07 第6章 测量误差.pptx

第1页：第6章测量误差的基本知识

• 用仪器测量某量会产生误差，表现为相同条件下对某量多次重复观测所得观测值 l₁, l₂, …, l_n 一般互不相等。
• 设观测量的真值为 X，则观测量 l_i 的误差 Δ_i=l_i－X。
• 产生误差的原因有仪器误差、观测误差与外界环境；误差分为偶然误差和系统误差两类。

第2页：偶然误差

偶然误差

符号与大小呈偶然性，单个偶然误差无规律，但大量偶然误差具有统计规律；偶然误差即真误差。

• 案例 1：三等、四等水准测量在 cm 分划水准标尺上估读 mm 位，估读值有时偏大、有时偏小。
• 案例 2：经纬仪测水平角时大气折光使目标成像不稳定，瞄准目标有时偏左、有时偏右。
• 多次观测取平均值可以削弱偶然误差的影响，但不能完全消除。

第3页：系统误差

系统误差

符号与大小保持不变，或按一定规律变化。

• 案例：用未经鉴定、名义长 30m 而实际长 30.005m 的钢尺量距，每丈量一整尺段就量短 0.005m，产生 -0.005m 的量距误差。
• 各整尺段的量距误差大小都是 -0.005m、符号都是负，不能抵消，具有累积性。
• 系统误差对观测值的影响具有一定的规律性，找到规律就可对观测值施加改正，以消除或削弱其影响。

第4页：误差处理的基本要求

• 规范规定：测量仪器使用前应检验和校正，并应按规范要求操作。
• 布设平面与高程控制网测量控制点三维坐标时，应有一定量的多余观测。
• 严格按规范要求进行测量时，系统误差与粗差可被消除或削弱到很小，故本章只讨论存在偶然误差（真误差）的情形。

第5页：三角形闭合差真误差

• 大部分情况下真值未知，求不出 Δ；但某些情形中观测量函数的真值已知。
• 案例：三角形内角和闭合差 ω_i=(β₁+β₂+β₃)_i－180°。
• 结论：三角形闭合差的真误差等于闭合差本身。

第6页：358个三角形闭合差统计案例

本页列出 358 个三角形闭合差真误差的统计分析案例，统计数据见课件原表。

第7页：误差频率直方图

本页为误差统计直方图：以 Δ 为横坐标、频率除以区间宽度为纵坐标，长条矩形面积等于该区间内误差出现的频率。

第8页：偶然误差的四条特性

1. 偶然误差有界——在一定观测条件下、有限次观测中，偶然误差的绝对值不超过一定限值。
2. 小误差出现的频率大，大误差出现的频率小。
3. 绝对值相等的正、负误差出现的频率大致相等。
4. 观测次数 n→∞ 时，偶然误差的平均值趋于 0。

第9页：正态分布密度曲线

• 当误差数 n→∞、误差区间 dΔ→0 时，小长条矩形顶部的折线趋于光滑曲线，即正态分布密度曲线。
• 德国科学家高斯（Gauss）1794 年研究误差规律时发现：①Δ→∞ 时 f(Δ)→0；②|Δ₁|>|Δ₂| 时 f(Δ₁)<f(Δ₂)；③f(－Δ)=f(Δ)，曲线关于 y 轴对称；④E(Δ)=0。

第10页：数学期望与方差

概率论中称 Δ 为随机变量：Δ 为连续型随机变量时，E(Δ) 为随机变量 Δ 的数学期望，Var(Δ) 为方差，σ 为标准差；Δ 为离散型随机变量时，上述两式变成求和形式。

第11页：标准差与中误差

对真值进行了 n 次等精度独立观测，观测值为 l₁, l₂, …, l_n，真误差为 Δ₁, Δ₂, …, Δ_n，由此定义观测值标准差；n 有限时按中误差（mean square error）m 表示。

第12页：例6-1中误差计算

[例 6-1] 已知某段距离真值为 49.984m，用 50m 钢尺丈量 6 次，求一次丈量 50m 的中误差。

第13页：相对误差

• 相对误差是专为距离测量定义的精度指标：单纯用距离丈量的中误差不能反映距离精度情况。
• 丈量 50m 距离的中误差为 ±5mm、丈量 100m 距离的中误差也为 ±5mm，不能认为这两段距离的丈量精度相等。
• 故引入相对误差这一指标。

第14页：相对误差的表达

• 相对误差无单位，分子、分母的长度单位应统一。
• 习惯上将相对误差的分子化为 1，分母化为一个较大的数。
• 分母越大，相对误差越小，距离测量精度越高。

第15页：误差容许值的定义

设 ξ 为任一正实数，事件 A=(|Δ|＜ξσ) 的概率即在 -ξσ 到 +ξσ 区间内的概率。

第16页：限差的确定

• 后两者属小概率事件，小样本中不会发生；观测次数有限时，绝对值大于 2σ 或 3σ 的真误差不可能出现。
• 测量规范常以 2σ 或 3σ 作为真误差的允许值，即限差 |Δ_限|=2σ=2m 或 |Δ_限|=3σ=3m。
• 观测值误差大于上述限差时，认为它含有系统误差，应予剔除。

第17页：误差传播定律概述

• 测量中有些未知量不能直接观测测定，需由直接观测量计算求出。
• 如水准仪一站观测的高差 h=a－b、三角高程测量初算高差 h′=S·sinα。
• 直接观测量的误差会导致它们的函数也存在误差，函数的误差由直接观测量的误差传播而来。

第18页：线性函数的误差传播定律

线性函数 Z=f₁X₁+f₂X₂+……+f_nX_n，系数为 f₁, f₂, …, f_n，X₁, X₂, …, X_n 为误差独立观测量，中误差为 m₁, m₂, …, m_n，由此得到函数中误差的计算式。

第19页：算术平均值的中误差

• 对等精度独立观测值 l₁, l₂, …, l_n 取算术平均值，设每个观测量的中误差为 m。
• 结论：算术平均值的中误差为一次观测中误差的 1/√n。
• 当 n→∞ 时，算术平均值的中误差趋于 0。

第20页：例6-1算术平均值中误差

• 每次距离丈量的中误差 m=±5.02mm。
• 据此计算 6 次丈量距离平均值的中误差。

第21页：等精度和的中误差

• 独立观测 n 站高差 h₁, h₂, …, h_n，路线高差之和 h=h₁+h₂+…+h_n。
• 设每站高差观测中误差为 m_站，据此计算高差之和的中误差。

第22页：非线性函数的误差传播定律

非线性函数 Z=F(X₁, X₂, …, X_n)，其中 X₁, X₂, …, X_n 为误差独立观测量，中误差为 m₁, m₂, …, m_n，按全微分后由误差传播定律求函数中误差。

第23页：例6-2初算高差中误差

[例 6-2] 测量斜边 S=163.563m，中误差 m_S=±0.006m；测量角度 α=32°15′26″，中误差 m_α=±6″。边长与角度观测误差独立，求初算高差 h′ 的中误差 m_h′。

[解] h′=S·sinα，取全微分得……

第24页：例6-2解算过程

• 角度的微分量 dα″ 除以 ρ″，是为了将 dα″ 的单位由秒化为弧度。
• H=S·sinα=163.563×sin32°15′26″=87.297m。
• f₁=h/S=87.297÷163.563=0.533721。
• f₂=h·cotα/ρ″=87.297×cot32°15′26″÷206265=0.000671。

第25页：等精度独立观测量的最可靠值

• 对等精度独立观测值 l₁, l₂, …, l_n 取算术平均值，由真误差 Δ₁, Δ₂, …, Δ_n 取极限可得结论。
• 观测次数 n→∞ 时，算术平均值趋于真值。
• n 有限时，取算术平均值作为未知量的最可靠值。

第26页：白塞尔公式推导

• 真值已知时按真误差计算；真值未知时用算术平均值代替计算 m。
• 定义观测量改正数 V_i，有 δ 为常数、Δ_i=δ－V_i；取平方得 Δ_i²=δ²－2δV_i+V_i²，故 [ΔΔ]=nδ²+2δ[V]+[VV]=nδ²+[VV]。

第27页：

第28页：白塞尔公式的极限推导

取极限后，因 l₁, l₂, …, l_n 误差独立，其两两协方差等于 0。

第29页：白塞尔公式

观测次数 n 有限时，等精度独立观测条件下，可用观测值改正数 V_i 计算一次观测中误差，该式称为白塞尔公式（Bessel formula）。

第30页：例6-3用白塞尔公式计算

[例 6-3] 在 [例 6-1] 中假设距离真值未知，用白塞尔公式计算钢尺每次丈量 50m 的中误差；已算出六次丈量距离的平均值为 49.9822m。

第31页：权的定义

• 观测量 l_i 的中误差为 m_i、权为 W_i，m₀² 为任意正实数。
• l_i 的方差 m_i² 越大，权就越小，精度越低；方差越小，权就越大，精度越高。
• 令 W_i=1，则有 m₀²=m_i²；m₀² 为权等于 1 的观测量方差，称单位权方差，m₀ 为单位权中误差。

第32页：加权平均值及其中误差

对某量进行不等精度独立观测，得观测值 l₁, l₂, …, l_n，中误差 m₁, m₂, …, m_n，权 W₁, W₂, …, W_n，由此计算观测值的加权平均值，并应用误差传播定律求其中误差。

第33页：

第34页：例6-4已知水准点求P点高程

[例 6-4] 1、2、3 点为已知高等级水准点，其高程误差很小可忽略不计。为求 P 点高程，用 DS3 水准仪独立观测了三段水准路线的高差，每段高差的观测值及其测站数标于图中，求 P 点高程的最可靠值与中误差。

第35页：例6-4解算：权与高程值

• 均用 DS3 水准仪观测，可认为每站高差观测中误差相等，故取 h₁, h₂, h₃ 的权 W₁=1/n₁，W₂=1/n₂，W₃=1/n₃。
• H_P1=H₁+h₁=21.718+5.368=27.086m。
• H_P2=H₂+h₂=18.653+8.422=27.075m。
• H_P3=H₃+h₃=14.165+12.914=27.079m。

第36页：例6-4：高差中误差

因为三个已知水准点高程的误差很小、可忽略不计，所以求出的三个高差观测值的中误差 m₁, m₂, m₃ 就等于用该高差观测值计算出的 P 点高程值 H_P1, H_P2, H_P3 的中误差。

据此计算 P 点高程的加权平均值。

第37页：例6-4：加权平均值中误差

P 点高程加权平均值的中误差计算式如下；下面验证 P 点高程算术平均值的中误差是否满足精度要求，并给出 P 点高程的算术平均值。

第38页：例6-4结论

根据误差传播定律求得 P 点高程算术平均值的中误差。

结论：对于不等精度独立观测，加权平均值比算术平均值更合理（中误差更小）。