页数：35页文件大小：962.6 KB来源： 工程光学ppt课件
本课件从轴上点与轴外点像差的区别入手，讲解轴上点球差的概念、形成原因与影响因素，说明孔径角对像方截距的影响及球差的校正方向，随后讨论彗差等轴外像差的表现形式与判断方法，为光学系统像差平衡与设计提供依据。
第六章 像差理论
《工程光学》第六章，讨论球差、慧差、像散、场曲、畸变与色差等单色与色度像差。
注：源文件本页与次页目录共列出六节（另含畸变、色差），但正文仅包含第一节轴上点球差与第二节慧差，第三至第六节内容缺失，已在校验报告中通报。
第一节 轴上点球差 一、球差的概念和形成
在共轴球面系统中，轴上点和轴外点有不同的像差，轴上点因处于轴对称位置，具有最简单的像差形式。当轴上物点的物距 L 确定，并以宽光束孔径成像时，其像方截距随孔径角 U（或孔径高度 h）的变化而变化，因此轴上物点发出的具有一定孔径的同心光束，经光学系统成像后不复为同心光束，如图6-1所示。
在孔径角很小的近轴区域可以得到物点成像的理想位置 l′，任意孔径角 U 的成像光线偏离理想像点与光轴相交的位置为 L′。
我们把轴上物点以某一孔径角 U 成像时，其像方截距 L′ 与理想像点的位置 l′ 之差称为轴上点球差，又称为轴向球差，如式（6-1）所示（图6-2 光学系统的球差）。
不同孔径角 U（或孔径高度 h）入射的光线有不同的球差值。如果轴上物点以最大孔径角 Um 成像，其球差称之为边光球差；如果以 0.707 孔径角成像，则相应的球差称之为 0.707 带球差，以此类推。
轴上物点以充满入瞳的整个孔径光束成像时，根据不同孔径角（或孔径高度）得到的球差值可以作出系统的球差曲线，图6-3所示为某一系统的球差曲线图。
若各孔径带的球差均为零，这样的系统称之为消球差系统，如图6-3所示。
若大部分光学系统只能对某一孔径高度校正球差，一般是对边光校正球差，称之为球差校正不足；反之称之为球差过校正，如图6-4所示。
图中标注孔径高度 h、h0.707、hm 及对应球差 δL′m。
由于共轴球面系统具有对称性，孔径角为 U 的整个圆形光锥面上的光线都具有相同的球差而交于同一点，延伸至理想像面上将形成一个圆，其半径称为垂轴球差，如图6-2所示。垂轴球差与轴向球差之间关系如式（6-2）所示。
由于球面成像计算公式是严格按照几何光学的基本定律推导得出的，因此可以得出这样的结论：球差的形成是折射球面系统成像的一种必然现象（个别特殊点除外），它是轴上物点以单色光成像时的唯一像差。
二、球差的级数展开式
球差随孔径角或孔径高度而变。为了研究球差的性质，分析如何使系统获得最小的剩余球差，我们可以将球差展开成 U 或 h 的幂级数。
由于轴上物点的轴对称性，当 U 或 h 改变符号时球差不变，故在级数中只含有 U 或 h 的偶次方项；而当 U＝0 或 h＝0 时为近轴光线，球差为零，故级数中不含常数项。如此，球差的级数可表示为式（6-3）、（6-4）。
式中的 U 或 h 都采用相对值，最大孔径时取为 1，A1、A2、…、B1、B2、… 为各次项系数。式中第一项称为初级球差，第二项称为二级球差，二级及以上球差又统称为高级球差。
大部分光学系统的孔径角都不太大，所以二级以上的高级球差已属很小，可以忽略。对这类系统，其球差可用初级和二级两项来表示，即式（6-3）可写成式（6-5）。
对于只含初级和二级球差（高级球差被忽略）的光学系统，只可能对一个孔径带消球差。光学设计通常对最大孔径角 Um 或最大孔径高度 hm（即 h＝1）消球差，使边光球差为零，此时由公式（6-5）得到系数关系，代入（6-5）得式（6-6）。
式（6-6）就是光学系统在边光消球差时的球差表达式。若要分析此时具有最大球差的孔径带，只要将式（6-6）对 h 求导并令其为 0，不难得到：在某一孔径带处的光线具有最大的球差（称剩余球差），其值为——即最大剩余球差为边光二级球差的四分之一。
校正球差的目标就是要使最大的剩余球差校正到系统允许的公差之内。
三、单个折射球面的齐明点
根据折射定律，对单个折射球面，可以证明有三个物体位置可以不产生轴上点球差。这三个位置是：
1. 物点位于球面的球心处。此时物点发出的所有光线将沿球面的法线方向入射，即入射角为 0，折射角也为 0，光线无偏折地通过球面，像点也将位于球心处，如图6-5所示。
图中标注折射率 n、n′ 及球心 C、入射角 I、I′。
上述不产生球差的物点位置，称为齐明点。结合 1 和 3 的两个齐明点位置可以构成无球差的齐明透镜。如图6-8所示为正、负齐明透镜。
四、单透镜的球差
对于单片薄透镜，其光焦度由透镜的材料和曲率半径决定。透镜的光焦度是由成像要求决定的，当确定了透镜的光焦度后，透镜的材料和曲率半径都是可以选择的。对于单透镜而言，减小球差的方法有两种：一是选择材料，二是改变透镜形状（或称透镜弯曲）。
由球差的形成可以得知，球面越弯曲，光线的入射角就越大，球差也就越大。例如，一个对无限远物体成像的凸平透镜，焦距为 100mm，孔径高度取 10mm，下表列出了三种不同折射率时的凸面半径及球差值。
| 折射率 | 凸面半径（mm） | 球差值（mm） | 单透镜焦距（mm） |
|---|---|---|---|
| 1.5 | 50 | -1.175 | 100 |
| 1.6 | 60 | -0.856 | 100 |
| 1.7 | 70 | -0.687 | 100 |
在保证光焦度不变的情况下，可以通过增加透镜的折射率来增大球面的曲率半径，因为选择高折射率的材料有利于减小球差。
注：源文件本表数字与名称粘连（原作「-1.175 50 1.5 100」「-0.856 01.6 100」「-0.687 0 1.7 100」），第二行凸面半径按 50、60、70 的递变规律判为 60（原文疑脱落「6」字符），建议对照原课件表格核对。
在材料选定后，要保证透镜的光焦度，曲率组合必须为定值。保持该定值，如果改变其中一个半径，另一个也随之变化，使得透镜的形状发生改变。或者说，同一光焦度的透镜可以有不同的形状。这种保持焦距不变而改变透镜形状的做法，称为透镜弯曲。
以物体在无穷远为例，图6-9给出了透镜不同形状下的球差变化曲线。可以看出，无论是正透镜还是负透镜，都存在一个最小球差的形状，称为透镜最优形式。
图6-9 球差随透镜形状而变的曲线，横坐标标注透镜形状系数，纵坐标为球差 δL′（0 至 －5 区间）。
同时从图6-9中还可以看到，正透镜总是产生负球差，负透镜产生正球差，单透镜是无法自身校正球差的。为获得消球差系统，必须采用正负透镜的组合，最简单的形式有双胶合透镜和双分离透镜，如图6-10所示。
第二节 慧差 一、慧差的概念和形成
位于光轴以外的物点，由于偏离了共轴球面系统的对称轴位置，成像后的光束聚焦情况比轴上点要复杂得多。本节讨论由光束失对称所引起的像差——慧差。
为了清楚地了解慧差的概念和形成，我们从光束中选取两个互相垂直的平面光束来讨论：其中之一是由光轴和主光线决定的面，称为子午面；另一个是过主光线并且与子午面垂直的面，称为弧矢面。如图6-11所示。
子午面是系统的对称面，也是光束的对称面，该平面内的光束经系统成像后仍位于该平面内。因此，可以用平面图形表示出子午光束的结构。
图6-11 轴外点的宽光束成像，图中标注物点 B、入瞳与子午面、弧矢面。
图6-12中，轴外物点 B 发出充满入瞳的一束光，这束光以通过入瞳中心的主光线为对称中心。考察主光线 z 和一对上下光线 a、b：折射前，上下光线相对于主光线对称；而折射后，上下光线不再对称于主光线，它们的相交点偏离了主光线。
图6-12 子午慧差，图中标注入瞳、高斯像面及 Yz′、Ya′、Yb′ 等高度。
为了分析这一原因，我们作一条连接轴外物点 B 和球心 C 的辅助光轴。显然，物点 B 可看作是辅助光轴上的一点，它发出的 a、b 光线对和主光线 z 对于辅助光轴相当于三条不同孔径角的入射光线，由于系统存在球差，三条光线不能交于一点，这就使得原本对称主光线的一对上下光线，出射后不再关于主光线对称。
我们把这种上下光线对的交点到主光线的垂直距离称为子午慧差，记为 KT′，它的大小反映了子午光束失对称的程度。
由于 a、b 上下光线对的交点并不在理想像面上，为了计算上的方便，我们把上下光线对的交点高度用它们在像面上的各自交点的高度 Ya′ 和 Yb′ 的平均值代替，相应主光线的高度用主光线在像面上的高度 YZ′ 表示，即子午慧差的数学定义如式（6-7）所示。
再看弧矢面的情况，图6-13所示的是物点 B 以弧矢光线成像的立体图。弧矢面内有一对前、后光线 c、d，它们对称于主光线，因此也对称于子午面，因此成像后的交点也必然在子午面内。
图6-13 弧矢慧差，图中标注入瞳、高斯像面及 B′z、B′c、B′d、B′s 等交点。
主光线在子午面内折射，而 c、d 光线在由入射光线和入射点法线所决定的平面内折射，因此它们虽相交在子午面内，但并没有交在主光线上，这样也使得这对光线出射后不再关于主光线对称。它们的交点到主光线的垂直距离称为弧矢慧差，记为 KS′，同样也在像面上度量，即式（6-8），式中各符号的意义与式（6-7）类似。
慧差是轴外物点以宽光束成像的一种失对称的垂轴像差，除了子午和弧矢两个截面外，其它截面也都有不同形式的失对称。
如果入瞳为一圆环，轴外点进入系统的光线就是以物点为顶点、以主光线为对称中心的圆锥面光束，不同的孔径对应于不同大小的光锥。此光束经系统后，由于存在慧差，不复为对称于主光线的圆锥面光束，也不再会聚于一点，它与高斯像面相交成一封闭的复杂曲线，曲线的形状对称于子午面。光锥角度越大，失对称的程度也越大。
整个入瞳可以看成由无数个大小不等的圆环组成，由轴外物点发出的所有通过这些圆环的圆锥面光束，经系统后在高斯像面上截得大小不等、形状不一、并在垂轴方向上相互错开的封闭曲线，最终叠加成一个形状复杂、对称于子午面的弥散斑。
图6-14表示了某系统仅含初级慧差时的轴外物点所成的弥散斑图像。从初级慧差图形中看到，主光线偏到了弥散斑的一边，在主光线与像面的交点处聚集的能量最多，因此也最亮；在主光线以外，能量逐渐散开，光斑变暗，所以整个弥散斑形成了一个以主光线的交点为顶点的锥形弥散斑，其形状像拖着尾巴的彗星，故得名慧差。显然，慧差影响了轴外物点成像的清晰度。
慧差是轴外点以大孔径成像时的像差，不仅随孔径增大而增大，视场越大慧差也越大，初级慧差与视场的一次方成正比。对于小视场大孔径的光学系统，一般采用相对慧差来表示，即小视场的慧差可用式（6-9）表示，称为正弦差。
正弦差的计算公式如式（6-10）所示。其中，实际光线与近轴光线的入射、出射孔径角以及相应的像距、入瞳的像距均参与计算。
当正弦差为 0，我们称此时系统满足等晕条件，显然正弦差就是系统不满足等晕条件的标志，等晕条件可写成式（6-11）。
若系统满足等晕条件，则表明系统在小视场范围内的宽光束成像也同轴上点一样具有对称的结构：如果此时轴上点存在球差，近轴小视场也只存在球差而不存在慧差。当满足等晕条件的同时又有轴上点球差为 0 时，利用拉赫公式，上式又可表示为式（6-12），称为正弦条件。
三、孔径光阑对慧差的影响
慧差是由于轴外点宽光束的主光线与球面对称轴不重合，而由折射球面的球差引起的。如果将入瞳设置在球面的球心处（如图6-15所示），则通过入瞳的主光线与辅助光轴重合，此时轴外点同轴上点一样，入射的上下光线对将对称于该辅助光轴，出射光线也一定对称于辅轴，球面将不产生慧差。
入瞳偏离球心越远，失对称的现象越严重，慧差也就越大。
由于慧差是垂轴像差，当系统结构完全对称、孔径光阑置于系统的中央，且物像放大率为 －1 时，整个光束结构关于系统的中心点对称（如图6-16所示），系统前半部产生的慧差与后半部产生的慧差绝对值相同、符号相反，慧差完全自动消除。
由于一般光学系统的放大率不等于 －1，因此绝对的对称结构并不适合。根据实际系统的物像关系，设计接近对称结构的光学系统，将有利于自动校正慧差。
The End！
第九次课结束。
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