页数：39页文件大小：1.65 MB来源： 工程光学ppt课件
本课件为《工程光学》第4章，讨论平面镜、平行平板、反射棱镜、折射棱镜与光楔等平面光学元件的成像特性，包括平面镜旋转测微、双平面镜成像、棱镜展开与成像方向判断、偏向角与最小偏向角公式，以及棱镜色散和光学材料参数。
第4章 平面与平面系统
第4章 平面与平面系统
光学系统除利用球面光学元件（如透镜和球面镜等）实现对物体的成像特性外，还常用到各种平面光学元件，如平面反射镜、平行平板、反射棱镜、折射棱镜和光楔等。这些平面光学元件主要用于改变光路方向、倒像及色散。本章主要讨论这些平面光学元件的成像特性。
【本章教学要点】
| 相关知识 | 掌握程度 | 知识要点 |
|---|---|---|
| 平面镜成像 | 掌握平面镜成像的特点、平面镜旋转时的成像特点以及双平面镜成像的特点 | 利用平面镜旋转时的特点测量微小角度和微小位移；奇数次与偶数次成像的不同 |
| 相关知识 | 掌握程度 | 知识要点 |
|---|---|---|
| 平行平板成像及其等效光学系统 | 掌握平行平板的成像特点以及等效成的空气平板的厚度 | 平行平板成非完善像；物体经平行平板的光学系统后所成像的求法 |
| 反射棱镜的分类及特点 | 熟悉各种反射棱镜的应用场合；掌握反射棱镜的成像方向判断方法 | 反射棱镜的作用；屋脊棱镜与一般反射棱镜的区别 |
| 折射棱镜与光楔 | 熟悉折射棱镜的偏向角公式；掌握最小偏向角公式及光楔的偏向角 | 折射棱镜的折射面和折射棱；双光楔测量微小角度和微小位移 |
| 光学材料 | 了解平均折射率、阿贝常数、部分色散和相对色散的定义；熟悉透射材料和反射材料的特点 | 透射材料的种类及特点；反射材料的特点 |
第一节 平面镜成像
平面反射镜又称平面镜，是光学系统中唯一能成完善像的光学元件，在日常生活中并不少见，如穿衣镜、化妆镜等。
1. 单平面镜
如图 3-1 所示，物体上任一点发出的同心光束被平面镜反射：沿法线方向的光线沿原光路返回，另一条光线以入射角入射、经反射后出射，其延长线与法线光线交于一点。由反射定律及几何关系容易证明，物距与像距绝对值相等、符号相反。这表明同心光束经平面镜反射后变换为以像点为中心的同心光束，因此该点为物点的完善像点，整个物体也成完善像。
图 3-1 平面镜成像
同样可证明，由物点发出的另一条光线经反射后，其反射光线的延长线必交于同一点。这表明，由物点发出的同心光束经平面镜反射后变换为以该点为中心的同心光束，因此该点是物点的完善像点。
同理可证明物体的其它点也分别成完善像点，由于物体上每点都成完善像，所以整个物体也成完善像。
图 3-1 平面镜成像
1.1 平面镜成像特点：
图 3-2 平面镜成镜像
1.2 平面镜旋转时的特点
当入射光线方向不变而转动平面镜时，反射光线的方向将发生改变。如图 3-3 所示，设平面镜转动 θ 角时反射光线转动 2θ 角，根据反射定律，反射光线的方向改变了 2θ。
即反射光线相对入射光线的偏转角是镜面转角的两倍，这是平面镜测微的基本依据。
图 3-3 平面镜旋转时的成像
利用平面镜转动的这一性质，可以测量微小角度或位移。如图 3-4 所示，刻有标尺的分划板位于准直物镜的物方焦平面上，标尺零位点与物方焦点重合，发出的光束经物镜后平行于光轴。
若平面镜与光轴垂直，平行光经平面镜反射后原光路返回，重新会聚于原点；若平面镜转动 θ 角，平行光束经平面镜后与光轴成 2θ 角，经物镜后成像于偏离焦点 y 处。设物镜焦距为 f′，则 y = f′·tg2θ，其中 y 可由分划板标尺读出、物镜焦距已知，即可求出平面镜转动的微小角度。
图 3-4 测定微小角度和位移
若平面镜的转动是由一顶杆移动引起的，设顶杆到支点距离为 b、顶杆微小移动量为 x，则 θ = x/b，代入上式得 y = (2f′/b)·x，式中 2f′/b 为光学杠杆的放大倍数，利用此式可测量顶杆的微小位移。
2．双平面镜成像
如图 3-5 所示，设两个平面镜的夹角为 α，光线入射到双平面镜上，经两个平面镜依次反射后沿某方向出射，出射光线与入射光线的延长线相交，其夹角即为出射光线相对入射光线的偏转角。
图 3-5 双平面镜成像
下面看经双平面镜两次反射后出射光线与入射光线间的关系。由四边形与三角形的内角关系，并根据反射定律，可得 ∠I1 = ∠I2，于是有 β = 2α。
可见，出射光线和入射光线的夹角与入射角的大小无关，只取决于双平面镜的夹角。由此可以推得：如果双面镜的夹角不变，当入射光线方向一定时，双面镜绕其棱边旋转，出射光线方向始终不变。利用这一性质，光学系统中用双面镜折转光路时对其安装调整特别方便。
如图 3-6 所示，一右手坐标系的物体经双面镜的两个反射镜依次成像，经第一次反射的像为左手坐标系，经第二次反射后成的像（称为连续一次像）还原为右手坐标系。
因此，连续一次像可认为是由物体绕棱边旋转 2α 角形成的，旋转方向由第一反射镜转向第二反射镜。只要双面镜夹角不变，双面镜转动时连续一次像不动。
图 3-6 连续一次像
总之，双平面镜的成像特性可归结为：
第二节 平行平板
由两个相互平行的折射平面构成的光学元件称为平行平板。平行平板是光学仪器中应用较多的一类光学元件，如刻有标尺的分划板、盖玻片、滤波片等都属于这一类光学元件。反射棱镜也可看作是等价的平行平板。
1. 平行平板的成像特性
如图 3-7 所示，轴上点发出一孔径角为 U1 的光线，经平行平板两面折射后，其出射光线的延长线与光轴相交，出射光线的孔径角为 U1′。设平行平板位于空气中，平板玻璃的折射率为 n，光线在两折射面上的入射角和折射角分别为 I1、I1′ 和 I2、I2′。因为二折射面平行，则有 I1′ = I2，由折射定律得 I2′ = I1，所以 U1′ = U1。
图 3-7 平行平板的成像
由此可知：出射光线平行于入射光线，光线经平行平板后方向不变；平行平板成像不会使物体放大或缩小；物沿光轴移动时像沿光轴同方向移动。
下面通过物点与像点之间产生的轴向位移讨论平行平板的成像是否完善。如图 3-7 所示，出射光线与入射光线之间存在侧向位移，将三角公式展开并利用折射定律代入，可得轴向位移 Δl′ 的表达式。
该式表明，轴向位移随入射角（即孔径角）的不同而不同，即轴上点发出的不同孔径同心光束变成了非同心光束，因此平行平板不能成完善像。
2. 近轴区平行平板的成像
当入射光线在近轴区以细光束通过平行平板成像时，因为 U1 很小、余弦可近似等于 1，轴向位移公式简化为 Δl′ = d(1 − 1/n)，式中 d 为平行平板厚度。
该式表明，近轴光线的轴向位移只与平行平板厚度及折射率有关，而与入射角（孔径角）无关，因此物点以近轴光经平行平板成像是完善的。这时不管物体位置如何，其像可认为是由物体移动一个轴向位移得到的。
第三节 反射棱镜
将一个或多个反射面磨制在同一块玻璃上的光学元件称为反射棱镜，在光学系统中主要用于折转光路、转像、倒像和扫描等。
在反射面上，若所有入射光线不能全部发生全反射，则必须在该反射面上镀以金属反射膜（如银、铝等），以减少反射面的光能损失。
1. 反射棱镜的概念及分类
光学系统的光轴在棱镜中的部分称为棱镜的光轴（图 3-8），每经过一次反射光轴就折转一次。反射棱镜的工作面为两个折射面和若干个反射面，光线从一个折射面入射、从另一个折射面出射，两个折射面分别称为入射面和出射面，大部分反射棱镜的入射面和出射面都与光轴垂直。
工作面之间的交线称为棱镜的棱，垂直于棱的平面叫主截面，一般取主截面与光学系统的光轴重合，因此又叫光轴截面。
反射棱镜种类繁多，大体上可分为简单棱镜、屋脊棱镜、立方角锥棱镜。
图 3-8 反射棱镜的主截面
1.1 简单棱镜
简单棱镜只有一个主截面，它所有的工作面都与主截面垂直。根据反射面数的不同，又分为一次反射棱镜、二次反射棱镜和三次反射棱镜。
图 3-9 简单棱镜
1.1.1 一次反射棱镜
一次反射棱镜使物体成镜像。最常用的有：
道威棱镜的这一特性可应用在周视瞄准仪中，如图 3-10 所示。
当直角棱镜在水平面内以角速度 ω 旋转时，道威棱镜绕其光轴以 ω/2 的角速度同向转动，可使在目镜中观察到的像的坐标方向不变。这样观察者可以不改变位置就能周视全景。
由于道威棱镜的入射面和出射面与光轴不垂直，所以道威棱镜只能用于平行光路中。
从上面的讨论可知，对于简单棱镜，在主截面内的坐标改变方向，垂直于主截面的坐标不改变方向，而始终沿出射光轴方向。
图 3-10 周视瞄准仪
1.1.2 二次反射棱镜
二次反射棱镜连续经过两个反射面的反射，所以像与物的坐标系相一致。常用的二次反射棱镜如图 3-11 所示，从图 a 到图 e 分别为半五角棱镜、30° 直角棱镜、五角棱镜、直角棱镜和斜方棱镜，两反射面的夹角分别为 22.5°、30°、45°、90° 和 180°。
图 3-11 二次反射棱镜
1.1.3 三次反射棱镜
常用的三次反射棱镜为斯密特棱镜，如图 3-12 所示。出射光线与入射光线的夹角为 45°，奇数次反射成镜像。
其最大特点是光线在棱镜中的光路很长，可以折叠光路，使仪器结构紧凑。
图 3-12 斯密特棱镜
1.2 屋脊棱镜
奇数次反射使物体成镜像。如果需要得到与物体一致的像而又不宜增加反射棱镜，可用交线位于棱镜光轴面内的两个相互垂直的反射面取代其中一个反射面，使垂直于主截面的坐标被这两个相互垂直的反射面依次反射而改变方向，从而得到物体的一致像（图 3-13）。
这两个相互垂直的反射面叫做屋脊面，带有屋脊面的棱镜称为屋脊棱镜。常用的屋脊棱镜有直角屋脊棱镜、半五角屋脊棱镜、五角屋脊棱镜、斯密特屋脊棱镜等。
图 3-13 屋脊棱镜
1.3 立方角锥棱镜
这种棱镜由立方体切下一个角而形成（图 3-14），其三个反射工作面相互垂直，底面是一等腰三角形，为棱镜的入射面和出射面。
立方角锥棱镜的重要特性在于：光线以任意方向从底面入射，经过三个直角面依次反射后，出射光线始终平行于入射光线；当棱镜绕其顶点旋转时，出射光线方向不变，仅产生一个位移。
立方角锥棱镜用途之一是和激光测距仪配合使用：激光测距仪发出准直激光束，经位于测站上的立方角锥棱镜反射后原方向返回，由接收器接收，从而解算出测距仪到测站的距离。
图 3-14 立方角锥棱镜
2. 棱镜系统的成像方向判断
正确判断棱镜系统的成像方向对于光学系统设计至关重要。这里归纳为如下判断原则：
3. 反射棱镜的等效作用与展开
反射棱镜在光学系统中等价于一块平行平板，按照反射面的反射顺序依次作出整个棱镜被其所成的像，即可将棱镜展开为平行平板。
图 3-15 就是对一次反射等腰直角棱镜、道威棱镜和斯密特棱镜所展成的平行平板。由图可见，本来在棱镜内部几经转折的光轴，展开后连成了直线；其中的道威棱镜由于入射面、出射面不与光轴垂直，其对应的平板是倾斜于光轴的。
图 3-15 棱镜的展开
通常用反射棱镜的结构常数 K 来表示棱镜的通光口径 D（入射面上或出射面上的最大光斑直径）和棱镜中的光轴长度 L 之间的关系，即 L = K·D。一般情况下 K 是等效平板的厚度，但道威棱镜例外。
根据棱镜的通光口径和结构常数，即可求出棱镜的结构尺寸。由于反射棱镜等效于平行平板，将其应用于光学系统的非平行光束中时，必须考虑到平行平板既会产生像的轴向位移，又会产生像差。
第四节 折射棱镜与光楔
折射棱镜是通过两个折射表面对光线的折射进行工作的，两折射面的交线称为折射棱，两折射面间的夹角称为折射棱镜的顶角。同样，垂直于折射棱的平面称为折射棱镜的主截面。
1. 折射棱镜的偏转
如图 3-16 所示，光线入射到折射棱镜上，经两折射面折射后，出射光线与入射光线的夹角称为偏向角 δ，其正负规定为：由入射光线以锐角转向出射光线，顺时针为正，逆时针为负。
设棱镜折射率为 n，光线在两个折射面上的入射角和折射角分别为 I1、I1′ 和 I2、I2′，在两个折射面上分别用折射定律有 sinI1 = n·sinI1′、n·sinI2 = sinI2′（式 3-8）；将两式相减并利用和差化积公式可得式（3-9）。
图 3-16 折射棱镜
在三角形中由内角关系可得式（3-10）；在另一三角形中有相应关系，所以得式（3-11）；代入式（3-9）得式（3-12）。
由此可见，光线经过折射棱镜折射后产生的偏向角与 I1 有关，所以偏向角随光线的入射角而变化。可以证明，δ 随 I1 变化的过程中有一极小值，这个极小值称为折射棱镜的最小偏向角。由式（3-11）对 I1 微分得式（3-13）。
对式（3-8）两边分别微分得式（3-14）；对式（3-10）微分后代回并将两式相除得式（3-15）。令 dδ/dI1 = 0 代入上式得：偏向角为极值时必须满足式（3-16）；由式（3-8）得式（3-17）。欲使式（3-16）与式（3-17）同时成立，必须满足 I1 = −I2′（式 3-18）。
可以证明此时 d²δ/dI1²＞0，即为极小值。这表明：光线的光路对称于折射棱镜时，偏向角取得最小值。将式（3-18）代入式（3-12），得最小偏向角的表达式（式 3-19）。
2. 光楔及其应用
折射角很小的棱镜称为光楔。由于折射角很小，其偏向角公式可以大大简化：当 I1 为有限大小时，因顶角 A 很小，可近似看作平行平板，即 I1′ ≈ I2，代入式（3-12）并用弧度代替相应正弦值，有式（3-20）。
当 I1 很小时，δ 也很小，则上式中的余弦用 1 代替，得 δ ≈ (n − 1)A（式 3-21）。这表明，当光线垂直入射或接近垂直入射时，所产生的偏向角仅由光楔的顶角和折射率决定。
光楔在小角度测量中有着重要作用。如图 3-17 所示，双光楔折射角均为 A，相隔一微小间隙，两光楔相邻工作面平行并可绕光轴转动：当两光楔转到图 a 所示位置时，所产生的偏向角最大，为两光楔偏向角之和；当转到图 b 所示位置时，所产生的偏向角为零；当两光楔转到有一夹角 φ 时，两光楔产生的总偏向角随 φ 而变（式 3-22）。
这样，就可将光线经双光楔所产生的最小偏向角转换为两光楔间的夹角进行测微。
图 3-17 双光楔旋转测量微小角度
3. 棱镜色散
白光由许多不同波长的单色光组成，同一透明介质对于不同波长的单色光具有不同的折射率。根据偏向角公式可知，以同一角度入射到折射棱镜上的不同波长的单色光将有不同的偏向角，因此白光经过棱镜后将被分解为各种色光，这种现象称为色散。
通常波长长的红光折射率低、波长短的紫光折射率高，因此红光偏向角小、紫光偏向角大，如图 3-18 所示。
图 3-18 折射棱镜的色散
狭缝发出的白光经透镜准直为平行光，平行光经过棱镜分解为各种色光，在透镜焦面上从上到下排列着红、橙、黄、绿、青、蓝、紫各色光的狭缝像，这种按波长长短顺序的排列称为白光光谱。光学上常用夫琅和费谱线作为特征谱线，表 3-1 给出了夫琅和费谱线的特征。
| 颜色 | 波长/nm |
|---|---|
| 紫外 | ＜400 |
| 紫 | 404.7 |
| 紫 | 434.1 |
| 蓝 | 435.8 |
| 青 | 486.1 |
| 绿 | 546.1 |
| 黄 | 587.6 |
| 橙 | 589.3 |
| 红 | 643.9 |
| 红 | 656.3 |
| 红 | 709.5 |
| 红外 | 766.5 |
| 红外 | ＞770.0 |
说明：原表为「颜色、符号及波长」三列，源文件未提取到「符号」列的文字，此处按可辨识内容还原为颜色与波长两列，符号列待对照原课件图片补充。
4. 光学材料
光学成像要通过光学零件的折射和反射来实现。一种材料能否用来制造光学零件，主要取决于透射时它对成像的光波波段是否透明，或者在反射的情况下是否具有足够高的反射率。
透射光学零件的材料绝大部分采用光学玻璃，一般的光学玻璃能够透过的光波波段范围有限，在此范围以外则表现出对光的强烈吸收。光学玻璃可分为冕牌和火石两大类：一般情况下，冕牌玻璃的特征是低折射率低色散，火石玻璃是高折射率高色散；但随着光学玻璃工业的发展，高折射率低色散和低折射率高色散的玻璃也相继出现，促进了光学工业的发展。
透射材料的特性除透过率外，还有它对各种特征谱线的折射率。以夫琅和费特征谱线中 F 光、C 光的折射率 nF、nC 以及 d 光（或 D 光）的折射率 nd 和二者折射率差为其主要光学性能参数；nd 称为平均折射率，nF − nC 称为平均色散，(nd − 1)/(nF − nC) 称为阿贝常数或平均色散系数。将任意一对谱线的折射率差称为部分色散，部分色散与平均色散的比值称为部分色散系数或相对色散。
对于反射光学零件，一般都是在正确形状的抛光玻璃表面镀以高反射率材料的薄膜而成。反射膜一般都用金属材料镀制，不同金属的反射面其适用波段不同：如银在可见波段具有很高的反射率，但镀银面的反射率会随时间延长而降低；铝的反射率虽比银低，但铝反射面能在空气中形成致密氧化层，使反射率保持稳定，经久耐用。
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