页数：66页文件大小：1.92 MB来源： 电磁场与电磁波ppt课件
本课件为课程的数学基础部分，先建立标量场与矢量场的概念，再依次引入方向导数与梯度、通量与散度、环量与旋度，给出三种常用正交坐标系下的表达式，最后以亥姆霍兹定理说明散度、旋度与边界条件对矢量场的唯一确定性。
第1章矢量分析与场论基础【本章教学要点】
矢量分析和场论是研究电磁场理论必不可少的数学工具。
作为电磁场理论的数学基础，它们为复杂的电磁现象提供了描述方式。
本章介绍场的基本概念和矢量分析的基础知识，重点讨论标量场的梯度、矢量场的散度和旋度。
1.1标量场和矢量场1.1.1标量和矢量电磁场中绝大多数量可分为标量和矢量。
只有大小没有方向的量叫标量，如温度、电压、时间、电流、电荷等物理量都是标量；
既有大小又有方向的量叫矢量，如电场强度、磁场强度、力、速度、力矩等物理量都是矢量。
标量可以用一个单纯的数来完整描述，如温度25度，质量10克。
矢量习惯上用黑体符号或在符号上加带箭头的横线来表示，本书采用黑体表示矢量。
其中是与A同方向的单位矢量，A为矢量A模值。
一个矢量在三个相互垂直的坐标轴上的分量已知，则这个矢量就确定了。
如在直角坐标系中，若矢量A的坐标
分量为( , , )，则可表示为则可表示为其中分别表示直角坐标系中三个方向上的单位矢量。
两个矢量对应的分量相加或相减，就得到它们的和或差。
1.1.2标量场和矢量场场有空间占据的概念，设有一确定的空间区域，该区域内的每一点都对应着某个物理量的一个确定值，就认为该空间区域确定了这个物理量的一个场。
若场中的物理量是标量，则称该场为标量场，如温度场、密度场和电位场都是标量场。
若场中的物理量是矢量，则称该场为矢量场，如力场、速度场都是矢量场。
若场中的物理量不随时间而变化，仅是空间和点的函数，则称该场为稳定场（或静态场）；
若场中的物理量不仅是点的函数，还是时间的函数，则称该场为不稳定场（或时变场）。
根据数学中函数的定义可知，给定了一个标量场就相当于给定了一个数性函数，而给定了一个矢量场就相当于给定了一个矢性函数，其中M为场对应空间区
直角坐标系中，由于点M由它的三个坐标x，y，z确定，因此一个标量场可用数性函数表示为同样，一个矢量场可用矢性函数表示为在标量场中，为了直观研究其分布情况，引入了等值面（或等量面）的概念。
显然，标量场的等值面方程为
图1.1等高面图1.2矢量场的矢量线
对于矢量场，可以用矢量线来形象地描绘它的分布情况。
如图1.2所示，矢量线是这样的曲线：在它上面的每一点M处的切线方向和对应于该点的矢量的方向相重合。
在流体力学中，矢量线就是流线。
1.2矢量运算1.2.1标量积和矢量积矢量的乘积有两种定义：标量积（点积）和矢量积（叉积）。
如图1.3所示，有两个矢量A与B，它们之间的夹角为（）。
两个矢量A与B的点积记为，它是一个标量，定义为矢量A和矢量B的大小和它们之间夹角的余弦之积,即图1.3矢量A与B及其叉积
可以推导出矢量的点积满足如下关系，即交换律和结合律在直角坐标系中可得矢量A与矢量B的点积为
思考：试计算一个矢量与它本身的点积。
两个矢量的叉积记为，它是一个矢量，垂直于包含矢量A和B矢量的平面，方向满足右手螺旋法则，即当右手四指从矢量A到B旋转角时大拇指所指的方向，其大小为,即是叉积方向的单位矢量。
在直角坐标系中，各单位坐标矢量的叉积满足如下关系
可得矢量与矢量的叉积为由叉积的定义知，它不符合交换律，符合结合律
1.2.2三重积矢量A与矢量的点积称为标量三重积，可表示为【提示】的模就是A与B所形成的平行四边形的面积，因此是平行六面体的体积。
1.3常用正交坐标系为了描述电磁场在空间中的分布和变化规律，必须引入坐标系。
虽然物理规律对任何坐标系等价，但在求解实际问题时，根据被研究对象的几何形状不同，适当选择坐标系，不但使求解简便，而且其解的形式简洁，能直观反映其性质。
1.3.1三种常用坐标系在电磁场理论中，最常用的三种坐标系是直角坐标系，圆柱坐标系和球坐标系。
它由x轴、y轴和z轴及其交点O称为坐标原点）组成，三个坐标变量的变化范围均为负无穷到正无穷，如图1.4所示。
图1.4直角坐标系在直角坐标系中，以坐标原点为起点,指向点的矢量R称为M点的位置矢量，可表示为位置矢量的微分元是
它在x、y和z增加方向的微分元分别为、和，而与单位坐标矢量相垂直的三个面积元分别为2.圆柱坐标系圆柱坐标系的三个坐标变量是、和，它们的变化范围分别是，，
图1.5圆柱坐标系如图1.5所示，圆柱坐标系的三个单位坐标矢量分别是、和，它们之间符合右手螺旋法则，其中除是常矢量外，、都是变矢量，方向均随M点的位置改变。
在圆柱坐标系中，矢量可表示为
其中、和分别是矢量A在、和方向上的投影。
图1.6圆柱坐标系的长度元、面积元和体积元在圆柱坐标系中，位置矢量可表示为
位置矢量的微分元是它在、和增加方向的微分元分别为、和，如图1.6所示。
与单位坐标矢量相垂直的三个面积元分别为体积元可表示为
如图1.7所示，在球坐标系中，过空间任一点的单位坐标矢量是、和，它们分别是、和增加的方向，且符合右手螺旋法则，都是变矢量。
在球坐标系中，矢量A可表示为其中、和分别是矢量A在三个坐标方向上的投影，球坐标系中的位置矢量为它的微分元可表示为它沿球坐标方向的三个长度微分元分别为、和，如图1.8所示。
图1.8球坐标系的长度元、面积元和体积元与单位坐标矢量相垂直的三个面积元分别为
体积元可表示为1.3.2三种坐标系之间的相互转换图1.9三种坐标系相互关系示意图如图1.9所示，在空间中有任一点M，它的直角坐
标是，圆柱坐标系的坐标是，球坐标系的坐标是，依据各坐标之间的关系可以得到（1）直角坐标系与圆柱坐标系的关系或
同理可得三种坐标系的单位坐标矢量间的关系，如直角坐标系与圆柱坐标系的单位坐标矢量的关系满足或【小思考】请推导直角坐标系与球坐标系的单位坐标矢量的关系。
1.4标量场的梯度1.4.1方向导数标量场的等值面只描述了场量的分布状况，而场中某点的标量沿着各个方向的变化率可能不同，为了描述标量场的这种变化特性，需要引入方向导数的概念。
标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向上的变化率。
图1.10标量场的方向导数
如图1.10所示，标量场在点M处沿方向上的方向导数定义为式中为点M与点之间的距离。
在直角坐标系中，设方向的单位矢量为，、、为方向的方向余弦，则方向导数可表示为
1.4.2标量场的梯度在标量场中，从一个给定点出发有无穷多个方向。
一般而言，标量场在给定点沿不同方向的变化率是不同的。
为了描述标量场在哪个方向变化率最大，需要引入标量场的梯度的概念。
标量场在点处M的梯度是一个矢量，它的方向是沿场量变化率最大的方向，大小等于其最大的变化率，并记为,即式中，是场量变化率最大方向上的单位矢量。
在直角坐标系中，标量场沿方向的方向导数可以写为其中矢量，它是与方向无关的矢量，只有当方向与矢量的方向一致时，上式可取最大值,即矢量的模。
根据梯度的定义，可得到直角坐标系中梯度的表达式
圆柱坐标系中梯度的表达式为球坐标系中梯度的表达式为在矢量分析中，经常用到哈密顿算符“”（读作Del），在直角坐标系中有
可见算符“”兼有矢量和微分的双重作用，在直角坐标系中标量场的梯度可用算符“”表示为【知识要点提醒】标量场的梯度是一个矢量；
在标量场中，给定点沿任意方向的方向导数等于梯度在该方向上的投影；
标量场在给定点的梯度垂直于过该点的等值面，且指向场量增大的方向。
梯度运算符合以下规则(C为常数，，分别为标量场函数)
【例1.1】已知标量场，求该标量场在点(1,1,0)处的梯度及该点的方向导数的最大值和最小值。
解:根据梯度的定义式可得将相应的坐标值代入上式，得
在该点的任意方向的方向导数都是在该点的梯度沿该方向的投影，而该点梯度的模为，所以该点的方向导数最大值为，最小值为。
1.5矢量场的通量与散度矢量场在空间中的分布形态多种多样，为了分析矢量场在空间中的分布规律和场源的关系，本节引入矢量场的通量和散度的概念。
1.5.1矢量场的通量描述矢量场时，矢量线可以形象描绘出场的分布，但它不能定量描述矢量场的大小。
在分析矢量场性质的时候，往往引入矢量场穿过曲面的通量这一重要的概念。
假设S为一空间曲面,为曲面S上的面元，取一个与此面元相垂直的法向单位矢量，则称矢量为面元矢量。
单位矢量的取法有两种情形：对开曲面上的面元，的取法要求围成开曲面的边界走向与之间满足右手螺
旋法则，如图1.11示；
对闭合面上的面元，一般取外法线方向。
图1.11矢量场的通量在矢量场中，任取一个面元矢量，因为面元很小，可认为其上各点的值相同，则与的点积为矢量穿过面元矢量的通量。
通量是一个标量，例如每秒通过面积的水流量是水流速度和的乘积。
对于空间开曲面，矢量穿过曲面的通量定义为如果S是一个闭合曲面,矢量F穿过闭合曲面S的通量定义为上式中是矢量F和的夹角，从通量的定义可见，若矢量与面元矢量成锐角，则通过面积元的通量为正值，若成钝角，则通过面积元的通量为负值。
要点提醒：闭合曲面的通量是穿出闭曲面S的正通量与进入闭曲面S的负通量的代数和，即穿出曲面S的净通量。
矢量场F的通量说明了在一个区域中场与源的一种关系，当时，表示穿出曲面S的通量多于进入的通量，此时闭合曲面S内必有发出矢量线的源，称为有正源；
当时，表示穿出闭合曲面S的通量少于进入的通量，此时闭合曲面S内必有汇集矢量线的源，称为有负源。
当时，表示穿出闭合曲面S的通量等于进入的通量，此时闭合曲面S内正通量源和负通量源的代数和为0，称为无源。
1.5.2矢量场的散度通量是矢量场在一个大范围面积上的积分量，它只能说明场在一个区域中总的情况，而不能说明区域内每点场的性质，为了研究场中任一点矢量场F与源的关系，把闭合面收小，使包含这个点在内的体积元趋于零，并定义如下的极限为矢量场在某点处的散度，记为，即矢量场的散度可表示为哈密顿算子与矢量的F标量积，即
在直角坐标系中类似的，可推出圆柱坐标系和球坐标系的散度计算式，分别为
散度运算符合下列运算公式其中为常数，为标量函数。
要点提醒：矢量场的散度是标量，它表示在矢量场中给定点单位体积内散发出来的矢量的通量,反映了矢量场在该点的通量源强度；
在矢量场某点处，若散度为正，则该点有发出通量线的正源，若散度为负，则该点有发出通量线的负源，若散度为零，则该点无源。
1.5.3散度定理由散度的定义可知，矢量的散度是矢量场中任意点处单位体积内向外散发出来的通量，将它在某一个体积上做体积分就是该体积内向外散发出来的通量总和，而这个通量显然和从该限定体积V的闭合曲面S向外散发的净通量是相同的，于是可得到这就是散度定理，也称高斯定理。
要点提醒：矢量场的散度在体积上的体积分等于矢量场在限定该体积的闭曲面上的面积分，是矢量散度的体积分与该矢量的闭合曲面面积分之间的一个变换关系，是矢量分析中的一个重要恒等式。
【例1.2】设有一点电荷q位于坐标系的原点，在此电荷产生的电场中任意一点的电位移矢量，其中，求该电位移矢量的散度及穿过以
所以电位移矢量的散度在以外的空间都为0，仅在处，存在点电荷q这个场源。
以原点为球心，R为半径的球面所包含的闭合曲面的单位矢量方向与球面的法线方向一致，而球面的法线方向与电位移矢量方向一致，所以要求的电通量是
1.6矢量场的环量与旋度矢量场的散度描述了通量源的分布情况，反映了矢量场的一个重要性质。
实际中并不是所有的矢量场都由通量源激发，有些矢量场由旋涡源激发。
本节讨论矢量场的环量和旋度。
1.6.1矢量场的环量矢量F沿闭合路径的曲线积分称为矢量场F沿闭合路径的环量（旋涡量）。
其中是曲线的线元矢量，其大小为，方向为使其包围的面积在其左侧，是矢量F与线元矢量的夹角，如图1.12所示。
图1.12有向闭合路径环量是一个代数量，它的大小和正负不仅与矢量场的分布有关，而且与所取的积分环绕方向有关。
矢量的环量与矢量穿过闭合曲面的通量一样，都是描述矢量场性质的重要物理量。
根据前面的内容，如果矢量穿过闭合曲面的通量不为零，则表示该闭合曲面内存在通量源。
同样的，如果矢量沿闭合曲线的环量不为零，则表示闭合曲线内存在另一种源，即漩涡源。
提示：在磁场中，磁场强度在环绕电流的闭合曲线上的环量不为零，其电流就是产生该磁场的漩涡源。
1.6.2矢量场的旋度从式(1.75)可以看出，环量是矢量F在大范围闭合曲线上的线积分，反映了闭合曲线内漩涡源的分布情况，而在矢量分析中，常常希望知道在每个点附近的漩涡源分布情况。
为此，可以将闭合曲线收缩，使它包围的面积趋于0，取极限此极限的意义是环量的面密度，或称环量强度。
由于面积元是有方向的，它与闭合曲线的绕行方向成右手螺旋关系，因此在给定点上，上述极限对不同的面积元是不同的，在某一确定的方向上，环量面密度取得最大值，为此引入旋度的定义，表示为旋度的大小是矢量在给定点处的最大环量面密度，其方向是当面积元的取向使环量面密度最大时，该面积元的法线方向。
矢量场的旋度可用哈密顿算子与矢量的矢量积来表示，即
在直角坐标系中写成行列式形式为类似的，可推出圆柱坐标系中和球坐标系中的旋度计算式，分别为
旋度运算符合下列运算规则
其中为标量函数。
式(1.86)和式(1.87)分别称为“梯无旋”和“旋无散”。
要点提醒：矢量场的旋度是一个矢量；
矢量场在给定点的旋度描述了矢量在该点的漩涡源强度。
1.6.3斯托克斯定理在矢量场F所在的空间中，对于任意一个以闭合曲线所包围的曲面S,有如下关系式此式称为斯托克斯定理。
要点提醒：矢量场的旋度在曲面上的面积分等于矢量场在限定曲面的闭合曲线上的线积分，是矢量旋度的面积分与该矢量沿闭合曲线积分之间的一个变化关系，是电磁场理论中重要的恒等式。
【例1.3】坐标原点处放置有一个点电荷q，它在自由空间产生的电场强度为求自由空间任意点电场强度的旋度。
解：可见，点电荷产生的电场为无旋场（或保守场）。
1.7拉普拉斯算符及其运算标量场的梯度是一个矢量，如果再对它求散度，即，称为标量场的拉普拉斯运算，记为这里,或称为拉普拉斯算符。
在直角坐标系中有类似的，标量场在圆柱坐标系和球坐标系中的拉普拉斯运算分别是
1.8亥姆霍兹定理1.8.1散度、旋度的比较用散度和旋度是否能唯一确定一个矢量场呢？
根据前面的讨论，散度和旋度之间具有如下区别：矢量场的散度是一个标量函数，而矢量场的旋度是一个矢量函数。
散度描述的是矢量场中各点的场量和通量源的关系；
而旋度描述的是矢量场中各点的场量与漩涡源的关系。
如果矢量场所在的全部空间中，场的散度处处为零，则这种场中不可能存在通量源，因而称之为无源场（或管形场）；
如果矢量场所在的全部空间中，场的旋度处处为零，则这种场中不可能存在漩涡源，因而称之为无旋场（或保守场）。
在散度计算公式中，矢量场F的场分量分别只对x，y，z求偏导数，所以矢量场的散度描述的是场分量沿各自方向上的变化规律；
而在旋度公式中，矢量场F的场分量分别只对与其垂直方向的坐标变量求偏导数，所以矢量场的旋度描述的是场分量在其垂直方向上的变化规律。
可见，散度和旋度一旦给定，激发场的源就确定了。
1.8.2亥姆霍兹定理位于某一区域中的矢量场，当其散度、旋度以及边界上场量的切向分量或法向分量给定后，则该区域中的矢量场被唯一地确定。
上述唯一性定理表明，区域V中的矢量场被V中的源及边界值(或称边界条件)唯一地确定。
矢量场的散度和旋度都是表示矢量场性质的量度，可以证明，在有限区域V内，任意一个矢量场由它的散度、旋度和边界条件（即限定区域V的闭合面S上的矢量场的分布）唯一地确定，这就是亥姆霍兹定理【提示】亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质，是研究矢量场的一条主线，定理告诉我们，在分析矢量场时，需要从研究它的散度和旋度着手。
【本章小结】本章介绍矢量分析和场论这一电磁场理论中重要的数学工具。
散度是标量，它表示在矢量场中给定点单位体积内散发出来的矢量的通量,反映了矢量场在该点的通量源强度,在直角坐标系中散度定理也称高斯定理，描述为
为拉普拉斯算符。
在直角坐标系中6.亥姆霍兹定理表明，在有限区域内，任意一个矢量场由它的散度、旋度和边界条唯一确定。
它总结了矢量场的基本性质，在分析矢量场时，需要从研究它的散度和旋度着手。
【习题】一、填空题1.只有大小没有方向的量称为；
既有大小又有方向的量称为。
两个矢量的叉积是量。
矢量场的散度是量；
矢量场的旋度是量。
二、分析计算题1.给定矢量，，求：(1)；
9.求矢量的散度。
其中，为常矢量。
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