页数：118页文件大小：2.63 MB来源： 建筑抗震设计ppt课件
本课件是全课重点，从结构地震反应概念与动力计算简图入手，推导单自由度体系运动方程与杜哈米积分，讲解地震反应谱与设计反应谱、特征周期与地震影响系数，继而展开多自由度体系振型分解法与振型分解反应谱法，重点讲解底部剪力法的适用条件、计算步骤、顶部附加与鞭梢效应修正，以及能量法与顶点位移法。
重点掌握内容：本章是全课的重点。
进行结构地震反应分析的第一步，就是确定结构动力计算简图。结构动力计算的关键是结构惯性的模拟，由于结构的惯性是结构质量引起的，因此结构动力计算简图的核心内容是结构质量的描述。
地震作用简化为三个方向：两个水平方向，一个竖向。
地震作用的简化：一般分别计算三个方向的地震作用。
本页为水平地震作用下结构的自由度简化示意图，展示多层结构简化为串联质点体系的过程。
曾经的问题：一建筑物可假定为刚体，质量为100t，问该建筑的地震力在6～9度时分别为多少？
新的问题：两个建筑物的地震作用（地震力）一样大吗？地震作用的大小与什么有关？
2.1 单自由度体系的弹性地震反应分析
作用于质量m上的水平方向的力：
“-”表示与x方向相反。
质量m的绝对加速度由牛顿第二定律给出：单质点的地震作用只要求解出绝对加速度，就求出了质点的地震作用。
式中相当于由地震产生的作用于结构上的强迫力。整理后得到含圆频率ω与阻尼比ζ的运动方程。
这是一个二阶线性非齐次微分方程，其解为齐次方程的通解与非齐次方程特解之和。
3. 齐次方程的通解（有阻尼自由振动）
当阻尼很小时，解为有阻尼的圆频率下的自由振动，注意其解与结构的初位移和初速度有关。非齐次微分方程的解为齐次方程的通解与非齐次方程的特解之和。
本页对比有阻尼自由振动与无阻尼自由振动，展示两种自由振动位移时程的衰减差异，并给出齐次方程的通解形式。
4. 非齐次方程的特解——杜哈米积分思路：
本页为在脉冲作用下结构的响应示意图，展示单个微分脉冲引起的自由振动位移响应。
地面运动的加速度曲线是一个不能用数学表达式表示的曲线，可以将其分为无限个微分脉冲。每一个微分脉冲将产生一个自由振动（一个位移dx），无限个微分脉冲产生的位移积分即是方程的特解。
由dt时间的脉冲产生的自由振动在t时刻的位移由初位移与初速度确定。
将所有脉冲积分即得到非齐次方程的特解，也称为杜哈米积分，由初位移与初速度两部分组成。
非齐次方程的特解与齐次方程的通解相加构成非齐次方程的通解。一般情况下，初位移和初速度均为零，故其解为杜哈米积分。
求出位移反应的解后，微分后还可求出速度反应；同理可写出加速度反应，进一步求出得到结构的地震作用。
5. 非齐次方程的特解——杜哈米积分思路：
非齐次微分方程的解为齐次方程的通解与非齐次方程的特解之和。
非齐次方程的特解与齐次方程的通解相加构成非齐次方程的通解。一般情况下，初位移和初速度均为零，故其解为杜哈米积分。
影响地震反应谱的因素有两个：一是体系阻尼比，二是地震动。一般体系阻尼比越小，体系地震加速度反应越大，因此地震反应谱值越大。
一、单自由度弹性体系的水平地震作用
由地震反应谱可方便地计算单自由度体系水平地震作用，然而地震反应谱除受体系阻尼比影响外，还受地震动的振幅、频谱等影响，不同的地震动记录反应谱也不同。
进行结构抗震设计时，由于无法确知今后发生地震的地震动时程，因而无法确定相应的地震反应谱。可见地震反应谱直接用于结构抗震设计有一定困难，需专门研究可供结构抗震设计用的反应谱，称之为设计反应谱。
由地震反应谱可方便地计算单自由度体系水平地震作用：F = mSa(T)。
为用于设计，将上式改写为含体系重量G、地震系数k与动力系数的形式。
下面讨论地震系数与动力系数的确定：1. 地震系数；2. 动力系数；3. 地震影响系数。
式中G为体系的重量，k为地震系数，β为动力系数，α为地震影响系数。
示例：东营七度设防、设计基本加速度为0.10g、地震分组二组，故水平地震影响系数最大值为0.08。
地震是随机的，每一次地震的加速度时程曲线都不相同，则加速度反应谱也不相同。抗震设计时无法预计将发生地震的时程曲线。
用于设计的反应谱应该是一个典型的、具有共性的、可以表达的谱线，即需标准化。
规范给出的设计反应谱，考虑了场地的类型、地震分组、结构阻尼等影响。
1. 抗震设计反应谱（地震影响系数）
2. 各系数意义
| 设计地震分组 | Ⅰ类场地 | Ⅱ类场地 | Ⅲ类场地 | Ⅳ类场地 |
|---|---|---|---|---|
| 第一组 | 0.25 | 0.35 | 0.45 | 0.65 |
| 第二组 | 0.30 | 0.40 | 0.55 | 0.75 |
| 第三组 | 0.35 | 0.45 | 0.65 | 0.90 |
说明：源文件表格数据顺序被打乱，本表按《建筑抗震设计规范》特征周期标准取值对原文数值重新归位整理。
2. 各系数意义（续）
注意：计算阻尼比分别为0.05、0.1、0.2时的γ值和η2值。
| 阻尼比ζ | 衰减指数γ | 阻尼调整系数η2 |
|---|---|---|
| 0.05 | 0.9 | 1 |
| 0.1 | 0.85 | 0.78 |
| 0.2 | 0.8 | 0.625 |
3. 抗震设计反应谱（α谱）的特点
三、用于设计的αmax值（多遇烈度、罕遇烈度）
| 烈度 | 6度 | 7度 | 8度 | 9度 |
|---|---|---|---|---|
| 设计基本地震加速度值 | 0.05g | 0.10g | 0.20g | 0.40g |
| αmax（多遇烈度） | 0.04 | 0.08 | 0.16 | 0.32 |
| αmax（罕遇烈度） | — | 0.50 | 0.90 | 1.40 |
多遇烈度 = 基本烈度 - 1.55度（1/2.82）；罕遇烈度 = 基本烈度 + 1度左右（相当于2.13倍、1.88倍和1.56倍）。
说明：源文件该表数值与说明文字混排、部分错位，本表按《建筑抗震设计规范》标准取值整理；原文另列有地震系数K（0.05、0.10、0.20、0.40），其数值与设计基本地震加速度值一致。
四、计算地震作用时结构重量G的计算
计算地震作用时，采用的建筑结构的重量称为重力荷载代表值。
重力荷载代表值 = 结构自重标准值 + ψEi×可变荷载标准值
ψEi为组合系数，考虑地震与可变荷载同时出现的可能性。
单自由度体系的水平地震作用的计算
第四节 多自由度弹性体系的地震反应分析本节要求：
一、多自由度弹性体系的运动方程
1. 计算模型：一般n层结构有n个质点，n个自由度。
2. 运动微分方程（以两自由度为例）
质点1的动力平衡方程：I1 + D1 + S1 = 0
同理可得到质点2的动力平衡方程。将（1）、（2）式用矩阵表示。
其中各矩阵元素由质点质量、阻尼与刚度系数构成，可推广到一般多自由度体系。
微分方程组的求解较困难，可先求出结构的自振周期和振型，利用无阻尼自由振动方程求周期和振型（小阻尼体系的自振周期与无阻尼相同）。
二、多自由度体系自由振动：令其解为指数形式并代回方程，进行自振频率和振型分析。
将ωi依次回代方程可得到相对的振幅{X}i，即为振型。若为两个自由度，令n=2，则由系数行列式可求出n个圆频率ω。
解出ω后，将求出的ω1、ω2分别代回方程，可求出x1、x2的相对值：对应于ω1为第一振型，对应于ω2为第二振型。
可见对应于结构的某一自振频率，结构各质点振动的位移比是一个定值，这就是振型。结构的振型数与自振频率数相同。
例题3.1：两质点体系，m1=60t，m2=50t，k1=5×104kN/m，k2=3×104kN/m，求该体系的自振周期和振型。
k11=k1+k2=8×104kN/m；k12=k21=-k2=-3×104kN/m；k22=k2=3×104kN/m
注意：k1、k2及k11、k12、k22的意义。k1、k2是层间刚度；k11是1质点产生单位位移（其它点不动）所需的水平力；k12是2质点发生单位位移时在1质点处产生的水平力。
注意量纲的对应：质量—t，刚度—kN/m。
求出：ω1=17.5 rad/s，ω2=40.32 rad/s
T1=2π/ω1=0.358 s，T2=0.156 s
注意：建筑结构自振周期的范围。
将ω代回方程可求出振型，并将振型写成矩阵形式。
2. 振型的正交性分析
Mj称为广义质量，Kj称为广义刚度。
以两自由度例题为例：当j≠k时，振型正交结果为零；当j=k=1时称为广义质量。
当j=k=1时称为广义刚度。利用振型正交性的原理可以使微分方程组的求解大大的简化。
考察方程及振型的正交性，是否能利用正交性将方程组简化为n个独立的微分方程？
3. 振型分解（叠加）原理：多自由度线性体系的振动位移x（t）可以表示为各振型下位移反应的叠加（线性组合）。
按照振型叠加原理，弹性结构体系每一个质点在振动过程中的位移等于各振型的线性组合。
以两质点为例：第1质点的位移由1质点1振型与1质点2振型叠加；第2质点的位移由2质点1振型与2质点2振型叠加。写成一般形式即振型矩阵。
振型矩阵由各阶振型向量按列排列组成。
三、多自由度体系地震反应分析的振型分解法
在具有振型正交性的概念后，可用振型分解法来解多自由度体系振动微分方程。引入坐标变换，代回原方程。
为了利用振型的正交性，在方程的两边左乘一个振型向量，根据振型的正交性有相应化简，并作进一步假定。
得到如下q的n个独立方程：当角标不同时，方程的左边为0。方程的两边除以相应广义质量。
其中化简后的方程形式与单质点的方程形式相同，式中系数称为振型参与系数。
q的解为（对应于j振型），或写成：j振型的反应、j振型的振型参与系数、j振型的圆频率与j振型的阻尼比。
分别求出1～n个振型的反应，质点的地震反应位移为各振型反应之和。至此，求出多自由度体系的地震反应，即可计算多自由度体系的地震作用。
5.1 振型分解反应谱法
令相应广义坐标，则第i质点的位移由各振型位移组合而成。微分方程的解为：多自由度体系的微分方程可写成矩阵形式。
加速度为位移的二阶导数，惯性力为质量与加速度的乘积，这样可计算出多质点体系的地震作用。
我们注意到地震作用是随时间变化的，与单质点体系一样，计算全过程对于工程设计来说是复杂的，若只计算的最大值则相对简单得多。
计算最大值可有不同的方法：
方法2：振型分解反应谱法
例题：用振型分解法求结构的层间剪力。设防烈度为8度第一组，Ⅲ类场地。
振型分解反应谱法的过程：求多质点体系的自振频率、振型——求各振型下的地震反应效应——总效应。
1. 求结构的自振周期和振型
| 振型 | 周期T（s） | 振型向量 |
|---|---|---|
| 第一振型 | 0.467 | {0.334 0.667 1.00} |
| 第二振型 | 0.208 | {-0.667 -0.666 1.00} |
| 第三振型 | 0.134 | {4.019 -3.035 1.00} |
2. 计算各振型的地震影响系数αj：αmax=0.16，Tg=0.45s；当阻尼比ζ=0.05时，γ=0.9，η2=1。
| 振型 | αj |
|---|---|
| 第一振型 | 0.139 |
| 第二振型 | 0.16 |
| 第三振型 | 0.16 |
3. 计算振型参与系数
| 振型 | 振型参与系数γj |
|---|---|
| 第一振型 | 1.363 |
| 第二振型 | -0.428 |
| 第三振型 | 0.063 |
注意：验算Σγ=1。
4. 计算各振型各楼层的地震作用
| 振型 | 1层（kN） | 2层（kN） | 3层（kN） |
|---|---|---|---|
| 第一振型 | 167.4 | 334.4 | 334.2 |
| 第二振型 | 120.9 | 120.7 | -120.8 |
| 第三振型 | 107.2 | -80.9 | 17.8 |
5. 计算各振型的层间剪力Vji（作用效应）
| 振型 | 第1层（kN） | 第2层（kN） | 第3层（kN） |
|---|---|---|---|
| 第一振型 | 836 | 668.6 | 334.2 |
| 第二振型 | 120.8 | -0.1 | -120.8 |
| 第三振型 | 44.1 | -63.1 | 17.8 |
6. 计算地震效应——层间剪力组合
第一层的剪力V1由各振型剪力平方和开方组合，即V1=845.8kN；同理得V2=671.6kN，V3=335.8kN。
注意：组合的地震效应与第一振型的地震剪力分布相近。（第1振型V11=836kN、V12=668.6kN、V13=334.2kN）是巧合？还是有内在联系？
5.2 底部剪力法
用振型分解反应谱法计算比较复杂，能否采用简单近似的方法？前面的例题中发现总的地震作用效应与第一振型的地震剪力分布相近，用第一振型的地震剪力作为结构的地震剪力的方法称为底部剪力法。
1. 底部剪力法的适用条件和假定
总思路是：首先求出等效单质点的作用力（即底部剪力），然后再按一定的规则分配到各个质点，最后按静力法计算结构的内力和变形。
2. 底部剪力计算
结构底部的总地震剪力：FEk=α1Geq。
3. 各质点的水平地震作用标准值计算
结构各层的地震作用与该层的重力荷载代表值（质量）及该层水平变形有关；前面假定结构的变形为一直线，则与该层的高度成正比。
i层的地震作用：结构底部的总剪力由各层地震作用之和求出，并代回第1式得到各质点的水平地震作用。
注意：Hi是从地面到第i层的高度。
4. 对底部剪力法的修正
底部剪力法是一种近似计算，一般情况下误差较小，有些情况下误差较大需进行修正。
1）对于层数较多、自振周期较长的建筑，顶部需附加水平地震作用。
| Tg（s） | T1>1.4Tg | T1≤1.4Tg |
|---|---|---|
| ≤0.25 | 0.08T1+0.07 | 不考虑 |
| 0.3~0.4 | 0.08T1+0.01 | 不考虑 |
| ≥0.55 | 0.08T1-0.02 | 不考虑 |
2）鞭梢作用：局部突出屋顶的小屋的地震作用效应按计算结果放大3倍，但增大的2倍不向下传递。顶层：Fn+1×3。
3）注意：当又有鞭梢作用时，应作用在主体的顶部，而不作用在小屋顶。
例：用底部剪力法计算如图结构的层间地震剪力。8度第一组，多遇烈度，Ⅲ类场地，层高3.5米。
解：结构的基本周期T1=0.467s，Tg=0.45s。
1）计算等效总重力荷载代表值：Geq=0.85ΣGi=5997.6kN（注意：G=M·g）
2）水平地震影响系数α1：αmax=0.16，算得α1=0.139
3）计算FEk：FEk=α1Geq=833.7kN
4）计算各层的水平地震作用标准值：T1=0.467s<1.4Tg=0.63s，δn=0
F1=166.7kN，F2=333.5kN，F3=333.5kN
注意：H1=3.5m，H2=7.0m，H3=10.5m
| 楼层 | 底部剪力法（kN） | 振型分解法（kN） |
|---|---|---|
| 第1层 | 833.7 | 845.8 |
| 第2层 | 667.0 | 671.6 |
| 第3层 | 333.5 | 335.8 |
此题若要求结构的顶点位移，则在已知各层地震作用与层间刚度的基础上累加各层层间位移即可求得。
5. 抗震规范关于地震作用的计算规定
5.3 结构基本周期的近似计算
结构自振周期和振型的计算：在进行结构的地震作用计算时，必须求出结构的自振周期和振型；在进行最简单的计算（底部剪力法）时，也要计算结构的基本周期。
1. 近似方法——能量法
原理：能量守恒。一个无阻尼的弹性体系在自由振动中任何时刻的总能量（位能与动能之和）不变。当体系的位移最大时，位能最大、动能为0；当体系的速度最大时，动能最大、位能为0。
例：一两层框架，求其基本周期。G1=400kN，G2=300kN，K1=14280kN/m，K2=10720kN/m。
用能量法求基本周期的思路：
2. 顶点位移法
当结构的质量沿高度均匀分布时，可将结构简化为无限质点体系的悬臂杆，求出结构的顶点位移，用顶点位移表示自振周期。
体系按弯曲振动、剪切型、弯剪型分别有不同的表达式，顶点位移单位为米，可用于计算一般多高层框架结构的基本周期；顶点位移的计算按照框架在集中于楼盖的重力荷载作为水平作用产生的顶点位移。
二、经验公式（N为建筑的层数）
第六节 竖向地震作用
震害调查表明，在烈度较高的震中区，竖向地震对结构的破坏也会有较大影响。烟囱等高耸结构和高层建筑的上部在竖向地震作用下，因上下振动而会出现受拉破坏；对于大跨度结构，竖向地震引起的结构上下振动惯性力，相当于增加结构的上下荷载作用。
我国抗震规范（GB 50011—2001）规定：设防烈度为8度和9度区的大跨度屋盖结构、长悬臂结构、烟囱及类似高耸结构和设防烈度为9度区的高层建筑，应考虑竖向地震作用。
震害表明：在高烈度地区，竖向地震作用相当可观，为此抗震规范规定：8度、9度时的大跨度结构、长悬臂结构、烟囱和类似的高耸结构，9度时的高层建筑应考虑竖向地震作用。
地震作用一般简化为三个方向：两个水平方向和竖向。
一、高层建筑与高耸结构的竖向地震作用（采用反应谱法）
1. 竖向地震影响系数的取值：竖向地震影响系数与水平地震影响系数的比值为1/2～2/3范围内，竖向地震和水平地震的平均反应谱形状相差不大。规范规定取相应比值。
2. 竖向地震作用标准值计算（与底部剪力法相同）：由结构等效总重力荷载Geq与竖向地震影响系数确定竖向地震作用标准值Fvek，再按各质点重力荷载分配得到Fvi。
二、平板网架和大跨度屋架结构的竖向地震作用计算
规范规定：平板型网架屋盖和跨度大于24m屋架的竖向地震作用与烈度和场地有关（取值0.08～0.25）。
三、长悬臂和其它大跨度结构：应按规范相应规定计算竖向地震作用。
第七节 结构平扭耦合地震反应与双向水平地震影响（本节不做要求）。
第八节 结构非弹性地震反应分析
在罕遇地震（大震）下，允许结构开裂、产生塑性变形，但不允许结构倒塌。为保证结构“大震不倒”，则需进行结构非弹性地震反应分析。
基于结构弹性动力特征的振型分解反应谱法或底部剪力法不适用于结构非弹性地震反应分析。
第九节 结构抗震验算
1. 结构抗震计算原则，各类建筑结构的抗震计算应遵循下列原则：
2. 结构抗震计算方法的确定，可将前面介绍的结构抗震计算方法总结如下：
底部剪力法、振型分解反应谱法和振型分解时程分析法建立在结构动力特性基础上，只适用于结构弹性地震反应分析；逐步积分时程分析法不仅适用于非弹性地震反应分析，也适用于作为非弹性特例的弹性地震反应分析。
采用什么方法进行抗震设计，可根据不同的结构和不同的设计要求分别对待：小地震作用下结构反应是弹性的，按弹性分析方法计算；大地震作用下反应是非弹性的，按非弹性方法计算。规则简单的结构可采用简化方法，不规则复杂的结构应采用较精确的方法；次要结构可按简化方法，重要结构应采用精确方法。
我国《建筑抗震设计规范》（GB 50011—2001）规定：
本章应掌握的内容很多，也是本课程的重点内容之一，但最重要的是不能死记硬背，应在理解的基础上：
课后同学们应通过多做综合性计算题，来熟悉和掌握用底部剪力法进行抗震计算的基本思路和方法。
第三章习题课
1. 有一钢筋混凝土三层框架，位于Ⅱ类场地，结构处于8度设防区，设计基本地震加速度为0.2g，设计地震组别为第一组，结构阻尼比为0.05。已知一、二、三层质点重对应的各层层间侧移刚度，结构各阶周期和振型。
试采用振型分解反应谱法，求结构在多遇地震作用下的最大底部剪力和最大顶点位移。
则第一振型各质点（或各楼面）水平地震作用为：按振型分解反应谱法，由各质点的重力荷载代表值、振型位移与振型参与系数及相应地震影响系数计算得到。
第二振型各质点水平地震作用为：……；第三振型各质点水平地震作用为：……。
则由各振型水平地震作用产生的底部剪力为：分别按各振型作用求和得到。
通过振型组合求结构的最大底部剪力为：按各振型底部剪力的平方和开方组合得到。
若仅取前两阶振型反应进行组合，所得结果与取全部振型接近。
由各振型水平地震作用产生的结构顶点位移为：……
通过振型组合求结构的最大顶点位移：按平方和开方组合；若仅取前两阶振型反应进行组合，结果相差不大。
2. 有一钢筋混凝土三层框架，位于Ⅲ类场地，8度设防区一组，设计基本地震加速度为0.2g，已知一、二、三层质点重对应的各层侧移刚度。
解：①则结构底部剪力为：已知该结构为钢筋混凝土房屋结构，需考虑结构顶部附加集中作用，而结构总重力荷载为：……，由相应已知条件代入计算。
则作用在结构各楼层上的水平地震作用为：按底部剪力法分配得到各层地震作用，由此结构的顶点位移为：累加各层层间位移求得。
②由题意知：按能量法与顶点位移法分别计算结构自振周期。
第三章习题计算题：试用底部剪力法计算图3-40所示三质点体系在多遇地震下的各层地震剪力并求顶点位移。已知设计基本加速度为0.2g，Ⅲ类场地一组。
第三章 结构地震反应分析与抗震计算 结束。
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