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本课件为工程光学课程的第3章，把近轴区的完善成像推广为任意空间、任意光束都成完善像的理想光学系统模型，系统讲解共线成像理论、焦点与主点等基点基面、图解法和解析法求像，并给出三种放大率、光组组合与透镜焦距的计算方法。
第3章 理想光学系统
第3章 理想光学系统 【本章教学要点】
| 相关知识 | 掌握程度 | 知识要点 |
|---|---|---|
| 共线成像理论 | 熟悉理想光学系统的共线成像理论；重点掌握共轴光学系统的成像特点 | 理想光学系统的概念；共轭的含义；由已知共轭点和共轭面确定已知物点的像点 |
| 理想光学系统的基点和基面 | 掌握 | 物像方焦点、主点、焦面和主面；实际光学系统在近轴区基点位置和焦距的计算；理想光学系统的基点和基面有哪些 |
| 图解法和解析法求像 | 掌握图解法求像用到的典型光线；重点掌握牛顿公式和高斯公式 | 轴上点和轴外点的图解法求像；物方焦距与像方焦距之间的关系 |
| 相关知识 | 掌握程度 | 知识要点 |
|---|---|---|
| 理想光学系统的组合 | 熟悉多光组组合的计算方法；重点掌握两个光组组合的计算 | 多光组组合的图解法求像；多光组组合的解析法求像中的过渡公式 |
| 垂轴放大率、轴向放大率、角放大率 | 了解三个放大率的概念；掌握如何根据垂轴放大率判断成像特性 | 三个放大率之间的关系；多光组光学系统放大率与各个光组放大率之间的关系 |
| 透镜 | 熟悉单个折射面主点位置的确定；掌握透镜焦距的计算方法 | 透镜的分类；正透镜和负透镜的焦距特点 |
把光学系统在近轴区成完善像的理论推广到任意大的空间，以任意宽的光束都成完善像的光学系统称为理想光学系统。本章主要介绍理想光学系统的主要光学参数、成像关系和放大率、理想光学系统的光组组合和透镜。
第一节 理想光学系统理论
几何光学的主要内容是研究光学系统的成像问题。为了系统地讨论物像关系，挖掘出光学系统的基本参量，将物、像与系统间的内在关系揭示出来，可暂时抛开光学系统的具体结构，将一般仅在近轴区存在的完善成像拓展成在任意大的空间中以任意宽的光束都成完善像的理想模型，这个理想模型就是理想光学系统。
1．理想光学系统理论：理想光学系统理论于 1841 年由高斯提出，因此又被称为「高斯光学理论」。
图 2-1 共轴理想光学系统
2．共轴理想光学系统理论：对于共轴光学系统，由于其轴对称性，所成的像还有如下性质：
由于过光轴的任意截面的成像性质都相同，可以用一个过光轴的截面来代表一个共轴光学系统，如图 2-1 所示。
利用上述性质，通过仪器观察像来了解物时，总是使物平面垂直于共轴系统的光轴。
第二节 理想光学系统的基点和基面
1．无限远的轴上物点和它对应的像点
1.1 无限远轴上物点发出的光线
如图 2-4 所示，h 是有限远轴上物点发出的一条入射光线的投射高度，由三角关系近似有 tgU = h/L，式中 U 是物方孔径角、L 是物方截距。当 L→∞ 时物点 A 趋近无限远处，此时 U→0，即无限远轴上物点发出的光线与光轴平行。
图 2-4 有限远轴上物点发出光线
1.2 像方焦点、焦平面；像方主点、主平面；像方焦距
如图 2-5 所示，AB 是一条平行于光轴的入射光线，它通过理想光学系统后，出射光线交光轴于 F′。由理想光学系统的成像理论可知，F′ 就是无限远轴上物点的像点，称为像方焦点。过 F′ 作垂直于光轴的平面称为像方焦平面，它是与无限远处垂直于光轴的物平面共轭的像平面。
图 2-5 像方焦点、像方主点和像方焦距
将入射光线 AB 与出射光线反向延长，两条光线必相交于一点，过该点作垂直于光轴的平面交光轴于 H′ 点，H′ 称为像方主点，该平面称为像方主平面；从主点到焦点之间的距离称为像方焦距，通常用 f′ 表示，其符号遵从符号规则，起算原点是像方主点。
设入射光线 AB 的投射高度为 h、出射光线的孔径角为 U′，由图可建立像方焦距与投射高度、孔径角之间的关系。
图 2-5 像方焦点、像方主点和像方焦距
1.3 无限远轴外物点发出的光线
无限远轴外物点发出的、能进入光学系统的光线总是相互平行的，且与光轴有一定的夹角，夹角用 ω 表示（图 2-6）。ω 的大小反映了轴外物点离开光轴的角距离，当 ω→0 时轴外物点就重合于轴上物点。
由共轴理想光学系统成像性质可知，这一束相互平行的光线经过系统以后一定相交于像方焦平面上的某一点，这一点就是无限远轴外物点的共轭像点。
图 2-6 无限远轴外物点发出的光线
2．无限远轴上像点对应的物点
如果轴上某一物点 F 的共轭像点位于轴上无限远（图 2-7），则 F 称为物方焦点；通过 F 且垂直于光轴的平面称为物方焦平面，它与无限远垂直于光轴的像平面共轭。
设由焦点 F 发出的入射光线的延长线与相应的平行于光轴的出射光线的延长线相交于 Q 点，过 Q 点作垂直于光轴的平面交光轴于 H 点，H 点称为物方主点，QH 平面称为物方主平面；由 H 起算到 F 间的距离称为物方焦距 f，其正负由符号规则确定。若由 F 发出的入射光线的孔径角为 U，其相应出射光线在物方主平面上的投射高度为 h，由图 2-7 的三角几何关系即可得到物方焦距的表达式。
图 2-7 物方焦点、物方主点及物方焦距
另外，物方焦平面上任何一点发出的光线，通过理想光学系统后也是一组与光轴有一定夹角的平行光线，夹角的大小反映了轴外点离开光轴的距离。
3．物方主平面与像方主平面间的关系
在图 2-8 中，作一条投射高度为 h 且平行于光轴的光线入射到理想光学系统，其出射光线必通过像方焦点 F′；再过物方焦点 F 作一条入射光线，并调整其孔径角使相应出射光线的投射高度也是 h。这样两条入射光线都经过同一点，相应的两条出射光线也经过同一点，二者构成一对共轭点，物方主面与像方主面是一对共轭面，并且相等且位于光轴同一侧。
因此一对主平面的垂轴放大率为 +1，即一对共轭光线在相应主面上的投射高度相等，这一性质在用作图法追迹光线时非常有用。
图 2-8 物方主面与像方主面之间的关系
一对主平面以及像方焦点和物方焦点称为共轴光学系统的基点，它们构成了一个光学系统的基本模型。不同的光学系统，其基点的相对位置不同，焦距不等。
如果已知一个共轴光学系统的一对主平面和两个焦点的位置，它的成像性质就完全确定，所以通常总是用一对主平面和两个焦点位置来代表一个光学系统，如图 2-9 所示。
图 2-9 理想光学系统
第三节 理想光学系统的物像关系
本节讨论的内容是：已知物体的位置、大小和方向，求其像的位置，并分析像的大小、正倒、虚实等成像性质，有图解法求像和解析法求像两种方法。
1．图解法求像：已知理想光学系统的主点（主面）和焦点位置，利用光线通过它们后的性质，对物空间给定的点、线和面追踪典型光线求出像的方法。
可供利用的典型光线及性质主要有：
由理想光学系统理论，从一点发出的一束光线经光学系统后仍交于一点，因此只需求出两条特定光线在像方的共轭光线，其交点即为该物点的像点。
图 2-10 轴外点求像
1.1 轴外点的图解法求像
如图 2-10 所示，有一垂轴物体 AB 被光学系统成像。可选取由轴外点 B 发出的两条典型光线：一条由 B 发出并通过物方焦点，它经系统后的共轭光线平行于光轴；另一条由 B 发出且平行于光轴，它经系统后共轭光线过像方焦点。在像空间这两条光线的交点即是 B 的像点 B′。由共轴理想光学系统的性质，过 B′ 作光轴的垂线即为物 AB 的像 A′B′。
图 2-11 轴上点求像
1.2 轴上点的图解法求像
由轴上 A 点发出任一条光线，通过光学系统后的共轭光线与光轴的交点即为 A 的像，有两种作法。第一种方法如图 2-11 所示：认为该光线是由物方焦平面上 B 点发出的，可由该光线与物方焦平面的交点 B 引出一条与光轴平行的辅助光线，其由系统射出后通过像方焦点；由于自物方焦平面上一点发出的光束经系统后成倾斜于光轴的平行光束，所以原光线的共轭光线应与该辅助光线的出射光线平行，其与光轴的交点即轴上点的像。
另一种方法如图 2-12 所示：认为由 A 点发出的任一光线是无限远轴外点发出的倾斜平行光束中的一条。通过物方焦点 F 作一条辅助光线与该光线平行，两条光线构成倾斜平行光束，它们应会聚于像方焦平面上一点；该点位置由辅助光线决定，因辅助光线通过物方焦点，其共轭光线由系统射出后平行于光轴，它与像方焦平面的交点即是倾斜平行光束通过系统后的会聚点。
入射光线与物方主平面的交点，其共轭点是像方主平面上与其等高的点，由二者的连线即得入射光线的共轭光线，其与光轴的交点是轴上点的像点。
图 2-12 轴上点求像
图 2-13 解析法求像
2．解析法求像
图解法求像直观但不精确，只能帮助理解光学系统的成像特性；解析法可精确求解像的位置及大小。解析法的依据是一对主面、物方焦点、像方焦点及物方焦距、像方焦距。
按照物（像）位置表示中坐标原点选取的不同，解析法求像的公式有两种：第一种是牛顿公式，以相应焦点为坐标原点；第二种是高斯公式，以相应主点为坐标原点。如图 2-13 所示，有一垂轴物体高度为 y，被一已知光学系统成一正像，其高度为 y′。
2.1 牛顿公式
物和像的位置相对于光学系统的焦点来确定：以物点到物方焦点的距离为物距 x，以像点到像方焦点的距离作为像距 x′。物距和像距的正负号以相应焦点为原点确定，若由 F 到 A 或由 F′ 到 A′ 的方向与光线传播方向一致则为正，反之为负（此处 x＜0、x′＞0）。
由相似关系可得垂轴放大率 β = y′/y，联立两式可得 xx′ = ff′，这就是以焦点为原点的物像位置公式，称为牛顿公式；其垂轴放大率公式为 β = −f/x = −x′/f′。
2.2 高斯公式
物与像的位置相对于光学系统的主点来确定：以 l 表示物点到物方主点的距离，以 l′ 表示像点到像方主点的距离。l 和 l′ 的正负以相应主点为坐标原点确定，若由 H 到 A 或由 H′ 到 A′ 的方向与光线传播方向一致则为正值，反之为负值（此处 l＜0、l′＞0）。
由图 2-13 可得 x、x′ 与 l、l′ 间的关系为 x = l − f、x′ = l′ − f′，代入牛顿公式得 f/l + f′/l′ = 1，这就是以主点为原点的物像公式的一般形式，称为高斯公式；其相应的垂轴放大率公式也可由牛顿公式转化得到。
当光学系统的物空间和像空间的介质相同时，物方焦距和像方焦距有简单的关系 f′ = −f，则上面两式可写成 1/l′ − 1/l = 1/f′ 与 β = l′/l。
利用高斯公式或牛顿公式可以求出物像位置关系，利用相应的垂轴放大率公式可以判断成像性质。
图 2-14 理想光学系统两焦距之间的关系
3．理想光学系统两焦距之间的关系
图 2-14 是轴上点经理想光学系统成像的光路，因为一对共轭光线在相应主面上的投射高度相等，所以有 h = l·tgU = l′·tgU′ 等关系，代入牛顿公式的垂轴放大率公式 β = −f/x = −x′/f′，化简后即可得到两焦距与共轭距之间的关系式。
上式在近轴区也成立，正切值可用角度的弧度值代替，即在近轴区域内有关系式成立；又因为近轴区拉赫公式 nuy = n′u′y′，将此式与上式联立可解出物方焦距和像方焦距之间的关系式 f′/f = −n′/n。
此式表明：光学系统两焦距之比等于相应空间介质折射率之比。绝大多数光学系统都在同一介质（一般是空气）中使用，即 n = n′，故两焦距绝对值相同、符号相反，即 f′ = −f。由上面两式可得出 n′u′y′ = nuy，这就是理想光学系统的拉赫不变量公式。
第四节 理想光学系统的放大率
在理想光学系统中，除了前面提到的垂轴放大率外，还有两种放大率，即轴向放大率和角放大率。本节分别给出它们的定义与相互之间的关系。
1. 轴向放大率
对于确定的理想光学系统，像平面的位置是物平面位置的函数，具体函数关系由高斯公式和牛顿公式决定。当物平面沿光轴移动微小距离 dx 或 dl 时，其像平面移动的距离 dx′ 或 dl′ 与 dx 或 dl 之比称为轴向放大率，用 α 表示。
将牛顿公式 xx′ = ff′ 微分可得 x′dx + xdx′ = 0，即 α = dx′/dx = −x′/x；再代入牛顿公式形式的垂轴放大率公式，可得 α 与 β 的关系；若物方空间与像方空间介质相同，则上式简化为 α = β²·(n′/n)。
2. 角放大率
过光轴上一对共轭点，任取一对共轭光线，其与光轴的夹角分别为 U 和 U′（图 2-17），这两个角度正切之比定义为这一对共轭点的角放大率，即 γ = tgU′/tgU。
由理想光学系统的拉赫公式可得 γ 与 β 的关系：在确定的光学系统中，垂轴放大率只随物体位置而变化，所以角放大率仅随物像位置而异；在同一对共轭点上，任一对共轭光线与光轴夹角正切之比恒为常数。将上面两式左右两端分别相乘可得 α·γ = β 的等价形式，这就是理想光学系统的三种放大率之间的关系式。
图 2-17 角放大率
图 2-18 过节点的光线平行
3. 光学系统的节点：光学系统中角放大率等于 1 的一对共轭点称为节点。
3.1 物空间与像空间介质相同时：角放大率公式可简化，此时当 γ = 1 时有 β = 1；由于一对主平面的垂轴放大率为 1，主点即为节点。根据节点的定义，过主点的入射光线经过系统后出射方向不变，如图 2-18 所示。
3.2 物方空间折射率与像方空间折射率不相同时：角放大率的物像共轭点（即节点）不再与主点重合。由 γ = n/n′·(1/β) 代入，根据节点的角放大率为 1 可得到节点相对于焦点的偏移关系式。
此时主点与节点分离，作图法求像与节点特性的应用都必须区分两者位置。
在决定节点位置时应以相应的焦点为原点，同时要考虑物方焦距和像方焦距的符号：若 f＞0 则相应偏移量为正，所以物方节点位于物方焦点之右相距 f′ 之处；又因 f′＜0，所以像方节点位于像方焦点之左相距 f 之处，如图 2-19 所示。过节点的共轭光线彼此平行。
光线通过节点方向不变的性质可方便地用于图解法求像。一对节点加上前面已述的一对主点和一对焦点，统称为光学系统的基点。
图 2-19 过节点的光线平行
3.3 节点特性的应用 3.3.1 测定光学系统的基点位置
如图 2-20 所示，将一束平行光束入射于光学系统，并使光学系统绕通过像方节点的轴线左右摆动。由于入射光线方向不变而且彼此平行，根据节点的性质，通过像方节点的出射光线一定平行于入射光线；同时由于转轴通过该节点，出射光线的方向和位置都不会因摆动而变化，像点也不会上下移动。
如果转轴不通过节点，系统摆动时像点位置会发生上下移动。利用这一性质，一边摆动系统、一边连续改变并观察像点位置，当像点不动时转轴位置即是像方节点位置；颠倒光学系统重复操作，便可得到物方节点位置。
图 2-20 光学系统基点的测定
图 2-21 周视照相机节点
3.3.2 周视照相机
如图 2-21 所示，用于拍摄大型团体照片的周视照相机也利用节点的性质构成。拍摄对象排列在一个圆弧上，照相物镜并不能使全部物体同时成像，而只能使小范围的物体成像于底片上。
当照相物镜绕像方节点转动时，就可把整个拍摄对象成像在底片上；若物镜转轴与像方节点不重合，转动时点的像将在底片上移动，使照片模糊不清。而当转轴通过像方节点时，像点不移动，整幅照片可获得整个物体的清晰像。
图 2-22 测定焦距的方法
4．用平行光管测定焦距的依据
如图 2-22 所示，一束与光轴成 ω 角入射的平行光束经系统以后会聚于焦平面上的一点，这就是无限远轴外物点的像。该点的高度即像高，是由这束平行光束中过节点的光线决定的。
如果被测系统放在空气中，则主点与节点重合，因此由图示关系可得 f′ = y′/tgω。上式表明：只要给被测系统提供一束与光轴倾斜成给定角度 ω 的平行光束，测出其在焦平面上会聚点的高度，就可算出焦距。
第五节 理想光学系统的组合
一个光学系统可由一个或几个部件组成，每个部件可以由一个或几个透镜组成，这些部件被称为光组。光组可以单独看作一个理想光学系统，实际应用中常将两个或两个以上的光组组合在一起使用。
本节讨论由两个光组或多个光组组成的理想光学系统的求像方法。
1．图解法求像
多个光组的图解法求像过程与单个光组相似，需要注意的是前一光组的像就是后一光组的物。按照这一思路，利用追踪典型光线的方法逐个光组图解法求像，最后得到的像就是多个光组所成的像。
2. 解析法求像：第一种方法是逐个光组计算法，最后求出像的位置及成像性质；第二种方法是等效光学系统法；第三种方法是正切计算法。
2.1 逐个光组计算法：从第一个光组开始对每个光组利用牛顿公式或高斯公式，前一光组所成的像就是后一光组的物，因此需要确定相邻两光组之间的过渡公式。每个光组的焦距、焦点与主点位置以及光组间的相互位置均为已知。
图 2-26 相邻两光组间的关系
如图 2-26 所示的两个光组，物点被第一光组成像于 A1′，它就是第二个光组的物。两光组的相互位置以距离 d 表示。由图可见有如下过渡关系：l2 = l1′ − d1，u2 = u1′（孔径角传递）。
上式中 Δ 为第一光组的像方焦点到第二光组物方焦点的距离，即 Δ = d − f1′ + f2，称为光学间隔。它以第一个光组的像方焦点为原点决定正负：若它到下一个光组物方焦点的方向与光线方向一致则为正，反之为负。
由图可知光学间隔与主面间隔之间的关系为 Δ = d − f1′ + f2。若光学系统由若干个光组组成，则推广到一般的过渡公式和两个间隔间的关系（下标 k 为光组序号）。
由于前一个光组的像是下一个光组的物，若光学系统由 k 个光组组成，则有 β1、β2 … βk 依次相乘，所以整个系统的放大率等于各光组放大率的乘积：β = β1·β2·…·βk。
2.2 等效光学系统法
该方法是将两个光组等效成一个光组，求出等效光学系统的焦距，确定等效光学系统的焦点位置和主点位置，然后再利用高斯公式或牛顿公式求像。
该方法主要适用于两个光组的组合；如果是多个光组，需要多次等效直至最后等效成一个光组，计算比较麻烦，因此多光组的计算通常改用第三种正切计算法。
假定两个已知光学系统的焦距分别为 f1、f1′ 和 f2、f2′（图 2-27）。两个光学系统间的相对位置用第一个系统的像方焦点距第二个系统的物方焦点的距离 Δ 表示，称为光学间隔；Δ 的符号规则是以 F1′ 为起算原点计算到 F2，顺光路方向为正。
分别用 f、f′ 表示组合系统的物方焦距和像方焦距，用 F、F′ 表示组合系统的物方焦点和像方焦点。
图 2-27 两个光组的等效
首先求像方焦点的位置：根据焦点的性质，平行于光轴入射的光线通过第一个系统后一定通过 F1′，再通过第二个光学系统，其出射光线与光轴的交点就是组合系统像方焦点。对第二个系统而言 F1′ 与 F′ 是一对共轭点，应用牛顿公式（起算原点为 F2）即可求得系统像方焦点的位置。
至于物方焦点的位置，据定义经过 F 点的光线通过整个系统后一定平行于光轴，所以它通过第一个系统后一定经过 F2；对第一个系统而言 F 与 F2 是一对共轭点，利用牛顿公式（起算原点为 F1）即可求得系统的物方焦点位置。
焦点位置确定后，只要求出焦距，主平面位置随之也就确定了。由前述定义知，平行于光轴的入射光线和出射光线的延长线的交点一定位于像方主平面上。
由图 2-27 知存在两组相似三角形关系，可得相应比例式；根据图中的标注代入并化简后，得到组合系统像方焦距 f′ = −f1′f2′/Δ，同理可得物方焦距的对应表达式。
假定组合系统物空间介质的折射率为 n1，两个系统间的介质折射率为 n2，像空间介质的折射率为 n3，根据物方焦距和像方焦距间的关系，由两焦距之间的关系式代入上式可得组合焦距的一般表达式。
光学间隔 Δ 也可由两主平面之间的距离 d 表示。d 的符号规则是以第一系统的像方主点为起算原点计算到第二个系统的物方主点，顺光路为正，由图 2-27 得 Δ = d − f1′ + f2。
下面推导由高斯物距和像距表示的焦点和主点的位置。由图 2-27 可得组合系统像方焦点相对于第二系统主点的距离表达式，代入前一公式可得 lF′ 的表达式；又因为 f′ = −f1′f2′/Δ，可得 lF 的表达式。
同理可得物方焦点位置的表达式，由图 2-27 并利用上述二式可得主平面位置。知道了焦点及主点位置后就可确定物距和像距，然后利用高斯公式或牛顿公式求像。
图 2-28 多光组计算
2.3 正切计算法
当多于两个的光组组合成一个系统时，再沿用两个光组的合成方法过程繁杂且容易出错，所得公式也很复杂。这里介绍一个基于计算的求组合系统的方法。
为求出组合系统的焦距，可以追迹一条投射高度为 h1 的平行于光轴的光线，只要计算出最后出射光线与光轴的夹角（孔径角）Uk′，则 f′ = h1/tgUk′；这里下标 k 表示该系统中的光组数目，投射高度 h1 是入射光线在第一个光组主面上的投射高度，如图 2-28 所示。
对任意一个单独的光组来说，将高斯公式两边同乘以共轭点的光线在其上的投射高度，可得该光组的关系式；利用 tgU′ 与 tgU 的关系，容易得到同一条计算光线在相邻两个光组上的投射高度之间的关系（下标 k 为光组序号）。
已知 h1、tgU1，然后利用上面两式逐个光组计算，最后求得 tgUk′，进而求得多光组系统的焦距 f′ = h1/tgUk′。
假设有 3 个光组的组合系统，任取 h1 并令 tgU1 = 0，则有像方焦距 f′ = h1/tgU3′、像方焦点的位置 lF′ 以及像方主点的位置 lH′ 的相应表达式。
若求物方焦点及物方主点的位置，只要做逆光路计算，将求得的结果反号就是对应的物方参数。
3．理想光学系统的光焦度
像方焦距的倒数称为光学系统的光焦度，用 φ 表示，即 φ = 1/f′ = n′/f′（一般形式）。因为 f′ = −f1′f2′/Δ，所以当两个系统位于同一种介质（例如空气）中时，可得组合光焦度 φ = φ1 + φ2 − d·φ1·φ2。
当两个光学系统主平面间的距离为零，即在密接薄镜组的情况下，有 φ = φ1 + φ2：密接薄透镜组的总光焦度是两个薄透镜光焦度之和。
第六节 透镜
1．透镜的分类
透镜是构成光学系统的最基本单元，由两个球面或一个球面和一个平面构成，按形式可分为两大类、六种形状。
图 2-30 透镜的类型
本页以图示方式给出六类透镜的截面形状：正透镜为双凸、平凸、月凸三种，负透镜为双凹、平凹、月凹三种，供对照各类透镜的外形与厚薄差异，具体形状请对照原课件图片查看。
2．透镜的焦距和基点位置
把透镜的两个折射球面看作两个单独的光组，只要分别求出它们的焦距和基点位置，再应用前述的光组组合公式就可以求得透镜的焦距和基点位置。
2.1 单个折射球面的主点
在近轴区内单个折射球面完善成像，它也具有基点和基面。如图 2-31 所示，对于主平面而言其轴向放大率为 +1，故有相应关系成立；将单个折射球面的物像位置关系式代入即可得到主点位置的方程。
图 2-31 单个折射球面的主点位置
由于关系式左边为 0，只有 r = 0 的极限情形上式才成立，所以对单个折射球面而言，物方主点、像方主点与球面顶点相重合，而且物方主平面和像方主平面切于球面顶点。
2.2 透镜的焦距和基点位置
对每个折射面利用单个折射球面的成像公式：只要令 l = ∞，此时求得的 l′ 就是单个折射面的像方焦距；令 l′ = ∞，此时求得的 l 就是物方焦距。
假定透镜放在空气中，即 n1 = n2′ = 1；透镜材料折射率为 n，即 n2 = n1′ = n，则有相应的物方焦距与像方焦距表达式；透镜的光学间隔由两个光组的组合公式给出，进而可求得：
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