04 第四章 热传导问题的数值解法.pptx

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第2页：第四章 热传导问题的数值解法

第四章热传导问题的数值解法内容简介：本章介绍了数值求解物理问题的基本思想，以二维稳态导热问题和一维非稳态导热为例，介绍了采用有限差分法数值求解导热问题的基本过程。

第3页：导热问题数值求解的基本思想

4-1导热问题数值求解的基本思想

• 一、数值解法的本质数值解法是用物理问题所涉及的空间和时间区域内有限个离散点(称为节点)的物理量近似值来代替物体内实际连续的物理量分布，将连续物理量分布函数的求解问题转化为各节点物理量值的求解问题。t=f(x,y,z,τ)

第4页：二、主要的数值解法有限差分法（FDM）

二、主要的数值解法有限差分法（FDM），主要介绍的方法有限元法（FEM）边界元法（BEM）

第5页：三、数值解法的基本步骤给出问题的

三、数值解法的基本步骤给出问题的数学描述确定节点（区域离散化）建立节点物理量的代数方程求解代数方程解的分析

第6页：三、数值解法的基本步骤给出问题的（续）

1.给出问题的数学描述对问题进行分析，确定问题的类型，并进行合理的简化，给出正确的数学描述。比如下面的问题yxWh,tfq=0qvh,tf0q=0Hλ++v=0∂x2∂y2∂2t∂2tqf∂x-λ∂t=h(t-t)x=0x=Hy=0y=Wf∂y-λ∂t=h(t-t)∂x-∂t=0∂y-∂t=0

第7页：三、数值解法的基本步骤给出问题的（续）

2.离散化（区域和时间的离散）xym将求解区域按照一定规则划分为许多小的小区域，这个过程称作区域的离散。每个小的区域的物理量值由一个点—节点来表示。若是非稳态问题，还需将时间离散化。n

第8页：三、数值解法的基本步骤给出问题的（续）

3.建立节点物理量的代数方程(m+1,n)每一个节点都与它周围相邻的节点存在一定的关系，通过相应的物理定律，可建立它们之间的关系式（属于代数方程式），此关系式又称作节点的离散方程。(m,n+1)(m,n)(m-1,n)(m,n-1)

第9页：把所有节点的离散方程联立起来

• 把所有节点的离散方程联立起来，会组成一个封闭的方程组，对代数方程组的求解可采用直接解法或迭代求解，更多的是采用迭代解法。a11t1+a12t2+......+a1ntn=b1a21t1+a22t2+......+a2ntn=b
• 2............................................an1t1+an2t2+......+anntn=bn
• 4.求解代数方程组

第10页：对解的结果进行进一步的

• 对解的结果进行进一步的分析，获得定性或定量上的一些新的结论。
• 四、数值解法的应用数值解法是目前各行各业解决工程问题和进行科学研究的一种重要方法。如：航空航天、冶金、电力、电子、化工、建筑、能源动力、机械等。
• 5.进行解的分析

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第12页：五、大型的数值计算商用软件目前市

五、大型的数值计算商用软件目前市场上有许多针对某一领域的商用软件，在我们专业应用的有：FLUENT——是目前国际上比较流行的商用CFD软件包，在美国的市场占有率为60%。凡跟流体，热传递及化学反应等有关的工业均可使用。CFX——是由英国AEA公司开发，是一种实用流体工程分析工具，用于模拟流体流动、传热、多相流、化学反应、燃烧问题。此外还有：Phoenics和STAR-CD等。

第13页：导数的有限差分近似表达式有限差分

4-2导数的有限差分近似表达式有限差分的数学基础是用差商代替微商，即用有限差分代替导数。df=limf(x+Δx)-f(x)ΔxΔx=limΔf≈ΔfΔx→0Δx→0dxΔx

第14页：利用泰勒级数可以得到更多形式的微分的差商

利用泰勒级数可以得到更多形式的微分的差商表示，也可以看到其误差。+·+dx2!dx23!dx3df(Δx)2d2f(Δx)3d3ff(x+Δx)=f(x)+Δx+改写，可得(Δx)2d3fΔxd2fdxΔx2dx26dx3dff(x+Δx)-f(x)-·=--=f(x+Δx)-f(x)+O(Δx)Δx式中O(Δx)是用差商代替微商的误差。此种格式被称为向前差分

第15页：利用泰勒级数可以得到更多形式的微分（续）

同样

+·-+d2f(Δx)3d3fdx2!dx23!dx3df(Δx)2f(x-Δx)=f(x)-Δx改写，可得(Δx)2d3f6dx3dxΔx2dx2dff(x)-f(x-Δx)Δxd2f-·-=+=f(x)-f(x-Δx)+O(Δx)Δx此种格式被称为向后差分

第16页：利用泰勒级数可以得到更多形式的微分（续）

+·+dx2!dx23!dx3df(Δx)2d2f(Δx)3d3ff(x+Δx)=f(x)+Δx+-(Δx)3d3f3!dx3+·dx2!dx2df(Δx)2d2ff(x-Δx)=f(x)-Δx+可得一阶导数的中心差分表达式df=f(x+Δx)-f(x-Δx)+O[(Δx)2]dx2Δx如果将下面两式相减，

第17页：可得二阶导数的中心差分表达式

可得二阶导数的中心差分表达式+·++f(x+Δx)=f(x)+Δxdx2!dx23!dx3df(Δx)2d2f(Δx)3d3f-(Δx)3d3f3!dx3+·dx2!dx2df(Δx)2d2ff(x-Δx)=f(x)-Δx+d2f=f(x+Δx)-2f(x)+f(x-Δx)+dx2(Δx)22O[(Δx)]如果将下面两式相加，

第18页：稳态导数的数值分析下面以一个有内

• 4-3稳态导数的数值分析下面以一个有内热源的二维稳态导热问题为例。
• 一、给出问题的数学描述yxWh,tfq=0qvh,tf0q=0Hλ++v=0∂x2∂y2∂2t∂2tqf∂x-λ∂t=h(t-t)x=0x=Hy=0y=Wf∂y-λ∂t=h(t-t)∂x-∂t=0∂y-∂t=0

第19页：二、区域的离散xΔxm将二维矩形

二、区域的离散xΔxm将二维矩形区域按照下图的格式进行离散化，相邻两个节点间的距离称为步长，记为Δx、Δy。区域内部的节点称为内节点，边界上的节点称为外节点。nΔyy

第20页：三、建立节点的离散方程

三、建立节点的离散方程

• 1.内部节点
• （1）微商的差分表示法如对于图中的节点(m，n)，导热微分方程表示为：m,nm,nλ++v=0q∂y2∂x2∂2t∂2t(m,n)(m+1,n)(m,n+1)(m-1,n)(m,n-1)

第21页：三、建立节点的离散方程（续）

2-2tm,n)m,n≈()()(∂x(∂2t)tm+1,n+tm-1,n利用二阶导数的中心差分表达式2O[(Δx)]d2f=f(x+Δx)-2f(x)+f(x-Δx)+dx2(Δx)2可得Δy2Δx2tm,n+1-2tm,n+tm,n-12)m,n≈()()(∂y(∂2t)=0-2tm,n+qvλΔy2+tm,n-1Δx2+tm-1,n+tm,n+1-2tm,ntm+1,n(m,n)(m+1,n)(m,n+1)(m-1,n)(m,n-1)

第22页：（2）热平衡法热平衡方法的思想是

（2）热平衡法热平衡方法的思想是，对每个节点所代表的控制体列能量守恒方程式，从而得出该点与其它节点的关系式。假定节点（m,n）所代表的控制区域四个边界分别为n、s、e、w，节点（m,n）所代表的控制体的能量守恒方程为：nes(m,n)(m+1,n)(m,n+1)(m-1,n)w(m,n-1)

第23页：（2）热平衡法热平衡方法的思想是（续）

节点（m,n）所代表的控制体的能量守恒方程为：Φn+Φs+Φe+Φw+qvdxdy=0从四个边界导入控制体的能量可应用傅立叶定律得到，如界面w：wΔxtm-1,n-tm,n·Δy)Φ=λ(1nΔyt-t1m,nm,n+·Δx)Φ=λ(1(m,n)(m+1,n)(m,n+1)(m-1,n)(m,n-1)neswΔxΔy

第24页：（2）热平衡法热平衡方法的思想是（续）

=0+qvλ+tm,n-1Δx2Δy2-2tm,ntm+1,n+tm-1,n+tm,n+1-2tm,n代入能量守恒方程式，并整理得eΔxt-tm+1,nm,n·Δy)Φ=λ(1sΔyt-t1m,nm,n-·Δx)Φ=λ(1(m,n)(m+1,n)(m,n+1)(m-1,n)(m,n-1)ΔxΔy

第25页：（2）热平衡法热平衡方法的思想是（续）

2.边界节点离散方程的建立边界节点离散方程采用热平衡的方法建立更方便。对于平直边界（如右边）上的2+ΔxΔyqvw+Δyq=0节点。qw=h·(tf-tm,n)Δxλtm-1,n-tm,nΔy+λtm,n+1-tm,nΔx+λtm.n-1-tm,nΔxΔxΔy2Δy2Δy(m,n+1)(m-1,n)(m,n)qw(m,n-1)

第26页：写出所有内节点和边界节点的温度差分方

• 写出所有内节点和边界节点的温度差分方程n个未知节点温度，n个代数方程式：a11t1+a12t2+......+a1ntn=b1a21t1+a22t2+......+a2ntn=b
• 2............................................an1t1+an2t2+......+anntn=bn代数方程组的求解方法：直接解法、迭代解法
• 四、节点方程组的求解

第27页：直接解法

直接解法

通过有限次运算获得代数方程精确解;如：矩阵求逆、高斯消元法等。缺点：所需内存较大、方程数目多时不便、不适用于非线性问题。迭代解法：先对要计算的场作出假设、在迭代计算过程中不断予以改进、直到计算结果与假定值的结果相差小于允许值。称迭代计算已经收敛。迭代解法有多种：高斯-赛德尔迭代是最常用的。高斯-赛德尔迭代的特点：每次迭代时总是使用节点的最新值。

第28页：直接解法（续）

||)||))an1t1+an2t2+·+anntn=bn任一方程改写为a21t1+a22t2+·+a2ntn=b2··线性代数方程组a11t1+a12t2+·+a1ntn=b1n1ati=1,2,·,n)ijj))ii(ia(i()(()b-t=∑j=1j≈i

第29页：判断迭代是否收敛的准则

判断迭代是否收敛的准则

maxii≤εmaxt(k+1)-t(k)≤εiit(k)t(k+1)-t(k)maxk及k+1表示迭代次数；imaxii≤εt(k)t(k+1)-t(k)εε—允许的偏差；相对偏差值一般取10-3~10-6—第k次迭代得到的最大值maxt(k)

第30页：非稳态导热问题的数值求解在非稳态导热

4-4非稳态导热问题的数值求解在非稳态导热问题中，不但需要对空间区域进行离散，还需要对时间变量进行离散，接下来以一个一维非稳态导热问题为例，重点介绍对非稳态项的离散方法，以及不同离散方法对计算带来的影响等。

第31页：非稳态导热问题的数值求解在非稳态导（续）

=a∂t∂2t∂τ∂x22δh,t∞h,t∞

• 一、物理问题和数学描述厚度2δ的无限大平壁，λ、a为已知常数，τ=0时温度为t0，突然将其放置于两侧温度为t∞并保持不变的流体中，两侧表面与流体之间的表面传热系数为h。导热微分方程

第32页：二、离散方程的建立

• 二、离散方程的建立0xτnin-1,in,in+1,in,i+1n,i-
• 11.热平衡的方法对于节点n在i时刻的所代表的控制容积建立热平衡关系。从左右两侧导入的热量等于单位时间容积的内能增量。

第33页：二、离散方程的建立（续）

0xτnin-1,in,in+1,in,i+1n,i-1Δx2nn=an+1nn-1t(i+1)-t(i)t(i)-2t(i)+t(i)ΔτtiΔx-tiΦw=λ·1n-1nti-tiΦe=λ·1n+1nΔτ-ttΔx=ρΔxcΔtΔτΔE=ρVc(i+1)(i)nnΔE=Φw+Φe方法1:

第34页：二、离散方程的建立（续）

0xτnin-1,in,in+1,in,i+1n,i-1tΔx2-tn=an+1nn-1(i+1)(i)t(i+1)-2t(i+1)+t(i+1)nΔτti+1-ti+1Φw=λ·1n-1nΔxti+1-ti+1Φe=λ·1n+1nΔτ-ttΔx=ρΔxcΔtΔτΔE=ρVc(i+1)(i)nnΔE=Φw+Φe方法2:

第35页：（1）向前差分Δτ≈

2.直接用差分代替微分

• （1）向前差分Δτ≈-t∂tt∂τ(i+1)(i)nnn,iΔx2nn=an+1nn-1t(i+1)-t(i)t(i)-2t(i)+t(i)Δτ整理得：in(i)ntt))}({Δx2in+1n-1Δx2(i+1)=(t+t)+(1-2aΔτaΔτ0xτnin,i+1n-1,in,in+1,n,i-1i

第36页：（2）向后差分Δτ≈nnn

（2）向后差分Δτ≈nnn,it(i)-t(i-1)∂t∂τ整理得：=(t+t)+tn+1(i+1)(i+1)(i)nn-1nΔx2aΔτtΔx22aΔτ)))(i+1)(((1+0xτnin-1,in,in+1,in,i+1n,i-1

第37页：三、两种差分格式的比较前面的系数

三、两种差分格式的比较前面的系数大根据稳定性要求，限制条件为节点于或等于零。非稳态项采用向前差分得到的离散方程又称为显式格式。该格式的优点是求解方便，但是对时间步长和空间步长有限制，否则会出现不合理得结果。(i)nt非稳态项采用向后前差分得到的离散方程又称为隐式格式。该格式的优点是无条件稳定，但缺点是需对每一个时间层进行联立求解。

第38页：本章作业

本章作业4-1、4-5、4-6、4-9、4-10