03 第三章 单自由度体系结构的地震反应.pptx

第1页：第三章 单自由度体系结构的地震反应

第三章 单自由度体系结构的地震反应

第2页：作用与地震反应概述

概述

作用

能引起结构内力、变形等反应的各种因素。

作用分类

• 直接作用——各种荷载：如重力、风载、土压力等；
• 间接作用——各种非荷载作用：如温度、基础沉降、地震等。

等效地震荷载

工程上，可将地震作用等效为某种形式的荷载作用。

建筑结构的地震反应

包括内力、变形、位移、速度、加速度。

第3页：单自由度体系力学模型

力学模型及其运动方程

作用在质点上的三种力：

• 惯性力 F_I = −mẍ
• 弹性恢复力 f_x = −kx
• 阻尼力 f_d = −cẋ
• 外力 P(t)

单自由度体系的自由振动

阻尼力

由结构内摩擦及结构周围介质（如空气、水等）对结构运动的阻碍造成

弹性恢复力

由结构弹性变形产生

说明：本页含力学模型示意图与力的表达式，公式符号以原课件图片为准。

第4页：线性体系运动方程

线性单自由度体系的运动方程

平衡方程：F_I + F_d + F_S + P(t) = 0

即 mẍ + cẋ + kx = P(t)　（3.1）

或 ẍ + 2ξωẋ + ω²x = a(t)　（3.2）

ξ

称为阻尼比，ξ = c / (2mω)

k

弹簧系数

c

阻尼系数

ω

无阻尼的自振圆频率，ω = √(k/m)

a(t)

激振加速度，a(t) = P(t)/m

说明：本页公式符号由源文件文本提取整理，公式写法以原课件图片为准。

第5页：质点上三种作用力

质点上三种力（地面运动情形）

• 质量块的绝对加速度为 ẍ(t) + ẍ_g(t)，相对加速度为 ẍ(t)
• 惯性力 f₁ = −m[ẍ(t) + ẍ_g(t)]，其中 ẍ_g 为地面运动加速度
• 弹性恢复力 f_x = −kx(t)
• 阻尼力 f_d = −cẋ(t)

说明：本页含力学模型示意图与力的表达式，公式符号以原课件图片为准。

第6页：地面运动作用下的运动方程

地面运动作用下单自由度体系的运动方程

平衡方程为：−m[ẍ_g(t) + ẍ(t)] − cẋ − kx = 0

即 mẍ(t) + cẋ(t) + kx(t) = −mẍ_g(t)　（3.3）

或 ẍ(t) + 2ξωẋ(t) + ω²x(t) = −ẍ_g(t)　（3.4）

等效表达

地面运动的动力效应可用一个动力外荷载 P(t) = −mẍ_g(t) 等效地表达

说明：本页公式符号由源文件文本提取整理，公式写法以原课件图片为准。

第7页：无阻尼自由振动

单自由度体系的无阻尼自由振动

单自由度体系无阻尼自由振动的运动方程为 mẍ + kx = 0　或　ẍ + ω²x = 0　（3.5）

其中 ω = √(k/m)

说明：本页公式符号由源文件文本提取整理，公式写法以原课件图片为准。

第8页：有阻尼自由振动

单自由度体系的有阻尼自由振动

• 在结构中存在一种耗能的因素——阻尼
• 阻尼理论：粘滞阻尼和复阻尼理论
• 粘滞阻尼理论中，假定阻尼力与速度成正比，但方向与速度相反；建立的单自由度体系的运动方程为 ẍ(t) + 2ξωẋ(t) + ω²x(t) = 0　（3.8）

说明：本页公式符号由源文件文本提取整理，公式写法以原课件图片为准。

第9页：阻尼比与振动状态

阻尼对自由振动的影响

• 无阻尼时自由振动的振幅始终不变，而有阻尼时自由振动的振幅随时间 t 的增加而减小，且阻尼比 ξ 越大，振幅的衰减越快。
• ξ > 1 时，体系不产生振动，称为过阻尼状态；
• ξ < 1 时，体系产生振动，称为欠阻尼状态；
• ξ = 1 时，介于上述两种状态之间，称为临界阻尼状态，此时体系也不产生振动。

第10页：水平地震作用求解方法

单自由度体系的水平地震作用与反应谱

求解建筑结构在地震作用下构件内力的方法：

1. 根据建筑结构在地震作用下的位移反应，利用刚度方程直接求解内力，这时要求结构体系的动力学模型比较精确——直接求解；
2. 根据地震作用下建筑结构的加速度反应，求出该结构体系的惯性力，将此惯性力视作为一种反映地震影响的等效力，即地震作用，再进行结构的静力计算，求出各构件的内力——等效静力法。

注：《抗震规范》对于一般的建筑结构采用了上述第二种方法。

第11页：水平地震作用基本公式

水平地震作用的基本公式

对于某一特定的地面运动，体系的加速度反应，质点的绝对加速度为 a = ẍ_g(t) + ẍ(t)　（3.23）

质点的最大绝对加速度

S_a = a_max

地震时结构经受的最大地震作用

F = m·S_a

说明：本页公式符号由源文件文本提取整理，公式写法以原课件图片为准。

第12页：地震反应谱

地震反应谱

定义

将单自由度体系的地震最大绝对加速度反应与其自振周期的关系定义为地震加速度反应谱，或简称地震反应谱，记为 S_a(T)。

意义与影响因素

地震（加速度）反应谱可理解为一个确定的地面运动，通过一组阻尼比相同但自振周期各不相同的单自由度体系，所引起的各体系最大加速度反应与相应体系自振周期间的关系曲线。

第13页：反应谱影响因素

影响地震反应谱的因素

• 体系阻尼比：阻尼比增大，体系地震加速度减小。
• 地震动：地震动记录不同，显然地震反应谱也将不同，即不同的地震动将有不同的地震反应谱，或地震反应谱总是与一定的地震动相应。
• 振幅、频谱、持时：①振幅增大，地震加速度增大；②频谱对地震反应谱的形状有影响。

第14页：平均反应谱对比

不同场地条件下的平均反应谱 / 不同震中距条件下的平均反应谱

（R—震中距，M—震级）

说明：本页为平均反应谱曲线对比图，源文件仅提取到图题文字，曲线内容以原课件图片为准。

第15页：地震影响系数

地震影响系数——《抗震规范》采用的设计反应谱

地震反应谱直接用于结构的抗震设计有一定的困难，而需专门研究可供结构抗震设计用的反应谱，称之为设计反应谱。

地震影响系数 α

定义为作用于单质点弹性体系上的水平地震力与该质点的重力之比

F = m·S_a = mg × (S_a/g) = α·G　（3.24）

其中 α = S_a/g = k·β，k 为地震系数，β 为动力系数。

说明：本页公式符号由源文件文本提取整理，公式写法以原课件图片为准。

第16页：地震系数与动力系数

地震系数 k 与动力系数 β

地震系数 k

k = |ẍ_g|_max / g，可将地震动振幅对地震反应谱的影响分离出来；与地面运动加速度直接有关，受震级、震中距、场地影响。一般，地震烈度愈大，地面运动加速度愈大，地震系数也愈大。

动力系数 β

它是单质点体系最大绝对加速度与地面运动最大加速度的比值，与结构的动力特性有关，如自振周期、阻尼比等。

说明：本页公式符号由源文件文本提取整理，公式写法以原课件图片为准。

第17页：标准地震影响系数曲线

标准的地震影响系数曲线

• 《抗震规范》确定地震影响系数 α 时，首先选定体系的阻尼比 ξ = 0.05，这样，对某一确定的地面运动加速度波 ẍ_g(t)，地震影响系数仅和体系的自振周期 T 有关，可得到一条曲线，称为 α−T 曲线。如给出另一条地面运动加速度波，则可求得另一条 α−T 曲线。
• 对于某一特定的建筑场地，可选择 n 条合适的地面运动加速度波，从而可求得 n 条曲线，将这些曲线进行统计、拟合，并结合工程经验进行适当的调整，可确定出一条对应于该建筑场地的标准曲线。

第18页：地震影响系数谱曲线

地震影响系数谱线 / 地震影响系数谱曲线

说明：本页为地震影响系数谱曲线图，源文件仅提取到图题文字，曲线形状与参数以原课件图片为准。

第19页：本节结束

本节结束！