14 第四篇 振动和波动 振动1.doc

第1页：振动与波动的一般概念

第四篇 振动和波动

一、振动

1. 振动是自然界最常见的运动形式之一；
2. 周期性振动（狭义）、非周期性振动（广义）与简谐振动的关系；
3. 振动包括机械振动与非机械振动，虽然各自遵循不同的运动规律，但它们具有共同的物理特征。

二、波动

1. 波是振动在空间的传播；
2. 波的世界；
3. 各类波特性各自不同，但也具有共同的物理特征；
4. 光波或电磁波。

第十五章 振动　15-1 简谐振动

一、振动的一般概念

1. 机械振动：物体（或物体的一部分）在一定位置附近作来回往复的运动称为机械振动。如发声、机器振动、船的摇摆、心脏、耳膜、鼓膜、原子的振动等；
2. 广义的振动：描述物体状态的某个物理量在某一值附近反复变化，称该物理量在作振动。如电量、电流、电磁场、温度、脉冲星的密度、体积等。各种振动的物理本质往往不同，但数学表述都是相同的；
3. 周期性振动：每隔一固定的时间 T，运动状态就完全重复一次，T 称为振动的周期；单位时间内振动的次数称为频率 γ = 1/T。

第2页：简谐振动的特征与表达式

二、简谐振动：它是最简单、最常见的周期性一维振动，振动曲线呈余弦或正弦的振动称为谐振动；任何复杂的周期性振动都可以看成若干个（或无限多个）谐振动的叠加。

（一）谐振动的特征及其表达式

1、以弹簧振子的振动为例：弹簧振子是一种重要的物理模型。分析弹簧振子的运动（图）：F = −kx，F = ma，即 m d²x/dt² = −kx，故

d²x/dt² = −(k/m)x = −ω²x，即 d²x/dt² + ω²x = 0，ω² = k/m；

其解为 x = A cos(ωt + Φ₀)。设 t = 0 时 x = x₀、v = v₀，代入可得 A = √(x₀² + v₀²/ω²)，tgΦ₀ = −v₀/(ωx₀)。

判断质点是否作简谐振动：

1. 受力 f = −kx；
2. 满足 d²x/dt² + ω²x = 0（以上两点为动力学方面）；
3. 运动方程 x = A cos(ωt + Φ₀)（运动学方面）。

2、描述简谐振动的物理量

（1）振幅 A：因为 cos(ωt + Φ₀) ≤ 1，所以 |x| ≤ A。

第3页：周期、角频率与相位

（2）周期、频率和角（圆）频率

• 圆频率：ω 为 2π 秒时间内振动次数，ω = 2πγ；
• 相应频率 γ = 1/T = ω/(2π)，故 T = 2π/ω 为振动周期；因为 x = A cos(ωt + Φ₀) = A cos(ωt + Φ₀ + 2π) = A cos[ω(t + 2π/ω) + Φ₀]。

例：对弹簧振子 ω = √(k/m)，T = 2π/ω = 2π√(m/k)，γ = 1/T = √(k/m)/(2π)。这些量由系统本身决定，故又称固有角频率、固有周期和固有频率。

（3）位相（相位、周相）与相位差：当 A、ω 确定后，物体的运动状态（x、ẋ、ẍ 等）由 (ωt + Φ₀) 唯一确定；当 t = 0 时，Φ₀ 称为初位相。

讨论简谐振动的速度和加速度：设 x = A cos(ωt + Φ₀)，则

v = ẋ = −ωA sin(ωt + Φ₀) = v_m cos(ωt + Φ₀ + π/2)，其中 v_m = ωA 为速度振幅；

a = v̇ = ẍ = −ω²A cos(ωt + Φ₀) = a_m cos(ωt + Φ₀ ± π)，其中 a_m = ω²A 为加速度振幅。

速度振动比位移振动位相超前 π/2，加速度振动又比速度振动位相超前 π/2，故加速度与位移振动位相反相。

第4页：相位差与旋转矢量法

一般情况下，有两个振动 x₁ = A cos(ω₁t + Φ₁₀)、x₂ = A cos(ω₂t + Φ₂₀)，则位相差

ΔΦ = (ω₂t + Φ₂₀) − (ω₁t + Φ₁₀)；

当且仅当 ω₁ = ω₂ 时，ΔΦ = Φ₂₀ − Φ₁₀，超前、落后以及相对性由相位差的正负来判断。

4、简谐振动的旋转矢量图示法：能直观地领会 A、ω、Φ₀ 三个物理量的意义——旋转矢量在 x 轴上的投影恰为

x = A cos(ωt + Φ₀)，

而 ω、T 分别对应角速度和转一周的时间（参阅书图 15-5）。

例 15-1：已知 A = 0.12 m，T = 2 s，且 t = 0 时 x = 0.06 m、v₀ > 0。求：（1）x = A cos(ωt + Φ₀) 的表达式；（2）t = T/4 时的 x、v、a；（3）从 x = −0.06 m、v < 0 到 x = 0、v > 0 的最短时间。

第5页：旋转矢量法例题

解：（1）设 x = A cos(ωt + Φ₀)，ω = 2π/T = 2π/2 = π s^-1；由 0.06 = 0.12 cosΦ₀ 得 cosΦ₀ = 1/2，Φ₀ = ±π/3；又 v₀ = −ωA sinΦ₀ > 0，取 Φ₀ = −π/3，故

x = 0.12 cos(πt − π/3) m。

（2）由上式得

v = ẋ = −0.12π sin(πt − π/3) m·s^-1，a = v̇ = ẍ = −0.12π² cos(πt − π/3) m·s^-2；

将 t = T/4 = 0.5 s 代入即可求得该时刻的 x、v、a。

（3）解法一（代入法）：由 x = −0.06 m、v < 0 得 t₁ = 1 s；由 x = 0、v > 0 得 t₂ = 11/6 s，故 Δt = t₂ − t₁ = 5/6 s。

解法二（几何法）：由条件得 ωt₁ + Φ₀ = 2π/3、ωt₂ + Φ₀ = 3π/2，故

Δt = t₂ − t₁ = (3π/2 − 2π/3)/ω = (5π/6)/π = 5/6 s。

第6页：复摆、单摆与准弹性力

例：复摆与单摆——重力 G 产生的恢复力矩 M = −mgh sinθ，由 M = Iβ 得

I d²θ/dt² = M = −mgh sinθ；

当 θ ≤ 4° 时 θ ≈ sinθ，M = −mgh θ 称为准弹性力，于是

d²θ/dt² = −(mgh/I)θ，即 d²θ/dt² + ω²θ = 0。

例（习题 15-8）：木板上物块受两接触面摩擦。解：F = −(f₁ − f₂) = −μ(T₁ − T₂)；由力矩平衡 T₁ + T₂ = mg、mg(d + x) = T₁·d 得 T₁ − T₂ = (2mg/d)x，故

ẍ + (2μg/d)x = 0，即 ẍ + ω²x = 0，ω = √(2μg/d)，T = 2π/ω = 2π√(d/(2μg))。

例 15-2：设平衡时船的吃水深度为 h，则 ρ_水S g h = m_船g 得 m = ρ_水Sh；对任意位置 f = −(h + y)ρ_水S g + mg = −ρ_水S g y = −ky，即准弹性力 k = ρ_水S g，故 T = 2π√(m/k)。

第7页：碰撞例题与简谐振动的能量

补充例题（习题 15-15）：已知劲度系数 K，盘子质量 M，质量为 m 的物体从高 h 处落到盘子上并粘住。求：（1）前后盘子的振动周期有何不同？（2）此时的振动振幅多大？（3）取平衡位置为原点、位移向下为正，并以弹簧开始振动时作为计时起点，求初位相并写出振动方程。

解：（1）空盘 T₁ = 2π√(M/k)，碰后 T₂ = 2π√((M + m)/k)，故 T₂ > T₁。

（2）非弹性碰撞，动量守恒：mv₁ = (M + m)v，v₁ = √(2gh)，故 v = m√(2gh)/(M + m)。设碰撞瞬时开始计时，平衡位置为坐标原点、向下为正，则 t = 0 时 y₀ = −(λ₂ − λ₁)，且 Mg = kλ₁、(M + m)g = kλ₂，即 y₀ = −mg/k，ω = √(k/(M + m))，于是

A = √(y₀² + v₀²/ω²) = (mg/k)√(1 + 2kh/((M + m)g))。

（3）把 y = A cos(ωt + Φ₀) 中各项代入，tgΦ₀ = −v₀/(ωy₀) = √((M + m)g/(2kh))·(m/(M + m))；而 t = 0 时 y < 0、v > 0，故 π < Φ₀ < 3π/2。

5、简谐振动的能量（以弹簧振子为例）：x = A cos(ωt + Φ₀)，v = ẋ = −ωA sin(ωt + Φ₀)，ω² = k/m，则

E_k = (1/2)mv² = (1/2)kA² sin²(ωt + Φ₀)，E_p = (1/2)kx² = (1/2)kA² cos²(ωt + Φ₀)，

E = E_k + E_p = (1/2)kA²（常量）；另外，动能与势能在一个周期内的平均值均为 (1/2)kA² 的一半，即 (1/4)kA²。

由 (1/2)mv² + (1/2)kx² = E（常量）两端对 t 求导，得 mv v̇ + kx ẋ = 0，即 ẍ + (k/m)x = 0。

第8页：同方向同频率谐振动的合成

15-5 同方向谐振动的合成

一、同方向同频率谐振动的合成：设 x₁ = A₁cos(ωt + Φ₁₀)、x₂ = A₂cos(ωt + Φ₂₀)，由运动叠加原理 x = x₁ + x₂ = A cos(ωt + Φ₀)，其中

讨论：

1. 当 Φ₂₀ − Φ₁₀ = 2kπ（k = 0, ±1, ±2, …），cos(Φ₂₀ − Φ₁₀) = 1，A = A₁ + A₂（最大，同相加强）；
2. 当 Φ₂₀ − Φ₁₀ = (2k + 1)π（k = 0, ±1, ±2, …），cos(Φ₂₀ − Φ₁₀) = −1，A = |A₁ − A₂|（最小；特别地 A₁ = A₂ 时 A = 0）；
3. Φ₂₀ − Φ₁₀ 为任意值时，|A₁ − A₂| ≤ A ≤ A₁ + A₂。

第9页：拍的形成与拍频

二、两个同方向不同频率谐振动的合成　拍

讨论振幅相同、初位相相同的两振动合成：设 x₁ = A cos(ω₁t + Φ₀)、x₂ = A cos(ω₂t + Φ₀)，不妨设 ω₂ > ω₁，则

x = x₁ + x₂ = 2A cos[(ω₂ − ω₁)t/2]·cos[(ω₁ + ω₂)t/2 + Φ₀]；

当 ω₂ − ω₁ ≪ ω₂ + ω₁（拍形成的条件）时，可看作近似谐振动，但振幅 A′ = 2A cos[(ω₂ − ω₁)t/2] 缓慢地随 t 作周期性变化，称为拍。

因为 2A cos[(ω₂ − ω₁)t/2] = 2A cos[(ω₂ − ω₁)t/2 + π] = 2A cos[(ω₂ − ω₁)(t + 2π/(ω₂ − ω₁))/2]，故振幅变化周期 T = 2π/(ω₂ − ω₁)，

拍频 γ = 1/T = (ω₂ − ω₁)/(2π) = γ₂ − γ₁，即拍频等于两振动频率之差；也可用旋转矢量的方法加以解释。