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本课件为《工程光学》第11章，先建立惠更斯—菲涅耳原理与菲涅耳—基尔霍夫衍射公式及其近似，随后推导矩孔、单缝与圆孔的夫琅和费衍射光强分布，讨论成像系统的衍射与分辨本领，最后介绍多缝衍射与衍射光栅。
第十一章 光的衍射
本章内容
本章要求
光的衍射现象：光波在空间传播遇到障碍时，其传播方向会偏离直线传播，弯入到障碍物的几何阴影中，并呈现光强的不均匀分布的现象。
光的衍射是光的波动性的主要标志之一。
衍射现象：本页以图示方式给出针尖、狭缝、圆孔、圆屏等衍射屏（障碍物）在入射光波照射下于观察屏上形成的衍射图样，具体图样请对照原课件图片查看。
光的衍射现象分类：根据光源、衍射屏和观察屏三者之间的位置确定。
第一节 光波的标量衍射理论
一、惠更斯—菲涅耳原理
1. 惠更斯原理：波前（波面）上的每一点都可以看作一个发射球面（子波）的新的波源（次级扰动中心），在后一时刻，这些子波的包络面就是此刻新的波前。
单色点光源发出的球面波前到达圆孔边缘时，波前只有部分暴露在圆孔范围内，其余部分受光屏阻挡；暴露在圆孔范围内的波前上各点可以看作新的波源、发出球面子波，这些子波的包络面决定圆孔后新的波前。
２．惠更斯—菲涅耳原理
菲涅耳发现，波前来自于同一波源、子波亦如此，亦即子波是相干的。因而波前外任一点的光振动是波前上诸多次波在该处相干叠加的结果：波阵面外任一点光振动应该是波面上所有子波相干叠加的结果。
光源在波阵面上任意点产生的复振幅可由相应公式表示。
子波沿法线方向的振幅、子波向 P 点的球面波公式与子波振幅随角度的变化共同决定对 P 点的贡献。
菲涅尔假设：倾斜因子取近似形式（实验证明是错误的）。
问题：倾斜因子和常数没有给出明确的表达式。
二、菲涅耳—基尔霍夫衍射公式
基尔霍夫从波动微分方程出发，利用场论中的格林定理及电磁场的边值条件，确定了倾斜因子和常数的具体形式，得出菲涅尔—基尔霍夫衍射公式。
上式表示点光源发出的球面波照射到孔径上，在孔径后任意一点处产生的光振动的复振幅是由孔径上无穷多个虚设的子波源产生的：子波源的复振幅与入射波在该点的复振幅和倾斜因子成正比，与波长成反比，且因子表明子波源的振动相位超前于入射波。
三、基尔霍夫衍射公式的近似
1. 初步近似：通常情况下，衍射孔径的线度及在观察屏上考察的范围均比观察屏到孔径的距离小得多。
2. 菲涅尔近似和菲涅尔衍射计算公式
上页图中的 r 可写为精确的距离表达式；对上式作二次项展开后，第三项以后可以忽略，该近似称为菲涅尔近似。
设孔径函数为 t(x, y)，衍射计算公式可写成相应的积分形式。
观察屏置于菲涅尔近似成立的区域内所观察到的衍射称为菲涅尔衍射。
3. 夫琅和费近似和夫琅和费衍射计算公式：在菲涅尔衍射近似公式中，第二项和第四项分别取决于观察屏上的考察范围和孔径线度相对于 z1 的大小；当 z1 很大而使得第四项对相位的贡献远小于 π 时，情况发生变化。
当第四项可以忽略时，忽略后近似称为夫琅和费近似，衍射公式写成相应的傅里叶变换形式。
观察屏置于夫琅和费近似成立的区域内所观察到的衍射称为夫琅和费衍射。
第二节 典型孔径的夫琅和费衍射
一、衍射系统与透镜的作用
1．透镜的作用：将无穷远的衍射图样成像在像方焦平面上，从而可以在有限距离内观察夫琅和费衍射。
夫琅和费衍射对 z 的要求：需要很大的距离，实际中用透镜实现。
２．夫琅和费衍射公式变化
衍射公式在无透镜时观察点在 P′，有透镜时观察点在焦平面上 P 点，由此可得到坐标的对应关系。
二、夫琅和费衍射公式的意义
加上透镜以后，有两个因子与透镜有关。
1．复数因子：在近轴情况下，公式中的相应量用透镜焦距代替，计算公式变为简化形式。
２．位相因子
结论：若孔径很靠近透镜，r 是孔径原点 O 处发出的子波到 P 点的光程，而 kr 则是 O 点到 P 点的位相延迟。
孔径上其它点发出的光波与 O 点的光程差所对应的相位差，恰好是积分中的位相因子，它表示孔径上各点子波的位相差。
三、矩孔衍射
１．强度分布计算
设矩形孔的长和宽分别为 a 和 b，用单位平面波照射，即在矩孔以内复振幅为 1、在矩孔以外为 0，则衍射公式可写成两个方向积分的乘积。
令 α = πa·sinθx/λ、β = πb·sinθy/λ，则矩孔衍射的光强分布为 I = I0·(sinα/α)²·(sinβ/β)²。
２．光强分布特点讨论
沿 Y 轴的光强分布：在 Y 轴上取 sinθx = 0，所以光强只由 β 决定。
⑥ 中央亮斑大小分析
四、单缝衍射
１．光强分布计算
矩孔衍射光强分布式中，当 b ≪ a 时矩孔变为狭缝，此时入射光在 a 方向上的衍射效应可以忽略，因此单缝衍射光强分布为 I = I0·(sinβ/β)²。
2．光强分布特点
衍射条纹与中央条纹：因为中央亮纹角半径较小，中央极大条纹的角半径半宽度为 Δθ = λ/a（衍射条纹如右图所示）。
例：在夫琅和费单缝衍射实验中，若缝宽为 a、衍射屏后所放置的透镜焦距为 f′，求（1）中央亮纹和第一级亮纹的宽度；（2）第一级亮纹的光强和中央亮纹的光强之比。
解：（1）观察屏幕上第一级暗纹和第二级暗纹的位置分别为相应表达式，因此中央亮纹的宽度为 2f′λ/a。
第一级亮纹的宽度为 f′λ/a，可见各级亮纹的宽度为中央亮纹宽度的一半。
（2）由光强公式可得：对于第一级亮纹查表可知 (sinβ/β)² 的数值，代入上式可见第一级亮纹的光强只是中央亮纹光强的 4.7%。
五、圆孔衍射
１．光强分布计算：圆孔衍射装置如右图所示，P 点的光强由一阶贝塞尔函数给出；式中含圆孔面积、轴上点的强度、衍射角与一阶贝塞尔函数 J1。
2．衍射图样特点
衍射光强与对应的衍射角有关，当衍射角相等时光强相同，所以衍射图样为圆环条纹（如右图）。
结论：相邻暗环间隔不等，次极大光强比中央极大小得多。其中中央亮斑称为艾里斑，它的半径满足 sinθ = 1.22λ/D，即艾里斑的半径为 1.22λf′/D。
3．椭圆的衍射图样
本页以图示方式给出椭圆孔衍射屏及其衍射图样，具体图样请对照原课件图片查看。
4．互补屏的夫琅和费衍射图样
互补屏是指这样的两个衍射屏，其一的通光部分正好对应另一个的不透明部分。
所以形状大小一样的屏和孔产生的衍射图样是一样的，一个形状相等的狭缝和细丝的衍射图形也是一样。右图中互补屏大小相等，两个叠加等于无屏，所以叠加结果除了中心点外合成结果等于零。
第三节 夫琅和费衍射的特点
第四节 光学成像系统的衍射和分辨本领
一、理想光学系统的衍射
1．定性分析：波动光学认为，系统将发自物点的发散球面波变换为会聚于像点的会聚球面波。由于孔径光阑限制来自物点的会聚球面波，所以系统所成的像应是会聚球面波通过孔径光阑在像面上的衍射像斑。
２．衍射公式 ３．结论
一个无像差光学系统，对于物点所成的像也不是一个点而是一个衍射光斑，这个衍射光斑中的光强分布与系统孔径的夫琅和费衍射图样完全相同。
设光学系统通光孔的直径为 D，它产生的艾里斑的半径为 1.22λf′/D（对点源成像时，衍射斑纹在其像面上）。
二、光学系统的分辨本领
光学系统的分辨本领是指光学系统分辨细微结构的能力。
1．瑞利判断：当一个像点的衍射光斑主极大和另一个像点的衍射第一极小值重合时，两个像点刚好被分开。
２．三种典型光学系统的分辨本领
提高分辨率的途径就是增大物镜的数值孔径或减小波长：增大数值孔径一是减小物镜焦距使孔径角增大，二是用浸液物镜以增大物方折射率。
④ 眼睛的分辨率
当用眼睛观察远处的物体时，网膜上的像即为自物体发出的光通过眼睛瞳孔而生的夫琅和费圆孔衍射图样。眼睛的最小分辨角由瞳孔直径与波长决定；若物体放在明视距离处，则可以分辨两点之间的距离为相应数值。
人眼的直径约为 2～3 mm，折射率为 1.337；当人眼对波长为 555 nm 的光线最敏感时，此时对应的分辨角约为 1′。
第五节 多缝的夫琅和费衍射
多缝衍射装置如下图所示：
一、光强分布
由前可知，设位于光轴上的中心单缝衍射的复振幅为相应表达式；由衍射的特点可知，相邻单缝的衍射场上产生的夫琅和费衍射幅值与中心单缝相同，仅仅产生一个相位差。
多缝在衍射场的复振幅是 N 个振幅相同、相邻光束相位差相等的多光束干涉的叠加。
则 P 点的光强由两个因子决定：
二、条纹分析（多缝衍射图样）
1．干涉因子的影响
第五节 多缝的夫琅和费衍射
本页源文件仅提取到节标题，未获取到更多文字，内容应为多缝衍射图样的图示（主极大与次极大的强度分布），建议对照原课件图片补充本页说明。
2．衍射因子的影响 3．缺级现象
如上图所示，在干涉因子的某级主极大值刚好和衍射因子的某级极小值重合时，干涉主极大值就被调制为零，对应级次的主极大消失，这种现象称为缺级。
4．缝数对条纹分布的影响：当缝数增加时，衍射图样最显著的改变就是亮条纹变成很细的亮线。
说明：源文件本页节号写作「第六节 多缝的夫琅和费衍射」，与下一页起的「第六节 衍射光栅」编号重复；本页内容属于多缝衍射，此处按内容归入第五节，编号差异已单独标注。
第六节 衍射光栅
光栅分类
一、光栅的分光性能
１．光栅方程：决定主极大位置的公式称为光栅方程。
符号规则：光线位于光栅面法线异侧取「−」号，反之取「+」号。
２．光栅光谱与色散（衍射角与波长变化的关系）
光栅光谱线：多色光的各级亮线，体现了衍射角 θ 与波长 λ 之间的关系。
３．光栅分辨本领：是指分辨两个很靠近的谱线的能力。
已知 m 级谱线，根据瑞利判据，当一条谱线的位置落在另一条同级谱线的零点上时，两条谱线刚好被分离，由此可写出零点位置。
由上面两式可得（谱线的角半宽度）Δθ，即为光栅所能分辨的最小角度；所以 Δθ 对应的波长差为 Δλ，定义 λ/Δλ = mN 称为光栅分辨本领。
该式表明，光栅的分辨本领正比于光谱级次和光栅线数，与光栅常数无关。
例：现用光栅光谱仪分析波长附近、相隔约为 Δλ 的若干谱线，已知光谱仪的透镜焦距为 f′，照相底片的分辨率为每毫米 150 线对。若底片上记录的一级谱线正好可以分辨，试确定光栅常数和光栅有效宽度。
解：光波的波长和波长间隔决定了光栅的分辨本领，又因为记录一级谱线，所以由相应公式可得所需的光栅线数。
由于底片的最小分辨距离为 1/150 mm，透镜焦距为 f′，根据线色散公式可得光栅常数；再由所需线数与光栅常数相乘即得光栅的有效宽度。
二、几种典型光栅
1．平面光栅
③ 角色散：波长相差 1 埃的两条谱线之间的角距离。
④ 分辨本领：问题——当 m 大时分辨本领值应大，但单缝衍射零级集中了大部分能量、高级谱线能量很小，干涉谱线几乎没有能量。怎么办？
解决的方法
２．平面定向光栅（闪耀光栅）
光栅面法线与刻划面法线分开，使光强度的分布发生改变。
③ 光栅闪耀角的控制：当最大光强与 m 级衍射重合时，如右图所示，代入光栅方程整理后可得闪耀角的计算式。
式中 λ、m 为要求具有最大光强的波长（闪耀波长）和级次，根据给定的 λ 和 m 可求得闪耀角 γ。
④ 实例：如果选择「自准条件」入射，即 i = γ（沿刻划面法线入射），则有 α = β = 0，θ = γ。
光栅方程变为相应形式；当 m = 1 时对应的波长称为闪耀波长，此时光强最大值正好分布在衍射的 1 级光谱上。对 λ 的一级光谱闪耀的光栅，对 λ/2 的 2 级光谱和 λ/3 的 3 级光谱也闪耀。
应用时是根据 λ 确定闪耀角；由于中央衍射有一定的宽度，所以闪耀波长附近的谱线也有相当大的强度，因而闪耀光栅可用于一定的波长范围。
3．阶梯光栅
① 结构及分类：分为透射式阶梯光栅与反射式阶梯光栅，通过阶梯增大光程差。
② 透射式阶梯光栅的光程差
总光程差为两者之和。
③ 反射式阶梯光栅的光程差
总光程差为两者之和。
④ 实例：设一个有 20 个阶梯的光栅，h = 1 cm、n = 1.5、λ = 500 nm，可分别求得：
补充 衍射技术在工程中的应用
一、微孔直径测量
用夫琅和费圆孔衍射可以对微孔直径作精密测量。根据圆孔衍射各级亮（暗）环的半径公式可得第 k 级条纹的直径：
DK = 相应系数 × λf′/d，式中 d 为微小圆孔的直径，所以微孔直径可由测得的环径反算。
例：已知入射光波波长 λ、透镜焦距 f′，对一微孔进行直径测量。若实验测得第 3 环的暗纹直径为 D3，求微孔直径。
解：并从表中查出第 3 环对应的系数，将上述数据代入前述公式，可得微孔直径。
衍射法测量微孔直径的精度：对上式两边作微分可得误差传递关系。
在上述例子中，该式表明衍射法测量微孔直径相当于把微孔直径的变化放大了 50 多倍进行测量。实验中若使用测微目镜，环径的测量精度可达 0.01 mm，则微孔直径的测量精度可达 0.2 μm。
二、细狭缝宽（或细丝直径）测量
单缝衍射暗纹间距公式：相对中央明纹对称的第 m 级暗纹之间的距离为 2x_m = 2m·f′λ/a，由此可得缝宽 a 的测量原理公式。
例：已知入射光波波长 λ、透镜焦距 f′，若实验测得第 3 级的两暗纹间距离为 L，求缝宽。
解：由已知第 3 级的两暗纹间距，可得缝宽；若间距的测量精度已知，则缝宽的测量精度可相应算出。
单缝衍射测量法若与光电技术相结合，可对诸如位移、振动等参量作自动测量，例如衍射法测量微弱振动。
根据衍射互补原理，可以用于测量单缝缝宽的方法同样适合于测量细丝直径；用此法测量细丝直径不但可以获得很高的测量精度，而且可以实现非接触测量。
衍射法测量缝宽或细丝直径时，缝宽和细丝的直径越小，测量精度就越高，所以衍射法一般多用于测量 0.1 mm 以下的缝宽与丝径。
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