页数：60页文件大小：787.9 KB来源： 电磁场与电磁波ppt课件
本课件从位移电流与全电流定律入手，导出麦克斯韦方程组的积分形式、微分形式与限定形式，讨论不同媒质分界面上的边界条件，给出坡印廷定理与坡印廷矢量，最后介绍动态矢量位、标量位及罗伦兹规范下的达朗贝尔方程。
第3章时变电磁场【本章教学要点】
导入案例：詹姆斯·克拉克·麦克斯韦是英国19世纪伟大的物理学家、数学家。
1831年11月13日生于苏格兰的爱丁堡，自幼聪颖，父亲是个知识渊博的律师，使麦克斯韦从小受到良好的教育。
麦克斯韦大约于1855年开始研究电磁学，在潜心研究了法拉第关于电磁学方面的新理论和思想之后，坚信法拉第的新理论包含着真理。
于是他抱着给法拉第的理论“提供数学方法基础”的愿望，决心把法拉第的天才思想以清晰准确的数学形式表示出来。
他在前人成就的基础上，对整个电磁现象作了系统、全面的研究，凭借他高深的数学造诣和丰富的想象力接连发表了电磁场理论的三篇论文：《论法拉第的力线》、《论物理的力线》和
《电磁场的动力学理论》。
在论文中，麦克斯韦对前人和他自己的工作进行了综合概括，将电磁场理论用简洁、对称、完美的数学形式表示出来，经后人整理和改写，成为经典电动力学主要基础的麦克斯韦方程组。
据此，1865年他预言了电磁波的存在，并计算了电磁波的传播速度等于光速，同时得出结论：光是电磁波的一种形式，揭示了光现象和电磁现象之间的联系。
麦克斯韦于1873年出版了科学名著《电磁理论》，系统、全面、完美地阐述了电磁场理论，这一理论成为经典物理学的重要支柱之一。
麦克斯韦严谨的科学态度和科学研究方法是人类极其宝贵的精神财富。
本章首先介绍位移电流的概念和全电流安培环路定律，然后讨论麦克斯韦方程组,时变电磁场的边界条件等，同时导出时变电磁场的能量守恒定律-坡印廷定理，然后引入动态矢量位和标量位的概念，以方便时变电磁场的运算。
3.1位移电流与全电流定律除了电荷产生电场外，变化的磁场也要在空间产生电场，麦克斯韦称由变化磁场所产生的电场为感应电场（涡旋电场）；
但在把安培环路定律应用到非恒定电流电路时，麦克斯韦遇到了矛盾，这又引出了“位移电流”的假说。
它揭示了电场和磁场相联系的另一方面，即变化电场又将激发磁场。
麦克斯韦对电磁场理论重大贡献的核心是位移电流的假说。
3.1.1安培环路定律本节首先讨论无限长载流直导线引起的磁场，在此基础上得到一般形式的安培环路定律。
如图3.1所示，无限长直导线上流过电流I，则真空中P点的磁通量密度可以由毕奥萨伐定律求得。
图3.1载流直导线考虑到磁场的分布具有对称性，采用圆柱坐标系进行分析，使直线电流与Z轴重合,线电流的中点位于原点，显然可以仅在为常数的平面内计算磁场，不妨取=0，则场点的位置矢量为，点源的位置矢量为，故距离矢量R=,
（用撇表示场源）根据毕奥萨伐定律有== =(cos cos )或写为(sin sin )式中==，那么无限长直线电流可看作一段直线电流的两端无限延伸，即，,利用式（3.,1）即可求得真空中无限长直线电流所产生的磁场为
用磁场强度表示为式（3.2)是磁场分布的一个重要公式，若以为半径绕直导线一周积分，可得即式（3.3）是恒定电流的磁场所遵守的一条基本定律，即安培环路定律。
它表明，在恒定电流的磁场中，磁场强度沿任何闭合路径的线积分等于该路径所包围的电流。
提示：这里的应理解为传导电流的代数和。
式（3.3）是真空中安培环路定律的积分形式，结合斯托克斯定理可得回路是任意取的，故有这是安培环路定律的微分形式，它表明磁场存在着旋涡源J。
【例3.1】半径为a的无限长直导线通有电流I,试计算导体内外的磁场强度。
解：引入圆柱坐标系计算电流的磁场。
可以看出，场与和Z坐标无关，根据安培环路定律，在ra的圆柱内
故对于r>a的圆柱外,积分回路所包围的电流为I,显然图3.2描述的是该无限长直导线导体内外磁场的分布情况。
图3.2直导体的磁场计算
3.1.2位移电流及全电流安培环路定律变化的磁场产生电场，麦克斯韦在此基础上提出了感应电场（涡旋电场）的概念,那么变化的电场能否产生磁场呢？
麦克斯韦发现了将恒定电流中的安培环路定律应用于时变电磁场时的矛盾,提出了位移电流的假说，对安培环路定律进行了修订。
现在研究如图3.3所示的包含有电容的交变电流电路。
图3.3非恒定电流下的安培环路定律
将安培环路定律应用于闭合曲线，显然对于面有，而对于面，显然两式互相矛盾，直接原因是传导电流不连续。
说明在将电流恒定情况下的安培环路定律应用到时变电流的情况时，必须加以修正。
麦克斯韦深入研究了这一矛盾，提出了位移电流假说。
他认为在电容器的两极板间存在着另一种电流，其量值与传导电流i相等。
因为对于S1和S2构成的闭合面，应用电流连续性方程，有=式中的q为极板上的电荷量。
再应用高斯定理于这个闭合面，式（3.5）变为
如果我们承认S2上有位移电流流过，并考虑到S2的面元方向，则由式（3.6）可写出这是消除了原安培环路定律的矛盾，即对上述两个不同的面S1和S2，得到相同的积分结果。
一般来说，空间可能同时存在真实电流和位移电流，则安培环路定律表示为
式（3.9）称为全电流安培环路定律的积分形式，其中的S是闭合路径所包围的一个曲面。
它表明，磁场强度沿任意闭合曲面的线积分等于该路径所包围曲面上的全电流。
应用斯托克斯定理有，则式（3.9）可写成因为回路及其包围的面积S是任意的，所以由式（3.10）可以得到
式（3.11）是全电流安培环路定律的微分形式。
它表明位移电流与传导电流一样都可产生时变磁场，进一步说明了时变电场产生时变磁场。
位移电流同传导电流一样，具有激发磁场这一物理本质，但其它方面截然不同。
真空中的位移电流仅对应于电场变化，不伴有电荷运动，且不产生焦耳热。
在电介质中虽会产生热效应，但与传导电流通过导体产生的焦耳热不同，它遵从完全不同的规律。
提示：在良导体中传导电流占主导地位，位移电流可以忽略不记。
3.2麦克斯韦方程组麦克斯韦集电磁学一系列实验定律之大成，总结出宏观电磁场现象的客观规律，即麦克斯韦方程组，奠定了经典电磁场的理论基础。
麦可斯韦方程组有两种基本形式，积分形式与微分形式，在时谐场中又以复数形式出现。
3.2.1麦克斯韦方程组宏观电磁现象的基本规律可以用麦克斯韦方程组高度概括。
这一电磁场基本方程组的基本变量为4个场矢量（简称场量）：电场强度、磁感应强度、电位移矢量、和磁场强度，以及两个源量：电流密度和电荷密度。
在静止媒质中，麦克斯韦方程组的积分形式包括如下的四个方程
相应的微分形式为
一般称式（3.12）-（3.19）为麦克斯韦方程组的时域形式，每个方程的物理意义都很明确，无需重复说明。
麦克斯韦方程组是线性的，这是电磁场可以叠加的必要条件。
麦克斯韦方程组具有一定的对称性，但又不完全对称，方程组中D和B以及E和H的作用是不对称的，例如而,电荷激发电场,却没有磁荷激发磁场，这是由于不存在磁荷造成的；
对比和，电流（运动电荷）可以激发磁场，却没有磁流（运动磁荷）激发电场，这些特点需要我们仔细的思考。
还应当指出，麦克斯韦方程组的四个方程并不都是独立的，如对式（3.16）取散度并代入电流连续性方程即可导出式（3.19）；
同理，如对式（3.17）取散度，即可以得到
式（3.18），因此只有两个旋度方程，即式（3.16）（3.17）是独立方程，由于一个旋度方程对应三个标量方程，所以麦克斯韦方程组相当于给出了六个独立的标量方程。
这样在给定场源与定解条件下，求解时变电磁场时，面对四个场矢量所对应的12个独立的待求分标量，麦克斯韦方程组必须结合媒质的构成式等条件才能完成相应问题的建模与求解。
要点提醒：由微分形式的麦克斯韦方程组可知，时变电磁场中的时变电场是有旋有散的，时变磁场是有旋无散的，由于二者不可分割，可以认为时变电磁场是有旋有散场。
在电荷和电流均不存在的无源区域，电场线和磁场线相互铰链，自行闭和，在空间形成电磁波。
3.2.2结构方程和限定形式的麦克斯韦方程组麦克斯韦方程可以不同的形式写出。
用E、D、B、H四个场量写出的方程称为麦克斯韦方程的非限定形式，因为它并没有限定D和E之间及B和H之间的关系，故适用于任何媒质。
而对于线性和各向同性媒质，有以下关系式（结构方程）成立若把结构方程考虑进去，则麦克斯韦方程可用E和H两个场量写出
式（3.23）—（3.26）称为限定形式的麦克斯韦方程组。
知识拓展：麦克斯韦关于电磁场理论的建立，促进了电磁波的研究和广播通讯事业的进展，至今，它仍然在材料科学，等离子体物理，射电天文，光纤传输，微波遥感等科学技术领域发挥着巨大作用。
3.2.3时变电磁场与复数形式的麦克斯韦方程组在稳定状态下，各场量均随时间作正弦变化的电磁场称为时谐场，因为它们易于激励，且在线性媒质中，任意的周期性函数均可展开成时谐场正弦分量的傅立叶函数，
所以在工程实际中得到广泛应用。
在时变电磁场中，如果场源（电荷或电流）以一定角频率随时间作正弦变化，则它所激发的电磁场的每个分量也都可以相同的角频率随时间作正弦变化。
以电场强度为例=+式中各坐标分量的振幅值以及相位都不随时间变化，只是空间位置的函数。
为简化计算，我们采用复数形式进行处理，即将上式的每一个分量，用复数的实部表示为
其中的、、称为复数振幅。
此外，利用复数表示后，正弦电磁场矢量对时间的一阶，二阶导数可用复数表示为若把场矢量写成式（3.31）的形式，于是麦克斯韦方程组微分形式中式（3.23）变为式中的是对空间坐标的微分运算，可以和取实部的“Re”符号调换顺序，即
上式表明这些复数的实部相等，且等式两边都有时间因子，故意味着相应的复数相等。
则式（3.35）变为为书写方便，即省略等式两边的时间因子，将表示复数的点和表示振幅的下标m去掉，即同理，可写出复数形式麦克斯韦方程组中的其它方程在线性同性媒质中结构方程不变，仍有
D=εE用复数表示式研究时谐场问题也称为频率域问题，因此（3.37）─（3.40）称为麦克斯韦方程组的频域形式。
同时，式（2.17）所示的电流连续性方程也可写为复数形式3.2.4时变电磁场的应用1.现代车用电磁缓速器电磁缓速器(又称电涡流缓速器)的主要元件是由驱动轮通过传动系带动的盘状金属转子和若干个固定不动的电磁铁组成的定子。
电磁缓速器根据电磁场原理而设计，当定子线圈通过电流时，就会产生磁场。
此时，随传动轴转动的转子切割磁力线，引起磁通密度发生周期性变化，转子表层便感应产生涡流电动势——电涡流。
转子的电涡流又产生磁场，并与定子线圈的磁场交互作用，对转子形成与其转动方向相反的制动转矩。
此转矩作用于传动轴，使车辆减速。
在电磁缓速器减速过程中，制动能量通过电涡流损耗转化为热能辐射散发到大气中。
定子线圈没有励磁电流时，转子自由空转。
由高频感应加热线圈(即励磁线圈)、高频电力转换装置、控制器及铁磁材料锅底炊具等部分组成。
使用时，加热线圈中通入交变电流，线圈周围便产生一交变磁场，
交变磁场的磁力线大部分通过金属锅体，在锅底中产生大量涡流，从而产生烹饪所需的热。
在加热过程中没有明火，因此安全、卫生。
在电磁铁的两极间有一环形真空室，电磁铁受交变电流激发，在两极间产生一个由中心向外逐渐减弱、并具有对称分布的交变磁场，这个交变磁场又在真空室内激发感生电场，其电场线是一系列绕磁感应线的同心圆，这时，若用电子枪把电子沿切线方向射入环形真空室，电子将受到环形真空室中的感生电场E的作用而被加速，同时，电子还受到真空室所在处磁场的洛伦兹力的作用，使电子在半径为R的圆形轨道上运动。
【例3.2】自由空间中某点存在频率为5GHz的时谐电磁场，其电场强度复矢量为（V/m）求电场强度和磁场强度瞬时值。
解：由瞬时值与复矢量之间关系可得（V/m）（A/m）
3.3时变电磁场的边界条件在实际工程电磁场问题中，所涉及的场域往往由多种不同物理性质的媒质所组成，而在不同媒质分界面上，则伴随有E、D、B、H四个场量不连续的物理状态情形，此时对位于分界面上的场点而言，麦克斯韦方程组的微分形式已经失去意义。
为此必须分域处置，仔细考虑场矢量随着分界面两侧媒质的特性参数发生突变而改变的情况，描述不同媒质分界面两侧场矢量突变关系的方程，称为电磁场的边界条件。
图3.4H的边界条件设分界面的面电流密度的方向垂直于纸面而向内，则磁场的矢量在纸面上，把积分形式的麦克斯韦方程组第一方程式（3.12）应用于此闭合路径，得
即式中的是有限量，当时，，于是得表示为矢量形式若分界面上不存在传导面电流，即，则有
可见，在两种媒质分界面上存在传导面电流时，H的切向分量是不连续的，其不连续量就等于分界面上的面电流密度。
若分界面上没有面电流，则H的切向分量是连续的。
式中的是有限量，当时，，故得表示为矢量形式式（3.53）说明在两种媒质分界面上E的切向分量总是连续的。
图3.6 B的边界条件即也可以表示为矢量形式式（3.56）说明在两种媒质的分界面上B的法向分量总是连续的。
对于此闭合面，应用麦克斯韦组第四方程（3.15）可得图3.7D的边界条件
可得表示为矢量形式若分界面上不存在自由面电荷，则或这说明在分界面上存在自由面电荷时，D的法向分量不连续，其不连续量就等于分界面上的自由面电荷密度。
若分界面上没有自由面电荷，则D的法向分量是连续的。
在研究电磁场问题时，常遇到以下两种重要的特殊情况：（1）两种理想介质的分界面在理想介质中，电导率为零，在分界面上一般不存在自由电荷和面电流，即=0，，则边界条件简化为（2）理想导体和理想介质的分界面设1区为理想介质，2区为理想导体，
因理想导体中不存在电磁场，则，此时的边界条件简化为【提示】理想导体实际上是不存在的，但它却是一个非常有用的概念。
因为在实际问题中常把电导率很大的导体视为理想导体。
通常金属表面可以用理想导体表面代替，使边界条件变得简单，从而简化边值问题的分析。
【例3.3】如图3.8所示，已知在两导体平板之间的空气中传播的电磁波电场强度为式中的为常数，求（1）磁场强度H（t）；
图3.8两导体平板截面图
解（1）取如图坐标系，由得故（2）导体表面电流存于两导体相向的一面，在z=0表面上，法线单位矢量，故
3.4坡印廷定理与坡印廷矢量电磁场作为一种特殊物质形态，同样具有能量，同样服从能量守恒定律，即满足坡印廷定理。
为了更好地描述能量流动情况，我们引入坡印廷矢量来描述电磁能量的守恒定律。
3.4.1坡印廷定理由麦克斯韦第一方程（3.16）第二方程（3.17）可得设在某无外源的区域中充满线性且各向同性的非色散媒质，媒质的参数ε、μ、γ均不随时间变化，则有
将以上三等式代入（3.70）中，并利用矢量恒等式得这就是坡印廷定理的微分形式，式（3.71）右端第一项是单位体积内电场能量和磁场能量的减少率，第二项是单位体积内的焦耳热损耗。
对式（3.71）取体积分并应用散度定理就得到坡印廷定理的积分形式为
即上式右边第一项是体积v内每秒磁场能量电场能量的增加量；
第二项是体积v内变为焦耳热的功率。
根据能量守恒原理，等式左边的面积分应是穿过闭合面S进入体积内的功率。
其中电场能量密度为，磁场能量密度为。
3.4.2坡印廷矢量及其复数形式空间各点能量密度的改变引起能量流动，定义单位时间内穿过与能量流动方向相垂直的单位表面的能量为能流矢量，其意义是电磁场中某点的功率密度，方向为该点能量流动的方向。
坡印廷定理左边的被积函数EH是一个具有单位面积功率量纲的矢量。
坡印廷矢量是时变电磁场中的一个重要的物理量，从式（3.73）可看出，只要知道空间任一点的E和H，就知道该点电磁能量流的大小和方向。
在时谐场中讨论坡印廷矢量在一个周期内的时间平均值更有意义。
由复矢量定义可知，正弦电磁场的瞬时值一般表示为则坡印廷矢量瞬时值为
提示：复坡印廷矢量的实部为有功功率。
3.5动态矢量位和标量位在时变电磁场中，一个场矢量微分方程对应于三个分量所描述的标量微分方程，因此在任一场点，由于涉及到四个场矢量，给电磁场问题求解带来了困难。
为了使一些问题的分析得以简化，可以引入一些辅助的位函数，即矢量位和标量位，从而使一些问题的分析，尤其是时变电磁场的场与源的关系运算的求解变得容易，例如，在研究天线辐射时，矢量位和标量位就得到广泛应用。
3.5.1动态矢量位和标量位的引入由麦克斯韦方程可知，B的散度恒为零，即时变磁场是无散场，可以令
代入麦克斯韦第二方程（3.17）得因为无旋的矢量可以用一个标量函数的梯度代替，令即式中的A称为动态矢量位，或简称矢量位（在磁场中称矢量磁位），单位是。
称为动态标量位，或简称标量位（在电场中称标量电位），单位是V（伏）。
3.5.2动态矢量位和标量位方程考虑到，，把其代入麦克斯韦第四方程（3.19）得即代入麦克斯韦第一方程（3.16）得
利用矢量恒等式，得即（3.83）式（3.86）称为动态矢量位和标量位方程。
3.5.3达朗贝尔方程及罗伦兹规范根据亥姆霍兹定理可知，对于动态矢量位和标量位方程，要想唯一确定矢量位的解，除规定它的旋度外，还必须规定它的散度，前面已经有，故还需要知道A的散度，原则上散度可以任意给定，但为了方便计算，可以令
代入动态矢量位和标量位方程得式（3.87）称为罗伦兹规范，采用罗伦兹规范使A和分离在两个方程里，式（3.88）和式（3.89）称为达朗贝尔方程或非齐次波动方程，方程显示A的源是J，而的源是，J和相互联系体现了时变场的统一性，并对求解方程有利。
【本章小结】本章主要讨论时变电磁场中基本方程、边界条件以及能流密度等相关问题。
相应的微分形式为结构方程为，，复数形式的麦克斯韦方程为
它表明，单位时间内，体积内能量增加量等于从表面进入体积的功率。
坡印廷矢量为，平均坡印廷矢量为4.罗伦兹规范为，达朗贝尔方程为
【习题】一、填空题1．两种媒质分界面两侧B的法向分量是____的，E的____分量是连续的。
二、选择题1．安培环路定理表明，激发磁场的源是（）。
A.电荷B.电流C电荷与电流2.在两种理想介质分界面上（）。
A.H的切向分量连续B.D的切向分量不连续C.B的法向分量不连续3.坡印廷矢量定义为（）。
A.B.C.4.下列结构方程不正确的是（）。
A.B.C.5.下列麦克斯韦方程中不正确的是（）。
三、分析计算题1.在和的材料中，电场强度为，求传导电流密度和和位移电流密度，以及两者具有相等值时的频率。
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