页数：61页文件大小：1.10 MB来源： 电磁场与电磁波ppt课件
本课件为课程的第一章矢量分析，先由场的概念与数学描述引入，再依次讲解矢量代数、三种常用正交曲线坐标系、标量场的梯度、矢量场的通量与散度、矢量场的环流与旋度，最后讨论无旋场与无散场的分类以及拉普拉斯运算、格林定理与亥姆霍兹定理，全章配有电位场梯度、矢量场散度等典型例题。
矢量分析：本页为该课件的封面页，标示课程名称与本章主题，详细内容自下一页展开。
本章内容
场的概念：第一章矢量分析场是一种特殊的物质，它是具有能量的，场中的每一点的某一种物理特性，都可以用一个确定的物理量来描述。
场的分布形态是弥漫的，这和实物定域在固定的空间区域大不相同。
我们周围的物理世界中存在着各种各样的场，例如人们对冷暖的感觉说明空间分布着一个温度场；
自由落体现象，说明存在一个重力场；
场的数学描述：第一章矢量分析场这种特殊的物质，在数学上用函数定量描述。
由于场的弥散性，描述场的函数是空间相关的。
如果场随着时间变化，则此函数还是时间相关的。
如果仅仅用大小就可充分描述场这种物质的某个物理属性，这种场就是标量场。
场、场源与场的环境：第一章矢量分析场既然是某种物理量的空间分布，就应服从因果律。
其因，称之为场源，场都是由场源产生的。
其果，就是空间某种分布形式的场。
分析讨论一个场的时候，要注意场、场源和场的环境这三者之间的关联性。
标量与矢量：第一章矢量分析1.1矢量代数1.标量只有大小，不包含方向的物理量叫做标量(Scalar)。
如：温度、电位、能量、长度、时间等。
2.矢量书写时，矢量表示为A。
既有大小，同时又包含方向的物理量称为矢量(Vector)。
矢量的几何与代数表示：1.矢量的表示矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示ρ矢量的大小或模：A=AAA矢量的单位矢量：eϖϖ=Aϖϖϖϖ1.1矢量代数A矢量的几何表示常矢量：大小和方向均不变的矢量。
矢量的模矢量的代数表示：A=eAA=eAA单位矢量
矢量的坐标分量表示：本页以公式推导与图示为主。
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矢量的加减法：3.矢量的代数运算（1）矢量的加减法两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线,如图所示。
AρBρρABρρA−B
直角坐标系中的矢量加减：矢量的加法和减法：矢量的加减符合交换律和结合律结合律ρρρρρρA(BC)；交换律A；矢量的加法ρB矢量的减法ρρA；其积仍为矢量。
矢量的标积：矢量的标积符合交换律xxyyzzeϖ；矢量A与B的夹角A；两矢量进行标积后的结果变成了无方向性的数量值；物理意义如果作用在某一物体上的力为A，当Aρρ使物体位移所作的功；力11A使该物体发生位移时，位移矢量为B，则A。
矢量的矢积：矢量A与B的叉积矢积的几何意义以两矢量为邻边所围成的平行四边形的面积为矢积的大小，以该平行四边形的法向为矢积的方向；为矢量A与矢量B所形成平面的法向单位矢量；两矢量进行矢积后的结果仍为矢量；用坐标分量表示为A。
矢积的行列式表示：上式可记为物理意义enρρBρAθ表示力臂矢量时，则矢积表示作用于物体的力矩。
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矢量的混合运算：本页以公式推导与图示为主。
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三种常用的正交曲线坐标系：151.2三种常用的正交曲线坐标系(QuadratureCoordinatesystem）考虑到被研究的物理量的空间分布及其变化规律不同，或物体的几何形状不同等等，可采用最常用的三种正交坐标系：直角坐标系圆柱坐标系球坐标系
直角坐标系：位置矢量面元矢量线元矢量dl；体积元dV。
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直角坐标系中点的矢量表示：空间任意一点M的位置可以用三个相互独立的变量；表示,记为；它们的变化范围分别是；在直角坐标系中，空间任一点M的位置可用一矢量来表示，即。
单位矢量的正交与右手螺旋关系：量亦即三个坐标轴的单位矢量，因为它们处于正交坐标系中，因此，它们相互垂直并遵循右手螺旋法则，即ρρρρρρρρρex。
圆柱坐标系：线元矢量dV；体积元面元矢量圆柱坐标系圆柱坐标系中的线元、面元和体积元。
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球坐标系：线元矢量dV；体积元面元矢量球坐标系球坐标系中的线元、面元和体积元电磁场与电磁波第一章矢量分析。
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柱坐标单位矢量的投影：在直角坐标系中的投影ρeφee=ecosφesinφρxye=e(−sinφ)ecosφφxy任意矢量在某个坐标轴下的分量就是该矢量和该坐标轴单位矢量的点积（标投影）
标量场与矢量场：231.3标量场的梯度1.标量场和矢量场空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场。
θ如果物理量是标量，称该场为标量场。
例如：温度场、电位场、高度场等。
θ如果物理量是矢量，称该场为矢量场。
方向导数与梯度的关系：设一个标量函数u(x,y,z),若函数u在点P可微,则u在点P沿任意方向l的方向导数为。
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梯度的表达式：描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向；标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影；梯度的表达式：ez；圆柱坐标系；球坐标系ex；直角坐标系ρ；取得最大值的方向ρ。
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例1.2.1 标量函数梯度的计算：描述了空间标量场；试求：(1)该函数ϕ在点P(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量；方向的方向导数，并以点P(1,1,1)处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。
例1.2.1 方向导数计算（续）：本页以公式推导与图示为主。
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梯度为最大方向导数（续）：即最大的方向导数，故恒成立；显然，梯度；描述了P点处标量函数ϕ的最大变化率，P32P。
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矢量线：1.4矢量场的通量与散度1.矢量线概念：矢量线是有向曲线，其上每一点的切线方向代表了该点矢量场的方向。
意义：形象直观地描述了矢量场的空间分布状态。
Fz(x,y,z)dzFy(x,y,z)dyFx(x,y,z)dx==矢量线方程：O矢量线MρF33rdrρρrρrdρ
矢量场的通量：矢量场的通量问题：如何定量描述矢量场的大小；引入通量（即矢量与面元矢量的点积）通量:dS；面积元矢量；enρ；面积元的法向单位矢量；ρdψ；穿过面积元dS的通量；如果曲面S是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是F(x,y,z)endSρ面积元矢量。
闭合曲面通量的三种结果：ψ>0通过闭合曲面有净的矢量线穿出（曲面内存在正通量源）ψ<0有净的矢量线进入（内有负通量源）ψ=0无通量源：进入与穿出闭合曲面的矢量线相等（内无通量源）矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。
通量的物理意义
矢量场的散度：源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。
利用极限方法得到这一关系：ρρdivF=∇⋅F定义为矢量场的散度。
散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限。
ρ3.矢量场的散度∇⋅FΔV36ρρ∫SF⋅dS=limΔV→
散度的表达式与运算公式：圆柱坐标系1；球坐标系；电磁场与电磁波第一章矢量分析散度的表达式：直角坐标系散度的有关公式：ρρρρρρρρρρρρρ；为常量)；为常矢量)。
直角坐标系散度表达式的推导：表达式的推导不失一般性，令包围P点的微体积ΔV为一直平行六面体，如x000x000F(x,y,z)；由此可知，穿出前、后两侧面的净通量值为图所示。
散度表达式推导（续）：分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点P穿出该六面体的净通量为根据定义，则得到直角坐标系中的散度表达式为。
例1.4.1 矢量D=R/R³的散度：本页以公式推导与图示为主。
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散度定理：4.散度定理ρρρ∫SF⋅dS=∫V∇⋅FdV散度定理说明一个连续可微矢量场从封闭曲面的净外向通量等于遍及该表面所包围区域的散度体积分。
体积的剖分41VS1S2en2en1S从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即
矢量场的环流与旋涡源：1.5矢量场的环流和旋度1.矢量场的环流与旋涡源不是所有的矢量场都由通量源激发。
存在另一类不同于通量源的矢量源。
它所激发的矢量场的力线是闭合的。
它对于任何闭合曲面的通量为零，但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。
磁场的环流与电流的关系：曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，即ρρ∫CB(x,y,z)⋅dl=μ0I上式建立了磁场的环流与电流的关系。
磁感应线要么穿过曲面磁感应线要么同时穿入和穿出曲面磁感应线
无旋场与有旋矢量场：θ如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无旋场（ratational)，又称为保守场(conservative)。
θ如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，则认为场中存在有产生该矢量场的源，称该矢量场为有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。
电流是磁场的旋涡源。
ρ44Γ=∫CF(x,y,z)⋅dl环流的概念矢量场对于闭合曲线C的环流定义为该矢量对闭合曲线C的线积分，即
环流面密度：CMΔSFnρρ2.矢量场的旋度（∇×F）矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源宏观联系。
为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢量场的旋度。
（1）环流面密度过点M作一微小曲面ΔS，它的边界曲线记为C，曲面的法线方向n与曲线的绕向成右手螺旋法则。
当ΔS→0时，极限ρ45ρρΔS∫CF⋅dl1ΔS→0rotnF=lim称为矢量场在点M处沿方向n的环流面密度。
环流面密度的直角坐标推导：本页以公式推导与图示为主。
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矢量场的旋度：矢量场的旋度概念：矢量场在M点处的旋度为一矢量，其数值为M点的环物理意义：旋ρ涡ρ源密度矢ρ量；流面密度最大值，其方向为取得环量密度最大值ρ时面积元ρFnlimρρ的法线方向，即rot。
旋度的计算公式：本页以公式推导与图示为主。
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旋度的运算公式：本页以公式推导与图示为主。
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斯托克斯定理：3.斯托克斯定理从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即ρρρ∫CF⋅dl=∫S∇×F⋅dS斯托克斯定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变换关系式，也在电磁理论中有广泛的应用。
图1.5.5曲面的划分CSn曲面的划分方向相反大小相等结果抵消
散度与旋度的区别：本页以公式推导与图示为主。
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散度源与旋度源：521.矢量场的源散度源：是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量场在该点的散度；
旋度源：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于（或正比于）矢量场在该点的旋度。
1.6无旋场与无散场
无旋场（保守场）：2.矢量场按源的分类（1）无旋场ρρ仅有散度源而无旋度源的矢量场，∇×F≡0ρ例如：静电场∇×E≡0⇒ρ性质：∫CF⋅dl=0，线积分与路径无关，是保守场。
无旋场可以用标量场的梯度表示为F=−∇uE=−∇ϕρρ∇×F=−∇×(∇u)≡
无散场：无散场ρρ仅有旋度源而无散度源的矢量场，即；无散场可以表示为另一个矢量场的旋度F；例如，恒定磁场。
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无旋无散场与有散有旋场：无旋、无散场（源在所讨论的区域之外）ρF(r)；无旋场部分无散场部分F；有散、有旋场这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分。
标量拉普拉斯运算：拉普拉斯运算与格林定理1.拉普拉斯运算；标量拉普拉斯运算；直角坐标系；计算公式：1；圆柱坐标系球坐标系。
矢量拉普拉斯运算：第一章矢量分析；矢量拉普拉斯运算；注意：对于非直角分量，ii(；直角坐标系中：如：(。
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格林定理（第一）：2.格林定理设任意两个标量场Φ及Ψ，若在区域V中具有连续的二阶偏导数，那么，可以证明该两个标量场Φ及Ψ满足下列等式：∫∫SV∂n2∂Φ(∇Ψ⋅∇ΦΨ∇Φ)dV=ΨdS根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成以上两式称为标量第一格林定理。
SVΦ,Ψenρ∫∫SV2(∇Ψ⋅∇ΦΨ∇Φ)dV=ρ(Ψ∇Φ)⋅dS式中S为包围V的闭合曲面，∂Φ为标量场Φ在S表面的外法线en方向上的偏导数。
格林定理（第二）：下列两式：上两式称为标量第二格林定理。
格林定理说明了区域V中的场与边界S上的场之间的关系。
因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。
此外，格林定理反映了两种标量场之间满足的关系。
亥姆霍兹定理：若矢量场在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可表示为ρρρρρF(r)；亥姆霍兹定理表明：在无界空间区域，矢量场可由其散度及旋度确定；亥姆霍兹定理。
有界区域中的矢量场表示：矢量场不但与该区域中的散度和旋度有关，还与区域边界上矢量场的切向分量和法向分量有关；有界区域。
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