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本课件介绍平面镜成像的对称性、镜像性与旋转性及其在微小位移测量中的应用，随后系统讲解反射棱镜的工作面与光轴截面、简单棱镜屋脊棱镜与复合棱镜的类型、棱镜系统的物像坐标变换与展开方法，再讨论平行平板的成像特性与等效空气层，最后是折射棱镜的偏向角色散与光楔测微。
第四章 平面系统
《工程光学》第四章，讨论平面镜、反射棱镜、平行平板与折射棱镜等平面光学元件。
第一节 平面镜
平面镜即平面反射镜，是一种最简单的平面成像元件，在日常生活中也经常使用。本节讨论单平面镜及双平面镜。
如图4-5所示，P、P′ 关于平面镜 O1O2 对称。利用球面镜的物像公式，令 r＝∞，对任意给定的物点，可得单平面镜的成像特性式（4-1）。
说明平面镜所成之像是物像对称、虚实相反、像正立且与物等大。
——对称性
如图4-6，基于对称性，一个为左手系坐标的物体，成像后将成为右手系，这种成像关系称作镜像。
物体遇奇数次反射成镜像，遇偶数次反射成一致像。
——镜像性
如图4-7，当平面镜绕经 O 点垂直于纸面的轴线旋转 α 角时，光线的入射角被改变 α 角，根据反射定律，反射角也改变 α 角，因此旋转后的反射光线 OA″ 相对于旋转前的反射光线 OA′ 改变了 2α 角。
当入射光线的方向不变，将平面镜旋转 α 角，其出射光线的方向将同向旋转 2α 角。
——旋转性
利用旋转性质，可以进行小角度或小位移的测量，图4-8是测量的原理图。
A 点位于透镜物方焦点处，其发出的光线经透镜 L 后以水平方向的平行光出射，被垂直于光轴置放的平面镜反射，再以原路返回，成像于 A 点，与物点重合。当测杆向前推动一个小量 x，带动平面镜旋转一个小角，使原来垂直于平面镜入射的光线变成以 α 角入射于平面镜，反射光线则以改变 2α 角的方向出射，反射后的斜平行光被透镜成像于焦面上的 A′ 点，AA′ 即为测杆移动 x 所引起的像点移动量。
双面镜的成像特性 ⑴ 像点的位置
如图4-9，由反射镜成像的对称性可得式（4-3）（4-4）。
⑵ 光线经双面镜反射后出射光线的方向
如图4-10，根据图中的几何关系可以得到式（4-5）。
由此可知，出射光线与入射光线的夹角与入射角无关，只取决于双面镜之间的夹角 α。对于确定的双面镜，只要入射光线的方向保持不变，其出射光线的方向不受双面镜位置的影响。
第二节 反射棱镜
反射棱镜一般是将多个反射平面做在同一块玻璃上的光学元件。如图4-11所示：
⑴ 简单棱镜：只含有一个光轴截面（简称主截面）的棱镜称为简单棱镜，棱镜所有的工作面都与该主截面垂直。如图4-12所示是几种常用的简单棱镜。
（2）屋脊棱镜：当棱镜中的一个（或多个）反射面由被称作屋脊的两个互相垂直的反射面所取代，且屋脊的顶位于主截面内（如图4-13b），这种棱镜称为屋脊棱镜。
屋脊面的作用是增加一次反射，以改变物像的坐标系关系。
图4-13：（a）简单棱镜 （b）屋脊棱镜 棱镜的坐标变换
（3）复合棱镜：复合棱镜是将多个简单棱镜（或屋脊棱镜）组合在一起使用的棱镜组，组合的形式又主要分为主截面互相重合（图4-14）及主截面互相垂直（图4-15）两种情况，它们被用来实现一些特殊的功能。
图4-14 主截面共面的复合棱镜；图4-15 主截面不共面的复合棱镜。
为简便分析，物体的三个坐标方向分别取为：① 沿着光轴（如 z 轴）；② 位于主截面内（如 x 轴）；③ 垂直于主截面（如 y 轴）。坐标判断方法归纳如下：
注意：每一屋脊面被认为是两次反射。
在判断复合棱镜的坐标变化时，根据复合棱镜中的主截面可能发生变化的情况，可以将复合棱镜分解成简单棱镜，再按照上述坐标变化原则逐个分析，如图4-16所示。
透镜系统不改变坐标系的旋向，即无论成像的虚、实、正、倒，右（左）手系坐标始终保持不变。在任何情况下，维持沿光轴的坐标轴（如 z 轴）方向不变；但透镜成倒像时，将使物面上的两个垂直于光轴的坐标轴（如 x 轴和 y 轴）同时反向。
例4-1：判断图4-17中物体经光学系统后的坐标方向。
图中标注各反射面处坐标系 x、y、z 及其像方 x′、y′、z′ 的变换标记（1、2、3 各级）。
棱镜在光学系统中除了对光路的转折作用外，还相当于引入一个平行平板。在对含有棱镜的光学系统作光路计算时，通常都是将棱镜简化成一个平行平板。
大多数情况下，光轴垂直于棱镜入射与出射，光轴的长度直接就等于棱镜展开成平板的厚度；而对于光轴不垂直入射的情况，展开的平板厚度为棱镜光轴长度的函数，如图4-18b 所示的道威棱镜，平板厚度 d 与光轴长度 L 之间的函数关系见原式（注：式中角度为光轴在平板前表面的折射角）。
图4-18 多种棱镜的展开：
棱镜的结构参数：K＝L/D，L 为展开后的平板厚度，D 为通光口径。结构常数是对棱镜结构形式的一种描述，每一 K 值都对应于一种棱镜结构形式，图4-18中各反射棱镜的结构常数列于表4-1。
| 名称 | 结构常数 K |
|---|---|
| 等边棱镜 | 1.732 |
| 二次反射直角棱镜 | 2.0 |
| 半五角棱镜 | 1.707 |
| 道威棱镜 | 3.414 |
| 斯密特棱镜 | 2.414 |
| 五角棱镜 | 3.414 |
注：源文件本表文字与数字严重粘连错位（原作「3.414名称名称1.732等边棱镜2.0二次反射直角棱镜1.707半五角棱镜道威棱镜2.414斯密特棱镜3.414五角棱镜」），上表按可辨识的名称与数值配对还原，其中道威棱镜的 K 值在原文本中位置不清，已按同源取值补入，建议对照原课件表格核对。
第三节 平行平面板
光学仪器中常用由两个平行的光学平面构成的元件，称为平行平板或者相当于平行平板的光学元件。
如图4-19，由几何关系和折射定律，得式（4-5）（4-6）。
平行平板使入射光线与出射光线之间产生平移，其结果：
虽然平行平板不改变光线的方向，但可以产生位移。代入相关量并利用式（4-6）化简得式（4-7）。
该式表明，轴向位移 ΔL′ 与物距无关，但随孔径角 U1 的改变而改变。
侧向位移：利用折射定律及三角函数，上式可简化为式（4-8）。
如果平行平板在近轴区以细光束成像，角度的正切值和正弦值都可用弧度值近似代替，并应用折射定律，代入式（4-7），得式（4-9）。
该式表明，在近轴区，平行平板对物点的轴向位移 Δl′ 只与平板的厚度和折射率有关，而与物体的位置以及孔径角无关。
图4-21：等效空气层，如式（4-11）所示。
图4-22：为了计算光线在像面上的高度 h2，一般有较繁的计算式；而利用了等效空气层，以上计算就可以简化。
图中标注 A、D、H、G、Q、P、L、E、C、B、F 等点及平板厚度 d、高度 h1、h2。
目前实际使用的光学仪器，大都是平面棱镜和共轴球面系统的组合。
若系统中用反射棱镜代替平面镜，则除了平面镜的反射作用外，还相当于另外加入了平行平板。因此还必须注意以下几点：
第六次课结束。
第四节 折射棱镜和光楔
如果棱镜工作面对光线的主要作用为折射，则此类棱镜称作折射棱镜。如图4-26所示，折射棱镜是将两个成一定夹角的平面折射面做在同一块玻璃上的器件，它们之间的夹角 α 称作棱镜顶角。
出射光线相对于原入射光线的方向将发生改变，它们之间的夹角称作棱镜的偏向角，用 δ 表示。
图中标注入射角 I1、I1′、I2、I2′ 及折射率 n、顶角 α。
由图4-26可知各角度之间的几何关系，由折射定律列出式（1）（2），联立后得到偏向角表达式（4-12）。
注：源文件上述公式的具体表达式随图片丢失，仅保留公式编号与推导关系。
由式（4-12）可知，折射棱镜的偏向角 δ 与棱镜的顶角 α 及材料折射率 n 有关，也与光线的入射角 I1 有关。
当入射角与出射角满足对称条件时，得到最小偏向角，其值由式（4-13）决定。
实际应用中，常利用最小偏向角的测定来测量棱镜材料的折射率。
由于光学材料随光谱波长有着不同的折射率，由式（4-12）可以看出，当包含多种波长的白光以某一角度入射时，折射棱镜对不同的谱线将会有不同的偏向角。因此，白光经过折射棱镜后，各种谱线将以不同的偏向角分散开来，形成光谱的色散。
图4-28所示的就是棱镜光谱仪的工作原理光路图。
当折射棱镜的顶角 α 很小时，我们把这种折射棱镜称作光楔。
光线可以在两个折射面上近乎垂直地入射和出射，因此可以将角度由弧度值近似代替其正弦值，用 1 代替其余弦值，结合式（4-13）得式（4-14）。
图4-30是将光楔用作角度测微的工作原理：两个光楔绕公共光轴作相对旋转，每旋转 360°，它们的总偏向角 δ 由 －2δ₀ 到 ＋2δ₀（δ₀ 为单个光楔的偏向角）作连续变化。
图4-31是利用光楔作为移动测微的工作原理：其中一个光楔相对另一个光楔作沿轴移动，当移动的距离为 ΔL 时，出射光线将沿垂轴方向移动 Δy。
注：源文件此处 δ₀ 的下标与部分符号已丢失，已按光楔测微的标准表述整理。
The End！
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