14 第五章 索结构(3)-计算理论.pptx

第1页：5.4悬索结构计算理论

5.4悬索结构计算理论

本页以图片形式呈现，给出计算模型与主要分析结果。

第2页：一、单索解析理论

一、单索解析理论

• 基本假设）单向受力特性；2）弹性工作状态。高强钢索的拉伸曲线—松弛阶段，构造性伸长—弹性阶段，弹性伸长—极限状态，塑性伸长消除构造性伸长后的应力应变曲线无明显屈服台阶

第3页：索的平衡方程受任意分布荷载

索的平衡方程受任意分布荷载

• 悬索索微分单元、——和方向的任意分布荷载——索的曲线形状方程——索张力的水平分量

第4页：一、单索解析理论（续）

索的平衡方程受任意分布荷载（续）

• =0
• =0
• =0
• 索微分单元

第5页：一、单索解析理论（续）

索的平衡方程受任意分布荷载（续）

• =0
• =0
• =0
• 由=0H常数2+=0基本平衡微分方程的物理意义：索曲线在某点的二阶导数（当索较平坦时即为其曲率）与作用在该点的竖向荷载集度成正比。4基本平衡微分方程

第6页：竖向荷载沿跨度均布

竖向荷载沿跨度均布

• 布=0222H积分两次得2212代入边界条件（=0,=0）（=0）（/2,）常量2=4索内的水平张力索曲线方程HC2=05

第7页：荷载沿索长均布

荷载沿索长均布

• +
• HH2-122
• H1+
• =02
• 悬链线与抛物线的比较

第8页：按任意规律分布索的平衡曲线简支梁

按任意规律分布索的平衡曲线简支梁

• 梁弯矩图2M=02=02索曲线的形状与承受同样荷载的简支梁弯矩图完全相似。悬索梁左端，=0M=0右端，=0M=07

第9页：荷载沿索长均布（续）

按任意规律分布索的平衡曲线简（续）

本页以图片形式呈现，承接上一页「按任意规律分布索的平衡曲线简」相关内容。

第10页：索的长度计算

索的长度计算

• 索微分单元的长度为
• +2=1+
• 整根索的长度可由上式积分求得
• +
• 当索垂度不大时，对积分项作级数展开
• +1
• -
• 6128
• +
• =1+2
• 取前两项，得索长近似计算公式为：适用于0.1时

第11页：抛物线索

抛物线索

• +
• =4-82=4
• 考察索长变化与索垂度变化的关系=16
• =3
• s1610当=0.1时=1.875s当垂跨比不大时，较小的索长变化将引起较显著的垂度变化

第12页：索的变形协调方程·初始状态

索的变形协调方程·初始状态

• （始态）荷载
• 索的形状
• 索内力H0均为已知。·荷载状态（终态）荷载0+形状0+、索内力H0+H已知未知
• 索的平衡方程只给出了某一特定状态下、、三者之间的关系，而不能考虑状态的变化过程
• 因此，必须在索由始态过渡到终态的过程中，考虑索的伸长和位移的关系，建立索的变形协调方程。22+=011

第13页：由几何关系

由几何关系

• 索微元的伸长2200
• =0-
• 索的总伸长
• s=1-
• 0
• +
• =1+
• +

第14页：考察物理关系

考察物理关系

• EA
• +
• 在小垂度问题中，0/与比较是微量，可以忽略
• H0
• H0
• +1
• 索的变形协调方程联立几何关系和物理关系

第15页：单索问题解法·以承受均布荷载

单索问题解法·以承受均布荷载

• 作用的悬索为例002H8=02820832=
• +0
• +
• 382
• EA3H82-20=0变形协调方程2220224H
• -0
• H20
• 平衡方程

第16页：【例】设有承受均布荷载

【例】设有承受均布荷载

• 抛物线索，已知：=0.674cm2，=17000cm2，即EA=11460；又=8m，H0=10，0=0.2，=0.5。求索水平张力以及索在始态和终态时的跨中垂度。【解】将已知数据代入2H2H22
• H0=
• -0
• H3+2.224H2-7640=0将上式改写成迭代公式7640HH+2.224经数次迭代后，可得H=18.98始态和终态的索垂度分别为0=0.16015=0.211m02=0.2×828H08×10=2=0.5×828H8×18.98

第17页：索的受拉工作符合虎克定律0荷载

索的受拉工作符合虎克定律0荷载

• 均作用在节点上，各索段呈直线型。16二、索结构的有限元解法有限元法是把索看成为一系列相互连接的索段，索段之间以节点相连，采用基于离散理论的节点位移法求解。在该方法中以节点位移作为基本未知量，而以节点之间的索段为基本单元。·基本假设0索是理想柔性的，即它不能承受任何弯矩，也不能受压；有限元理论不受小垂度问题的限制，索的几何形状可以是任意的

第18页：节点平衡条件初始态00设与点相连

节点平衡条件初始态00设与点相连

• 任意索段的另一端是节点；初始态时节点的平衡条件
• ）=0
• ）=0
• ）=0
• （000（0（、、为节点的坐标、、为节点的坐标T0为索段内的初始张力0为索段初始长度

第19页：关键是求Ti和1/初始态00荷载

关键是求Ti和1/初始态00荷载

• 态、、为节点产生的三个方向的位移：、、为节点产生的三个方向的位移：荷载态时节点的平衡方程Ti为索段内的张力为荷载态索段长度
• =00
• =0

第20页：单元长度计算

单元长度计算

• 初始长度0022192荷载态长度2+2+2+2+
• （3）

第21页：单元长度计算（续）

单元长度计算（续）

• 20022-）（=1
• =1
• （（（
• 将式
• 根号内的项展开，并将式
• 代入，经整理后可得：（5）参数是包含位移、、的一次幂，而包含位移、、的二次幂

第22页：单元长度计算（续）

单元长度计算（续）

• 右边的根式按无穷级数展开2311221212
• +0
• 01+2110-12=（1+2）22131113223252
• =1-

第23页：物理条件

物理条件

• TiT00EA
• -1
• 1220
• 2311221212
• ++0
• 由22220-1=+1-12-1+13+..22

第24页：物理条件（续）

物理条件（续）

• EAT0
• Ti0
• ））
• EA
• ）
• 非线性节点力节点荷载线性节点力
• 悬索体系节点位移法的基本方程将式
• 和
• 代入平衡方程
• 并考虑式
• 经整理后得

第25页：整体坐标下的单元线性刚度矩阵

整体坐标下的单元线性刚度矩阵

• 0000000333T033T03
• T0T0（T0（T02-）
• T0（
• T02-）
• T0
• 对称令00024-分别代表索轴线的三个方向余弦，代入上式并整理，得

第26页：物理条件（续）

整体坐标下的单元线性刚度矩阵（续）

• 对称0250
• -2
• -2
• -2
• 对称弹性刚度几何刚度线性刚度索的线性刚度包括两部分，一部分与EA有关，代表了单元抵抗轴向伸长的能力；另一部分与有关，代表了单元抵抗刚性转动的能力

第27页：悬索结构的几何非线性0TTL平衡

悬索结构的几何非线性0TTL平衡

• PT020T初始状态荷载状态0LLEAL0TT00LLEA（1-1）

第28页：物理条件（续）

悬索结构的几何非线性（续）

• TT11=0+EALLL根据胡克定律，可得结构的切线刚度为：1
• T1
• +EA
• LL0
• TLLP
• KGT0反映了刚体转动对结构刚度的贡献；几何刚度EA（1-1）ELL270反映了弹性体伸长对结构刚度的贡献。弹性刚度

第29页：物理条件（续）

悬索结构的几何非线性（续）

• 几何刚度和弹性刚度0.000.010.020.030.040.050.06
• GKKK28ETL=20m0T=500EA=62800几何刚度、弹性刚度和切线刚度的关系

第30页：基本方程组的矩阵形式RK

基本方程组的矩阵形式RK

• 线性总刚度矩阵；——节点位移列向量；——节点荷载列向量；——未知位移的非线性项列向量
• 基本方程组是非线性的，一般必须用迭代法求解：（1）不变刚度法
• 法
• 荷载增量法（分级加载法）

第31页：法·该方法的特点

法·该方法的特点

• 是，在每一循环迭代中均需重新计算体系的瞬时刚度矩阵。具体迭代步骤如下：1假定0=0，从而0=0，并计算体系的初始刚度矩阵0；2以原点作为始态，解0，得（点）

第32页：）由算出（线段AA），并计算

）由算出（线段AA），并计算

• 体系在点的瞬时刚度矩阵；4）以状态作为始态，根据修正，按方程·1=1，解出（线段）；求得后，即得2=1+1（点）

第33页：）由算出（线段）并计算体系

）由算出（线段）并计算体系

• 在点的瞬时刚度矩阵。6以状态作为始态，根据修正2,即按方程·2=2，解出（线段），然后得3=2+2（点）。7重复步骤和，直到比值足够小为止

第34页：荷载增量法（分级加载法）·将荷载

荷载增量法（分级加载法）·将荷载

• 分为若干级，然后逐级加载，并算出相应的位移增量，一直到加上全部荷载。·优点是可以描绘出整个加载过程的完整图景，缺点是易产生误差累机

第35页：把荷载增量法同方法

把荷载增量法同方法

• 法结合，即在每级加载计算中，均运用法求得各级位移增量的真值，可以得到较精确的加载过程

第36页：关于温度效应EA

关于温度效应EA

• —索的线膨胀系数，可取钢材的线膨胀系数为=1.2×105（1/）；—温度变化，取上升为正
• 此时，式
• 中的第一式可写为：）0
• T0
• T0
• （

第37页：索单元的松弛·当某一迭代步计算

索单元的松弛·当某一迭代步计算

• 完成后，若发现某根索的计算拉力Ti0，则应令该单元的=0及Ti=0，重新计算。·此方式相当于在原结构中忽略了该单元的刚度贡献。·需要注意的是，某根索单元的退出工作可能只是暂时的，当荷载发生变化后，该索单元可能又会恢复受拉状态，重新参与对结构整体刚度的贡献。·在计算中应采用一定的数值手段，判断受压索单元何时重新参与工作以及参与工作时刻的索拉力值

第38页：初始形态分析

初始形态分析

• 析就是要确定在给定支承边界条件下的满足建筑功能要求的曲面形状预张力状态这一综合系统的最佳组合。·对于少数形状简单的曲面形状，如双曲抛物面鞍形索网结构，其初始形态可通过解析方法确定。·对于更一般的情况，悬索结构的初始形态必须依靠数值方法来求解。·目前普遍采用的数值方法有三种：力密度法、动力松弛法和非线性有限元法。37三、索结构的初始形态分析

第39页：形态分析的力学背景·根据弹性力学

形态分析的力学背景·根据弹性力学

• 原理，在给定边界条件和初始几何条件下，通过几何协调方程、本构方程和平衡方程，弹性体的位移、应变和应力唯一确定。力的平衡方程
• 变形协调方程
• 材料本构方程
• －荷载－位移－应力－应变－本构矩阵－广义坐标向量
• （2）（3）

第40页：联立约去

联立约去

• 可得力与位移的关系：39
• 刚度矩阵
• 在进行形态分析之前，形和态都是未知的，必须通过给定其中的一个来求解另一个，从而形成两种思路：1给定形求态
• 找态给定态求形
• 找形

第41页：找态法·首先按建筑要求

找态法·首先按建筑要求

• 大致设定曲面的初始形状，得到，然后施加设定的初始预张力T、T2·此时体系是不平衡的，其不平衡节点力相当于在点施加了外荷载·通过式
• 求解节点位移，使点达到平衡T1T1T22′T1′T1′

第42页：找形法的提出·找态法的特点

找形法的提出·找态法的特点

• 是较为方便直观，利用普通的静力计算程序即可求解。·这种方法需要较为准确地给定初始几何形状，否则计算得到的预张力分布极不均匀。·能否通过给定态来反求与之对应的形？·理论上讲，这是一个单纯的平衡问题，但由于结构形状是未知的，因此无法直接利用平衡方程
• 求解。在具体操作中，可利用
• 式通过多次迭代求解

第43页：找形法的基本思路

找形法的基本思路

• 首先给定一个假定形状，对此假定形状施加初始预张力T、T2
• 根据形状利用式
• 可确定不平衡节点力；代入式
• 可求得节点位移；据此得到新的体系形状
• 保持初始预张力T、T2不变，可求得在形状下的不平衡节点力
• 重复步骤）、3），直到不平衡节点力=0为止，此时得到的即为最终平衡态

第44页：T1T1T22T1T1·以上求解

T1T1T22T1T1·以上求解

• 过程虽然也利用了
• 式，但由于在迭代过程中始终未对应力进行修正，因此实际上相当于仅利用了力的平衡方程，而放弃了变形协调条件和材料本构关系；·因此，尽管在找形过程中，体系发生了较大的位移，但其内力仍为最初设定值

第45页：初始形态分析

初始形态分析

• 非线性有限元法·始态——索系初始绷紧成型但尚未施加预张力的状态（即通常所谓的零状态）；·始态索系的形状（即各节点的坐标）是已知的（预先给定），且可假定T0=0。·终态——施加预张力以后的状态（即通常所谓的预张力状态）；·终态索系中各索段的内力Ti是按设计给定；如果忽略自重，且又无其他重量作用时，则节点荷载为零

第46页：经过简单推导

经过简单推导

• 可将平衡方程写成如下形式
• （
• ）
• Ti（非线性节点力节点荷载线性节点力代表预张力在始态形状上引起的不平衡节点力，是引起体系原始形状发生变化的主要原因

第47页：支座提升法找形·适用于曲面形状复

支座提升法找形·适用于曲面形状复

• 杂，事先不易准确估计的情况。任意设定索结构的初始形状，为实际操作简便，一般取索结构的平面投影形状（即具有相应周界的平面索系）作为初始状态。然后将若干控制点（通常是索结构的某些支承点）抬高到规定的位置，形成所寻求的最终状态。由平面状态过渡到实际状态，经历的位移很大，因而具有很强的几何非线性；为了保证计算精度，一般应分步进行计算

第48页：找形算例）确定计算

找形算例）确定计算

• 边界）划分计算网格）提升支座节点）完成曲面找形）安装支承构件）放松支承节点

第49页：补充说明

补充说明

• ·在支座提升过程的计算中，索的弹性模量可不必取真值，因为我们要的只是一个在给定预张力状况下符合平衡条件的索曲面形状，至于通过什么过程达到这一最终状态并不重要。·因此，所谓的从平面形状开始的支座提升过程，只不过是一种虚拟的计算手段，这一过程的变形协调条件是无关紧要的。·由于在支座提升过程中索的变形较大，为了使最终状态时索内力不致过多偏离规定的预张力值，通常宜将索的弹性模量取一小值，使索网可以较自由地变形来适应给定的边界位置

第50页：补充说明

补充说明

• ·对索预张力大小的确定要同受荷计算的结果一起综合考虑。主要考虑因素包括：1在最大荷载作用下，索不致松弛仍具有一定张力；2索应保持一定的张紧力，以保证足够的刚度。3预张力也不应过大，以免不必要地增大钢索截面和下部结构带来负担。在实际设计中，一般应结合具体情况通过试算确定，通常取为索破断应力的1/5左右

第51页：致谢与结束页

致谢与结束页

悬索结构计算理论一节的结束页，位于找形补充说明之后。