04 第四章 多自由度体系结构的地震反应.pptx

第1页：第四章 多自由度体系结构的地震反应

第四章 多自由度体系结构的地震反应

第2页：层间模型分类

层间模型

假定楼板在振动过程中只发生刚体运动。按层间变形特征，层间模型可以分为：

• 层间剪切模型——仅考虑层间剪切变形；
• 层间弯曲模型——仅考虑层间弯曲变形；
• 层间弯剪模型——同时考虑层间剪切和弯曲变形。

第3页：两自由度剪切模型简图

两个自由度的层间剪切模型计算简图

质点 1 惯性力

f_I1 = −m₁[ẍ₁(t) + ẍ_g(t)]

质点 1 恢复力

f_S1 = −f_S11 + f_S12 = −k₁x₁(t) + k₂[x₂(t) − x₁(t)]

质点 2 惯性力

f_I2 = −m₂[ẍ₂(t) + ẍ_g(t)]

质点 2 恢复力

f_S2 = −f_S21 = −k₂[x₂(t) − x₁(t)]

说明：本页为层间剪切模型计算简图，源文件公式与标注提取不全，简图与符号以原课件图片为准。

第4页：运动方程建立（一）

运动方程的建立

根据达朗贝尔原理，上述两力构成平衡力系（暂不考虑阻尼影响）：

f_I1 + f_S1 = −m₁ẍ₁(t) − m₁ẍ_g(t) − k₁x₁(t) + k₂x₂(t) − k₂x₁(t) = 0

即 m₁ẍ₁(t) + (k₁ + k₂)x₁(t) − k₂x₂(t) = −m₁ẍ_g(t)　（4.1）

f_I2 + f_S2 = −m₂ẍ₂(t) − m₂ẍ_g(t) − k₂[x₂(t) − x₁(t)] = 0

即 m₂ẍ₂(t) + k₂x₂(t) − k₂x₁(t) = −m₂ẍ_g(t)　（4.2）

说明：本页公式符号由源文件文本提取整理，公式写法以原课件图片为准。

第5页：运动方程矩阵形式

运动方程的建立——矩阵形式

将式（4.1）和式（4.2）合并写成矩阵形式，有 [M]{ẍ(t)} + [K]{x(t)} = −[M]{I}ẍ_g(t)　（4.3）

[M]

质量矩阵，两自由度时 [M] = [[m₁, 0], [0, m₂]]

[K]

刚度矩阵，[K] = [[k₁ + k₂, −k₂], [−k₂, k₂]]

{x(t)}、{ẍ(t)}

位移矢量与加速度矢量

{I}

单位列向量 {1, 1}^T

多自由度体系的运动方程也可以按上式表示。

说明：本页矩阵公式符号由源文件文本提取整理，公式写法以原课件图片为准。

第6页：质量刚度阻尼矩阵

运动方程的建立——阻尼矩阵

矩阵 [M] 称为体系的质量矩阵；矩阵 [K] 称为体系的刚度矩阵；而 {ẍ(t)} 和 {x(t)} 称为体系的加速度矢量和位移矢量。

如考虑阻尼影响，则体系的运动方程为 [M]{ẍ(t)} + [C]{ẋ(t)} + [K]{x(t)} = −[M]{I}ẍ_g(t)　（4.4）

[C]

称为体系的阻尼矩阵，如采用瑞利阻尼假定，则阻尼矩阵为 [C] = α₀[M] + α₁[K]，其中 α₀、α₁ 为与体系有关的常数

说明：本页公式符号由源文件文本提取整理，公式写法以原课件图片为准。

第7页：自振频率

多自由度体系的自振频率及振型——自振频率

令式（4.4）右端项为零并忽略阻尼的影响，即得该体系的无阻尼自由振动方程为 [M]{ẍ(t)} + [K]{x(t)} = 0　（4.5）

考虑两自由度体系的情况，令位移矢量 {x(t)} = {X₁, X₂}^T sin(ωt + ψ)　（4.6）

式中，X₁ 和 X₂ 分别为质点 1 和质点 2 的位移幅值。

说明：本页公式符号由源文件文本提取整理，公式写法以原课件图片为准。

第8页：频率方程

频率方程

将式（4.6）代入式（4.5），化简得 ([K] − ω²[M]){X} = 0　（4.7）

要使式（4.7）有非零解，其系数矩阵行列式值必须为零，即 |[K] − ω²[M]| = 0　（4.8）

或 (k₁ + k₂ − m₁ω²)(k₂ − m₂ω²) − k₂² = 0　（4.9）

上式称为频率方程。

说明：本页公式符号由源文件文本提取整理，公式写法以原课件图片为准。

第9页：自振圆频率求解

自振圆频率的求解

将式（4.9）展开，可得关于 ω² 的二次方程，解之可得：

ω² = 1/2 · [(k₁ + k₂)/m₁ + k₂/m₂] ± 1/2 · √{[(k₁ + k₂)/m₁ − k₂/m₂]² + 4k₂²/(m₁m₂)}　（4.11）

可得到 ω 的两个正号实根，它们就是两自由度体系的两个自振圆频率。其中较小的一个 ω₁ 为第一自振圆频率或基本自振圆频率，T₁ = 2π/ω₁ 为第一自振周期；较大的一个 ω₂ 称为第二自振圆频率，T₂ = 2π/ω₂ 为第二自振周期。

说明：本页公式符号由源文件文本提取整理，公式写法以原课件图片为准。

第10页：主振型位移幅值

主振型

将求得的 ω₁ 和 ω₂ 分别代入式（4.7），可求得质点 1、2 的位移幅值 X₁ 和 X₂；解 X₁ 和 X₂ 不是唯一的。

由 ([K] − ω²[M]){X} = 0，令对应于 ω₁ 的解为 X₁₁ 和 X₁₂，对应于 ω₂ 的解为 X₂₁ 和 X₂₂。

说明：本页公式符号由源文件文本提取整理，公式写法以原课件图片为准。

第11页：主振型自由振动位移

主振型——自由振动时的位移

由式（4.6）得体系自由振动时的位移为：

• 对应于 ω₁：{x₁₁(t), x₁₂(t)}^T = {X₁₁, X₁₂}^T sin(ω₁t + ψ₁)
• 对应于 ω₂：{x₂₁(t), x₂₂(t)}^T = {X₂₁, X₂₂}^T sin(ω₂t + ψ₂)

说明：本页公式符号由源文件文本提取整理，公式写法以原课件图片为准。

第12页：主振型定义

主振型的定义

当体系分别按第一自振频率或第二自振频率振动时，两质点的位移比值为：

x₁₂(t)/x₁₁(t) = X₁₂/X₁₁ = k₂/(k₁ + k₂ − m₁ω₁²)，x₂₂(t)/x₂₁(t) = X₂₂/X₂₁ = k₂/(k₁ + k₂ − m₁ω₂²)

上述比值与时间无关，且为常数。也就是说，当体系按其自振频率振动时，两个质点的位移比值始终保持不变，这种特殊的振动形式通常称为主振型，或简称振型。当体系按 ω₁ 振动时称第一振型或基本振型，当按 ω₂ 振动时称第二振型。

说明：本页公式符号由源文件文本提取整理，公式写法以原课件图片为准。

第13页：主振型叠加复合振动

主振型叠加的复合振动

{x₁(t), x₂(t)}^T = {X₁₁, X₁₂}^T sin(ω₁t + ψ₁) + {X₂₁, X₂₂}^T sin(ω₂t + ψ₂)

由上式可见，在一般的初始条件下，任一质点的振动都是由各主振型的简谐振动叠加而成的复合振动，它不再是简谐振动，而且各质点之间位移的比值也不再是常数，而是随时间而发生变化的。

说明：本页公式符号由源文件文本提取整理，公式写法以原课件图片为准。

第14页：振型的正交性

振型的正交性

振型的正交性，是指在多自由度体系中，任意两个不同频率的主振型间，都存在着下述互相正交的性质：

设 ω_i 为第 i 个频率，对应的振型为 {X}_i，ω_j 为第 j 个频率，对应的振型为 {X}_j，则有：

• {X}_i^T[M]{X}_j = 0　（i ≠ j）　（4.18）
• {X}_i^T[K]{X}_j = 0　（i ≠ j）　（4.19）

说明：本页公式符号由源文件文本提取整理，公式写法以原课件图片为准。

第15页：振型分解法基本概念

多自由度体系的振型分解法

一、振型分解法基本概念

1. 思路：利用各振型的正交特性，将原来耦联的微分方程组变为若干互相独立的微分方程，从而使原来多自由度体系的动力计算变为若干个单自由度体系的问题；
2. 假设：①结构物的反应是弹性的，可以采用叠加原理进行振型组合；②结构物最不利的地震反应为最大的地震反应，而与其他的动力反应参数无关；
3. 求解：在求得了各单自由度体系的解后，再将各个解进行组合，从而可求得多自由度体系的地震反应。

第16页：振型分解公式推导

本页为振型分解法公式推导页，源文件未提取到可用文字，仅有公式图片。

说明：本页文字缺失，建议对照原课件图片补充公式推导过程。

第17页：振型分解法求解步骤

多自由度体系地震反应振型分解法的求解步骤

1. 求体系的自振频率和振型；
2. 计算振型参与系数 γ_j；
3. 求解解耦的各阶单自由度体系的广义坐标 q_j(t)；
4. 按振型叠加原理计算各质点的位移：

{x(t)} = Σ {X}_j q_j(t) = Σ {X}_j γ_j Δ_j(t)

说明：本页公式符号由源文件文本提取整理，公式写法以原课件图片为准。

第18页：振型分解反应谱法

振型分解反应谱法

多自由度体系的水平地震作用可用各质点所受的惯性力来代表，故质点 i 上的地震作用为：

F_i(t) = −m_i[ẍ_g(t) + ẍ_i(t)]

而 ẍ_i(t) = Σ γ_jΔ̈_j(t) X_ji，x_i(t) = Σ q_j(t) X_ji = Σ γ_jΔ_j(t) X_ji　（4.57）

说明：本页公式符号由源文件文本提取整理，公式写法以原课件图片为准。

第19页：振型水平地震作用

第 j 振型质点 i 的水平地震作用

F_i(t) = −m_i Σ γ_jX_ji[ẍ_g(t) + Δ̈_j(t)] = Σ F_ji(t)　（4.58）

式中 F_ji(t) = −m_iγ_jX_ji[ẍ_g(t) + Δ̈_j(t)]　（4.59）称为对应于第 j 振型质点 i 的水平地震作用，相当于单自由度的地震反应并考虑了振型参与系数。

利用单自由度反应谱：F_ji,max = m_iγ_jX_ji·|ẍ_g(t) + Δ̈_j(t)|_max = α_jγ_jX_jiG_i　（4.60、4.61）

α_j 为对应于 j 振型自振周期为 T_j = 2π/ω_j 的单自由度体系的地震影响系数，可按单自由度体系的地震影响系数确定。

说明：本页公式符号由源文件文本提取整理，公式写法以原课件图片为准。

第20页：振型组合平方和开方

各振型产生的地震作用效应（平方和开方，SRSS 法）

F_ji,max = α_jγ_jX_jiG_i　（4.62）

利用规范给出的反应谱曲线，可方便地求得对应于某一振型各质点的最大地震作用所产生的作用效应 S_j（弯矩、剪力、轴力、位移等）。

当某一振型的地震作用达最大值时，其余各振型的地震作用不一定也达到最大。从而结构地震作用的最大值并不等于各振型地震作用最大值之和，根据随机振动理论，近似地取"平方和开方"：

S = √(Σ S_j²)　（4.63）

式中 S 为总的地震作用效应，S_j 为对应于第 j 振型的地震作用效应。

说明：本页公式符号由源文件文本提取整理，公式写法以原课件图片为准。

第21页：底部剪力法适用条件

底部剪力法（寻求更为简便的适合设计的方法）

适用条件：

• 结构的质量和刚度沿高度分布比较均匀；
• 房屋的总高度不超过 40m；
• 建筑结构在地震作用下的变形以剪切变形为主；
• 建筑结构在地震作用时的扭转效应可忽略不计。

结构在地震作用下的反应以第一振型为主，且近似为直线。

第22页：结构底部剪力计算

结构底部剪力（总水平地震作用）

《抗震规范》规定，当 n = 1 时，取 ζ = 1，而当 n > 1 时，取 ζ = 0.85，并定义等效总重力荷载代表值 G_eq = G_E·ζ，其底部剪力（或称总水平地震作用）为：

F_Ek = α₁·G_eq = α₁G_E·ζ = 0.85α₁G_E

G_E

总重力荷载代表值

G_eq

等效总重力荷载代表值

说明：本页公式符号由源文件文本提取整理，公式写法以原课件图片为准。

第23页：底部剪力沿高分配

总底部剪力的分配

根据第一振型近似为直线的假定，取 X_1i = ηH_i　（4.68），式中 H_i 为质点 i 的计算高度。

将式（4.68）代入式（4.67）得 F_1i = α₁γ₁ηH_iG_i　（4.69）

再根据各质点的水平地震作用之和等于总水平地震作用的条件，得：

F_i = (G_iH_i / Σ G_jH_j) · F_Ek　（4.70）

说明：本页公式符号由源文件文本提取整理，公式写法以原课件图片为准。

第24页：多自由度体系时程分析

4.5 多自由度体系地震反应的时程分析

• 对于特别不规则的建筑、特别重要的建筑，以及房屋高度和设防烈度较高的建筑，规范规定，宜采用时程分析法进行补充计算；
• 当进行房屋结构的弹塑性变形验算时，由于结构已出现了明显的非线性，振型分解反应谱法已不再适用，而需采用弹塑性时程分析法；
• 当需要对建筑结构进行地震作用下的时程分析时，一般均采用数值计算方法，较为常用的是 Wilson-θ 法及第三章介绍过的线性加速度法。

第25页：本章结束

本章结束！