04 第四章 刚体的转动.ppt

第1页：第四章 刚体的转动刚体

第四章刚体的转动刚体tB

第2页：§4-1 刚体的运动及其描述

§4-1刚体的运动及其描述一.刚体模型刚体：在外力的作用下，大小和形状都不变的物体——物体内任意两点的距离不变二.刚体的运动平动：刚体运动时，其内部任何一条直线，在运动中方向始终不变

第3页：可视为质点

刚体质心的运动代表了刚体平动中每一质元的运动特点：各点位移、速度、加速度均相同——可视为质点

第4页：转动

转动

刚体的各个质点都绕同一直线(转动轴)作圆周运动定轴转动:转轴固定不动的转动

第5页：刚体的一般运动=平动+转动

刚体的一般运动=平动+转动

第6页：角速度方向在转轴上角速度矢量

三.角速度矢量——角速度方向在转轴上角速度矢量方向由右手螺旋法则确定以转轴上任一点O为参考点或

第7页：角速度方向在转轴上角速度矢量（续）

或

第8页：§4-2 转动动能转动惯量

1.在刚体上取一质元Pi：§4-2转动动能转动惯量一.转动动能动能：

第9页：对z轴的转动惯量则刚体的转动动能

2.对刚体上所有质点的动能求和：定义：——对z轴的转动惯量则刚体的转动动能

第10页：转动惯量

转动惯量

• 二.转动惯量
• 2.对质量连续分布的刚体：
• 1.对分立的质点系：线分布，为线密度面分布，为面密度体分布，为体密度
• 3.转动惯量的物理意义:Jz表示刚体转动时惯性的大小

第11页：讨论：转动惯量

讨论

转动惯量Jz的大小决定于a.刚体的质量：同形状的刚体，ρ越大，Jz就越大b.质量的分布：质量相同，dm分布在R越大的地方，则Jz越大c.刚体的转轴位置：同一刚体依不同的转轴而有不同的Jz

第12页：常见刚体的转动惯量薄圆盘球体细棒细棒

常见刚体的转动惯量薄圆盘球体细棒细棒

第13页：平行轴定理

三.平行轴定理以质心C为坐标原点设对Cz轴的转动惯量为JcMN//Cz对MN轴的转动惯量为：

第14页：平行轴定理

——平行轴定理

第15页：垂直轴定理设刚性薄板平面为xOy面

四.薄板的垂直轴定理——垂直轴定理设刚性薄板平面为xOy面

第16页：例1 求半径为R质量为m的均匀圆环

[例1]求半径为R质量为m的均匀圆环,对于沿直径转轴的转动惯量解：圆环的质量密度为在环上取质量元dm，dm距转轴r

第17页：另解对过环心并与环垂直的转轴的转动

另解对过环心并与环垂直的转轴的转动惯量

第18页：根据对称性有由垂直轴定理

根据对称性有由垂直轴定理

第19页：例2 长l、质量m的均匀细棒放

[例2]长l、质量m的均匀细棒放在xoy平面内，棒与x轴成300角，其中心在O点。求它对x、y和z轴的转动惯量解：细棒质量密度为在棒上取长为dl的质量元

第20页：

第21页：例3 一长为a、宽为b的匀质矩形薄平板

[例3]一长为a、宽为b的匀质矩形薄平板，质量为m，试求:(1)对通过平板中心并与长边平行的轴的转动惯量; (2)对与平板一条长边重合的轴的转动惯量解：垂直向上为y轴板的质量面密度为

第22页：在板上取长为a、宽为dy的小面

在板上取长为a、宽为dy的小面元转轴与长边重合

第23页：或由平行轴定理

或由平行轴定理

第24页：§4-3 力矩、刚体定轴转动定律

一.力矩对O的力矩在定轴转动中，只有起作用，对转轴的力矩§4-3力矩、刚体定轴转动定律

第25页：与转轴平行的力矩对刚体的定轴转动

大小方向沿z轴——与转轴平行的力矩对刚体的定轴转动起作用二.定轴转动定律对Pi：的法向分力作用线通过转轴，其力矩为零

第26页：刚体的定轴转动定律因为内力矩之和为零

——刚体的定轴转动定律因为内力矩之和为零——外力对转轴z的力矩

第27页：两边同乘以ri对整个刚体求和切向

两边同乘以ri对整个刚体求和切向：

第28页：例1 在半径分别为R1和R2的阶梯形

例1 在半径分别为R1和R2的阶梯形

• [例1]在半径分别为R1和R2的阶梯形滑轮上反向绕有两根轻绳，各挂质量为m1、m2的物体
• 如滑轮与轴间的摩擦不计，滑轮的转动惯量为J
• 求滑轮的角加速度β及各绳中的张力T1、T2解：设m1向下运动

第29页：联立（1）—（5）解得

联立（1）—（5）解得

第30页：当时，则为定滑轮的情况讨论

c.当时，则为定滑轮的情况讨论：a.当时，物体运动方向与所设相同，反之则相反b.当时，，即滑轮静止或匀速转动刚体B

第31页：例2 物体A、B的质量分别为m1和m2

[例2]物体A、B的质量分别为m1和m2，用一轻绳相连，绳子跨过质量为M，半径为R的匀质定滑轮C。如A下降，B与水平桌面间的滑动摩擦系数为μ，绳与滑轮之间无相对滑动，求系统的加速度及绳中的张力T1和T2

第32页：解：建立如图坐标系

解：建立如图坐标系

第33页：解：建立如图坐标系（续）

解得

第34页：§4-4 角动量及角动量

一.刚体的角动量大小：§4-4角动量及角动量守恒在刚体上取质元Pi，它相对于O的角动量

第35页：所以在z轴上的分量

所以在z轴上的分量为

定轴转动刚体的总角动量在转轴z上的分量为

第36页：讨论：b.动量与角动量

讨论

b.动量与角动量是两个单位不同的物理量，不可混用a.与质点动量相比可看出角动量与之对应

第37页：刚体定轴转动的角动量定理

二.刚体定轴转动的角动量定理由刚体定轴转动的转动定律——刚体定轴转动的角动量定理——定轴转动角动量定理的积分形式冲量矩

第38页：刚体定轴转动的角动量守恒定律

对J可变化的质点系或非刚体,定轴转动时有三.刚体定轴转动角动量守恒当则=常量——刚体定轴转动的角动量守恒定律

第39页：例1 质量为M、半径为R的水平放置

例1 质量为M、半径为R的水平放置

• [例1]质量为M、半径为R的水平放置、圆盘转台上，两质量均为m的电动汽车模型可分别沿半径为R和r(R＞r)两轨道运行
• 最初小车和转台都不动，令外轨道小车作反时针转动，内轨道小车顺时针转动，相对于转台的速率均为v
• 求转台对地面的角速度解：设转台对地面的角速度为，且逆时针运转

第40页：A相对于地面的角速度相对于地面

A相对于地面的角速度B相对于地面的角速度由角动量守恒其中

第41页：顺时针运转

可得——顺时针运转

第42页：§4-5 力矩的功动能定理

一.力矩的功§4-5力矩的功动能定理

第43页：外力在z轴上对刚体的合外力矩

若有n个外力作用，则其中——外力在z轴上对刚体的合外力矩

第44页：刚体定轴转动的动能定理

二.刚体定轴转动的动能定理——刚体定轴转动的动能定理

第45页：机械能守恒以xOy平面为重力势能

三.机械能守恒以xOy平面为重力势能参考面1.刚体的重力势能对刚体

第46页：刚体重力势能

刚体重力势能由刚体的质心相对于参考零点的高度决定，即可看作是质量集中在质心的势能保守外力矩的功为由动能定理，合外力矩的功当A非=0时——刚体的机械能守恒

第47页：例1 质量为m1的小球与质量为m2长

[例1]质量为m1的小球与质量为m2长为2l的棒作完全弹性碰撞，棒可绕通过中心的轴转动(如图)。求球的反弹速度和棒的角速度解：小球的重力与冲击力相比可忽略设小球反弹速度为v,棒的角速度为

第48页：弹性碰撞其中解

弹性碰撞其中解得

第49页：例2 长为l，质量为m的均匀细杆

例2 长为l，质量为m的均匀细杆

• [例2]长为l，质量为m的均匀细杆OA,绕通过其一端点O的水平轴在铅垂面内自由转动
• 已知另一端A过最低点时的速率为v0
• 求杆摆动时A点升高的最大高度(不计空气阻力和轴的摩擦力)解：机械能守恒

第50页：最低点处最高点处动能势能动能势能

最低点处最高点处动能势能动能势能

第51页：例3 质量为m，长为L的均匀细杆可绕

[例3]质量为m，长为L的均匀细杆可绕杆一端的光滑水平轴在竖直平面内转动，设杆由水平位置由静止开始自由下摆. 求：杆与水平位置成φ角时的角速度。φ

第52页：解：对杆、地球组成的系统由机械能

解：对杆、地球组成的系统由机械能守恒定律：

第53页：例4 质量为m，长为L的均匀细棒

[例4]质量为m，长为L的均匀细棒，竖直悬挂于一水平光滑轴，现用力F打击棒的中部如图，打击时间为t. 求：打击后棒的角速度。解：由角动量定理即

第54页：例5 一长L，质量M的匀质杆

[例5]一长L，质量M的匀质杆，可绕过一端的水平光滑轴转动，最初杆静止于竖直位置。现有一质量m的子弹以水平速度射入杆中部并嵌在杆中，求：(1)子弹射入瞬间杆转动的角速度（2）杆能摆动的最大角度φφv0解：（1）以m、M为系统子弹射入的过程系统对o轴的合外力矩为零.

第55页：由角动量守恒定律

由角动量守恒定律

第56页：子弹射入后的摆动过程

(2)子弹射入后的摆动过程M 、m和地球组成的系统机械能守恒以竖直位置杆质心所在平面为零势能面则