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本课件把静态场求解归结为给定边界条件下的泊松方程或拉普拉斯方程边值问题，先给出边值问题分类与唯一性定理，随后依次介绍镜像法与电轴法、直角坐标、圆柱坐标与球坐标下的分离变量法，以及二维泊松方程的差分离散化与迭代求解。
第9章静态场的解【本章教学要点】相关知识掌握程度知识要点边值问题分类、唯一性定理熟悉概述静电场中的镜像法、电轴法、恒定磁场的镜像法掌握镜像法直角坐标系中的分离变量法、圆柱坐标系中的分离变量法、球坐标系中的分离变量法重点掌握分离变量法二维泊松方程的差分离散化、边界条件的离散化、差分方程组的求解熟悉有限差分法
静态场是一类常见的场，可以看做时变场的特殊情形，包括通常见到的静电场、恒定电场和恒定磁场。
特殊静态场的求解可使用定义，或者高斯定理、安培环路定理来求解，而更多时候静态场的分析可归结为求解场的边值问题，即求满足给定边界条件的泊松方程或拉普拉斯方程的解的问题。
边值问题按已知边界条件的差异分为三类,这三类边值问题的求解方法基本相同。
实际工程中，静态场多为二维场，故本章主要以二维场为例来说明各种条件下静态场的边值问题的求解方法。
重点介绍镜像法，分离变量法和有限差分法。
镜像法适合求直线边界和圆形边界的特殊边值问题；
分离变量法是求解二维偏微分方程的基本解析方法；
有限差分法则适用于利用计算机求解边值问题。
9.1概述简单静态场问题的共同特征是电荷或电流分布具有特殊性，其场矢量（或位函数）只是一个空间坐标的函数，使用高斯定理或安培环路定律就可以很方便地求出场矢量。
而实际工程中遇到的问题要复杂得多，场矢量可能是两个甚至三个空间坐标的函数，这时使用高斯定理和安培环路定律就无能无力了，必须采用其它的求解方法。
9.1.1边值问题及分类静态场即静电场、恒定电流的电场和没有传导电流的空间的磁场都是位场，这类场的求解问题可总结为在给定边界条件下，标量位函数和矢量位函数所满足的泊松方程或拉普拉斯方程的求解问题，即所谓的边值问题。
根据边界的已知条件，通常把边值问题分为三类。
即为边界点s的位函数，不同的点s，可以有不同或相同的值。
例如静电场中，若已知带电导体的电荷密度，则这类问题称为第二类边值问题，或称诺依曼问题。
根据已知的边界条件，即可确定边值问题的类型。
所以确定边值问题的类型，关键在于正确提出场域的边界
条实际工程遇到的大多是第一类边值问题，所以我们主要研究第一类边值问题的求解方法，其它类型的边值问题，只是介绍给大家作一般性了解。
各类边值问题的分析方法有很多，大致可分为理论计算与实验研究两个方面。
表9.1列出了常用的求解方法。
表9.1边值问题的常用求解方法
严格说来，所有的电磁场都属于三维场，对应的泊松方程和拉普拉斯方程是三维空间的偏微分方程，不仅计算量大，而且很难获得精确解。
提示：在实际工程中，很多场量沿某一方向的变化很小，可以忽略，从而使很多三维问题可以理想化为二维问题，这样不仅简化了求解过程，同时具有实际应用价值。
9.1.2唯一性定理在静电场的很多求解方法中，有一些间接的方法用于求解非常方便。
相同的场使用不同的分析方法，其解的形式可能也不相同，但根据唯一性定理，只要它们
满足相同的边界条件，这些不同形式的解就是有效的，而且彼此相等。
在说明唯一性定理之前，先讨论一下格林定理。
令等于一个标量和一个矢量的乘积，即，代入，则
其中n是面元的正法线。
由于和均为标量，所以上式中的和互换，等式仍然成立。
即将（9.4）式与（9.5）式相减，可得此式称为格林第二定理，或是格林第二恒等式。
要点提醒：格林定理是场理论中的一个重要定理，利用格林定理可以推导出求解边值问题的一个方法——格林函数法。
定理表明：对于任意静电场，当整个边界上的边界条件如位函数（或边界上位函数的法向导数）已知时，空间各部分的场就被唯一地确定了与求解它的方法无关。
即拉普拉斯方程有唯一的解。
下面用反证法证明第一类边值问题的解具有唯一性。
设体积V内电荷分布密度为，其边界面S上的位函数为。
现有两个解同时满足该给定边界的泊松方程。
且在边界面S上满足，。
令，则在V内也应满足泊松方程。
且在边界面上有，。
利用格林第一恒等式，令，则有由于，，所以上式变为
对于任意函数，所以，(C为常数)。
又由于，则有，即，那么，即。
这说明满足场域边界条件的拉氏方程的解是唯一的。
利用唯一性定理，在求解一些较难的场解时，可以采用灵活的方法，甚至猜测解的形式，只要该解能够满足给定边界条件的泊松方程或拉普拉斯方程，这个解就是正确的。
思考：如何证明第二类、第三类边值问题的唯一性定理？
9.2镜像法镜像法用于求解某些涉及直线边界或圆形边界的重要问题，它不需正规地求解泊松方程或拉普拉斯方程，而是以非常简单的形式代替了看似棘手的问题，是唯一性定理的典型运用。
通常称虚设的场源为镜像源，如镜像电荷。
镜像源的大小和位置就像人照镜子时看到的自己一样，镜子的形状不同，像也不同。
在有源场域中，镜像法不仅可用于计算场强和电位，也可用于计算静电力及感应电荷的分布等。
9.2.1静电场中的镜像法在实际工程中，许多问题可近似为无限大导体平面、导体球、无限长导体等静电场的边值问题，这类问题由于分界面电荷分布比较复杂，直接求解比较困难，此时使用镜像法简单明了，但它只能用于相当狭窄的一类问题，并且使用时应该注意应用区域。
下面以实例来说明镜像法的应用。
图9.1接地导体上方有点电荷q图9.2撤去导体后的等效图解：先来分析边界条件，由于点电荷产生的电场会在导体表面感应出电荷，所以介质中的电场除了由点电荷引起外，还有感应电荷引起的电场，而感应电荷在整个导体平面分布不均匀，电荷密度不容易确定。
在介质中，除点电荷所在处外，电位应满足拉普拉斯方程；
在导体平面上电位，以无穷远处为参考点，即在无穷远处，电位。
利用镜像法，设想将无限大导体平面撤去，整个空间充满介电常数为的介质，且在q的镜像位置处放置一点电荷.q，如图9.2所示，则在上半区域，除点电荷所在位置，其余各处电位均满足拉普拉斯方程，且原分界面处的电位还是零。
即由电荷q和镜像电荷.q在上半区域形成的电场与点电荷q和无限大导体平面在上半区域形成的电场是相同的，也就是说，.q可以等效导体表面的感应电荷，称为镜像电荷。
根据唯一性定理，因为边界条件没有发生变化，所以用镜像电荷.q代替感应电荷分析的结果是相同的。
在上半区域，原点电荷和镜像电荷共同作用产生的电位
相应地可求出介质中的电场强度为由运算过程可见，在不确定导体平面感应电荷的情况下，可以很方便地求出所需的场量。
反过来可由电场强度得到导体表面的感应电荷面密度为由式（9.11）可知，导体表面的电荷分布是不均匀的，靠近点电荷的位置感应电荷的密度大，远离点电荷的位置感应电荷的密度小，且感应电荷与点电荷极性相反。
要点提醒：在此问题中，适用区域是导体平面以上的电介质内，而在下半区域，因无电荷分布，所以不存在电场。
在导体球外的区域内，也可用镜像法求解。
【例9.2】设在真空中有一半径为a的接地导体球，点电荷+q在距球心d（d＞a）处，如图9.3所示，求：空间的电位分布。
图9.3接地导体球外有点电荷q图9.4球面镜像图
解：由于点电荷的作用，导体球面出现不均匀的感应电荷，由电场分布特点可知，感应电荷的分布关于点电荷与球心的连线轴对称，根据镜像法，用球内一镜像电荷来等效球面上的感应电荷，考虑到感应电荷的分布情况，应在q与球心的连线上。
如图9.4所示。
设与球心距离为b，那么q与构成的系统应使球面保持零电位，则在球面任一点p点处，满足可得
为方便计算，在球面上取两个特殊点和，则在点时，；
在点时，，于是解得
可以验证，在点电荷和的共同作用下，原导体球面上任一点处的电位均为零。
由此可推得空间任意点的电位由以上结果可以看出，当距离一定时，导体球的半径越大则镜像电荷亦越大。
这是因为半径越大，球面离点电荷就越近，所受的电场力也会增大，所以球面上的感应电荷就越多。
另外，导体球半径越大，靠近点电荷一侧的导体球面的感应电荷越密集，远离点电
荷一侧的感应电荷越稀疏，所以等效的镜像电荷越靠近，即越大；
相应地，当点电荷远离导体球时，球面感应电荷的密集程度削弱，整个球面上感应电荷的面密度越来越均匀，镜像电荷越靠近导体球心，即相应减小。
思考：如果在圆柱导体面之外存在一点电荷，试用镜像法分析之。
给出，分析也比较简单。
若是介质平面附近有点电荷的情形，同样可以使用镜像法。
下面用一例子来说明。
【例9.3】如图9.5（a）所示，点电荷位于距两种电介质分界面处，两种电介质的介电常数分别为，求空间任意点的电位。
(a)镜像问题（b）介质1等效图（c）介质2等效图图9.5介质平面镜像
解：虽然点电荷只存在于介质1中，但在的电场作用下，电介质会被极化，在介质中和分界面上形成极化电荷，则空间电位由点电荷与极化电荷共同产生。
利用镜像法，求介质1中的电位时，把整个空间看作均匀介质1，用镜像电荷来代替极化电荷，为便于分析，使与按分界面对称分布，如图9.5（b）所示。
则介质1中任一点的电位可表示为其中与分别为和与场点之间的距离。
求介质2中的电位时，把整个空间看作均匀介质2，镜像电荷应位于介质1所在区域，用镜像电荷代替极化电荷与原电荷，位置设为与所在的位置相同，如图9.5（c）所示。
则介质2中的电位为R为与场点之间的距离。
要求解空间任一点的电位，需要先确定和的大小。
在介质分界面（即z＝0）处，应满足边界条件和，即在分界面（z＝0）处满足
将的表达式代入边界条件，可得由此可解得利用所求得的镜像电荷，即可解得整个空间的电场。
利用上述的分析方法，借助叠加定理可以研究电荷作任意分布时的介质平面镜像问题。
9.2.2电轴法电轴法属于镜像法，电轴即为镜像源，是工程中常用的一种间接方法。
平行双传输线是两平行带电圆柱导体，在电力工程中经常遇到，分析它的电场具有实际意义。
如果运用直接方法分析有困难，可以使用间接方法加以解决。
实际工程中，双传输线的导线很长，在导线的中间部分，可以忽略其边缘效应，认为其每单位长度上的电荷分布是均匀的。
即将有限长的带电双传输线理想化为无限长均匀带电的双传输线。
虽然导线横截面圆周上的电荷不均匀，但在与横截面平行的各个平面上，电场的分布应该是相同的。
下面我们通过讨论两根等量异号线电荷的电场来分析平行平面场。
设真空中两根平行的无限长直线电荷相距为，电荷密度分别为和。
如图9.6所示。
图9.6两平行传输线根据高斯定理，两根线电荷在场点处引起的电场强度分别为
若选取坐标原点为零电位点，则正负线电荷在场点引起的电位可分别表示为利用叠加原理，空间点的电位为
由上式可知，若令等位面方程，，即整理上式，可得这是圆的方程，表明在xoy平面上，等位线是一簇圆，圆心在x轴线上。
如图9.7所示。
图9.7两平行传输线的等位面图
根据，可求得电场强度对应的矢量线是圆弧，圆心在轴上。
设等位圆圆心到原点的距离为，圆心半径为，则式（9.23）和式（9.24）表明：等位圆的半径及圆心的位置都随而变，等位线是一簇偏心圆。
位圆在轴右侧，圆上各点电位均为正；
当时，等位圆在轴左侧，圆上各点电位均为负；
当时，等位圆圆心在无穷远处，等位圆扩展成一条直线，直线上各点电位均为零。
所以在双电轴的电场中，等位面是一簇偏心的圆柱面。
通常称包含零等位线的等位面为零电位面或中性面。
对式（9.23）和式（9.24）进一步分析会发现，等位圆的半径、圆心到原点的距离与导线所在位置之间的关系为，即
在工程应用中，通常利用式（9.25）来确定、、中的一个，更多的是确定等效电轴的位置，即求。
提示：对于相互平行但半径不同的带电圆柱导体或偏心圆柱套筒的电场，可以按照相同的思路进行研究。
【例9.4】如图9.8所示，两根相互平行，轴线距离为d的长直圆柱导体带等量异号电荷，半径分别为和，试确定其等效电轴的位置
解：建立如图9.8所示的坐标系，根据式（9.25），要确定等效电轴的位置，应先确定圆柱轴心到坐标原点
的距离，设两轴心到坐标原点的距离分别为和，等效电轴到坐标原点的距离均为，则有由以上两式可解得将上述结果代入式（9.25）可解出，即可确定等效电轴的位置。
图9.8两半径不同的平行圆柱的电轴若有两平行的同半径且带等值异号电荷的长圆柱导线，则导体内无电场，导线表面上的电荷分布不均匀，但沿轴向每单位长度上的电荷仍相等，导体表面仍是一个等位面。
这样，对于导线以外区域中的电场来说，如果将圆柱导线撤去，用两根带电细直线代替，所带电荷与原圆柱线相等，线电荷所在位置如满足式(9.25)所示关系，则原来的边界条件不变，根据唯一性定理，该区域的电场应不变。
所以，可以把带电细线理解成原来圆柱导线表面电荷的对外作用中心线，即等效电轴。
如果能够确定等效
电轴的位置，就可确定两带电的平行圆柱导线的电场，这种方法即称为电轴法。
【例9.5】设两根无限长平行圆柱导体的半径均为，轴线间距离为，求两导体间单位长度的电容。
解：建立如图9.9所示的坐标系，两圆柱的轴心坐标分别为和，设其表面分别携带的电荷。
将两圆柱用等效电轴代替，两等效电轴所在位置的坐标和可以由式（9.25）推出
根据（9.20）式，携带电荷的圆柱表面的电位和分别为两等效电轴到一圆柱表面的距离。
对应地，另一圆柱表面的电位为则两导体间的电压为
因为圆柱表面为等位面，所以可取圆柱表面内侧与坐标轴相交的特殊点来计算电位。
在该点处从而得到两圆柱导体间单位长度的电容
图9.9两半径相等的平行圆柱的电轴由于平行圆柱导线表面的电荷分布不均匀，根据上面的分析结果，等效电轴位于两导体圆柱的内侧，由于在电场力的作用下，导体圆柱表面的电荷分布不均匀，在两导体圆柱的内侧，电荷分布较多，而外侧电荷分布较少，所以等效电轴应向电荷密度较大的一侧
偏移，相应的最大场强也出现在两导体相距最近处，即两导体内侧表面处。
当两导体半径不相同时，半径较小的导体表面电荷密度大，所以其内侧表面处电场强度也最大。
要点提醒：电轴法广泛运用于求解双传输线的电容及偏心圆柱套筒的电容问题，使用时应该注意其有效区域是导体表面以外的区域。
求解的关键在于确定等效电轴的几何位置。
9.3分离变量法分离变量法是直接求解偏微分方程的一种方法，适用于无源空间的求解，在解决电磁场实际工程问题时被更多采用。
使用分离变量法的条件是：首先场域边界面能够与一个适当的坐标系统的坐标面结合，或者分段地与坐标面结合；
其次在此坐标系中，所求的偏微分方程的解可以表示为三个函数的乘积，且每个函数分别仅是一个坐标的函数。
利用分离变量法的一般步骤是：（1）按照边界面的形状，选择适合的坐标系。
实际工程中的位函数大多是二维场或近似二维场。
下面讨论二维场的分离变量法。
9.3.1直角坐标系中的分离变量法在直角坐标系中，电场位函数的拉普拉斯方程可表示为令
其中仅是x的函数，仅是y的函数，仅是z的函数，下面将它们分别简写为，把式（9.27）代入式（9.26），得再将式（9.28）两边同除，得令，则。
的取值不同，方程的解也不同。
一般有三种情况，以为例：（1）若，则方程中X的解为：；
由式（9.29）可知，Y和Z的解同样有这三种形式。
由于拉普拉斯方程是线性的，满足条件的分离常数有无穷多个，记作，因此解中的相应系数也有无穷多个，利用叠加原理，可用上述的解的线性组合来作为式（9.26）的解。
因为在二维场中，位函数可看成是x、y的函数，而与变量z无关，即
此时位函数的通解可表示为由于第（2）和第（3）种情况只能出现一种，所以（9.30）中的第一项和第二项只能取一项。
选择的方法是：如果某一坐标对应的边界条件具有周期性，则该坐标的分离常数一定是实数，其解只能具有三角函数形式，而不可能是双曲函数。
要点提醒：确定解的通式后，再根据给定的边界条件，通过确定系数和取舍函数，便可得到位函数的准确解答。
【例9.6】横截面为矩形的长直接地导体槽，顶盖电位。
求槽内的电位分布。
图9.10矩形截面长直导体槽
解：设导体槽的长度远大于横截面尺寸，则中间区域的电场可近似为一个二维场，即电位大小与z无关。
建立如图9.10所示坐标系，可得边界条件为根据边界条件，在x＝0和x＝a处，电位相同分离变量应大于0，由式（9.30）可知通解形式为
下面根据边界条件来确定通解中的系数和分离常数。
由边界条件①可知；
由边界条件②可知；
则上式可简化为由边界条件③，可得,，所以这时，如果能求出系数，即得解。
由边界条件④得其中，。
下面使用三角函数的正交归一性来解，在式（9.32）两边同乘以，然后从x=0到x=a进行积分，得左边积分结果为而右边积分的结果为
由左右两边相等，可得那么的解即为n为偶数时，。
由此可得到的最终解为
式（9.34）表明该例的解是一无穷级数，要想得到精确解，n需取到无穷大，这显然是不可能的，不过，从式中可以发现，n的取值越大，第n项的值就越小，通常认为取前2～4项的和就能达到足够的精确度。
9.3.2圆柱坐标系中的分离变量法在圆柱坐标系中，位函数的拉普拉斯方程可表示为设，代入式（9.35）得
用乘以上式得现在依次分析一下式（9.36）中的三项。
先来看第二项，显然它仅是的函数，要使所有的都满足上式，第二项只能等于一个常数，不妨设,即为分离常数。
其中的取值范围为，而取值为单值，需满足，即所以只能为整数，令则将代入式（9.36），并将式（9.36）除以可得
同理，式（9.38）中的两项各自都只是一个变量的函数，要使其对任意的和都成立的条件是每项只能等于一个常量。
令，即有，那么当时,；
当时，最后，由，得令，即有，那么
式（9.39）所示为贝塞尔方程，方程的解为n阶第一类和第二类贝塞尔函数。
由于实际工程中大多是二维场，不妨令位函数与坐标无关，即有，则式（9.39）可简化为即设，代入式（9.40）得所以，即=
同直角坐标系一样，分离常数也有无穷多个，同时考虑到分离常数也可为零的特殊情形，最终圆柱坐标系中位函数的通解为式中的所有系数由边界条件决定。
提示：实际工程中的同轴线，圆波导等具有圆柱形边界，对应场域也具有圆柱形边界，都适合应用圆柱坐标系。
【例9.7】一无限长直介质圆柱体半径为a，介电常数为，放置于均匀电场中，圆柱体轴向与方向垂直，如图9.11所示。
圆柱体外介质的介电常数为。
求空间的电位及电场强度。
图9.11介质柱在均匀场中图9.11介质柱在均匀场中图9.11介质柱在均匀场中图9.12介质柱周围的场分布解：若直圆柱体的长度远大于其横截面半径，对于中间区段，可以认为是二维场，场的大小只与有关，而与z无关。
因为在圆柱内、外均无自由电荷分布，所以柱内外电位均满足拉普拉斯方程，即
所以电位函数应具有式（9.42）所示的通解形式。
设圆柱体内外的电位分别为，电场强度分别为和。
取坐标原点为电位参考点。
下面首先来分析圆柱体外的电位。
介质圆柱体表面的电荷会使原来的场发生畸变，但在无穷远处仍是均匀的，即在无限远处，电场满足则在无限远处。
与式（9.45）相比，n只能取1，且，则式（9.42）可简化为
对应边界条件可知，所以圆柱体外的电位为再来讨论圆柱体内电位。
在圆柱体表面，即处，应满足分界面的边界条件可得，时，
所以也仅含n=1项且，即由于在处，不可能为无穷大，所以，得则在处，再根据分界面边界条件，处
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进而由上述结果可知：，说明圆柱体内的电场是均匀场，场强的大小受到极化电荷的影响。
当,圆柱体内的电场会被削弱，如图9.12所示。
【小应用】实际工程中，使用上述原理用铁磁材料制成外壳来进行磁屏蔽。
越大，屏蔽腔越厚，屏蔽效果越好。
常采用多层铁壳把进入腔内的残余磁场多次屏蔽。
9.3.3球坐标系中的分离变量法在求解空间场时，如果场域为球形空间或边界为球面，最好采用球坐标。
球坐标中电位的拉普拉斯方程为同样设，将式（9.54）乘以，再除以,得
对于式(9.51)中的第三项，要使所有的都满足上式，必有即将代入式(9.51)，并除以，得该式成立的条件是两项均等于常数。
实际工程中，电场多是与无关的二维场，即，则令改写为其解在的条件下为有界函数的条件是式（9.54）可记作其解在的条件下为有界函数的条件是
若为偶数，勒让德多项式只有偶次项，若为奇数，勒让德多项式只有奇次项。
前几个勒让德多项式的值为
所以最后由式（9.53），得出利用圆柱坐标系的分离变量法的结论，的解为所以，在二维场中，电位函数的通解为
【例9.8】在均匀电场中，放置一半径为的介质球，其介电常数为，球外为空气，求空间各处的电位。
图9.13均匀场中的介质球解：如图9.13所示，介质球的球心与坐标原点重合，使用球坐标系。
空间各点的电位均满足
由于均匀分布，所以无关，应有式（9.59）所示的通解形式。
设球内外的电位分别为和。
当时可推出：，则在球面上，即时，一方面，所以，
两电位的形式应相同，即由于时，球内电位为有限值，所以，即在球面上，式（9.60）与式（9.61）相等，即得另一方面，，即
得将式（9.62）和（9.63）联立，解得由此得到空间各点电位
思考：球内、球外的电场强度如何求解？
为什么会产生这种情况？
【例9.9】如果将上题中的介质球换成一个携带电荷的导体球，求球内外的电位。
解：因为无穷远处的电位不为零，而导体球内部无电荷，所以。
对于导体球外部，即
可得，即在球面上，即时，球面为等位面，设球面上的电位为，则根据边界条件：一方面，，即
则另一方面，根据高斯定理，有，则在球面上可求得，代入（9.65），得到球外的电位
要点提醒：使用分离变量法的前提是场域的边界形状能与坐标曲面相吻合，否则问题会变得很复杂。
所以在运用分离变量法时，应注意观察场的边界形状，选取适当的坐标系。
坐标系确定后即可确定通解并根据边界条件求出系数。
9.4有限差分法前面讨论的几种方法都可以得到精确解，但需满足一定的边界条件才能使用。
而许多实际问题的情况并不都是那么理想或者符合规则，所以往往并不能得到问题之精确解。
但可以利用其它的方法得到其近似解，有限差分法便是应用最早的一种数值计算方法，适合求解那些具有比较复杂几何边界形状的场域情形，其特点是概念清晰，方法简单直观。
9.4.1有限差分法概述设函数，当其独立变量有一很小的增量时，相应的函数的增量为称为函数的一阶差分。
因为差分是有限量的差，所以通常被称为有限差分。
有限差分法是基于差分原理的应用，将所求场域离散化为网格离散节点的集合，以各离散点上函数的差商近似代替该点的偏导数，将偏微分方程的求解问题转化为相应差分方程组的求解问题。
应用有限差分法的一般步骤是：（1）将场域按一定方式离散化。
即确定离散点的分布方式，也称场域的网格剖分方式。
为简化所得差分方程，一般离散点分布采用完全有规则的网格节点，以便在每个离散点上可以得到相同形式的差分方程。
其中，正方形网格剖分是最常用的剖分方法，如图9.14所示。
根据实际问题，也可以采用矩形、正三角形等网格形式。
图9.14场域的网格剖分（2）构造差分方程，即根据差分原理，对场域内的偏微分方程和定解条件进行差分离散化。
9.4.2二维泊松方程的差分离散化泊松方程实际上就是偏微分方程，边值问题的实质是偏微分方程的定解问题。
实际工程中的场域大多为二维场域。
下面根据正方形网格剖分方法，说明二维泊松方程的离散化方法，即与二维泊松方程和拉普拉斯方程对应的差分方程的建立过程。
称为一阶向前差商。
可见一阶差商与一阶微分近似相等，也可将一阶微分表示为称为一阶向后差商，或称为一阶中心差商。
相应地二阶导数可用二阶差商表示为（9.69）
对应地，偏导数也可用相同的方式。
这样，给定的偏微分方程就可以转化为差分方程，这就是有限差分法的实质。
显然，步距越小，用差商替代偏导数的准确度就越高。
设在以正方形网格剖分的二维场域内，如图9.14所示，电位函数满足拉普拉斯方程，各边界上的电位已知。
由图可知，除场域边界附近的节点外，位于场域内的其它正方形网格的节点对于与其相邻的节点都具有相同的特征，这种特征称为对称星形。
设在对称星形节点0上的位函数为，则周围相邻节点1，2，3，4的位函数可表示为
则场域内的二维拉普拉斯方程可近似离散化为即也就是说，节点0处的位函数值等于它周围四个相邻节点的位函数值的平均值，常称为五点差分格式。
若二维泊松方程表示为即可得二维泊松方程的差分离散化结果9.4.3边界条件的离散化求解边值问题，除了对泊松方程离散差分化外，还需要对边界条件进行差分离散化处理。
具体可分两种情况。
若划分网格时有网格节点正好落在边界上，如图9.15所示的节点4，则只需把已知的位函数赋值给相应的边界节点，即，满足
这是最简单的情形。
图9.15场域边界上的节点（2）网格节点不落在边界上。
若场域边界不规则，大部分边界与网格线的交点不在网格节点上，如图9.15所示的节点5和节点6，对于相邻的典型节点3来说，
由于，节点0、5、6、7构成一个不对称的星形。
此时，可采用泰勒公式进行差分离散化，精确导出节点3的的差分计算格式。
此时，可采用泰勒公式进行差分离散化，精确导出节点3的的差分计算格式。
根据二元函数的泰勒公式，节点0的电位节点6的电位
分别用与以上两式相乘，再相加，去掉其二次以上的高次项，整理得同理可得令，代入式（9.74）和（9.75），得
将式（9.76）和（9.77）整理后代入泊松方程，在节点3处
再稍作整理，即得节点3的差分格式。
同样可分两种情况进行讨论。
若网格节点正好落在边界上，差分离散化结果与边界在该节点的外法线方向和网格线是否重合有关。
若边界在节点处的外法线与网格线重合，如图9.16所示，法向导数可用差商来近似表示，即
借助虚设节点3，相同的思路可以确定节点0的差分格式即根据，节点0的差分格式为
若边界在节点处的外法线与网格线不重合，如图9.17（a）所示，则有
由此可建立边界节点0与相邻节点1、2之间的差分格式。
（a）（b）图9.16外法向与网格线重合图9.17外法向与网格线不重合
若网格节点没有落在边界上，如图9.17（b）所示。
对于边界节点可以用与其邻近的节点0来近似表示，取节点处的外法向作为节点0处的外法向，节点0仍按上式所示的方法列出差分格式即可。
可直接参照第二类边值问题得到边界节点的差分格式。
这里仍然以二维场的情况说明其差分格式的构造。
设节点0，2，4位于介电常数分别为和两种媒质分界面上，两种媒质中的电位分别用、表示，且在媒质1中均匀分布有密度为的电荷，令，即为了便于分析，若将媒质换作媒质，则0点的位函数可表示为
同理，若将媒质换作媒质，则0点的位函数可表示为（9.86）这里的两个0点的位函数并不是实际的电位，而是为了便于分析虚设的，利用分界面上的边界条件可以将二者消去。
根据边界条件，一方面分界面上的电位是连续的，即（9.87）另一方面，设分界面上无电荷，电场强度的法线分量是连续的，即
用差分格式可表示为或写作（9.88）将式（9.85）和（9.86）分别乘以后相加，再代入式（9.87）和（9.88），两边同除以，并令，则得
即节点0的差分离散化结果为（9.89）（2）媒质分界面与网格对角线相重合若媒质分界面能与网格对角线相重合，如图9.19所示。
最简单的方法是将网格线旋转45º，并将步距延长为，就可直接套用式（9.89），即（9.90）
图9.18媒质分界面与网格线重合图9.19媒质分界面与网格对角线重合也可引入辅助节点M、N，用表示，在分界面上（9.91）（9.92）实际值（9.94）
将式（9.93）和（9.94）代入式（9.92），整理得（9.95）假设整个场域为单一媒质，有（9.96）（9.97）二式相加，消去虚设值，并整理得到差分格式为（9.98）【提示】边界条件离散化虽然分很多种，但其基本思想是一致的，不论情况有多复杂，使用差分理论和分界面边界条件总可以确定任意点的差分格式。
9.4.4差分方程组的求解当原始的偏微分方程近似地用差分方程代替后，就可以通过解差分方程组来求解场域中任意点的位函数。
下面以第一类边值问题来说明求解的过程。
在具体求解时，由于数值解的精度要求，希望选取的步距h越小越好，而步距的减小，会使网格内节点数迅速增加，所以对于大型代数方程组，应该根据其特点寻求合适的代数解法。
因差分格式有较高的规律性和重复性，因此用迭代法编制的程序比较简单，存储量和运算量都比较节省。
同步迭代法的步骤是：（1）给指定的场域内的每一节点设定一初始值，作为第0次近似值，记为，初始值是任意设置的。
在具体操作时，应根据实际情况设定一个最佳值，可以减少迭代次数。
即（9.99）一般迭代从场域的左下角开始。
同步迭代法的特点是收敛速度慢，在每个节点产生新值时不能立刻冲掉旧值，而是下次迭代才会用到，所以需要的存储空间较大。
迭代方程可表示为（9.100）由于提前使用了更新值，松弛迭代法的收敛速度比简单迭代法快一倍，而且实现程序更方便，对存储空间的要求更低。
【例9.10】如图9.20所示的长直接地金属槽，顶板的电位为100V，侧壁与底板均接地，求槽内的电位分布。
解：这个问题属于二维场的第一类边值问题，且边界条件简单。
使用正方形网格将场域划分为16个网格，如图9.20所示。
下面分别使用同步迭代法来计算节点的电位。
图9.20长直接地金属槽设内部节点上电位的0次近似值为依次迭代，得到结果如表9.2所示。
如果只取小数点后三位，迭代到第28次时，与第27次的迭代结果是一致的，即达到精度要求。
表9.2同步迭代法结果（设定合理初值）若使用松弛迭代法，设内部节点上电位的第0次近似值均为0，迭代到第14次时即可达到上表所示精度。
有限差分法的应用范围很广，不仅能够求解均匀和不均匀线性媒质中的位场，还能求解非线性媒质中的场；
既能求解恒定场和似
稳场，又能求解时变场。
在计算机存储容量允许的情况下，可采取较精细的网格，使离散化模型能够精确地逼近真实问题，获得具有足够精度的数值解。
磁场的磁矢位与电场的电位是一对对偶量，所以以上的分析均适用于求解磁矢位。
而且只需将对偶量直接代入即可。
【本章小结】本章共学习了三种静态场的分析方法，每种方法都有各自的特点。
根据边界条件确定镜像源是镜像法的求解关键。
利用静电场与稳恒磁场的对偶关系，可以方便地将电场的结论直接应用于磁场。
其作为一种纯数学方法，难点是表达式复杂，求解过程繁琐。
优点是可以得到场域中任一点的精确解。
和分离变量法不同的是，它对场域的边界形状没有要求，若借助于计算机求解，有限差分法的应用会更广泛。
其难点是边界形状复杂时的边界条件离散化。
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