时等式恒成立，这要求两边恒为同一常数。现记该常数为（公式详见原图）
• (称为分离常数)
• 取不同值时，两个常微分方程得到不同形式的解
• =0时，时，时

第24页：接地金属槽电位分布例题

接地金属槽电位分布例题

位函数U的一般解可记作

例：一长直接地金属槽的横截面如图所示，其侧壁与底面电位均为零，而顶盖电位

• 0，求槽内电位分布。0.8

第25页：金属槽电位的分离变量解

金属槽电位的分离变量解

• 解：槽内电位满足的基本方程和边界条件为在x方向只能选择正弦函数，在y方向只能选择双曲正弦函数且：因此：带入最后一个边界条件，得（公式详见原图）

第26页：傅里叶系数确定与电位解

傅里叶系数确定与电位解

• 为确定En的值，可对上式两边同乘以，其中K为整数，然后从x=0到x=a进行积分，得上式左边结果为：(K为奇数)(K为偶数)上式右边结果为：(n≠K)(n=K)因此：(n为奇数)(n为偶数)最终得待求电位
• (x，y)的解答是（公式详见原图）

第27页：圆柱坐标系中的分离变量法

圆柱坐标系中的分离变量法

• (2)圆柱坐标系中的平行平面场问题设位函数与z坐标无关，U(r)=U(，)，满足拉普拉斯方程令试探解U(，)=RQ，代入方程，经整理得其中，n2为分离常数，偏微分方程转化为下列两个常微分方程和当n＝0时,R=A10+A20ln；Q=B10+B20当n0时,R=A1nn+A2n-n；Q=B1ncosn+B2nsinn

第28页：均匀外电场中的介质圆柱体

均匀外电场中的介质圆柱体

• 例：一横截面半径为a，介电常数为1的长直介质圆柱体放置在均匀的外电场E0中(场强值为E0，方向与介质圆柱的轴线相垂直)，均匀场中介质的介电常数为2，如图所示。
• 求圆柱体放入后，场中的电位和电场强度。
• 均匀外电场中的介质圆柱体[解]圆柱体内外的介质不同，故应分别以
• 2表示圆柱体内外的电位函数，它们都满足拉普拉斯方程，即位函数U的一般解可记作

第29页：介质圆柱体的定解条件

介质圆柱体的定解条件

• (0<a)(>a)在圆柱坐标系中x=cos，取坐标原点为电位参考点，则与均匀外电场E0=E0i相应的电位函数可表示为（公式详见原图）
• 0=-E0x=-E0cos。由于时介质圆柱体产生的极化电场影响应当消失，故该处给定的电位值应与由均匀外电场引起的电位
• 0相一致，即有对于圆柱表面(=a)处，不同介质分界面上的边界条件应为（公式详见原图）

第30页：介质圆柱体的电位解答

介质圆柱体的电位解答

• 本例中应取A10=A20=B10=B20=B2n=0，即由条件（1），时用cosm乘上式两边，对从02积分，待定系数法，得由条件（1），A1=-E0。
• 在圆柱内，因为=0处电位为有限值，所以A2n=0，且只有A10。
• 由条件（2），可得再由条件（3），可得联立求解可得最后，待求位函数的解答为（公式详见原图）