09 第九章 参数曲线曲面.pptx

第1页：第9章参数曲线曲面

第9章 参数曲线曲面

第2页：第9章内容导览

第9章 参数曲线曲面

• 曲线、曲面的参数化表示
• 基础知识
• 参数曲线
• 参数曲面

参考文献：

1. 倪明田，吴良芝 编著，计算机图形学，北京大学出版社，1999 年 11 月
2. Ibrahim Zeid, CAD/CAM Theory and Practice, McGraw-Hill, Inc. 1991

第3页：曲线曲面的描述方式

1.1 描述方式

隐函数方程

k(x, y) = 0

显函数方程

y = y(x)，z = z(x)

参数方程

x = x(u)，y = y(u)

隐式和显式可能得出多个位置，隐式描述时还需解方程组；参数方程由一组独立变量值唯一确定一个空间位置，描述对象与周围空间完全分离。描述对象的维数与参数的个数相关。

第4页：参数表示的优点

1.2 参数表示的优点

1. 具有规范化参数区域 [0, 1]，容易确定曲线的边界
2. 参数方程的形式不依赖于坐标系的选取，具有不变性
3. 对参数表示的曲线、曲面进行几何变换比较方便
4. 非参数表示中以斜率表示变化率可能出现 ∞；参数表示中变化率以切矢量表示，不会出现 ∞
5. 表示能力强（任意形状复杂的曲线、曲面），易于离散生成，容易控制形状和人机交互

第5页：自由成型几何元素

自由成型几何元素：不可解析描述的几何元素。

飞机制造业

外蒙皮、框架

造船业

船身表面、螺旋桨

轿车制造业

车身零件

涡轮机制造业

叶片、管道

工具制造业

用于铸造、压力铸造和注塑零件的模具

也广泛用于带有自由成形表面的零件的机械制造领域。

第6页：点、曲线与曲面的表示

点 Point：P = [x, y, z]ᵀ

曲线 Curve：P(u) = [x(u), y(u), z(u)]ᵀ，umin ≤ u ≤ umax

曲面 Surface：P(u, v) = [x(u, v), y(u, v), z(u, v)]ᵀ，umin ≤ u ≤ umax，vmin ≤ v ≤ vmax

相关概念：型值点、控制点。

第7页：切矢量

1.3 切矢量：反映曲线上各点的一个坐标变量关于另一个坐标变量的变化率，方向与曲线的变化方向一致。

P'(t) = dP(t)/dt = lim(Δt→0) [P(t + Δt) − P(t)] / Δt = [x'(t), y'(t), z'(t)]ᵀ

第8页：弧长参数化

1.4 弧长：ds/dt = |dP(t)/dt| = √[(dx/dt)² + (dy/dt)² + (dz/dt)²]

弧长 s(t) = ∫ |dP(t)/dt| dt；以弧长 s 为参数的曲线方程 P(t) → P(s)。

第9页：法矢量与主法线

1.5 法矢量：对曲线 P(s)，单位切矢量 T(s) ⊥ 主法矢量 N(s)。

若 P''(s) ≠ 0，则由 T'(s) 定义主法矢量 N(s) 与主法线；副法矢量 B(s) = T(s) × N(s)，对应副法线。

第10页：Frenet标架

Frenet 标架：由 T(s)、N(s)、B(s) 构成的活动坐标架。

密切平面

通过 P(s) 且由切矢量 T(s) 与主法矢量 N(s) 张成

法平面

通过 P(s) 且由主法矢量 N(s) 与副法矢量 B(s) 张成

副法平面

通过 P(s) 且由切矢量 T(s) 与副法矢量 B(s) 张成

第11页：曲率

1.6 曲率：反映曲线的弯曲程度。

• 直线：k(s) = 0
• 圆弧：k(s) = const，ρ(s) = 1/k(s) = R

k(s) = |P''(s)| = |(dP/dt) × (d²P/dt²)| / |dP/dt|³

第12页：挠率

1.7 挠率：反映曲线在法平面内的扭转程度。对平面曲线，曲线所在的平面为其密切平面，其副法矢方向不变，挠率处处为零。

充要条件：曲线上任意一点处的挠率为零。

τ(s) = |B'(s)| = [ (dP/dt) × (d²P/dt²) ] · (d³P/dt³) / | (dP/dt) × (d²P/dt²) |²

第13页：参数连续性

1.8 连续性

参数连续性

如果曲线在 t0 处的左、右 n 阶导数存在，且满足 dᵏP(t)/dtᵏ |(t=t0⁻) = dᵏP(t)/dtᵏ |(t=t0⁺)（k = 0,1,…,n），在区间 [0,1] 内处处是 Cⁿ，则称该曲线是 Cⁿ 的

几何连续性：零阶几何连续（GC⁰）

P(t0⁻) = P(t0⁺)

第14页：几何连续性与光顺

一阶几何连续（GC¹）

满足 GC⁰，且切矢量方向连续：P'(t0⁻) = α P'(t0⁺)，α > 0

二阶几何连续（GC²）

满足 GC¹，且副法矢方向、曲率连续：B(t0⁻) = B(t0⁺)，k(t0⁻) = k(t0⁺)

1.9 光顺（fairness）：所构造的曲线或曲面光滑和顺眼，即曲线上拐点不能太多。条件：(1) 具有二阶几何连续；(2) 不存在多余拐点；(3) 曲率变化小。

第15页：直线的参数表示

2.1 直线 Line：P(u) = P1 + u · n，其中 n = P2 − P1，0 ≤ u ≤ 1。

第16页：圆弧的参数表示

2.2 圆弧 Arc：P(u) = [xc + R cos u, yc + R sin u, zc]ᵀ，us ≤ u ≤ ue。

第17页：椭圆的参数表示

2.3 椭圆曲线 Ellipse：P(u) = [xc + A cos u, yc + B sin u, zc]ᵀ，us ≤ u ≤ ue。

第18页：抛物线的参数表示

2.4 抛物线 Parabola：P(u) = [xv + 2Au, yv + Au², zv]ᵀ，0 ≤ u ≤ ∞。

第19页：参数多项式曲线

2.5 参数多项式曲线：x(t) = x0 + x1 t + … + xn tⁿ（y、z 同），t ∈ [0, 1]。

矩阵形式：P(t) = T · C = T · M · G，其中 T = [tⁿ … t 1]，M 为基矩阵，G = [G0, G1, …, Gn] 为几何矩阵（Gi 为控制顶点），T · M 即基函数。

第20页：三次Hermite曲线

2.6 三次 Hermite 曲线：满足 P(0) = P0、P(1) = P1、P'(0) = P0'、P'(1) = P1' 的三次多项式曲线。

P(u) = [u³ u² u 1] · [M] · [P0, P1, P0', P1']ᵀ

其中 [M] = [2 −2 1 1; −3 3 −2 −1; 0 0 1 0; 1 0 0 0]。

第21页：Hermite基函数

Hermite 基函数：

• H0(t) = 1 − 3t² + 2t³
• H1(t) = 3t² − 2t³
• H2(t) = t − 2t² + t³
• H3(t) = −t² + t³

第22页：Hermite曲线的形状控制

形状控制：Hermite 曲线由两端点位置与切矢唯一确定。

1. 改变端点位置矢量
2. 调节切矢量的方向
3. 改变切矢量的长度

第23页：Bezier曲线

2.7 Bezier curves：B(i,n)(u) = C(n,i) · uⁱ (1 − u)ⁿ⁻ⁱ = n! / [i!(n − i)!] · uⁱ (1 − u)ⁿ⁻ⁱ，0 ≤ u ≤ 1。

P(u) = Σ Pi · B(i,n)(u)（i = 0…n）。

三次 Bezier 曲线：P(u) = [u³ u² u 1] · M_B · V_B，M_B = [−1 3 −3 1; 3 −6 3 0; −3 3 0 0; 1 0 0 0]。

第24页：Bezier曲线的形状控制

Bezier 曲线的形状控制：通过移动控制顶点改变曲线形状。本页源文件仅标注小节名称，控制点示意图建议对照原课件图片补充。

第25页：Bezier曲线的拼接

Bezier 曲线的拼接：用 Bezier 曲线表示复杂形状的方法：1) 增加控制点，提高曲线的次数；2) 用多段低次 Bezier 曲线拼接。

P(t)、Q(u) 几何连续性的充要条件：

• GC⁰：Pm = Q0
• GC¹：达到 GC⁰，且 (Pm − Pm−1) = α (Q1 − Q0)
• GC²：达到 GC¹，且曲率矢量连续

第26页：Bezier曲线的性质

Bezier 曲线的性质

1. 端点位置：P(0) = P0，P(1) = P1
2. 端点切矢：P'(0) = n(P1 − P0)，P'(1) = n(Pn − Pn−1)
3. 对称性
4. 仿射不变性：某些几何性质如形状、曲率、挠率等不随坐标变换而变化
5. 凸包性

第27页：Bezier曲线的缺点

Bezier 曲线的缺点

1. 缺少局部性：修改某一个控制点将影响整条曲线
2. 控制多边形与曲线的逼近程度较差；次数越高，逼近程度越差
3. 表示复杂形状时，采用高次曲线或多段拼接的低次曲线都相当复杂

第28页：B样条曲线的定义

2.8 B-spline curves（B 样条曲线）：给定空间 n+1 个点 {Pi}（i = 0,…,n）及参数节点向量 U(n,k) = {ui}（i = 0,…,n+k，ui ≤ ui+1）。

基函数递推：N(i,1)(u) = 1（ui ≤ u ≤ ui+1），否则为 0；N(i,k)(u) = (u − ui)/(ui+k−1 − ui) · N(i,k−1)(u) + (ui+k − u)/(ui+k − ui+1) · N(i+1,k−1)(u)。

曲线：P(u) = Σ Pi · N(i,k)(u)（i = 0…n）。

第29页：三次B样条曲线

三次 B 样条曲线：P(u) = [u³ u² u 1] · M_BS · V_BS，0 ≤ u ≤ 1。

M_BS = (1/6) · [−1 3 −3 1; 3 −6 3 0; −3 0 3 0; 1 4 1 0]，V_BS = [P0, P1, P2, P3]ᵀ。

第30页：B样条曲线的控制柄

B 样条曲线的形状控制：通过曲率半径控制柄、斜率控制柄与斜率幅度控制柄调节曲线形状。本页源文件以图示为主，建议对照原课件图片补充细节。

第31页：桥接曲线

桥接曲线：在两段曲线之间生成过渡曲线。本页源文件仅标注“桥接曲线”，图片建议对照原课件图片补充。

第32页：B样条曲线的性质

B 样条曲线的性质

1. 局部性：曲线 P(t) 在参数区间 [ti, ti+1)（k−1 ≤ i ≤ n）上的部分只与控制点 Pi−k+1, …, Pi 有关
2. 凸包性：区间 [ti, ti+1) 上的曲线段在 Pi−k+1, …, Pi 的凸包之内
3. 直线再生性
4. 分段参数多项式曲线：P(t) 在参数区间 [ti, ti+1) 上是次数不高于 k−1 的多项式曲线
5. 仿射不变性

第33页：三次曲线的比较

注：源文件本页为三列对照表，部分单元格内容的归属按上下文（各类曲线的已知性质）整理，建议对照原表核对。

第34页：典型曲面类型

3 参数曲面：典型的曲面

• 平面 plane surface
• 直纹面 ruled / lofted surface
• 回转面 surface of revolution
• 柱状面 tabulated cylinder
• Bezier 曲面
• 样条曲面

第35页：曲面的表示方式

3.1 表示方式

非参数表示

显式 z = f(x, y)；隐式 s(x, y, z) = 0

参数表示

将坐标变量表示为两个参数 u 和 v 的方程形式：x = x(u, v)，y = y(u, v)，z = z(u, v)。例如圆柱面 x = R cos u，y = R sin u，z = v，u ∈ [0, 360]，v ∈ [0, H]

第36页：曲面的u线与v线

曲面 P = P(u, v)，点 P0 = P(u0, v0)：

• 固定 v = v0、u 变动，得过 P0 的曲线 P = P(u, v0)，即 u 曲线
• 固定 u = u0、v 变动，得过 P0 的曲线 P = P(u0, v)，即 v 曲线

在 P0 点，u 曲线与 v 曲线的切矢量分别为 ∂P/∂u 与 ∂P/∂v；两者线性无关的充要条件是 Pu(u, v0)|(u=u0) × Pv(u0, v)|(v=v0) ≠ 0。

第37页：正则点与曲面法矢

正则点

切矢量线性无关的点

正则曲面

全部由正则点组成的曲面

曲面上过 P0 的曲线有无穷多个，切矢量也有无穷多个，它们张成切平面。

曲面法矢量 n(u0, v0) = Pu(u, v0)|(u=u0) × Pv(u0, v)|(v=v0)。

第38页：曲面的分类

曲面的类型

• 基本曲面：平面、直纹面、回转面、柱状面
• 参数多项式曲面
• Hermite 曲面
• Bezier 曲面 Bezier surface
• 样条曲面 B-spline surface

第39页：平面的参数表示

3.2 平面 Plane：P(u, v) = P0 + u · (P1 − P0) + v · (P2 − P0) = P0 + u · r + v · s，0 ≤ u ≤ 1，0 ≤ v ≤ 1。

第40页：直纹曲面的参数表示

3.3 直纹曲面 Ruled Surface：P(u, v) = G(u) + v · [Q(u) − G(u)] = (1 − v) · G(u) + v · Q(u)，0 ≤ u ≤ 1，0 ≤ v ≤ 1。

第41页：直纹曲面（配图页）

3.3 直纹曲面：本页源文件仅保留小节标题，直纹曲面图片建议对照原课件图片补充。

第42页：旋转曲面的参数表示

3.4 旋转曲面 Surface of Revolution：P(u, v) = [r(u) cos v, r(u) sin v, zL(u)]ᵀ，0 ≤ u ≤ 1，0 ≤ v ≤ 2π。

第43页：柱状曲面的参数表示

3.5 柱状曲面 Tabulated Cylinder：P(u, v) = G(u) + v · n，0 ≤ u ≤ umax，0 ≤ v ≤ vmax。

第44页：扫描曲面

扫描曲面：由截面曲线沿导引线扫描生成。本页源文件仅标注“扫描曲面”，图片建议对照原课件图片补充。

第45页：参数多项式曲面

3.6 参数多项式曲面：P(u, v) = ΣΣ a(i,j) uⁱ vʲ（i = 0…m，j = 0…n），(u, v) ∈ [0,1]×[0,1]。

矩阵形式：P(u, v) = U · A · Vᵀ，其中 U = [uᵐ … u 1]，V = [vⁿ … v 1]，A 为由空间位置矢量 a(i,j) 构成的系数矩阵。

第46页：Hermite双三次曲面

3.7 Hermite bi-cubic surface：代数形式 P(u, v) = ΣΣ a(i,j) uⁱ vʲ（i, j = 0…3）。

矩阵表示：P(u, v) = U · [M]_H · [B] · [M]_Hᵀ · Vᵀ，其中 U = [u³ u² u 1]ᵀ，V = [v³ v² v 1]ᵀ，[B] 为角点信息矩阵（含位置 P、u 向切矢 Pu、v 向切矢 Pv 与扭矢 Puv）。

第47页：Hermite曲面（配图页）

3.7 Hermite 曲面：本页源文件仅保留小节标题，曲面图片建议对照原课件图片补充。

第48页：Ferguson曲面

双三次 Hermite 曲面由四个角点的位置矢量、切矢量与扭矢量唯一确定，又称 Ferguson 曲面。

角点信息矩阵 [B] 由 [P]、[Pu]、[Pv]、[Puv] 四个子块构成。特点：易于构造，公共边界 GC¹。

第49页：Bezier双三次曲面

3.8 Bezier bi-cubic surface：P(u, v) = U · [M]_B · [P] · [M]_Bᵀ · Vᵀ

其中 [M]_B = [−1 3 −3 1; 3 −6 3 0; −3 3 0 0; 1 0 0 0]，[P] 为 4×4 控制顶点网格 P00…P33。

第50页：Bezier曲面的拼接

曲面拼接：边界次数相同。

GC⁰ 拼接

边界上接触连续：P(1, v) = Q(0, v)，v ∈ [0,1]，等价于 P(m,j) = Q(0,j)（j = 0,1,…,n）

GC¹ 拼接

达到 GC⁰，公共边界上法矢量方向连续：(∂P/∂u × ∂P/∂v)|(u=1) = c · (∂Q/∂u × ∂Q/∂v)|(u=0)，c > 0

第51页：B样条双三次曲面

3.9 B-spline bi-cubic surface：给定 (m+1)×(n+1) 个点 {P(i,j)}（i = 0…m，j = 0…n），节点向量 U = {ui}（i = 0…m+k，k 阶 B 样条基函数）与 V = {vj}（j = 0…n+h，h 阶 B 样条基函数），构成 k×h 阶 B 样条曲面。

P(u, v) = U · [M]_BS · [P] · [M]_BSᵀ · Vᵀ，[M]_BS = (1/6) · [−1 3 −3 1; 3 −6 3 0; −3 0 3 0; 1 4 1 0]（与三次 B 样条曲线基矩阵一致）。

第52页：通过极点构造片体

通过极点构造片体：由控制极点（极点网格）生成 B 样条曲面片。本页源文件仅标注构造方式，图片建议对照原课件图片补充。

第53页：通过曲线网格构造片体

通过曲线网格构造片体：由纵横交错的曲线网格生成曲面片。本页源文件仅标注构造方式，图片建议对照原课件图片补充。

第54页：通过曲线构造片体

通过曲线构造片体：由一组曲线生成曲面片。本页源文件仅标注构造方式，图片建议对照原课件图片补充。

第55页：片体桥接

片体桥接：在两片曲面之间生成过渡片体。本页源文件仅标注“片体桥接”，图片建议对照原课件图片补充。

第56页：片体修剪

片体修剪：按边界裁剪曲面片。本页源文件仅标注“片体修剪”，图片建议对照原课件图片补充。

第57页：片体偏置

片体偏置：生成与原曲面等距的曲面片。本页源文件仅标注“片体偏置”，图片建议对照原课件图片补充。

第58页：片体缝合

片体缝合：将多个曲面片缝合成完整曲面。本页源文件仅标注“片体缝合”，图片建议对照原课件图片补充。

第59页：曲面造型实例（一）

实例：本页源文件仅标注“实例”，曲面造型结果图片建议对照原课件图片补充。

第60页：曲面造型实例（二）

实例（二）：本页源文件仅标注“实例”，曲面造型结果图片建议对照原课件图片补充。

第61页：曲面造型实例（三）

实例（三）：本页源文件仅标注“实例”，曲面造型结果图片建议对照原课件图片补充。

第62页：第9章思考题

思考题

1. 理解参数化表示曲线曲面的优势
2. B 样条曲线有何优点
3. 了解参数化曲线曲面的数学表示，重点掌握直线、圆弧、三次 B 样条曲线和平面、圆柱面、三次 B 样条曲面的数学表示