10 教案 第二章 静态电磁场I：静电场.docx

第1页：静电场的基本方程与有散性

静电场的基本方程与有散性

第二章静态电磁场I

静电场1.基本方程与场的特性1.静态电磁场HJcE0

• D=可见，在静止条件下电场和磁场之间没有相互耦合的关系，可以分别对电场和磁场进行分析和讨论。
• 由于此时电场或磁场的源量与场量都不随时间变化，故统称为静态电磁场。
• 2.静电场的基本方程E0
• D=D=E其媒质的构成方程为显然，静电场是有散(有源)、无旋场。3．静电场的有散性在真空中，有0
• E其积分形式为（高斯定理）：Sq00dVE
• dSV图散度与场源的关系上图表明：静电场是有散(有源)场。若场中某点▽
• E>0，则>0(正电荷)，该点电力线向外发散，且为“源”的所在处；若某点▽
• E<0，则<0(负电荷)，电力线从周围向该点汇集，是“汇”的所在处；若某点的▽
• E=0，则=0(无电荷)，电力线既不自该点发出，也不向该点汇集，而是通过该点，因此该点不存在场源。▽

第2页：静电场的无旋性与电位函数

静电场的无旋性与电位函数

• 4．静电场的无旋性▽×E＝0这表明静电场的旋度处处为零，静电场为无旋场，其电力线不是闭合曲线。
• 对右图闭合曲线作曲线积分，并应用斯托克斯定理，得：E
• dlAmBBnAAnB表明在静电场中，电场力作功与路径无关，仅取决于起点和终点的位置。
• 2．2自由空间中的电场1．电位函数的引入因为E=0，由矢量恒等式=0，E(r)可以表示为Err式中，称为标量函数(r)为静电场的标量电位函数，简称电位。
• 上式表明，自由空间中任一点静电场的电场强度E等于该点电位梯度的负值。

另外，由亥姆霍兹定理，有

ErrAr式中dV4Vrr1

• ErrdV4Vrrr1EArR=|rr|=[(xx)2+(yy)2+(zz)2]1/2由静电场的基本方程，得：r1rdV40VRA(r)=0显然，亥姆霍兹定理再次证实了Err。
• 图电场力作功与路径无关

第3页：电位与电场强度的表达式

电位与电场强度的表达式

• 2．电位函数的表达式点电荷：1q(r')40Rr线电荷：40l'Rr1rdl'面电荷：40S'Rr1rdS'体电荷：40VRr1rdV3．电场强度的表达式001dVVV4RdV4RrrEr因为2R3zxy3yzxRReRe11xxeyyezzxRyRzRRR1e1e1e代入前式，得Er0VedVR2R1r4点电荷：0R2eR1q(r')Er4线电荷：第3页Er'edlR2R0l'1r4面电荷：Er'edSR2R0S'1r4体电荷：Er0VedVR2R1r4对于具有对称结构的静电场问题，可以利用高斯定理求解电场强度。
• 4．电位和电场强度的求解思路思路一：先求电位，再利用Err，求电场强度

第4页：有限长直线电荷的电场

有限长直线电荷的电场

思路二

先求电场强度，再利用prE

• p例1：真空中有限长直线段l上均匀分布线电荷密度为的电荷，如图所示。
• 求线外中垂面上任意场点P处的电场强度。
• 图有限长直线电荷沿方向的电场[解]：采用圆柱坐标系，令z轴与线电荷重合，原点置于线段l的中点。
• 3200R2z2244dEcos1dzcos1dzdEl3l2002z222dzE,0,0dE24l2利用变量代换z=tg，dz=sec2d，代入上式，最终解得0002cosdesine4E,0,0200式中，l2tg-10。

2l20l讨论

如果<<1，这意味着或者l很小或者很大，此时sin，则E204le2l相当于电量为l的点电荷产生的电场。

• 如果>>1，这可以视为无限长直的线电荷，20l此时tg-1，则

第5页：球状电荷分布与电偶极子

球状电荷分布与电偶极子

• E02e显然，这正是高斯定理给出的结果。
• 例2：求真空中球状分布电荷所产生的空间电场强度和电位分布，设电荷体密度为0rarar01。
• [解]：由高斯定理，当ra时rr0000r0SdV2r202V4S12r1r2sindrdd
• dSEdSErr012Eera当r>a时，022Er4r2ar20a22reEra设无限远处为电位参考点，当ra时000a1ar2dr2εra222drar0aarrrrrrE
• edrra例3：求电偶极子产生的空间电场强度与电位分布。
• [解]：定义电偶极矩p(简称电矩，即p=qd，d为正负电荷间的距离，且规定d的方向由负电荷指向正电荷)表征其特性。
• 在电介质中的场与电磁波辐射场等问题的分析中，电偶极子作为基本激励单元具有实际应用价值。
• 仅考虑r>>d的情况，现采用球坐标系，设原点在电偶极子的中心，z轴与d相重。
• 应用叠加原理，任意点的电位为图电偶极子

第6页：电偶极子远区的电位与电场

电偶极子远区的电位与电场

• 012012q11qr2r14rr4rr200r24r4当r很大时，r1、r2和r三者将近乎平行，此时r2r1dcos，r1r2r2代入上式，得qdcos1p
• er应用球坐标系中的梯度公式，得任意点的电场强度为Ee0r2cosersiner4r31epr可见，电偶极子的电位与距离平方成反比，电场强度的大小与距离的三次方成反比。
• 此外，其电位或电场强度均与方位角相关。
• 5．电力线和等位面（线）电力线(E线)的概念是法拉第提出的，是用图形描绘电场分布的有效工具之一。
• E线定义为其上任一点的切线方向应与该点电场强度方向相一致，即Edl=0在直角坐标系下，有zxzxyxyzyyzxxyyzzxEdzEdyeEdxEdzeEdyEdxe0EeEeEedxedyedze可得E线的微分方程为dxdydzExEyEz上式便是E线的微分方程，而该微分方程的解答就是描绘E线的函数关系式。
• 通常，E线的函数关系式可一般性地记为(x,y,z)=C，取不同的C值，即可获得一系列E线的分布，从而直观地描绘了电场场强E(r)的空间分布。
• 等位面是用图形描绘电场分布的另一种有效工具。
• 根据电场强度的定义，等位面分布愈密，该处电场场强愈高，且电力线与等位面正交。
• 利用本节例3的结果，可以画出电偶极子远区的等电位线和电力线场图。
• 电偶极子远区电位分布为第6页20P4rr,,

第7页：电力线与等位面的微分方程

电力线与等位面的微分方程

• 可得等位线方程为r2=k1cos取决于不同的k1值，画出不同的等位线。
• 在0</2范围内，>0；而在/2<时，<0，其等位线关于=/2呈镜象对称。
• 基于电偶极子电场的轴对称性，将等位线绕z轴旋转便得空间三维的等位面分布，其中z=0(即=/2)的平面为零电位面。
• 由利用球坐标系微元关系式，得E线的微分方程为drrdrsind
• 代入电偶极子远区电场强度的Er和E分量，得drrd=〉2cossinrsindr2dsin解得lnr=2lnsin+lnk2r=k2sin2可得E线等位线方程为取不同的k2值，可画出不同的电力线(E线)。
• 下图画出了电偶极子远区场图。
• z2．3导体和电介质1.导体导体内部E=0，是一个等位体，导体表面必与其外侧的电力线正交，电荷以面电荷密度的形式分布在导体表面，且其分布密度取决于导体表面的曲率。

2.电介质的极化极化现象

束缚电荷在外电场作用下的响应。

• 含位移极化和取向极化。
• 无论哪种极化现象，其结果均使束缚电荷的分布发生变化，导致极化电场。
• 极化电场与外电场相叠＋－第7页图电偶极子远区场图

第8页：电偶极子场图与导体电介质

电偶极子场图与导体电介质

• 加，便形成有电介质存在时的合成电场。

电极化强度矢量

极化后形成的每单位体积内电偶极矩的矢量和，即V0VPlimp(C/m2)实验结果表明，大多数电介质的电极化强度P与电介质中的合成电场强度E成正比，即P=e0E式中，e称为电介质的电极化率，它是一个无量纲的正实数。

介质的分类

当电极化率与电场方向无关时，称为各向同性介质，否则，称为各向异性介质；当电极化率为常数时，称为均匀介质，否则为非均匀介质；当电极化率的值不随电场强度的量值变化，称为线性介质，反之为非线性介质。

束缚电荷（极化电荷）密度

204R(a)束缚电荷分布的示意图(b)束缚电荷建立的电场图电介质的极化电场设图示中V内的电极化强度为P(r)，则体积元dV内的等效电偶极子的电偶极矩为∑p=P(r)dV，它在远区P点处产生的电位为dPdV

• eRRRR2由于eR11因此，体积V内所有电偶极矩在P点产生的合成电位为0VR11P
• dV4rd又由矢量恒等式RRRP

第9页：电极化强度与束缚电荷

电极化强度与束缚电荷

• PR4R4R4可以看出，面积分中的(P
• en)相当于一种面电荷密度，体积分中的(-
• P)相当于一种体电荷密度。由此，定义极化电荷的面密度与体密度分别为P=P
• P显然，均匀介质其内部无极化电荷分布，P=0，极化电荷只出现在介质的表面上。
• 此外，介质极化后整体极化电荷分布的总和应等于零，即qP
• edS0Ptnne0nSVSS2．4电介质中的电场1．电位移矢量由高斯定理，得（公式详见原图）
• (0E+P)=整理得定义电位移矢量：D=0E+P=0(1+e)E=E=0(1+e)=r0，r=/0=(1+e)其中，2．介电常数上式分别给出了介质的介电常数和相对介电常数。
• 从而电介质中电场问题可简洁地归结为场量D、E或位函数的定解问题。
• 例1：同轴电缆其长度L远大于截面半径，已知内、外导体半径分别为a和b。
• 其间充满介电常数为的介质，将该电缆的内外导体与直流电压源U0相联接。

试求

(1)介质中的电场强度E；(2)介质中Emax位于哪里？其值多大？

第10页：电位移矢量与同轴电缆例题

电位移矢量与同轴电缆例题

• [解]：（1）设内、外导体沿轴线方向线电荷密度分别为+和-。由应用高斯定理，得D
• dSD2LLS即De2所以eED2(a<<b)由因为bbU0E
• dlEd2lnala2U0则lnba得U0lnbEea(2)最大场强位于内导体表面(=a)，其值为(a<<b)eaalnbU0maxE3．边界条件介质分界面上的边界条件：跨越分界面的一狭小的矩形回路l如图所示，且令l2→0而l1足够地短。
• 求电场强度在l上的环量，有E
• dlE1tl1E2tl10ll1l1即E1t=E2t或en(E2-E1)=0上式表明，在介质分界面上电场强度的切向分量是连续的。
• 跨越分界面的一个扁平圆柱体S如图所示，令两个底面S足够小且平行于分界面，圆柱面高度l→0。
• 求电位移矢量在圆柱面的通量，有D
• dSD2nD1nSSS式中分界面上法线方向单位矢量en规定为由介质1指向介质2，是分界面上可能存在图同轴电缆的电场图E切向分量的边界条件图D法向分量的边界条件

第11页：静电场的边界条件与折射定律

静电场的边界条件与折射定律

• 的自由电荷面密度。
• 从而得D2n-D1n=或en(D2-D1)=一般两种介质分界面上不存在自由电荷(=0)，此时有D1n=D2n或en(D2-D1)=0上式表明，在介质分界面上电位移矢量的法向分量是连续的。
• 对于两种线性且各向同性介质，应用上述边界条件，得E1sin1=E2sin2，1E1cos1=2E2cos2两式相除，得tg11tg22上式综合表述了场量在介质分界面上遵循的物理规律，称为静电场的折射定律。

导体表面上的边界条件

设导体为媒质1、导体外介质为媒质2，并考虑到导体内部电场强度和电位移矢量均为零且其电荷只能分布在导体表面，得E1t=E2t=0，D2n-D1n=D2n=式中，是导体表面的电荷面密度。

• 上式说明在导体表面相邻处的电场强度E和电位移D都垂直于导体表面，且电位移的量值等于该点的电荷面密度(需注意en是导体表面的外法线单位矢量）。
• 一般写为Et=0或enE=0；Dn=或enD=4．边界条件的电位表达介质分界面：由于介质分界面上E1t=E2t，显然可以得出1=2即电位连续在介质分界面上是连续的。
• 又由于D2n-D1n=和nnD最后可以得出，边界条件的电位表示为n1n第11页1=2，212导体表面上的边界条件

第12页：边界条件的电位表达与平行板电容

边界条件的电位表达与平行板电容

• =C，n式中，C是由所论静电场导体系统决定的常数。
• 例2：图示平行板电容器，其极板间介质由两种绝缘材料组成，介质的分界面与极板平行。
• 设电容器外施电压为U0，试求：(1)两绝缘材料中的电场强度；(2)极板上的电荷面密度。
• [解]：(1)在电压U0下，并应用分界面的边界条件，得E1d1E2d2U0
• 1122EEr2r1d1d2U112212U01ddEr1d1d212212，EUdd1U0r2(2)极板A上的电荷面密度为11221n11DE2U0dd极板B上的电荷面密度为=-D2n=-2E2=-讨论：本例中，设r2r1，则E1E2。
• 在实际中，如果因制造工艺上的不完善性，使极板与绝缘材料间留有一空气层，设绝缘材料的相对介电常数为r2，则空气层中电场强度E1将为绝缘材料中电场强度E2的r2倍，这很容易由于空气层被击穿而导致电容器的损坏。
• 2．5边值问题1．泛定方程由
• D=、D=E和E=-，得（公式详见原图）
• =-对于均匀介质为常数，得2=-/上式称为电位的泊松方程，式中2，称为拉普拉斯算子，在直角坐标系中2222x2y2z2图平板电容器

第13页：泊松方程与拉普拉斯方程

泊松方程与拉普拉斯方程

• 对于场中无自由电荷分布(=0)的区域，泊松方程退化为拉普拉斯方程，即2=02．边界条件第一类边界条件（狄利赫莱条件）：场域边界S上的电位分布已知，即rf1rbS式中rb为相应边界点的位置矢量。
• 它与泛定方程构成第一类边值问题。
• 第二类边界条件（纽曼条件）：场域边界S上电位的法向导数分布已知，即rn2bfrS当f2(rb)取零时，称为第二类齐次边界条件。
• 它与泛定方程构成第二类边值问题。
• 第三类边界条件（混合条件）：场域边界S上电位及其法向导数的线性组合已知，即4b第13页fr3Snrrfrr它与泛定方程构成第三类边值问题。

无限远边界条件

对于电荷分布在有限域的无边界电场问题，在无限远处有limrr有限值即电位在无限远处趋于零，(r)|r→=0介质分界面条件：当场域中存在多种媒质时，还必须引入不同介质分界面上的边界条件，常称为辅助的边界条件。

静电场边值问题

就是在给定的边界条件下，求解满足泊松方程或拉普拉斯方程的电位函数。

• 3．直接积分法对于一些具有对称结构的静电场问题，电位函数仅是一个坐标变量的函数。
• 静电场边值问题可归结为常微分方程的定解问题。
• 这时可以直接积分求解电位函数。
• 例1：图示二块半无限大导电平板构成夹角为的电极系统。
• 设板间电压为U0，试求导电平板间电场

第14页：边值问题的三类边界条件

边值问题的三类边界条件

• [解]：本例为平行平面场问题，选极坐标系进行分析。显然电位仅是变量
• 的函数，可以写出如下的第一类边值问题：,
• 22d20将泛定方程直接积分二次，得通解为=C1
• +C2由给定的两个边界条件，得01UC，C2=0所以U0
• EeU0e例2：求真空中球状分布电荷所产生的空间电场强度和电位分布，设电荷体密度为0rarar01[解]：设球状电荷分布内、外的电位分别为1和2，显然，1满足泊松方程，2满足拉普拉斯方程。
• 由于电荷分布的球对称性，选球坐标系，有00212rrdrdr1dr2d11(0<ra)22rdrdr1dr2d202(ra)边界条件为0d1drr0；1ra2rararad10dr0d2dr；02r可解得1和2的通解为20C1C1r2r图角形电极系统

第15页：直接积分法两则例题

直接积分法两则例题

• 42rC3C代入边界条件，得C1=0，C4=0，0aC2=，a220C3=最终得电位函数的解为0012ra(ra)a202r2(ra)利用球坐标系中的梯度表达式，求得r0r1111dr2dEee(ra)r20a2r22dr2rd2eEe(ra)可见，以上结果与应用高斯定理求得的结果完全一致。

4．分离变量法基本思路

当待求电位函数是二个或三个坐标变量的函数时，分离变量法是直接求解偏微分方程定解问题的一种经典方法。

• 对于拉普拉斯方程对应的边值问题，其步骤是：首先，结合场域边界形状，选用适当的坐标系；其次，设待求电位函数由两个或三个各自仅含一个坐标变量的函数乘积组成，并代入拉普拉斯方程，借助于“分离”常数，将拉普拉斯方程转换为两个或三个常微分方程；第三，解这些常微分方程并以给定的定解条件决定其中的待定常数和函数后，即可解得待求的电位函数。
• 一般而言，当场域边界和某一正交曲线坐标系的坐标面相吻合时，分离变量法往往是一种简便而有效的方法。
• 直角坐标系中的平行平面场问题：设电位函数为(x，y)，满足拉普拉斯方程：x2y2第15页2x,y220设电位函数有分离变量形式，即(x，y)=X(x)Y(y)代入拉普拉斯方程，整理得（公式详见原图）

第16页：直角坐标系中的分离变量法

直角坐标系中的分离变量法

• 1d2X1d2YXdx2Ydy2显然，上式两边在x和y取任意值时恒成立，即等式两边应该恒为同一常数。
• 记该常数(常称为分离常数)为（公式详见原图）
• 这样，上式即转化为两个常微分方程dx2，d2X
• Y0dy2式中，分离常数
• 可取0、mn2>0和-mn2<0，可分别得出如下三种形式的解，即当
• =-mn2<0时X(x)=A10+A20x；Y(y)=B10+B20yX(x)=A1nchmnx+A2nshmnx；Y(y)=B1ncosmny+B2nsinmnyX(x)=A1ncosmnx+A2nsinmnx；Y(y)=B1nchmny+B2nshmny当mn取不同值时，上述解的线性组合便构成了拉普拉斯方程的通解，即x,yA1nchmnxA2nshmnxB1ncosmnyB2nsinmnyn1A1ncosmnxA2nsinmnxB1nchmnyB2nshmnyn1A10A20xB10B20y最后，可根据给定的定解条件，通过傅里叶级数展开方法，确定各个待定常数。
• 例3：长直接地金属槽的横截面如图所示，其侧壁与底面电位均为零，顶盖电位为0。
• 求槽内电位分布。
• [解]：依题意，本问题为第一类边值问题，即0xa,0ybx0,0yb0xa,y0xa,0ybxy0220xa,yb0002x,y220,由于电位函数在x方向具有周期性、在y方向具有单调性，得A1n=0和A2n=0。
• 通解为x,yA10A20xB10B20yA1ncosmnxA2nsinmnxB1nchmnyB2nshmnyn1由边界条件，当x=0和y=0时，=0，得图接地金属槽的横截面=0b0.800.60=00.400.20=0a=0第16页yox

第17页：接地金属槽的分离变量解

接地金属槽的分离变量解

• A10=0，A1n=0，B10=0，B1n=0即n1x,yC0xyCnsinmnxshmny又因为当x=a时，=0，得anC0=0，mn,(n=1,2,3,)故得n1anπxnπyax,yCnsinsh最后，当y=b时，=0，代入上式，有n1n10nxnnnbsinnxaaaEsinCsh作傅里叶正弦级数展开，a0n1na00aanxkxakxEsinsindxsindx积分，得aan2n01)1]E[(n又上式，得,n2k1(k0,1,2,...)n40Enn,Cnban401sh本问题的电位函数解答为x,yaπ0k02k1π2k1π2k1aa2ksinxshy1shπb41本问题的等位线的分布如图虚线所示。
• 圆柱坐标系中的平行平面场问题：设电位函数为(
• )，满足拉普拉斯方程：222,
• 令电位函数为(
• )，代入上式，并理得2第17页ρnρddR1d2QRdρdρQd
• 2式中n2为分离常数，上式转化为下列两个常微分方程

第18页：圆柱坐标系中的分离变量法

圆柱坐标系中的分离变量法

• 2当n＝0时当n0时R=A10+A20ln；Q(
• 得电位函数的通解为2n1n2n1020BcosnφBsinnφρnAρ10201nn1nρ,φAAlnρBBφA由给定的边界条件，即可确定上式中的各个待定常数，最终得到待求的电位函数。
• 例4：一个横截面半径为a，介电常数为1的长直介质圆柱体放置在均匀的外电中(场强为E0，方向与介质圆柱的轴线相垂直)，介质外的介电常数为2，如图所示。
• 求圆柱体放入后，场域中的电位和电场强度。
• [解]：采用圆柱坐标系，且令z轴与圆柱轴重合，外电场方向与x轴同向，如图所示。
• 分别以1和2表示圆柱内外的电位函数。
• 首先，确定定解条件。
• 选坐标原点为电位参考点，即1=0，=0因而，均匀外电场E0=E0i对应的电位函数为0=-xE0=-E0cos
• 显然，当时介质圆柱体产生的极化电场应当消失，在处的电位应与均匀外电场对应的电位0相一致，即2=0=-E0cos
• 在圆柱表面=a处，介质分界面的边界条件为1=21212由本例图示可以看出，电场分布关于x轴对称，即1，2(,
• )，这意味着特解Q(
• )是偶函数，所以，B20=B2n=0。另外，根据场的对称性可以推知，y轴是电位等图均匀外电场中的介质圆柱体

第19页：均匀外电场中的介质圆柱体

均匀外电场中的介质圆柱体

• 于零的等位线，即(，/2)＝0，也就是A10=A20=0,B1ncos(n/2)=0可知n取奇整数。
• 然而，对的电位分析可知，B1n=0(n=3，5，…)。
• 综上讨论，得1=(C1+D1-1)cos
• aa由=0，1=0可得D1=0。又由，2=-E0cos
• 得C2=-E0。最后利用介质分界面的边界条件，有C1acos
• 解得0121C0122E，D2212a2E电位函数的解答为0Ex，a1202212122Ecos
• a21，a圆柱介质内外的电场强度为0x1222x1EexeE11第19页21202122212E0sin
• a2cosφe112Eεερεεa2E1可见，圆柱体内为均匀电场，且与外加均匀电场方向一致，如图画出了当2>1时的电场分布图。
• 值得注意的是，此时E1>E0，这表明若电介质内部有细长的空气泡是，则气泡内的电场强度增强，可能导致击穿绝缘损坏。
• 5．唯一性定理本段将证明满足给定边界条件的泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的，这也称作静电场的唯一性定理

第20页：静电场解的唯一性定理

静电场解的唯一性定理

• 如图所示为充满均匀介质和置有n个导体的场域。
• 场域空间V的边界为S1，S2，…，Sn及外边界面S0。
• 设V中存在两个电位函数1和2，对于给定第一类或第二类边界条件，均满足泊松方程，即212，2令d=1-2，因此2d=0利用格林公式n2
• dVdSVS令==d，代入上式得SVnd2ddVddS如图所示，上式场域V的边界面S＝S0+S1+S2+…+Sn。
• 如果所设的这两个不同的电位函数的解答1和2，在全部边界面上都应有相同的第一类边界条件或第二类边界条dSi0。
• 代入上式，有Sin件，则它们在相应边界面Si上的差值0或d2ddV0V这说明，场域V内d的梯度处处为零，即V内所有场点上的d值与其在各导体表面S1、S2、…、Sn上的值是相同的。
• 对于第一类边值问题，由于在导体表面上已知d=0,所以整个场域内必有d=0，由此得证1=2，即解唯一。
• 对于第二类边值问题而言，即已知各导体表面上的面电荷分布，此时d=C，即电位1和2之间可能相差一个常数，但采用相同的电位参考点将导致C=0，所以解仍是唯一的。
• 静电场唯一性定理的重要意义在于，求解静电场问题时，不论采用哪一种解法，只要在场域内满足相同的偏微分方程、在边界上满足相同的给定边界条件，就可确信其解答是正确的。
• 2．6镜象法镜象法的实质是以一个或多个位于场域边界外虚设的镜象(等效)电荷替代实际边界上未知的较为复杂的电荷分布，将原来具有边界的非均匀空间变换成无限大均匀媒质图包围含有导体的场域

第21页：镜像法的基本原理

镜像法的基本原理

• 的空间，从而使计算过程得以简化。
• 根据唯一性定理可知，这些等效电荷的引入必须维持原问题边界条件不变，以保证原场域中的静电场分布不变。
• 通常这些等效电荷位于镜象位置，故称镜象电荷，由此构成的分析方法即称为镜象法。
• 1．对无限大接地导电平面的镜像点电荷情况：设有一点电荷q位于距无限大接地导电平面上方h处，其周围介质的介电常数为，如图所示。
• 显然，电位函数在场域内满足如下边值问题2=0(除去点电荷所在点)|y=0=0边界条件为(a)无限大接地导电平面上的点电荷(b)点电荷的镜象图点电荷对无限大接地导电平面的镜象可以设想，在场域边界外引入一个与点电荷q呈镜象对称的点电荷q=-q，并将原来的导体场域由介电常数为的介质所替换。
• 这样，原场域边界面(z=0)上的边界条件=0保持不变，而对应的边值问题被简化为同一均匀介质空间内两个点电荷的电场计算问题。
• 根据唯一性定理可知，其解答有效区域仅限于图示上半部分介质场域。
• 应用镜像法，得待求电位为22zh11r2q11q2zh244r1,z无限大接地导电平面上的感应电荷的面密度分布为nzqhz0z22h2DE式中负号表示感应电荷与点电荷q的极性相反。
• 对感应电荷作面积分，得

第22页：点电荷与线电荷的镜像

点电荷与线电荷的镜像

• ρdφdρ2Sqq3200ρh2σdS2πqh2π上式表明镜象电荷q确实等效了无限大接地导电平面上的全部感应电荷。
• 此外，上述方法很容易推广到图示的由半无限大导电平面形成的劈形边界且其夹角为的整数分之一的情况。
• 如图所示夹角为/3的导电劈可以引入5个镜象电荷，以保证劈形边界电位为零的边界条件。

线电荷情况

图示线电荷及其镜像电荷如图示。

• 由高斯定理得P点的电场强度为PPP2102012e2EEEe图线电荷的镜象现任取Q点为电位参考点，则P点电位为001P2102002dd222ln2Qln2Cln2ln1Qln11Q2Q设在无限大接地导电平面上，即1=2时，=0，即电位参考点Q应选在接地导电平面上，所以C=0。
• 由上式，场中任意点电位为1222yxb2y2xbln01022Pln2由上式，可以进一步获得其等位线分布。
• 按等位线定义有2/1=K，平方得1K2xb2y2xb2y2222Dq-q-q-qqq=/3图导电劈的镜象法(a)线电荷对无限大接地平面(b)线电荷的镜象-
• oy导体介质0x1bDP(x,y)(-b,0)yx+100(b,0)e22DP(x,y)e1o

第23页：线电荷系统的等位线分布

线电荷系统的等位线分布

• 整理，得222bKby2K1K212K21x显然，上式为直角坐标系中圆的方程。
• 所以在xoy平面上，等位线分布是如图虚线所示的一簇圆。
• 对应于某一给定的K值，圆心坐标是2K212K1K12bKhb,0，圆半径是a。
• 对于每个等位圆轨迹而言，圆半径a、圆心到原点的距离h和线电荷至原点的距离b三者间关系为h2=a2+b2亦即，a2=h2-b2=(h+b)(h-b)这表明，两线电荷位置对每个等位圆的圆心来说，满足圆的几何上反演的关系。
• 此外，当P点位于y轴右侧时，因2/1=K>1，P皆为正值；当P点位于y轴左侧时，则P皆为负值。
• 2．对无限大介质平面的镜像点电荷情况：对于图示无限大介质平面上的点电荷边值问题也可采用镜象法。
• 上下图无限大介质平面镜像半无限空间中的电场是由点电荷q及其分界面上的束缚电荷共同产生的。
• 对于介质为1的上半空间的电场计算，其分界面上的束缚电荷可归结为在均匀介质1中镜像点电荷q；对于介质为2的下半空间的电场计算，其分界面上的束缚电荷可归结为在均匀介质2中点电荷q-q。
• 镜象电荷q和q的量值，可以通过分界面上的边界条件确定如下。
• 对于分界面上任意点P，由其上的边界条件E1t=E2t和D1n=D2n，得(a)无限大介质平面上的点电荷q12D1enD2hq(b)上半空间电场计算的镜象E1trE1D1E1Ph(c)下半空间电场计算的镜象E222E2tPrqE2nD2h图一对线电荷的电场

第24页：介质平面镜像与电轴法

介质平面镜像与电轴法

• coscoscos224r214r21qqq4rsin4r2sin4r2sin4r2qqq解得q221212q12q,q对于线电荷与无限大介质平面系统的电场，可类比推得。
• 3．电轴法两半径相同的圆柱导体电场：基于线电荷对无限大接地导电平面的镜像分析，我们可以进而讨论两同半径、带有等量异号电荷的平行长直圆柱导体间的电场问题。
• 此时，尽管圆柱导体表面电荷面密度不是常量，但沿轴向单位长电荷分布(线密度)是相同的，圆柱导体表面为等位面。
• 若设想圆柱导体表面与线电荷对应的等位面重合，即可以用等图电轴法效线电荷计算圆柱导体外的电场分布，该线电荷就是圆柱导体表面电荷的等效电荷，如图所示。
• 为表述方便，成这个线电荷为圆柱导体的等效电轴，这种方法称为电轴法。
• 设圆柱导体半径为a，间距为2h，电轴间距为2b。
• 三者之间的关系为bh2a2(a)同半径两线输电线系统(b)电轴法图示yxaaho-+Dbhbxhhoy-a+aDd

第25页：架空传输线的电场与最大场强

架空传输线的电场与最大场强

• 例1：半径为a的传输线平行于地面，传输线轴心对地高度为h，对地电位为U0，如图所示。

试求

(1)大地上方传输线的电场；(2)场域最大电场场强的位置及其数值。

• [解]：(1)首先，由电轴法确定电轴的位置，得bh2a2大地上方任意场点P处的电位为12010xb2y2xb2y22lnln22由传输线表面点A的电位U0，得U02b(ha)lnb(ha)A0=>b(ha)ln20U0b(ha)大地上方任意场点P处的电位为1Uxb2y2xb2y22lnb(ha)0lnb(ha)(2)显然，最大场强将出现在导线相距地面最近处，即点A处，有ahbbhany0xxhay0nxha222bU0hablnAmaxEEe两半径不同的圆柱导体电场：如图所示，设两平行长直圆柱导体半径分别为a1和a2
• AaU0ohx0D图传输线的电场
• 0P(x,y)y12Aox0D图同半径圆柱体电轴法hahbb-

第26页：半径不同圆柱导体的电轴法

半径不同圆柱导体的电轴法

• 对于图（a）其轴心距d=h1+h2，对于图（b）其轴心距为d=h2-h1(设a2>a1)。
• 可以应用电轴法计算这两种情况的电场问题。
• 其关键问题仍然是确定等效电轴的位置。
• 显然2222h12=b2+a1，h2=b+a2,已知a1、a2和d，联立求解上式三个方程得d=h2h12d2d12d2a2a2d2a2a2111h12，h21，b(h2a2)2(a)平行传输线的电轴法图示(b)偏心同轴电缆的电轴法图示图半径不同圆柱导体的电轴法4．对导体球的镜像导体球接地情况：如图所示，设导体球半径为a，点电荷q至球心距为d。
• 设等效导体球表面感应电荷的镜象电荷为-q且位于球内的球心与点电荷的连线上，其到球心的距离为b。
• 在导体球表面上任取一点P，得qq040r40rP=>q'2r'2a2b22abcosq2r2a2d22adcos整理，得[q2(a2+b2)-q2(a2+d2)]+2a(q2d-q2b)cos=0上式对于任意的值恒成立，故有xdya2a1h1o-h2bb+xya2a1o-bbh1h2+图对接地导体球的镜像(a)点电荷与接地导体球qaodDqaodD(b)镜象法图示r-qbPr

第27页：导体球的镜像与感应电荷

导体球的镜像与感应电荷

• q2a2b2q2a2d20,q2dq2b0解得a2bd,qaqd可以看出，点电荷q和其镜象电荷-q的位置，满足球反演的几何关系。
• 根据q及-q即可方便地计算点电荷在接地导体球外的电场分布。
• 可以证明，接地导体球面上感应电荷的总量等于-q。

导体球不接地情况

此时如导体球原不带净电荷，即呈中性，为使导体球表面上等电位，除引入镜象电荷-q外，还应在原导体球的球心处再引入一个镜象电荷q=q。

• 同理，对呈电性的不接地导体球和位于导体球腔内的点电荷的电场计算问题，也可以应用镜像法进行计算。
• 例2：图示为半径为a的接地导体球壳外置有一沿直径方向的线段电荷，线段的一端距球心为d。
• 求导体球壳上总的感应电荷。
• [解]：应用点电荷对接地导体球的镜像，有元电荷为dt，元电荷的位置为d+t；镜像元电荷为’dx=-adt/(d+t)，镜像元电荷的位置为x+a2/d=a2/(d+t)。
• 所以，导体球壳上总的感应电荷为ddQ00dta2a2dLdtalnaln(1)LadLLd'dx图线段电荷的镜像2．7电容与部分电容电容或部分电容是导体系统的重要的集总电气参数，在是电网络中电容元件的重要参数，也是导体系统静电场的集总体现。
• 一般而言，需要借助于电场分析来计算。
• 1．两导体的电容一般两导体电容的计算过程为：给定两导体携带的电荷q计算其电场分布和其间

第28页：两导体电容与传输线电容

两导体电容与传输线电容

• 电位差U或给定两导体间电位差U，通过计算其电场分布和其携带的电荷q，最后按定义计算电容C=q/U。
• 例1：两半径为a、轴心距为d的平行长直圆柱导体构成一对均匀传输线，试求其单位长电容。
• [解]：应用电轴法，令h=d/2。
• 首先确定电轴位置bh2a2，基于电轴法的分析结果，两导体表面最近距离对应的点A1(h-a,0)和点A2(-h+a,0)的电位差为0A1A2bhalnbhaU从而，均匀传输线的单位长度电容Ulbhalnbha0C通常有h>>a，此时b≈h，故da2ha00lClnln此外，对于h>>a的情况，也可以采用高斯定理计算。
• 设均匀传输线单位长线电荷密度为，则两导体轴心连线上距带正电荷导体x处的电场强度为20x20(dx)Ex两导体间的电位差为0第28页lndaalnda002adaxUEdxada(lnln)daa显然，有上式计算的电容与电轴法获得的结果相同。
• 从本例电容表达式可以看出，电容与导体之间施加的电压或携带的电荷量无关，只与导体的形状、相互位置和电介质有关，是导体系统自身固有电气参数。
• 2．部分电容对于多导体需要引入部分电容概念。

静电独立系统

系统的电场分布只与系统内各带电导体的形状、相互位置和电介质的分布有关，而与系统外的带电导体无关，并且所有电位移通量全部从系统内的带电导

第29页：多导体系统的部分电容

多导体系统的部分电容

• knnqkk1q1k2q2kkqk《电磁场》讲稿（2）体发出又全部终止于系统内的带电导体。
• 现考察由(n+1)个导体组成的静电独立系统。
• 令各导体按0-n顺序编号，其相应的带电量分别为q0，q1，…，qk，…，qn。
• 由定义，知q0+q1+…+qk+…+qn=0选0号导体为电位参考点，即0=0，应用叠加原理，可得各个导体电位与各个导体上电荷的关系为111q112q21kqk`1nqn
• nn1q1n2q2nkqknnqn写成矩阵形式，为{}=[]{q}式中，系数ij称为电位系数，其涵义不难从以下定义式得到理解ijqjqj0，其余导体qi为零i或qkk11k22kkkknn式中，ii称为自有电位系数，ij(ij)称为互有电位函数。
• 显然，电位系数只与导体的形状、相互位置以及电介质的介电常数有关。
• 当给出各个导体的电位时，有前式，得{q}=[]-1{}=[]{}q11111221kk`1nn
• qnn11n22nkknnn式中，系数ij称为感应系数，与电位系数之间的关系为Ajiij式中，是[]行列式，Aji是相应的代数余子式。
• ii称为自有感应系数，ijj(ij)称为互有感应系数，即qi第29页jj0，其余导体接地，电位为零ij

第30页：部分电容定义与静电屏蔽

部分电容定义与静电屏蔽

• knknkk1k1k2k2kkk0CqCCC《电磁场》讲稿（2）显然，感应系数也只和导体的形状、相互位置以及介质的介电常数有关。
• 为用电网络方法分析导体系统的电气行为，一般将电荷与电位的关系表达为如下形式的电荷与电压的关系q1C1110C1212C1k1kC`1n1n
• qnCn1n0Cn2n2CnknkCnnn0称上式中的系数Cij为导体系统的部分电容。
• 对比两种表达形式，可知Cii=i1+i2+…+ii+…+inCij=-ij(i≠j)式中，Ci0称为导体i的自有部分电容，即各导体与参考导体(电位参考点导体)之间的部分电容；Cij称为导体i和导体j互有部分电容，即相应的两个导体间的部分电容，显然，Cij=Cji。
• 如图给出了三导体系统的部分电容。
• 我们既可以利用电场计算的方法计算电位系数ij或感应系数ij并按上述定义计算部分电容Cij，也可以通过实验方法通过测量感应系数ij或直接测量部分电容的线性组合来计算部分电容。
• 3．静电屏蔽静电屏蔽在工程中有重要的用途，仅举一例来阐述其原理。
• 设带电的电气设备以导体1表示，带电荷为q1，且被置于接地导体薄壳2中，它们与邻近的导体3一起组成三导体系统，如图所示。
• 显然，2=0=0，有（公式详见原图）
• 3313132330323320221111011211313qCCC0CCqCqCCC上式在任何情况下均应成立。
• 设q1=0，即导体1不带电，此时导体2内部为等电位区，得1=0。
• 这样，第一式即为0=-C1331C20C10C122o(0=0)图三导体系统的部分电容121q1,1第30页2=0=02q3,3图静电屏蔽示意图3

第31页：带电体系统的电场能量

带电体系统的电场能量

• 因3可以不等于零，由此可推得C13=0。
• 这表明因接地导体2包围导体1后，导体1与导体3被互相隔离，而不存在两导体之间静电耦合作用。
• 如果导体1、3均带电，则应有q1=(C10+C12)1q3=(C32+C30)3此式表明，因接地导体2的静电屏蔽，其内外形成两个相互独立的静电系统。
• 2．8电场能量1．带电体系统中的电场能量设在建立带电系统电场的某一瞬时，场中某一点的电位是(r)，引入增量电荷q需作功W=(r)q将转化为电场能量存贮在电场之中。
• 由于静电场的能量仅取决于电荷的最终分布状态，与电荷怎样达到该状态的过程无关。
• 因此，可设想这样一种充电方式，使任何瞬间所有带电体的电荷密度都按同一比例增长。
• 充电开始时各处电荷密度都为零(相当于m=0)，充电结束时各处电荷密度都等于其最终值(相当于m=1)。
• 由此可知，在充电过程中的任何时刻，电荷密度的增量=[m(r)]=(r)m，=[m(r)]=(r)m对m积分，得总电场能量为11Weδmρrm,rdVδmσrm,rdS0V0S由于所有电荷按同一比例m增长，故电位(m，r)=m(r)。
• 上式得VS22eW1ρdV1σdS如果系统中无空间电荷，只有带电导体的情况，其电场能量为S2eW1dS式中的积分面积S应为全部导体表面。
• 由于每一导体表面都是等位面，而对于第k个导体，可有kk第31页221SkσdS1qσdS1kSk2(k=1，n)

第32页：电场能量密度与孤立导体球

电场能量密度与孤立导体球

• 从而，得k1ekk21nWq2．电场能量密度不失讨论的一般性，现以两个带电导体在无界空间建立的静电场为例。
• 设两导体携带的电量分别为q1和q2，其表面积对应为s1和s2，如图所示。
• 该系统的总电场能量为22eS1S2W1dS1dS由于导体表面的电荷面密度为=D
• en式中en为导体表面的外法线方向的单位矢量；en为导体表面的内法线方向上的单位矢量。代入前式，得22eS2S1W1D
• dS在无限远处如图示作一个无限大的球面S，则由于电荷分布在有限区域，无限远处的场强按R-2及电位按R-1趋于零。
• 因此，该系统总的电场能量为SSe2222S2S1W1D
• dS应用高斯定理，上式改写为VV22eW1
• dV考虑到场域中没有自由电荷分布，故
• D=0，又由E=-，代入上式，最终得V21eWD
• EdV由此可见，电场能量密度为we=(D
• E)/2对于各向同性的线性介质，D=E，代入上式，得we=E2/2例1：试计算半径为a，带电量为q的孤立导体球所具有的电场能量。
• [解]：采用如下三种方法进行计算。
• S1S2S图电场能量enneq2enenq1V

第33页：库仑力与虚位移法

库仑力与虚位移法

• （1）孤立导体球的电位为=q/4a，于是得24a8a1q2q2We（2）应用电场能量密度公式，积分得rqaq2a2VV4r2dr224q28r28a22dr111WD
• EdVD2dVe（3）由电容计算公式，电场能量2Cq212122122122ekkk1qUCUq1qW而该系统电容为C=4a，代入上式得q2q2We2C8a可见上述三种方法所得结果相同。
• 2．9电场力1.库仑力电场力的计算原则上可应用电场强度的定义，即点电荷q受到的电场力为FqE式中E是除电荷q外其余电荷在该电荷所在处所产生的电场强度。
• 综上所述，已知带电体的电荷分布，原则上可以上式计算带电体电荷之间电场力。
• 但是，对于电荷分布复杂的带电系统，根据上式计算电场力是非常困难的。
• 2.虚位移法假设带电体发生一定的位移，利用位移过程中电场能量的变化与外力及电场力作功之间的关系来计算电场力。

广义坐标

确定系统中各带电体形状、尺寸和位置的一组独立几何变量广义力：企图改变某一广义坐标的力。

• 广义力乘上由它引起的广义坐标的增量应等于功。
• 因此，分别与广义坐标如距离、面积、体积和角度等对应的广义力是机械力、表面张力、压强和转矩等。
• 设一个由(n+1)个导体组成的系统，对导体依次编号并以0号导体为参考导体。
• 假定除p号导体外其余导体都不动，且p号导体也只在一个广义坐标g上发生所设想的位

第34页：常电位与常电荷系统的电场力

常电位与常电荷系统的电场力

• 移(虚位移)dg，这时，该系统发生的功能转换过程如下：dW=dgWe+Fdg式中dWkdqk表示与导体系统连接的外电源提供的能量，等号右边两项分别表示电场能量的增量和电场力所作的功。
• 有以下两类电场力计算方法。

常电位系统

设各带电导体的电位保持不变，则gekk2dW1dq上式表明，与导体系统连接的外电源提供的能量，有一半作为电场储能的增量，另一半用于克服电场力作的功。

• 因而FdqdWdgWedgWe由此得广义力kk常量常量WedggFdgWe常电荷系统：设各带电导体的电荷保持不变，也就是说所有带电导体都不与外电源连接。
• 因而dW=0，得0=dgWe+Fdg从而得qk常量qk常量WedggFdgWekk第34页gg上式表明，电场力作功所需的能量来自于系统内电场能量的减少值。
• 尽管上述两种电场力计算公式的形式不同，但所得结果是相同的。
• 即FWeWe常量q常量

第35页：平行板电容器极板受力例题

平行板电容器极板受力例题

• 图平行电容器极板受力计算的虚位移法图示[解]：分别对常电位系统和常电荷系统情况进行计算。
• 对负极板作虚位移。

（1）常电位系统

对于给定的极板间电压U，两导体系统的电场能量为22e2h211SWCUU负极板受到的电场力为2U22hSU2kkWeFghCCWe2hhS式中负号表示电场力的实际方向与假定正方向(即广义坐标h增加的方向)相反，所以ex2h2SU2F（2）常电荷系统：对于给定的极板电荷q，两导体极板电场能量为q2hWe2C2Sq2负极板受到的电场力为q22SFgqkCWe即q2SU2ex2h2exex22FeCU2Sx2S(S)2U22Sh2不难看出，上述两种计算方法得到的计算结果相同。

• 同理，正极板受力为2Sex2h2SU2q2Fex。
• 例1：设平行板电容器的极板面积为S，板间距离为h，忽略极板的边缘效应。
• 试应用虚位移法计算平行板电容器两极板之间的作用力。
• ABhdhxF(假定正方向)SU(a)常电位系统(b)常电荷系统+qABhdhxF(假定正方向)-q