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本课件把麦克斯韦方程组简化到静态场条件，分别讨论静电场、恒定磁场与恒定电场的基本方程、边界条件与位函数，给出电容、电感、电场能量与磁场能量的计算，并介绍静电喷涂、磁悬浮、心电图仪等工程应用。
第8章静态场分析与应用【本章教学要点】
8.1静电场的分析与应用在矢量分析的讨论中我们知道，一个矢量场的性质必须由它的散度和旋度来决定。
基本方程是麦克斯韦方程组在静态场条件下的简化。
在处理实际问题时，常常需要求解基本方程在不同区域的特解，因此需要知道两种媒质分界面处电磁场应该满足的关系，即边界条件。
8.1.1静电场的基本方程及边界条件1.静电场的基本方程静电场的源是静止的量值不随时间变化的电荷，由这些电荷激发的静电场的所有场量都不随时间变化，它们只是空间坐标的函数，故麦克斯韦方程组可简为：微分形式：
积分形式：上述方程中，关于电场的方程（8.1）、（8.3）和（8.5）、（8.7）（为静电场的基本方程）中只含有电场量，而关于磁场的方程（8.2）、（8.4）和（8.6）、（8.8）中只含有磁场量，这说明了在静态场中电场和
磁场是互不依存、相互独立的。
它们表明静电场是有源无旋场，从力的角度来看，又可以把静电场说成是一种保守场。
因为当在场中沿任意闭合路径移动一个电荷q时，电场力做的功为0，即当电荷回到出发点时，电场能量回到原来的值，这意味着当空间电荷分布一定时，空间中电场的位能分布是一定的。
在静电场的分析中，有时源的分布是已知的，需要分析场的分布；
有时场的分布是已知的，需要分析源的分布。
下面举例说明静电场中的这两类问题的分析方法。
【例8.1】一平行板电容器如图8.1所示，板间均匀分布电荷，已知板间的电场强度（v/m），求板间的电荷分布。
解：由高斯定理的微分形式可得：所以
故板间的电荷体密度为本例是已知场的分布求源分布的问题，需利用高斯定理的微分形式来分析。
图8.1平行板电容器图8.2带电球体
【例8.2】一个半径为的球体均匀分布着体电荷密度的电荷，球体内外介电常数均为，如图8.2所示。
求球体内外的电位移矢量。
解：因为电荷的分布具有球对称性，所以球体内外的场分布是球对称的，作以球心同心，半径为的高斯面，应用高斯定理的积分形式可求出距球心处的电位移矢量。
所以在的区域，【例8.3】半径为的无限长导体柱面，单位长度上均匀分布的电荷密度为。
试计算空间各点的电场强度。
解：电荷在柱面上分布，且柱面将空间分成柱形区域，
因此选用柱坐标系。
在柱坐标系中，将Z轴置于导体柱面的轴线上，如图8.3所示。
由于电荷在柱面上均匀分布，电荷和电场的分布具有轴对称性（关于Z对称）。
因此，空间各点电场的方向一定在方向上，且在任一柱面上各点值相等。
图8.3柱面电荷的电场强度计算
作一与导体柱面同轴、半径为、长为的闭合面，应用高斯定律计算电场强度的通量。
当时，由于导体内无电荷，因此故有，导体内无静电场，这与物理学的结论是一致的。
当时，由于电场只在方向有分量，电场在两个底面上无通量，因此
则，当时，此导体柱面变为一无线长细导线，导线上单位长度分布的电荷仍为。
按同样的方法可得，细导线的电场仍由给出。
这说明均匀分布在无限长柱面上的电荷的电场与无限长线电荷的电场具有相同的空间分布。
以上两个例子是已知源的分布求场分布的问题，需利用高斯定理的积分形式来分析。
由于静电场是保守场，具有无旋性，因此动态标量位的概念引入一个标量位函数来描述静电场。
由矢量恒等式可知：梯度的旋度恒等于零，即而从静电场的基本方程可知
所以电场强度可表示为式（8.9）中的为电位函数，通常简称为电位，电位是标量。
静电场中某一点电位的物理意义是：电场力从该点将单位正电荷移至电位参考点（通常为零电位点）所做的功，也就是单位正电荷在该点所具有的电位能。
由式（8.9）可知，场中某点的电位并不是唯一的，为了能唯一地确定场中某点的电位的值，必须将场中的
某个固定点确定为电位的参考点，也就是规定该点的电位为零。
电位参考点的选取应使电位的表达式有意义，还要使表达式尽可能简单。
因此，当电荷分布在有限区域内时，通常选择无穷远点为参考点。
但如果电荷分布到无穷远处，则不能选择无穷远点为参考点，否则空间各点的电位就是无穷大，失去了意义。
故对这种情况，应选择有限远点为参考点。
静电位具有明确的物理意义。
将式（8.9）两端点乘则有
对上式两边从点A到点B沿任意路径进行积分，则得到A、B两点之间的电位差为可见，场中两点之间电位差的物理意义为：把一个单位正电荷从一点沿任意路径移动到另一点的过程中，电场力所做的功。
在无电荷分布的区域，由于，则电位满足拉普拉斯方程4.静电场的边界条件不同的电介质的极化性质一般不同，因而在不同介质的分界面上静电场的场分量一般不连续。
场分量在界面上的变化规律叫做边界条件。
边界的存在会影响场的分布，当边界的形状和边界场的值确定了，空间各点的场和分布规律才能确定，这种实际问题称为边值问题。
以下我们由介质中场方程的积分形式导出边界条件。
两侧的电场强度分别为，在媒质分界面上任作一个跨越分界面的狭小矩形回路，两条长边分别在分界面两侧，且都与分界面平行。
其长为、宽为，并令趋于零，得到于是得到或
这表明，电场强度在不同媒质的分界面两侧的切向分量是连续的。
再推导电位移矢量的边界条件，在分界面两侧作一个扁圆柱形闭合曲面，顶面和底面分别位于分界面两侧且都与分界面平行，其面积为，如图8.5所示。
将介质中积分形式的高斯定理应用于这个闭合面，然后令圆柱的高度趋于零，此时在侧面的积分为零，于是有
即或其中表示分界面上的自由面电荷密度。
这表明，电位移矢量D在不同媒质的分界面两侧的法向分量是不连续的，其差值恰好等于分界面上的电荷面密度。
若分界面上不存在面电荷分布，即，则有
可见，分界面上不存在面电荷分布时，电位移矢量D的法向分量是连续的。
由于界面处的电场为有限值，当两点间的距离趋近于零时，必然趋近于零。
故边界两侧的电位相等，即由式和，可得
式（8.19）和式（8.20）就是分界上电位的边界条件。
如果分界面无面电荷，即，则另外，在导体表面，边界条件可以简化。
导体内的静电场在静电平衡时为零。
设导体外部的场为E和D，导体的外法向为n，则导体表面的边界条件简化为和。
【例8.4】一个半径为的导体球的电位为，设无穷远处为零电位。
求球内、外的电位分布。
解：导体球是等位体，所以球内各点的电位均为。
球外的电位满足拉普拉斯方程两次积分，通解为根据边界条件求常数，边界条件为：Company
由上述边界条件，确定常数为：，代入通解得：【例8.5】用电位微分方程求解例8.2中的球内、球外的电位分布和电场强度。
解：设球内、球外的电位分别为，球体内部有电荷分布，则满足泊松方程。
球外是无电荷区域，
则满足拉普拉斯方程。
因为电荷分布均匀，场量球对称，故球内外的电位是的函数。
将上述两个方程分别积分两次可得通解：
边界条件是：①②(以无限远处为参考点)；
③④由上述条件，确定通解中的常数：
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8.1.2电容静电场中的导体是等位体，导体内部没有电荷，其内部的电场强度为零，电荷只能分布在导体的表面上。
假设一个孤立导体带电荷量为，所产生的电位为。
若将导体上的总电荷量增加倍，则导体表面上各点的电荷面密度将增加同样的倍数。
显然导体的电位也将增加倍。
我们把一个孤立导体所带的总电荷量与它的电位之比
称为孤立导体的电容。
平行双导线、同轴线等是常见的双导体系统，通常称为电容器。
孤立导体的电容可认为是把双导体系中一个导体移至无限远处,以无限远处为参考点，则两导体间的电位差就是另一导体的电位。
它是双导体电容的一个特例。
提示：电容是导体系统的一种物理属性，它只与导体的形状、尺寸、相对位置以及导体周围的介质有关，而与导体的电位和所带的电荷量无关。
现在以同轴线和平行双导体为例，计算它们的电容。
因为传输线的长度远大于其横截面尺寸和双导体间的距离，所以它们的场是平行平面场，只需计算单位长度的电容，与传输线长度无关。
【例8.6】置于空气中（介电常数为）的平行双线传输线如图8.6所示，导体的半径为。
两导体的轴线相距为，且。
试求传输线单位长度的电容。
解：由于，可近似地认为电荷均匀分布在导线表面上。
设两导线单位长度带电量分别为和。
应用高斯定理可得到两导线间的平面上任一点的电场为图8.6双线传输线
两导线间的电压于是得到平行双线传输线单位长度的电容为
提示：如果两导体间的距离较近,导体表面的电荷分布要受邻近导体的影响,因而失去轴对称关系，就不能用上述方法计算电容了。
【例8.7】同轴线内导体半径为，外导体的内半径为，内外导体间填充介电常数为的均匀电介质，计算同轴线单位长度的电容。
解：设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为和，用高斯定理可得到内外导体间的电场强度为
则两导体间的电位差则同轴线单位长度电容这两个例子表明电容只与其本身结构（尺寸、介质、形状）有关，而与线上带电量及两导体间的电位差无关。
8.1.3静电场的能量及能量密度前面讲过的电容器能够储存能量，那么能量储存在哪里？
我们知道把一个带电体置于静电场中，则带电体会受到电场力的作用。
如果没有其他外力与之平衡，电场力将使带电体移动而做功，这说明静电场中储存着能量。
这些能量是在电场的建立过程中积累起来的，所以电容器能够储存能量的原因是电容器的两极板间有确定场强的静电场。
将电荷由无穷远处移到静电场中，一方面外力必须反抗电场力而做功，另一方面移入新的电荷后引起电场变化，于是外力所做的功转变为电场能量储藏在静电场中。
在给一个由N个带电导体构成的线性系统充电时，只要带电体上开始有了电量，继续向该带电系统输送新的电量就必须作功。
点电荷产生的电场中，将另一电荷由无穷远移至距点电荷为处，外力反抗电场力所做的功为式中表示由点电荷在处产生的电位。
若点电荷与互换，则外力反抗电场力所做的功为式中表示由点电荷在处产生的电位。
在线性介质中，电位与电荷的建立方式及其过程无关，所以上面
两种方式的结果完全一样。
电场能量储存在由、构成的共同的系统中，电场能量可以表示为若在此系统中另一点电荷从无穷远处移到距离为、距离为处，设为和在处产生的电位。
则系统的能量等于式（8.28）可以写成
式中处的电位是由点电荷和产生的。
若系统是由个点电荷构成的，则电场能量可以表示为式中为除了外的所有点电荷在处产生的电位。
例如，在两个导体极板构成的电容器中，经外电源充电后，最终极板上的电量分别为，对应的电位分别为
和，则该电容器储存的电场能量是式中是两极板间的电压，电容器的电容。
对电荷连续分布的情况，式(8.26)可改写为式中为体电荷所在点和面电荷所在点的电位。
、分别为电荷的体密度和电荷的面密度。
以上只计算了静电场的总能量，但并没有说明能量储存在电场中的哪部分空间。
但从场的观点看，凡是电场存在处，移动带电体都要作功，因此必须承认能量应储存在电场存在的空间，即有场的空间就有能量。
我们就用这一观点来分析能量的分布，并引入能量密度的概念。
由高斯定理，，所以式(8.32)改写为
而式(8.33)中第一项可改写为令球面半径趋于无限大，则因为按变化，按变化，球面积按变化。
所以，当时，球面的积分为零；
而包围带电体表面的外法线方向与导体表面的外法线方向恰好相反,于是上式变为
所以式(8.33)中第一项与第三项互相抵消，因而得到上式中体积分的范围是整个有电场的空间,表示能量存在于电场中。
被积函数是空间任一点的能量密度，即也可写成
【例8.8】带电荷量为的金属球，半径为，求该孤立带电金属球的总电场能量。
解：电场能量分布在金属球之外的整个空间。
带电球体在空间中产生的电场为只要将对这个空间积分即可求得
8.1.4静电场的应用静电场在工农业生产与日常生活中有很多的应用，主要是指利用静电感应、高压静电场的气体放电等效应和原理，实现多种加工工艺和加工设备。
工业方面，在电力、机械、轻工、纺织、航空航天以及高技术领域有着广泛的应用。
农业生产中，利用高压静电场处理植物种子或植株，可以提高产量和抗性。
生活方面，静电场应用于治疗、空气除尘以及厨房抽油烟机等。
可以说，静电场的应用与我们息息相关。
电晕放电电极使涂料粒子带电，在输送气力和
静电力的作用下，涂料粒子飞向被涂物，粒子所带电荷与被涂物上的感应电荷之间的吸附力使涂料牢固地附在被涂物上。
工作时静电喷涂的喷枪或喷盘、喷杯，涂料微粒部分接负极，工件接正极并接地，在高压电源的高电压作用下，喷枪（或喷盘、喷杯）的端部与工件之间就形成一个静电场。
涂料微粒所受到的电场力与静电场的电压和涂料微粒的带电量成正比，而与喷枪和工件间的距离成反比，当电压足够高时，喷枪端部附近区域形成空气电离区，空气激烈地离子化和发热，使喷枪端部锐边或极针周围形成一个暗红色的晕圈，在黑暗中能明显看见，这时空气产生强烈的电晕放电。
涂料经喷嘴雾化后喷出，被雾化的涂料微粒通过枪口的极针或喷盘、喷杯的边缘时因接触而带电，当经过
电晕放电所产生的气体电离区时，将再一次增加其表面电荷密度。
这些带负电荷的涂料微粒在静电场作用下，向工件表面运动，并被沉积在工件表面上形成均匀的涂膜。
图8.7所示为静电喷涂设备。
半导体硒有特殊的光电性质：没有光照射时是很好的绝缘体，能保持电荷；
受到光的照射立即变成导体，将所带的电荷导走。
复印每一页材料都要经过充电、曝光、显影、转印等几个步骤。
这几个步骤是在硒鼓转动一周的过程中依次完成的。
充电：由电源使硒鼓表面带正电荷。
曝光：利用光学系统将原稿上的字迹的像成在硒鼓上。
硒鼓上字迹的像，是没有光照射的地方，保持着正电荷。
其他地方受到了光线
的照射，正电荷被导走。
这样，在硒鼓上留下了字迹的“静电潜像”。
显影：带负电的墨粉被带正电的“静电潜像”吸引，并吸附在“静电潜像”上，显出墨粉组成的字迹。
转印：带正电的转印电极使输纸机构送来的白纸带正电。
带正电的白纸与硒鼓表面墨粉组成的字迹接触，将带负电的墨粉吸到白纸上。
此后，吸附了墨粉的纸送入定影区，墨粉在高温下熔化，浸入纸中，形成牢固的字迹。
图8.8所示为静电复印机。
图8.7静电喷涂设备图8.8静电复印机
其装置由两个平行板电极构成。
其中下电极接地，并在其上放置基底材料和短纤维；
上电极板施加高压直流电，两电极间形成强电场。
也可将纸张用静电吸附平展用于照相或其它处理。
例如，在一台矿砂分选器中，磷酸盐矿砂含有磷酸盐岩石和石英。
将其送入振动的进料器中，振动使得磷酸盐岩石微粒
与石英颗粒发生摩擦。
在摩擦过程中，石英颗粒得到正电荷，而膦酸盐颗粒得到负电荷。
带异种电荷的微粒的分选由平行板电容器中的电场来完成。
静电场可以造福人类，但是也具有一定危害性。
例如，静电场会影响植物的同化、异化作用，细胞的生长以及染色体的畸变。
当人体穿上绝缘鞋底，在高绝缘地面上行走时可以感应产生数千伏高电压，危机生命安全。
液体在流动、过滤、搅拌、喷射、灌注等剧烈晃动过程中均会产生很强的静电、不纯净的气体高速流动时，同样也会产生静电。
这些静电现象有时会在工业生产过程中引起重大的工伤事故。
8.2恒定磁场的分析与应用恒定的磁场是由恒定电流激发的，同样是矢量场，它的分析方法和思路与静电场相似，也是从麦克斯韦方程组中简化出其基本方程，分析其边界条件。
在学习中可以和静电场对比以加深理解。
8.2.1恒定磁场的基本方程及其边界条件1．恒定磁场的基本方程由于恒定磁场的场量不随时间变化，故由麦克斯韦方程组简化而来的恒定磁场的基本方程为：
微分形式：积分形式：恒定磁场的基本方程表明恒定磁场是无源有旋场，电流是激发它的旋涡源，是非保守场。
式（8.38）和（8.40）还表明，磁感应线总是一些闭合曲线，在客观上表明自然界没有孤立的磁荷存在。
提示：直到目前为止，尚未发现孤立的磁荷存在。
但是根据Dirac的理论，磁荷是存在的，在此理论支持下，许多物理学家正在不同的领域内探寻孤立磁荷存在的可能性。
【例8.9】如图8.9所示，无限长中空导体圆柱的内、外半径分别为和，沿轴向通以恒定的均匀电流，电流的体密度为，导体的磁导
试求空间各点的磁感应强度。
解：建立圆柱坐标系，设电流的方向和方向一致。
根据安培环路定律，磁感应强度的方向是方向。
图8.9载流空心导体圆柱在小于的区域，有所以在的区域，有所以
通常情况下，恒定磁场可以用矢量磁位A来描述。
但由于矢量磁位是一个矢量，分析求解很复杂。
因此，在某些情况下可以考虑用标量磁位来描述磁场。
在没有传导电流的区域中，即的区域中，有。
因此在这个区域中可以把H用一个标量函数的梯度来表示，即式中称为磁场的标量位，简称为标量磁位，式中的负号是人为加的，目的是与静电场相对应。
在均匀介质中可得由此可以推知可以看出，标量磁位在此区域中满足拉普拉斯方程。
磁场分量在不同介质分界面上的变化规律称为磁场的边界条件。
这里我们同样根据恒定磁场的积分形式来导出两种介质分界面场量及矢量磁位的边界条件。
将恒定磁场基本方程的积分形式应用于回路上，并设小回路的高度趋近于零，同样可得或写为。
这表明，磁场强度H在不同媒质的分界面两侧的切向分量是不连续的，其差值等于分界面上的电流面密度。
若分界面上不存在面电流分布，即，则有或写为。
将恒定磁场基本方程的积分形式应用于如图8.11所示的曲面S上，并令圆柱状小闭合面高度趋于零，同理可得
这表明，磁感应强度B在不同媒质的分界面两侧的法向分量是连续的。
图8.10 H的边界条件图8.11 B的边界条件（2）矢量磁位的边界条件结合矢量磁位的定义，利用同样的方法可导出矢量磁位的边界条件。
矢量磁位的定义式为所以式中为通过面的磁通量。
按照上述做矩形回路的方法，由于其宽度足够小，高度，则矩形面积，所通过的磁通量为零，于是从而得到的切向分量连续，即
又因为所以按照上述同样的方法可以得到的法向分量连续，即上述分析可知即在介质分界面上，矢量磁位是连续的。
可得到标量位的边界条件为在没有传导电流的区域中解磁场问题时，可以先解标量磁位的拉普拉斯方程，求出标量磁位，然后再求磁场强度和磁感应强度。
【例8.10】如图8.12所示，磁导率分别是和的两种媒质有一个共同的边界，媒质1中点P1处的磁场强度为H1，
且与交界面的法线成角。
求媒质2中点P2处的磁场强度H2的大小和方向。
图8.12分界面上的磁场解：设与交界面的法线成角，根据边界条件B的法线分量连续，H的切线分量连续，则：
两式相除得：H2的大小为：8.2.2电感在各向同性的媒质中，一个电流回路在空间激发的磁场与回路中的电流成正比。
穿过回路的磁通量与磁感应强度也成正比，因此穿过回路的磁通量与回路中的电流成正比。
电感分为自感和互感。
设穿过一个单匝的简单线圈的磁通量为Φ，则对于各匝线圈紧密相贴的匝密绕线圈，每匝线圈交链的磁通量都是相同的。
该密绕线圈的全磁通为（8.56）【提示】导体中通有电流后，产生的磁通相交链的电流不是导体中的全部电流。
有时磁通量还可以用矢量磁位A来表示，于是应用斯托克斯定理，磁通Φ可写为(8.57)表示面积边缘的闭合曲线。
因为磁通量的单位是Wb,所以A的单位是Wb/m。
在线性、各向同性的磁介质中，设有一闭合导线回路，在回路中通有电流时，穿过回路的磁通为，定义穿过回路的磁通与该回路中的电流比值为（8.58）就是自感或自感系数。
自感的单位为亨利（H）。
自感仅与回路的几何结构、尺寸及其周围媒质的磁导率有关，而与回路中电流的大小无关。
通常情况，导线的面积为有限值(即粗导体)，所以穿过导线外部的磁通称为外磁通，用表示，由它计算的自感称为外自感；
回路的总自感则为(8.59)
在计算单匝线圈的外自感时，假设电流集中在导线的轴线上，把导线的内侧边线作为回路的边界。
因而外磁通可以等于在所围面积S上的面积分在计算单匝线圈导线回路内自感时，导线内部的磁场可近似地认为与无限长直导线内部的磁场相同。
（8.60）【例8.11】同轴线的内导体半径为a ,外导体的内半径为b，厚度很薄可以忽略不计，如图8.13所示，所有材料的磁导率均为,计算同轴线单位长度的自感。
解：设同轴线中的电流为，根据安培环路定律可得到内导体中的磁感应强度为
穿过由轴向为单位长度、宽为构成的矩形面积元为的磁通为由于与相交链的电流不是I，而是I的一部分，即所以，与相应的磁通为内导体中单位长度的自感磁通总量为
由此得到单位长度的内自感为在内外导体之间，由安培环路定律可得到磁感应强度为)（）此时由此得到单位长度的外自感为
故同轴线单位长度的自感为图8.13同轴线图8.14平行双导线【例8.12】平行双导线如图8.14所示，导线的半径为a，两导线的轴线相距为D，且D>>a。
试求双导线单位长度的外自感。
解：设两导线中分别流过大小相同、方向相反的电流I。
由于D>>a，可近似地认为电流均匀分布在导线中。
应用安培环路定律可得到两导线间的平面上任一点P的磁感应强度为穿过两导线之间轴线方向为单位长度的面积的外磁通为于是得到平行双导线单位长度的外自感为
由回路电流所产生而与回路相交链的磁通，称为互感磁通，定义与回路电流的比值图8.15两个回路(8.61)为回路对回路的互感（或称互感系数）。
同样，回路对回路的互感应为
(8.62)互感的特点如下：（1）互感只与回路的几何结构、尺寸、两回路的相对位置以及周围磁介质的磁导率有关，而与回路中的电流无关。
因而，可略去下标，用表示两回路间的互感。
反之，则互感系数为负值。
【例8.13】如图8.16所示，无限长细直导线与直角三角形的导线回路在同一平面内，一边相互平行。
试计算它们之间的互感。
图8.16互感的计算解：假设细长直导线中通有电流先计算穿过三角形导线框的磁通，由安培环路定律求得则穿过三角形回路的磁通是式中故它们之间的互感是
8.2.3磁场能量和磁能密度我们前面讨论过将一群电荷组合起来需要做功，而这种功是以电场能的形式储存起来的。
当然会预想到，将电流送进导体回路也需要消耗功，电流回路在恒定磁场中要受到作用力，说明磁场和电场一样储存着能量。
磁场能量是在建立磁场过程中外力或外电源提供的，其能量也分布在整个磁场空间，因为研究的是恒定磁场的能量，所以它只与电流的终值有关，而与电流的建立过程无关。
我们首先以电流回路为例，选择任一个建立电流的过程来计算恒定电流磁场的能量。
1.恒定磁场的能量
现在考虑两个闭合导线回路，如图8.15所示。
在初始时刻，设两个回路中均没有电流，即。
随着时间的增加，在外电源的作用下将中的电流逐渐增加至最后的恒定电流值，同时，空间各点的磁场也由零逐渐增加到最后的恒定值。
如果导线是无耗的，根据能量守恒定律，各外电源所做的总功应等于恒定磁场的能量。
我们假设恒定磁场的储能需要两个步骤完成，即首先保持，使从零增加到；
然后保持恒定，使从零增加到。
暂时开路，保持，在外电源的作用下在时间内有一增量，因而周围磁场也随着增加，在中产生自感电动势为，在中产生互感电动势。
为了使回路中电流增加，外电源必须在中外加一个的电压去抵消感应电动势；
又为了使回路中的电流保持为零，必须在中加一个去抵消互感电动势，于是时间内外电源所做的功是（8.63）
因为，所以则在时间内，外电源所做的功是(8.64)再讨论回路中电流保持不变化而使从零增加到时，外电源所做的功。
当在时间内有一个增量时，在回路中产生的自感电动势，在回路中产生的互感电动势是。
情况与上述相同，在时间内，外电源在两个回路所做的功分别是(8.65)(8.66)
于是外电源所做的功为(8.67)从以上的讨论可知，在回路中建立起恒定电流的过程中，外电源所做的总功应转换为两个恒定电流回路系统产生磁场的能量，所以磁场储能为(8.68)将上式改写成下列形式(8.69)
式中和分别是穿过回路的总磁通，即为自感磁通和互感磁通的代数和。
若系统是N个电流回路组成的，则其磁场能量可推广为(8.70)2.磁能分布及磁场能量密度在N个电流回路中，穿过第个电流回路的总磁链可表示为(8.71)式中分别为第个回路中的周长及其所围的面积，是所有电流（包括)所产生的场。
于是磁场能量可表示为(8.72)
设以体电流分布的系统分布在一个有限的体积中，我们用，因而体电流分布磁场系统的磁场能量表达式可改写为(8.73)式中的体积分区域可扩大到整个空间而不会影响它的值，因为在以外的区域里电流为零，这部分体积分为零。
则(8.74)利用矢量恒式，又恒定磁场中，则(8.75)
当电流分布在有限区域，在无穷远边界面，。
是分布电流的区域内一点到S面上任一点的距离，所以式（8.75）中第一项面积分当趋于无穷大时为零，故(8.76)由此可见，磁场能量分布于全部有磁场的空间，磁场能量体密度为（8.77）在各向同性、线性媒质中为（8.78）
【例8.14】无限长直导线的横截面如图8.17所示，半径为并通有恒定电流，试求导线内部单位长度的磁场能量。
图8.17直导线的磁场能量解：由安培环路定律可得导线内部的磁场强度大小为则磁场能量密度为故单位长度导线内的磁场能量为
8.2.4恒定磁场的应用公元前300年我国发现了磁石吸铁的现象，公元初我国制成世界上第一个指南针。
1820年丹麦人奥斯特发现了电流产生的磁场，同年法国科学家安培计算出两个电流之间的作用力。
恒定磁场的应用非常普遍，发电机、电动机、电气仪表、电磁铁、示波管、显像管、磁控管、质谱仪、电子计算机、电子显微镜、回旋加速器以及磁悬浮技术等都离不开恒定磁场的应用。
磁场还可用于污水处理，清除水中的油污和杂质。
经过磁场处理的磁化水，用于灌溉可以提高作物产量，用于发酵饲料可以促进家畜的成长，用于锅炉可以避免水垢。
在很多电气设备和仪表中，广泛使用线圈产生磁场。
这种线圈产生的磁场还可用于显像管中，控制电子束的扫描。
质谱仪又称质谱计。
分离和检测不同同位素的仪器。
即根据带电粒子在电磁场中能够偏转的原理，按物质原子、分子或分子碎片的质量差异进行分离和检测物质组成的一类仪器。
图8.18所示是美国沃特斯质谱仪。
线圈的电感与线圈的匝数、线圈的尺寸及线圈中的填充物有关。
因此当线圈的匝数和尺寸不变时，变更线圈中的填充物即可改变线圈的电感，这就是电感传感器的基本原理。
磁性物质和非磁性物质的混合物在传送带上均匀传输，传送带绕过由铁壳和激励线圈组成的磁性滑轮，激励线圈可产生磁场，非磁性物质会落入指定的料仓，而磁性物质被滑轮吸住直到传送带离开滑轮才落下，这样就实现了两种物质的分离。
提示：激励线圈有时用高性能永磁体替代，但须合理设计磁路，使磁性物质分离出来。
从工作原理上，可分为常导磁悬浮、超导磁悬浮和永磁体磁悬浮，其磁场分别由常导电流、超导电流和永磁体产生。
超导磁悬浮又分为低温超导磁悬浮和高温超导磁悬浮。
还有常导和超导，永磁和超导相结合的混合磁悬浮。
图8.19所示是上海的磁悬浮列车。
图8.18沃特斯质谱仪图8.19上海磁悬浮列车与电场一样，磁场可以造福人类，同时对于人体也有一定的危害。
人体的感官对于磁场均有反应，长期处在强磁场中的人们，会感到疲劳，手脚发麻。
大型电力变压器应该远离人群居住地。
8.3恒定电场分析与应用如果将一块导体与电源的两个极板相连，由于两个电极之间始终存在一定的电位差，在导体中形成电场，迫使自由电子维持连续不断的定向运动，从而形成电流，或者说，导体中出现了电流场。
若外加电压与时间无关，导体中的电流强度恒定，这种电流场称为恒定电流场。
为了维持这种恒定电流，导体中的电场也必须是恒定的，这种电场称为恒定电场，它也是时变场的一种特殊情况。
我们知道，在静电场的条件下，导体内不存在电场。
而在外电源的作用下，导体内部不再是等位体，导体的表面也不再是等位面，导体内部存在着恒定电场。
8.3.1恒定电场的基本方程及边界条件1.恒定电场的基本方程恒定电场的源是不随时间变化的恒定电流，因而场量也不随时间变化，所以麦克斯韦方程组中电场的方程可写为（8.79）（8.80）不难发现，这两个方程与静电场的方程完全相同，因而恒定电场具有与静电场相同的性质，它也是有源无旋保守场。
然而由于导体内部通以恒定电流，所以恒定电场既存在于导体外部的区域，也存在于恒定电流通过的导体内部区域。
由恒定电流的定义可知，形成恒定电流的电荷虽然在运动，但其分布却不随时间变化。
因此在恒定电场中，得到恒定电流的连续性方程为
由欧姆定律的微分形式可知，导电媒质中任一点的电流密度J与该点的电场强度E之间满足（8.81）（8.82）通常情况下，在导电媒质中电荷分布是未知的，很难用式（8.79）来求解导电媒质中的恒定电场。
而导电媒质中的电流分布却比较容易求得，所以我们通常将式（8.40）和式（8.81）作为导电媒质中恒定电场的基本方程，它们的积分形式为（8.83）（8.84）
由于，故仍然有存在，在导体的内部有即（8.85）若（如均匀的导电媒质），则有（8.86）由此可见，在电源以外的导体内，电位函数也满足拉普拉斯方程。
与静电场中边界条件的推导方法相同，可得在两种不同导电媒质分界面上，恒定电场的边界条件为（8.87）（8.88）也可写为以上讨论说明，在两种导电媒质的交界面上，电场强度的切线分量连续，电流密度的法线分量连续。
由于及，则有或（8.89）由于，应用推导电位边界条件的方法可得
（8.90）应注意，由于导体内存在恒定电场，根据边界条件可知，在导体表面上的电场既有法向分量又有切向分量。
电场不垂直于导体表面，因而导体表面不是等位面。
由边界条件和可导出矢量在分界面上的折射关系以上两式相除得（8.91）式中如图8.20所示。
图8.20恒定电场的折射
若媒质2是良导体，媒质1是不良导电媒质，即。
若媒质2是导体，媒质1是理想介质，即，则由于理想介质中不存在恒定电流，即，可知且。
这表明，在导体一侧只能存在沿切向的电流和切向的电场强度。
【例8.15】一同轴电缆填充有两层介质，内导体半径为，外导体半径为，介质的分界面半径为。
两层介质的介电常数和电导率分别为和。
设内、外导体加电压。
求：两导体之间的电流密度和电场强度的分布。
解：由外加电压导致电流由内导体流向外导体，在分界面上只有法向分量，所以电流密度成轴对称分布。
假设内外导体间间电流为I，则由及电流密度在介质分界面法线方向连续，可得内外导体间的电流密度为介质中的电场在法线方向不连续则由于得到
于是得到介质中的电流密度和电场强度分别为【例8.16】电压U加于面积为S的平行板电容器上，两块极板之间的空间填充两种有损电介质，它们的厚度、介电常数、电导率分别为和，如图8.21所示
图8.21填充两种介质的电容器求：（1）极板间的电流密度J；
解：（1）设通过电容器的电电流为I,导板极的电导率远大于有损介质的电导率，故介质中的电流应垂直于导板面，又由J的法向分量连续性保证了两种媒质中电流密度相同，即由得
因为故（2）两种电介质中的电场强度分别为（3）上下极板的面电荷密度分别为介质分界面上的为从这些结果可以看出，，但
8.3.2静电场与恒定电场的比拟通过前面的讨论，发现电源外导电媒质中的恒定电场及恒定电流密度所满足的基本方程，与电介质中无体电荷区域的静电场的及电位移矢量所满足的基本方程作一比较，容易看出它们之间在很多方面有相似之处，各量之间也有对应关系（如表8..1所示）。
由表中可以看出，只要把静电场中的和相对应地换成和，静电场的基本方程及关系式就变成恒定电场的方程了。
反之亦然，两种场中的电位函数也有相同的意义。
由于静电场与恒定电场的电位都满足拉普拉斯方程，因此，在相同的边界条件下，如果一种场的解已经得到，则另一种场的解不必重新再求，只要把两种场相对应的量置换一下即可，这种方法叫静电比拟法。
场量的对应关系也导致了参量的对应关系。
与的对应，导致与对应，而与对应，导致电容与恒定电流电场中的电导相对应。
对于同一个系统，只要把电容公式中的换成这时电容就变成了电导，反之亦然。
表8..1恒定电场与静电场的比较
【例8.17】双导线半径为，两轴线距离为，周围的介质电导率为。
求单位长度双导线的漏电导。
解：例8.6已经计算了当时，平行双导线单位长度的电容为由于电导与电容以及介电常数和电导率的对应关系，通过参量置换便可得到双导线的漏电导为【小思考】总结一下，计算电导有哪些方法？
8.3.3恒定电场的应用电镀工艺、电焊工艺、电力工程、地质勘探、油井测量以及超导技术中广泛应用了恒定电场的特性。
但在设备运行中，进行现场测量是很不安全的。
此时可将设备放入电流场中，只要保证电流场的形状及其边界条件与电气设备所在的电场形状及边界条件相同，那么通过测量该电流场的分布，即可获知原先电场的分布。
人体的心脏组织产生的微弱电流流遍全身，导致人体的各个部位具有不同的电位。
测量这些电位差，即可诊断心脏、动脉以及心室的状态，这就是心电图仪的工作原理。
警方在审讯犯罪嫌疑人时使用的测谎仪也是基于同一机理。
图8.22所示是用于心脏病诊断的心电图仪。
图8.22心电图仪图8.23碳膜电阻
例如碳质电阻、碳膜电阻和线绕电阻。
调节碳棒的尺寸、碳膜的厚度以及电阻丝的粗细，即可获得不同阻值的电阻元件。
这些电阻元件各具特色，分别用于不同场合。
图8.23所示是碳膜电阻。
当地层中含有水分、矿物或油气时，土壤的电导率将有所不同。
如果将两个电极垂直或水平放入地中，通过测量两个电极之间的电流及电位分布，即可判断电流通过区域中地层状况，这就是电法勘探的基本原理。
经验表明，地震前夕地壳的电导率通常也要发生变化，因此上述方法也可用于地震预报。
【本章小结】本章主要讨论静电场、恒定电场以及恒定磁场的分及应用。
积分形式：边界条件：5.在线性介质中，一个导体上的电量与导体上的电位成正比，它们的比值称为电容孤立导体的电容：。
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