05 第5章 测量误差.pptx

第1页：第5章测量误差的基本知识

第5章测量误差的基本知识

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第2页：第5章知识要点与掌握程度

• 第5章测量误差的基本知识§5.1测量误差与精度§5.2误差传播定律§5.3等精度直接观测的最可靠值及其中误差相关知识掌握程度知识要点
• (1)偶然误差的四个特性；
• (2)中误差的基本公式
• (1)准确理解测量误差及中误差的概念；
• (2)掌握衡量精度的评定标准
• 测量误差
• (1)相关公式推导和应用条件；
• (2)应用算术平均值及其中误差；
• (3)权与中误差的关系
• (1)重点掌握误差传播定律；
• (2)熟练观测值中误差计算；
• (3)了解权及加权平均值
• 精度评定

第3页：测量误差及其来源

3§5.1测量误差与精度

• 测量误差及其来源
• 测量误差的来源（1）仪器误差：仪器精度的局限、轴系残余误差等。（2）人为误差：判断力和分辨率的限制、经验等。（3）外界条件的影响：温度变化、风、大气折光等
• 测量误差的表现形式
• 测量误差（真误差=观测值-真值）Δ=l－X（观测值与真值之差）（观测值与观测值之差）

第4页：系统误差及其处理

• 例：误差处理方法钢尺尺长误差ld计算改正钢尺温度误差lt计算改正水准仪视准轴误差I操作时抵消(前后视等距)经纬仪视准轴误差C操作时抵消(盘左盘右取平均)…………2.系统误差——误差出现的大小、符号相同，或按规律性变化，具有积累性。
• 系统误差可以消除或减弱。(计算改正、观测方法、仪器检校)测量误差分为：粗差、系统误差和偶然误差§5.2测量误差的种类
• 1.粗差(错误)——超限的误差

第5页：偶然误差

53.偶然误差——误差出现的大小、符号各不相同，表面看无规律性。例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，导致观测值产生误差。

第6页：偶然误差的统计分析

举例:在某测区，等精度观测了100个三角形的内角之和，得到100个三角形闭合差i(偶然误差，也即真误差)，然后对三角形闭合差i进行分析。分析结果表明，当观测次数很多时，偶然误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而且，观测次数越多，规律性越明显。§5.3偶然误差的特性

第7页：偶然误差统计表

表5-1 偶然误差统计表

统计表明小误差出现机会多、正负误差个数接近相等，绝对值大的误差很少出现。

第8页：误差频率直方图

用频率直方图表示的偶然误差统计：

• 频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近，对称于y轴。
• 频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区间的频率k/n，而所有条形的总面积等于1。
• 各条形顶边中点连线经光滑后的曲线形状，表现出偶然误差的普遍规律图6-1误差统计直方图

第9页：偶然误差的四个特性

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• 从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶然误差的四个特性：特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性(4)具有实用意义。
• 3.偶然误差的特性(1)在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值(有界性)；(2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多(趋向性)；(3)绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等(对称性)；(4)当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零(抵偿性)：

第10页：偶然误差的正态分布

10偶然误差具有正态分布的特性当观测次数n无限增多(n→∞)、误差区间d无限缩小(d→0)时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线，这条曲线称为“正态分布曲线”，又称为“高斯误差分布曲线”。所以偶然误差具有正态分布的特性。图5-1误差统计直方图

第11页：中误差

• 上式中，偶然误差为观测值与真值X之差：观测次数n有限时，用中误差m表示偶然误差的离散情形：i=i-X§5.4衡量精度的指标
• 1.中误差

第12页：精度评定

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第13页：容许误差

132.容许误差(极限误差)根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间d内的概率为：误差出现在K倍中误差区间内的概率为：将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：P(||m)=0.683=68.3P(||2m)=0.954=95.4P(||3m)=0.997=99.7测量中，一般取两倍中误差(2m)作为容许误差，也称为限差：|极|=3|m|或|容|=2|m|

第14页：相对误差

3. 相对误差（相对中误差）

相对误差为误差绝对值与观测量之比，用于表示距离精度，用分子为 1 的分数表示：分数值越小精度越高。

• 例2：S₁=100m，m₁=0.02m，K₁=0.02/100=1/5000
• S₂=200m，m₂=0.02m，K₂=0.02/200=1/10000
• 因 K₂<K₁，故距离 S₂ 的精度较高

第15页：一般函数中误差的推导

一.一般函数的中误差令的系数为，(c)式为：由于和是一个很小的量，可代替上式中的和：(c)代入(b)得对(a)全微分：(b)设有函数：为独立观测值设有真误差，函数也产生真误差(a)§5.5误差传播定律

第16页：误差传播定律推导：取平方

对Z观测了k次，有k个式(d)对(d)式中的一个式子取平方：（i，j=1~n且i≠j）(e)对K个(e)式取总和：(f)

第17页：误差传播定律推导：取总和

17(f)(f)式两边除以K，得(g)式：(g)由偶然误差的抵偿性知：(g)式最后一项极小于前面各项，可忽略不计，则：<<前面各项即(h)

第18页：一般函数的中误差公式

18(h)考虑，代入上式，得中误差关系式：上式为一般函数的中误差公式，也称为误差传播定律。

第19页：求函数中误差的步骤

• 通过以上误差传播定律的推导，我们可以总结出求观测值函数中误差的步骤：
• 1.列出函数式；
• 2.对函数式求全微分；
• 3.套用误差传播定律，写出中误差式。

第20页：倍数函数的中误差

201.倍数函数的中误差设有函数式(x为观测值，K为x的系数)全微分得中误差式例：量得地形图上两点间长度=168.5mm0.2mm,计算该两点实地距离S及其中误差ms：解：列函数式求全微分中误差式二.几种常用函数的中误差

第21页：线性函数的中误差

212.线性函数的中误差设有函数式全微分中误差式例：设有某线性函数其中、、分别为独立观测值，它们的中误差分别为求Z的中误差。解：对上式全微分：由中误差式得：

第22页：算术平均值的中误差

函数式全微分中误差式

• 3.算术平均值的中误差式由于等精度观测时，，代入上式：得由此可知，算术平均值的中误差比观测值的中误差缩小了倍。
• 对某观测量进行多次观测(多余观测)取平均，是提高观测成果精度最有效的方法。

第23页：和或差函数的中误差

234.和或差函数的中误差函数式：全微分：中误差式：当等精度观测时：上式可写成：例：测定A、B间的高差，共连续测了9站。设测量每站高差的中误差，求总高差的中误差。解：

第24页：函数中误差公式汇总

观测值函数中误差公式汇总观测值函数中误差公式汇总函数式函数的中误差一般函数倍数函数和差函数线性函数算术平均值

第25页：应用例1 三角形测回数

误差传播定律的应用用DJ6经纬仪观测三角形内角时，每个内角观测4个测回取平均，可使得三角形闭合差m15。例1：要求三角形最大闭合差Δ15，问用DJ6经纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？ƒ=(1+2+3)-180由于DJ6一测回角度中误差为：由角度测量n测回取平均值的中误差公式：

第26页：应用例2 视距测距精度

误差传播定律的应用例2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。解:(1)测量水平距离的精度基本公式：求全微分：水平距离中误差：其中：

第27页：应用例2 视距高差精度

误差传播定律的应用例2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。解: (2)测量高差的精度基本公式：求全微分：高差中误差：其中：

第28页：应用例3 正方形周长与面积

误差传播定律的应用例3:(1)用钢尺丈量某正方形一条边长为求该正方形的周长S和面积A的中误差.解: (1)周长,(2)用钢尺丈量某正方形四条边的边长为其中:求该正方形的周长S和面积A的中误差.面积,周长的中误差为全微分:面积的中误差为全微分:

第29页：应用例3 四条边丈量的情形

解:(1)周长和面积的中误差分别为例3:(2)用钢尺丈量某正方形四条边的边长为其中:求该正方形的周长S和面积A的中误差.(2)周长;周长的中误差为面积得周长的中误差为全微分:但由于

第30页：等精度直接观测平差内容

30▓观测值的算术平均值(最或是值)▓用观测值的改正数v计算观测值的中误差(即:白塞尔公式)§5.6同（等）精度直接观测平差

第31页：算术平均值是最或是值

一.观测值的算术平均值(最或是值、最可靠值)证明算术平均值为该量的最或是值：设该量的真值为X，则各观测值的真误差为1=1-X2=2-X······n=n-X对某未知量进行了n次观测，得n个观测值1,2,···,n,则该量的算术平均值为：x= =1+2+···+nnn上式等号两边分别相加得和：L=

第32页：算术平均值与真值的关系

当观测无限多次时：得两边除以n：由当观测次数无限多时，观测值的算术平均值就是该量的真值；当观测次数有限时，观测值的算术平均值最接近真值。所以，算术平均值是最或是值。L≈X

第33页：观测值改正数的性质

• 观测值改正数特点二.观测值的改正数v：以算术平均值为最或是值，并据此计算各观测值的改正数v，符合[vv]=min的“最小二乘原则”。Vi=L-i(i=1,2,···,n)
• 特点1——改正数总和为零：对上式取和：以代入：通常用于计算检核L=nv=nL-nv=n-=0v=0
• 特点2——[vv]符合“最小二乘原则”：则即vv=(x-)2=min=2(x-)=0dvvdx∵(x-)=0nx-=0x=n

第34页：白塞尔公式

精度评定比较前面的公式，可以证明，两式根号内的部分是相等的，即在与中：精度评定——用观测值的改正数v计算中误差一.计算公式(即白塞尔公式)：

第35页：白塞尔公式的证明

证明如下：真误差：改正数：证明两式根号内相等对上式取n项的平方和由上两式得其中:

第36页：中误差定义与白塞尔公式对照

证明两式根号内相等中误差定义:白塞尔公式:

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第37页：算例1 水平角5次观测

算例1：对某水平角等精度观测了 5 次

观测值中误差 m = ±√([VV]/(n−1)) = ±√(60/4) = ±3.9″；算术平均值中误差 M = m/√n = ±1.7″。

第38页：算例2 距离丈量精度

• 距离丈量精度计算例算例2：对某距离用精密量距方法丈量六次，求①该距离的算术平均值；
• ②观测值的中误差；
• ③算术平均值的中误差；
• ④算术平均值的相对中误差：凡是相对中误差，都必须用分子为1的分数表示。

第39页：算例3 z=x+y的中误差

• 算例3：z=x+y , x=u+v,y=u-2vmu=±1,mv=±2,求mx,my,mz。
• 解
• 错解
• 正解z=(u+v)+(u-2v)=2u-v

第40页：权的概念

40§5.7不同精度直接观测平差一、权的概念权是权衡利弊、权衡轻重的意思。在测量工作中权是一个表示观测结果可靠程度的相对性指标。1权的定义：设一组不同精度的观测值为li,其中误差为mi(I=1,2…n)，选定任一大于零的常数λ，则定义权为：称Pi为观测值li的权。

第41页：权的性质

411权的定义：对于一组已知中误差mi的观测值而言，选定一个大于零的常数λ值，就有一组对应的权；由此可得各观测值权之间的比例关系：2权的性质（1）权表示观测值的相对精度；（2）权与中误差的平方成反比，权始终大于零，权大则精度高；（3）权的大小由选定的λ值确定，但测值权之间权的比例关系不变，同一问题仅能选定一个λ值。

第42页：同精度观测值的权

二、测量中常用的定权方法1同精度观测值的权

• 对于一组同精度观测值li，一次观测的中误差为m，由权的定义，选定λ=m2，则一次观测值的权为：
• n次同精度观测值的算术平均值的中误差为：
• 同精度观测值算术平均值的权为：

第43页：单位权与单位权中误差

二、测量中常用的定权方法2单位权与单位权中误差

• 对于一组不同精度的观测值li，一次观测的中误差为mi，设某次观测的中误差为m，其权为P0，选定λ=m2，则有：
• 数值等于1的权，称为单位权；权等于1的中误差称为单位权中误差，常用μ表示。对于中误差为mi的观测值，其权为：
• 相应中误差的另一表示方法为：

第44页：测量中常用的定权方法

二、测量中常用的定权方法3水准测量的权与测站数成反比，或者与路线长度成反比。4角度测量的权与测回数成正比。5距离测量的权与长度成反比

第45页：加权平均值

三、非等精度观测值的最或是值——加权平均值设对某量进行了n次非等精度观测，观测值分别为l1,l2,…ln,其权分别为P1，P2，…Pn。则观测量的最或是值为加权平均值：四、加权平均值的中误差