03 质点动力学2.doc

第1页：牛顿三定律

第二章 质点动力学 §2-1 牛顿三定律及其应用

一、牛顿运动定律

1、牛顿第一运动定律：自由物体永远保持静止或匀速直线运动状态。

• 指明了任何物体都具有惯性（称为惯性定律）；
• 准确地提出力的含义——加速度的原因（包含净力为零）；
• 存在着特殊的参照系——惯性参照系（无穷多）。

2、第二定律基本内容：

• 力的量度：标准千克（目前保存在巴黎附近的国际计量局中的铂铱圆柱体，国际协议规定其质量为 1 千克）；
• 质量可以作为惯性的定量量度；
• 力的独立性，即力的迭加原理（实验定理），与运动独立性或迭加原理是一致的。

3、第三定律：作用力和反作用力的性质是相同的，同时产生、同时存在、同时消失，并非原因与效果（系统的内力之和恒为零）。

二、牛顿运动定律应用举例（习题课）

1、用途：

• 已知 r(t)，求 F；
• 已知 F、v₀、r₀，求 r(t)。

2、应用牛顿运动定律应注意的几个问题：

1. F = ma 表示的是瞬时关系；
2. F = ma 是矢量式，蕴涵着力的独立性：几个力同时作用在一个物体上所产生的加速度，等于各个力单独作用时的矢量和，称为力的迭加原理；
3. 实际应用时经常使用分量式。

第2页：牛顿定律的分量式与隔离体法

3、分量式

（4）F = ma 中，F 是合外力，在作变力图中应特别注意。

注：使用隔离体法解题的一般步骤：1、分析题意，确定研究对象；2、分析研究对象的受力情况；3、选择适当的坐标系，利用牛顿第二定律列出运动方程；4、解方程；5、讨论结果。

例 2-1-1 一个质量为 m 的人，站在升降机中的磅秤上，当升降机的加速度为 a 时，磅秤的读数为多少？

解：设人对磅秤的压力为 N，以人为研究对象，应用牛顿第二定律可得 N − G = ma，变形可得 N = G + ma。

图中以人为研究对象，受力为重力 G 与磅秤支持力 N。

第3页：牛顿定律应用例题与沉降速度

例 2-1-2 电梯中有一个光滑斜面，求 m 相对于斜面的加速度和相对于地面的加速度。

解：如图所示，选取惯性参照系，由牛顿第二定律可得 a = a′ + a₁，其分量式为 a_y = a₁ − a′ sin α，a_x = a′ cos α。对 m 应用 N + G = ma，分量式为

• N sin α = m a_x = m a′ cos α
• N cos α − m g = m a_y = m(a₁ − a′ sin α)

解得：a′ = (g + a₁) sin α，N = m(g + a₁) cos α，进而

• a_x = (g + a₁) sin α cos α，a_y = a₁ cos²α − g sin²α；
• 大小：a = √(a_x² + a_y²) = √(a₁²cos²α + g² sin²α)；
• 方向：θ(a, i) = tan⁻¹(a_y/a_x) = tan⁻¹[(a₁ cos²α − g sin²α)/((g + a₁) sin α cos α)]。

例 2-1-3 已知小球质量为 m，水的浮力为 B，阻力与速度成正比、系数为 k，试计算小球在水中的沉降速度。

解：mg − B − R = ma，其中 R = K v，故 mg − B − K v = m dv/dt，即 dv/dt = K(v_T − v)/m，v_T = (mg − B)/K。设 t = 0 时 v = 0，积分得 v = v_T(1 − e^−Kt/m)。

讨论：当 t → ∞ 时，v → v_T（收尾速度）。图中绘出小球受力：重力 mg、浮力 B、阻力 R。

第4页：动量、冲量与动量定理

§2-2 动量、冲量、动量定理 一、动量与动量定理

1、动量 P = mv：

• 动量是描述物体运动状态的物理量；
• 动量与参照系的选择有关；
• 对高速运动物体运动状态的描述仍然有效。

注：高速物体的动量为动量的一般形式——相对论动量 P = mv = m₀v/√(1 − (v/c)²)；当物体低速运动时可以近似写为 P = m₀v。源文本该式残缺，此处按标准形式补全。

2、动量定理

（1）微分形式：F = dP/dt = m dv/dt + v dm/dt；当物体低速运动时可以近似写为 F = ma。

（2）积分形式：对 F dt = dP 两边从 t₁ ~ t₂、P₁ ~ P₂ 积分，可得 ∫_t1^t₂F dt = P₂ − P₁，定义 I = ∫_t1^t₂F dt 为力在 t₁ ~ t₂ 内对物体的冲量。

例 2-2-1 一小球在距地面 h₁ 处静止下落，与地面碰撞后反弹，接触时间为 t，上升到距地面 h₂ 处，求地面对小球的弹力。

解：以小球为研究对象，由运动学可知碰撞前后速度分别为 v₁ = √(2gh₁)，v₂ = √(2gh₂)；由冲量定理可得 I = (N − mg) t = m(v₂ + v₁) = m(√(2gh₂) + √(2gh₁))。

第5页：物体系动量定理与动量守恒

二、物体系的动量定理

1、内力和外力的概念：①内力：系统内物体间的相互作用力；②外力：外界对系统内物体的作用力。

2、物体系的动量定理：设物体系内有 i 个物体，外力用 F_i 表示，f_ij 表示第 i 个物体对第 j 个物体的作用力，则对第 i 个物体应用动量定理可得 ∫_t1^t₂(F_i + Σ_j≠if_ij) dt = P_2i − P_1i。考虑到 f_ij 为内力，系统内力总和 Σf_ij = 0，故

∫_t1^t₂ Σ_iF_i dt = P_2总 − P_1总，即系统动量的改变量等于合外力对系统的总冲量。

注：①内力对系统的总动量没有贡献，但内力使动量在系统各物体间相互传递、重新分配；②牛顿第二定律主要体现力的瞬时性，针对单个物体，而动量定理主要体现力对时间的积累效果，适用于物体系；③动量定理只适用于惯性系，非惯性系必须引入惯性力；④对于碰撞、爆炸、变质量等问题，使用动量定理较为方便。

三、动量守恒定理

若 ΣF_i = 0（合外力为零），或内力远大于外力、作用时间很短，则 P_2总 = P_1总，P 为恒矢量，系统动量守恒。

注：①动量守恒是对系统而言的，是动量总量不变而在系统各物体间重新分配；②守恒条件为合外力为零，各分量的合外力为零也满足守恒条件；③爆炸、碰撞等特殊过程，虽体系合外力不为零，但与内力冲量相比可忽略，可用动量守恒定理研究系统内各部分间的动量再分配问题；④动量守恒是自然界中最基本的守恒定律之一，是空间对称性的体现。

第6页：质心的定义与位矢

四、质心与质心运动定理 （一）质心

质心的定义

系统质量的中心，能够代表系统的运动状态。

1、质心的位矢（质量离散分布的物体）r_C = Σ m_ir_i / Σ m_i；（质量连续分布的物体）r_C = ∫ r dm / ∫ dm。

2、质心的速度 v_C = Σ m_iv_i / Σ m_i，分量式 v_Cx = Σ m_i v_ix / Σ m_i，v_Cy = Σ m_i v_iy / Σ m_i，v_Cz = Σ m_i v_iz / Σ m_i。

3、质心的加速度 a_C = Σ m_ia_i / Σ m_i，分量式 a_Cx = Σ m_i a_ix / Σ m_i，a_Cy = Σ m_i a_iy / Σ m_i，a_Cz = Σ m_i a_iz / Σ m_i。

注：（1）质心的位置与物体的大小、形状、质量分布有关；（2）与坐标系的选取有关。

第7页：质心运动定理

（二）质心运动定理

由系统的牛顿第二定律可得 ΣF_i = d(ΣP_i)/dt = d(Σ m_iv_i)/dt = (Σ m_i) dv_C/dt = (Σ m_i) d²r_C/dt²，即

ΣF_i = (Σ m_i) a_C = M a_C

其中 ΣF_i 为外力矢量和，Σ m_i 为系统的总质量。

注：1、质心的位矢并不是各个质点位矢的几何平均值，而是它们的加权平均值；质心的性质只有在系统的运动与外力的关系中才体现出来，故质心不是几何学或运动学概念，而是动力学的概念。2、体系质心的坐标与坐标原点的选取有关，但质心与体系内各个质点的相对位置与原点的选取无关。3、作用在体系上的各外力一般作用在不同的质点上，就其对体系的作用效果而言不能等效为一个合力，故在质心运动定律中只提外力矢量和，不提合外力；但对质心而言，这些外力犹如都集中作用在质心上。4、将坐标原点取在质心上、坐标轴与某惯性系平行的平动参照系称为质心坐标系或质心系。对于外力矢量和为零或不受外力作用的体系，其质心系为惯性系，否则为非惯性系。

第8页：功与动能定理

§2-3 动能定理、功能原理、机械能守恒定理

一、功、动能、动能定理

1、功：①元功的定义 dA = F·dr；②总功 A = ∫_a^bF·dr。讨论：合力的功 A = ∫_a^b ΣF_i·dr = Σ ∫_a^bF_i·dr = Σ A_i，即合外力所作的总功等于各个分力所作的功之和。

例 2-3-1 试计算理想气体从状态 Ⅰ(P₁, V₁) 缓慢膨胀到状态 Ⅱ(P₂, V₂) 的过程中对外界所作的功：（1）PV = C；（2）PVⁿ = C (n > 1)。

解：f = P S，元功 dA = f dx = P S dx = P dV，A = ∫_V1^V₂ P dV。

2、动能和动能定理：设质点在变力 F 作用下作曲线运动从 a 到 b，由牛顿第二定律的自然坐标形式可得 F_t = m a_t = m dv/dt；由元功定义 dA = F_t|dr| = m v dv，两边积分得

A = ∫ dA = ∫_va^v_b m v dv = ½ m v_b² − ½ m v_a² = E_K2 − E_K1

动能定理：合外力对物体所作的总功等于物体的动能增量。

第9页：动能定理注解与保守力的功

注：1、动能是物体运动状态的单值函数，而功是物体能量变化的一种量度；动能是状态量、态函数，功是过程量。2、动能定理不是经典力学新的、独立的定律，仅是定义了功和动能之后直接由牛顿第二定律导出了它们之间的关系；功与动能虽然都与坐标系的选择有关，但只要是惯性系，动能定理均成立。3、在某些情况下动能定理比第二定律解决问题方便，它不必考虑物体复杂的运动过程。4、在物理学中，动能定理是将功和能这两个概念进行全面推广的起点。

二、保守力的功、物体系的势能

1、保守力的功

注：源文本中弹力功与万有引力功的公式残缺（缺失系数与分母），表中按标准物理公式还原。

注：（1）做功只与位置有关、而与路径无关的力称为保守力；（2）任意保守力的环流均为零，即 ∮ F·ds = 0（图中沿 abcda 闭合路径一周做功为零）。

第10页：势能与功能原理

2、物体系的势能 E_P

1. 物理意义：由物体系间的相对位置和相互作用来决定的能量，称为势能；
2. 定义：物体系中物体的势能，等于将该物体由某一位置移动到零势能面的过程中保守力所作的功；
3. 势能的增量等于保守力作功的负值：ΔE_P = −A_保守力；
4. 势能是系统的状态函数，与零势能面的选择有关。

三、功能原理

1、分析：设由 i 个质点构成一个质点组，f_ij 为第 j 个质点对第 i 个质点的作用力，F_i 为第 i 个质点所受到的合外力，则对该系统应用动能定理有 A = E_K2 − E_K1 = ΔE_K。

讨论：

• （1）内力大小相等、方向相反，故其总功 A_内力 = ∫ Σf_ij·ds = 0；
• （2）外力分为保守力和非保守力，由保守力作功的特点可得 ΔE_P = −A_保守力；由 A_外力 + A_保守内力 + A_{非保守内力} = E_K2 − E_K1 = ΔE_K 移项可得：

A_{非保守内力} + A_外力 = ΔE_P + ΔE_K = Δ(E_P + E_K) = ΔE

2、表述：系统所受到的外力和非保守内力所作的总功，等于系统的机械能增量。

第11页：机械能守恒与能量守恒定律

四、机械能守恒定律、能量转化与守恒定律

1、机械能守恒定律：由功能原理可得 A_{非保守内力} + A_外力 = ΔE_P + ΔE_K = Δ(E_P + E_K) = ΔE；若 A_{非保守内力} + A_外力 = 0，则 ΔE = 0，即系统的机械能守恒。

注：机械能守恒定律迫使人们不断探索，把机械运动物体的力学与非机械的现象联系起来，使力学和物理学的所有其它部分沟通起来；能量这一概念已经贯穿所有物理学科，成为物理学中统一的概念之一。

2、能量转化与守恒定律表述：能量只能从一个物体传递到另一个物体，从一种形式变为另一种形式，其总量不发生变化。

注意：

1. 能量是系统状态的单值函数；
2. 能量转化——物质运动的转化；
3. 功仅是能量转化的一种量度。